高斯平面直角坐标系与大地坐标系

§7.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系

7.3.1 高斯投影坐标正算公式

（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标L,B，求该点在高斯投影平面上的直角坐标x,y，即L,B(x,y)的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件

 中央子午线投影后为直线；  中央子午线投影后长度不变；

 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程

在椭球面上有对称于中央子午线的两点P1和P2,它们的大地坐标分别为（L,B）及（l,B），式中l为椭球面上P点的经度与中央子午线(L0)的经度差：lLL0, P点在中央子午线之东, l为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1(x,y)和P2(x,y)。 （4）计算公式

xX

NN23224

sinBlsinBcosB(5t9)l2224



NNNycosBlB(1t22)l3cos5B(518t2t4)l535

6120

NN2

sinBlsinBcos3B(5t29244)l4

24224N

sinBcos5B(6158t2t4)l66

720

当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：

xX

 

y

NN

cosBlcos3B(1t22)l336N

cos5B(518t2t4142582t2)l55

720

7.3.2 高斯投影坐标反算公式

（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标x,y，求该点在椭球面上的大地坐标L,B，即x,y(L,B)的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件

 x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；  x轴上的长度投影保持不变；

 投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程

根据x计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度Bf，接着按Bf计算（BfB）及经差

l，最后得到BBf

(BfB)、LL0l。

（4）计算公式

2224(53t3ff9ftf)y

2MfNf24MfN

tf

246

(6190tf45tf)y

720MfN5f



1123ly(12t2ff)y3NfcosBf6NfcosBf



14225

(528t22f24tf6f8ftf)y5120NfcosBf



BBf

tf

y2

tf

3f

当要求转换精度至0.01时，可简化为下式：

22224

(53t9t)yffff

2MfNf24MfN3f

11223

ly(12t)y ff

NfcosBf6N3cosBff

1245

(528tf24tf)y

120NcosBffBBf

tf

y2

tf

7.3.3 高斯投影相邻带的坐标换算

（1）产生换带的原因

高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用3带、1.5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标，这时就产生了6带同3带（或1.5带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：

（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算

 计算过程

把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标(x,y)I，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标(l,B)，进而得到LLI0l；然后再由大地坐标(B,l)，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标(x,y)II。

II

在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线LII0来计算经差l，亦即此时lLL0。

 算例

.726m，在中央子午线LI0123的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标x15728374

y1210198.193m，现要求计算该点在中央子午线LII0129的第Ⅱ带的平面直角坐标。

 计算步骤

①．根据x1,y1利用高斯反算公计算换算B1,L1，得到B1513843.9042，

L11260213.1362。



②．采用已求得的B1,L1，并顾及到第Ⅱ带的中央子午线LII0129，求得

l25746.864，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐标xII,yII

③．为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算

7.3.4 子午线收敛角公式

（1）子午线收敛角的概念

如图所示，p、pN及pQ分别为椭球面p点、过p点的子午线pN及平行圈pQ在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点p子午线收敛角就是pN在p上的切线 pn与pt坐标北之间的夹角，用表示。 在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线pN及pQ也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于pQ在p点上的切线pq同平面坐标系横轴y的倾角。

（2）由大地坐标(L,B)计算平面子午线收敛角公式

sinBlsinBcos2Bl3(13224)

131

sinBcos4Bl5(2t2) 15

（3）由平面坐标(x,y)计算平面子午线收敛角的公式





Nf

y222

ytanBf1(1t)ff 3

3Nf

上式计算精度可达1





Nf

ytf

y2

3N

3f

tf(1t)2f2f

y5

15N

5f

4

tf(25t2f3tf)

（4）实用公式

 已知大地坐标(L,B)计算子午线收敛角

{1[(0.333330.00674cos2B)(0.2cos2B0.0067)l2]l2cos2B}lsinB

 已知平面坐标(x,y)计算子午线收敛角

{1[(0.333330.00225cos4Bf)(0.20.067cos2Bf)Z2]Z2}ZsinBf

§7.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系

7.3.1 高斯投影坐标正算公式

（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标L,B，求该点在高斯投影平面上的直角坐标x,y，即L,B(x,y)的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件

 中央子午线投影后为直线；  中央子午线投影后长度不变；

 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程

在椭球面上有对称于中央子午线的两点P1和P2,它们的大地坐标分别为（L,B）及（l,B），式中l为椭球面上P点的经度与中央子午线(L0)的经度差：lLL0, P点在中央子午线之东, l为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1(x,y)和P2(x,y)。 （4）计算公式

xX

NN23224

sinBlsinBcosB(5t9)l2224



NNNycosBlB(1t22)l3cos5B(518t2t4)l535

6120

NN2

sinBlsinBcos3B(5t29244)l4

24224N

sinBcos5B(6158t2t4)l66

720

当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：

xX

 

y

NN

cosBlcos3B(1t22)l336N

cos5B(518t2t4142582t2)l55

720

7.3.2 高斯投影坐标反算公式

（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标x,y，求该点在椭球面上的大地坐标L,B，即x,y(L,B)的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件

 x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；  x轴上的长度投影保持不变；

 投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程

根据x计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度Bf，接着按Bf计算（BfB）及经差

l，最后得到BBf

(BfB)、LL0l。

（4）计算公式

2224(53t3ff9ftf)y

2MfNf24MfN

tf

246

(6190tf45tf)y

720MfN5f



1123ly(12t2ff)y3NfcosBf6NfcosBf



14225

(528t22f24tf6f8ftf)y5120NfcosBf



BBf

tf

y2

tf

3f

当要求转换精度至0.01时，可简化为下式：

22224

(53t9t)yffff

2MfNf24MfN3f

11223

ly(12t)y ff

NfcosBf6N3cosBff

1245

(528tf24tf)y

120NcosBffBBf

tf

y2

tf

7.3.3 高斯投影相邻带的坐标换算

（1）产生换带的原因

高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用3带、1.5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标，这时就产生了6带同3带（或1.5带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：

（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算

 计算过程

把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标(x,y)I，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标(l,B)，进而得到LLI0l；然后再由大地坐标(B,l)，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标(x,y)II。

II

在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线LII0来计算经差l，亦即此时lLL0。

 算例

.726m，在中央子午线LI0123的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标x15728374

y1210198.193m，现要求计算该点在中央子午线LII0129的第Ⅱ带的平面直角坐标。

 计算步骤

①．根据x1,y1利用高斯反算公计算换算B1,L1，得到B1513843.9042，

L11260213.1362。



②．采用已求得的B1,L1，并顾及到第Ⅱ带的中央子午线LII0129，求得

l25746.864，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐标xII,yII

③．为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算

7.3.4 子午线收敛角公式

（1）子午线收敛角的概念

如图所示，p、pN及pQ分别为椭球面p点、过p点的子午线pN及平行圈pQ在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点p子午线收敛角就是pN在p上的切线 pn与pt坐标北之间的夹角，用表示。 在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线pN及pQ也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于pQ在p点上的切线pq同平面坐标系横轴y的倾角。

（2）由大地坐标(L,B)计算平面子午线收敛角公式

sinBlsinBcos2Bl3(13224)

131

sinBcos4Bl5(2t2) 15

（3）由平面坐标(x,y)计算平面子午线收敛角的公式





Nf

y222

ytanBf1(1t)ff 3

3Nf

上式计算精度可达1





Nf

ytf

y2

3N

3f

tf(1t)2f2f

y5

15N

5f

4

tf(25t2f3tf)

（4）实用公式

 已知大地坐标(L,B)计算子午线收敛角

{1[(0.333330.00674cos2B)(0.2cos2B0.0067)l2]l2cos2B}lsinB

 已知平面坐标(x,y)计算子午线收敛角

{1[(0.333330.00225cos4Bf)(0.20.067cos2Bf)Z2]Z2}ZsinBf