辽宁省辽南协作体10-11学年高一下学期期中考试(数学理)

辽宁省辽南协作体2010-2011学年度下学期期中考试

高一数学（理科）试题

时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

1．已知

sinα

11

5，则下列各式中值为5的是（ ）

π3πcos(α)cos(α)sin(πα)22 A． B． C． D．sin(2πα) |a|2sin15,|b|4cos152．已知， a,b30，则

的值为（ ）

A

B． C．3 D．1 3．已知函数

f(x)sin

xx

cos22，则下列等式对xR恒成立的是（ ） f(



2

A．f(x)f(x) B．

x)f(x)

C．

f(



2

x)f(



2

x)

D．f(x)sinx

a(2,3),b

）

5. 在ABC中，若tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)的值等于（ ）

A．



22

21



2 B．2 C．2 D．2



6．将函数f(x)sin(

x)的图象向左平移2个单位，若所得图象与原图象重合，

则的值不可能等于（ ） A．4 B．8 C．12 D．6

1

mcos6,nsin26,p27．设则它们的大小关系是

（ ） A．

pnm

npm

mpn

mnp

B． C． D．

是两个非零向量，且||||||，则的夹角为（ ） 8．已知aA．30 B．60 C．90 D．150









9．设a(3,m),b(4,3),若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（ ）

A．

m4且m

99

m4且m

4 B．4 C．m4 D．m4

π47π

10．已知cos(α－6)＋sinα＝53，则sin(α＋6)的值是

1144



A.3 B. 3 C. 5 D. 5

a(m,n),b(p,q). 11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的



令a⊙bmqnp.下面说法错误的是（ ）

abaA．若与共线，则⊙b0 B．a⊙bb⊙a

C．对任意的R,有(a)⊙b(a⊙b)



222

D．(a⊙b)(ab)|a|||



12．已知点O、N、P在所在平面内，且|OA||OB||OC|,NANBNC0

，则点O、N、P依次是ABC的（ ）

A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、，内心

（注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置． 13．函数f(x)cosxsinx)的定义域为

sin(x

14．已知



6

)

5x)sin2(x),sin(633则

15．定义： |a×b|=|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角， 若|a|=2, |b| =3, a·b=-4,则|a×b|=___________

sinx,sinxcosx;

f(x)

cosx,sinxcosx.给出下列四个命题： 16．对于函数

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当xk(kZ)时，该函数取得最小值是－1；

③该函数图象关于

x



5

2k(kZ)4对称；

2k(kZ)时，0f(x)

2 ④当且仅当

其中正确命题的序号是 （请将所有正确命题的序号都填上）

2kx

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

cos20°求值：sin20°cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°. 18．（本小题满分12分）

|2)36,且 （1）求a和b的夹角；

（2）当m取何值时，与共线？ （3）当m取何值时，与垂直？

19. （本小题满分12分）

ABBD

ACDC称之为三角形的内角平分线定理, 在△ABC中, 若I是△ABC的内心, AI的延长线交BC于D, 则有



y现已知AC＝2, BC＝3, AB＝4, 且AIxAByAC, 求实数x及的值.

20.（本小题满分12分）

已知向量(sinx,cosx),(cosx,cosx),0，记函数f(x)， 若函数f(x)的最小正周期为. （1）求的值；

（2）当

0x



3时，试求f(x)的值域；

（3）求f(x)在[0,]上的单调递增区间．

21. （本小题满分12分）

f(x)Asin(x)(A0,0,

已知函数

一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（1）求f(x)的解析式；



2的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第

(x0,2)和(x02,2)．

（2）若锐角满足

cos

1

3，求f(4)的值．

22. 已知向量 =（1,2） ，=（cos,sin），设=+t（t为实数）．



（1）若=4，求当||取最小值时实数t的值;



（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量–和向量的夹角为4，若存在，请求出t的值；若

不存在，请说明理由．

2

f(t)(t,3)(t,t)的单调性. tAt（3）若⊥，求实数的取值范围A，并判断当时函数

2010-2011学年度下学期期中考试

二、填空题

(

13、

2232k,2k)kZ33 14、3 15、2 16、③④

三、解答题

cos20°cos10°3sin10°sin70°

17、解：原式＝sin20°－2cos40° ……….（2分） cos70°＝＝＝＝

18、解：（1）由(a2b)(7a3b)6，得76116，

2

2

cos20°cos10°3sin10°cos20°

2cos40° ……….（4分） sin20°cos20°(cos10°3sin10°)

－2cos40° ……….（6分） sin20°2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)

2cos40° ……….（8分） sin20°2cos20°sin40°－2sin20°cos40°

2. ……….（10分） sin20°

即71641112cos6，解得

cos

12，

0180,120………….（4分）

（2）∥，令，即m45m，

m5

,不共线，4m ，解得m25………….（8分）

（3） ,0，即(ma4b)(5amb)0，得

5m(m220)4m0，即m221m200，

m1或m20………….（12分）

22

2ABBD



319、 解：ACDC=2 „„„„„„„„„2分 

12

336又BC3 BD2=2



AI

242

AD

93=9„„„„„„„„„„„„„8分

2

x94y

9„„„„„12分 又AIxAByAC,且向量,不共线 

20、解：（1）

f(x)sinxcosxcos2x

1cos2x

sin2x22

1

sin(2x)

62…………（3分）

0,T

2

,12…………（4分）

（2）由（1），

f(x)n(is

15

2x)0x,2x

62，3666，

13

sin(2x1[1,]26，f(x)的值域为2…………（8分）

2k



2

（3）由

2x



6

2k



2

,kZ

，得

k



3

xk



6

,kZ

……………（10分）

又

x[0,],0x



2

x

6或3， ,

2

[0,[,

]

f(x)在[0,]上的单调递增区间为63…………（12分）

A) 

又f(0)1

sin

12 而2 6

1

f(x)2sin(x26„„„„„„„„„„„„(4分)

（2）由（1）知：f(4)

2sin(2



6

sin2cos2

„„„„„„„(6分)

1221

sincos

93„„„„„„„„„„„„(8分) 3 锐角满足

sin22sincos

42

9



cos22cos21

7

9„„„„„„„„„„„„(10分)

f(4)



479„„„„„„„„„„„„(12分)



3222

ab2）2，„„„„„„„

2分 22、解：（1）因为=4，=（2，

2|m

|则=t32t5=

(t

3221

)2

2

t=-

所以当

时，|m|取到最小值，最小值为„„„„„„„„„4分



（2）由条件得cos45=，„„„„„„„„„5分

2|||t|6

又因为==, =5t,

(ab)(atb)5t，„„„„„„„„„„„„6分



2

2

65t则有=2，且t

5352

2整理得t+5t-5=0，所以存在t

满足条件„„„„„8分

)

5t

⊥5+t(cos

+2sin+

)=0

|sin()

|1 |t|

t

t10分

23

f(t)t3t f(t)(t,3)(t,t)又，

33

ttt0yf(t)f(t)tt

2121213(t2t1) 令，则

(t2t1)(t22t12t1t23)

22

(t

tt1t23)0，t2t1

0 t21当y0 yf(t在))上单调递增

22(t

tt1t23)0，t2t10 t21当y0 yf(t在)(,上单调递增„„„„„„„„„„12

辽宁省辽南协作体2010-2011学年度下学期期中考试

高一数学（理科）试题

时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

1．已知

sinα

11

5，则下列各式中值为5的是（ ）

π3πcos(α)cos(α)sin(πα)22 A． B． C． D．sin(2πα) |a|2sin15,|b|4cos152．已知， a,b30，则

的值为（ ）

A

B． C．3 D．1 3．已知函数

f(x)sin

xx

cos22，则下列等式对xR恒成立的是（ ） f(



2

A．f(x)f(x) B．

x)f(x)

C．

f(



2

x)f(



2

x)

D．f(x)sinx

a(2,3),b

）

5. 在ABC中，若tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)的值等于（ ）

A．



22

21



2 B．2 C．2 D．2



6．将函数f(x)sin(

x)的图象向左平移2个单位，若所得图象与原图象重合，

则的值不可能等于（ ） A．4 B．8 C．12 D．6

1

mcos6,nsin26,p27．设则它们的大小关系是

（ ） A．

pnm

npm

mpn

mnp

B． C． D．

是两个非零向量，且||||||，则的夹角为（ ） 8．已知aA．30 B．60 C．90 D．150









9．设a(3,m),b(4,3),若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（ ）

A．

m4且m

99

m4且m

4 B．4 C．m4 D．m4

π47π

10．已知cos(α－6)＋sinα＝53，则sin(α＋6)的值是

1144



A.3 B. 3 C. 5 D. 5

a(m,n),b(p,q). 11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的



令a⊙bmqnp.下面说法错误的是（ ）

abaA．若与共线，则⊙b0 B．a⊙bb⊙a

C．对任意的R,有(a)⊙b(a⊙b)



222

D．(a⊙b)(ab)|a|||



12．已知点O、N、P在所在平面内，且|OA||OB||OC|,NANBNC0

，则点O、N、P依次是ABC的（ ）

A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、，内心

（注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置． 13．函数f(x)cosxsinx)的定义域为

sin(x

14．已知



6

)

5x)sin2(x),sin(633则

15．定义： |a×b|=|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角， 若|a|=2, |b| =3, a·b=-4,则|a×b|=___________

sinx,sinxcosx;

f(x)

cosx,sinxcosx.给出下列四个命题： 16．对于函数

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当xk(kZ)时，该函数取得最小值是－1；

③该函数图象关于

x



5

2k(kZ)4对称；

2k(kZ)时，0f(x)

2 ④当且仅当

其中正确命题的序号是 （请将所有正确命题的序号都填上）

2kx

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

cos20°求值：sin20°cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°. 18．（本小题满分12分）

|2)36,且 （1）求a和b的夹角；

（2）当m取何值时，与共线？ （3）当m取何值时，与垂直？

19. （本小题满分12分）

ABBD

ACDC称之为三角形的内角平分线定理, 在△ABC中, 若I是△ABC的内心, AI的延长线交BC于D, 则有



y现已知AC＝2, BC＝3, AB＝4, 且AIxAByAC, 求实数x及的值.

20.（本小题满分12分）

已知向量(sinx,cosx),(cosx,cosx),0，记函数f(x)， 若函数f(x)的最小正周期为. （1）求的值；

（2）当

0x



3时，试求f(x)的值域；

（3）求f(x)在[0,]上的单调递增区间．

21. （本小题满分12分）

f(x)Asin(x)(A0,0,

已知函数

一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（1）求f(x)的解析式；



2的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第

(x0,2)和(x02,2)．

（2）若锐角满足

cos

1

3，求f(4)的值．

22. 已知向量 =（1,2） ，=（cos,sin），设=+t（t为实数）．



（1）若=4，求当||取最小值时实数t的值;



（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量–和向量的夹角为4，若存在，请求出t的值；若

不存在，请说明理由．

2

f(t)(t,3)(t,t)的单调性. tAt（3）若⊥，求实数的取值范围A，并判断当时函数

2010-2011学年度下学期期中考试

二、填空题

(

13、

2232k,2k)kZ33 14、3 15、2 16、③④

三、解答题

cos20°cos10°3sin10°sin70°

17、解：原式＝sin20°－2cos40° ……….（2分） cos70°＝＝＝＝

18、解：（1）由(a2b)(7a3b)6，得76116，

2

2

cos20°cos10°3sin10°cos20°

2cos40° ……….（4分） sin20°cos20°(cos10°3sin10°)

－2cos40° ……….（6分） sin20°2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)

2cos40° ……….（8分） sin20°2cos20°sin40°－2sin20°cos40°

2. ……….（10分） sin20°

即71641112cos6，解得

cos

12，

0180,120………….（4分）

（2）∥，令，即m45m，

m5

,不共线，4m ，解得m25………….（8分）

（3） ,0，即(ma4b)(5amb)0，得

5m(m220)4m0，即m221m200，

m1或m20………….（12分）

22

2ABBD



319、 解：ACDC=2 „„„„„„„„„2分 

12

336又BC3 BD2=2



AI

242

AD

93=9„„„„„„„„„„„„„8分

2

x94y

9„„„„„12分 又AIxAByAC,且向量,不共线 

20、解：（1）

f(x)sinxcosxcos2x

1cos2x

sin2x22

1

sin(2x)

62…………（3分）

0,T

2

,12…………（4分）

（2）由（1），

f(x)n(is

15

2x)0x,2x

62，3666，

13

sin(2x1[1,]26，f(x)的值域为2…………（8分）

2k



2

（3）由

2x



6

2k



2

,kZ

，得

k



3

xk



6

,kZ

……………（10分）

又

x[0,],0x



2

x

6或3， ,

2

[0,[,

]

f(x)在[0,]上的单调递增区间为63…………（12分）

A) 

又f(0)1

sin

12 而2 6

1

f(x)2sin(x26„„„„„„„„„„„„(4分)

（2）由（1）知：f(4)

2sin(2



6

sin2cos2

„„„„„„„(6分)

1221

sincos

93„„„„„„„„„„„„(8分) 3 锐角满足

sin22sincos

42

9



cos22cos21

7

9„„„„„„„„„„„„(10分)

f(4)



479„„„„„„„„„„„„(12分)



3222

ab2）2，„„„„„„„

2分 22、解：（1）因为=4，=（2，

2|m

|则=t32t5=

(t

3221

)2

2

t=-

所以当

时，|m|取到最小值，最小值为„„„„„„„„„4分



（2）由条件得cos45=，„„„„„„„„„5分

2|||t|6

又因为==, =5t,

(ab)(atb)5t，„„„„„„„„„„„„6分



2

2

65t则有=2，且t

5352

2整理得t+5t-5=0，所以存在t

满足条件„„„„„8分

)

5t

⊥5+t(cos

+2sin+

)=0

|sin()

|1 |t|

t

t10分

23

f(t)t3t f(t)(t,3)(t,t)又，

33

ttt0yf(t)f(t)tt

2121213(t2t1) 令，则

(t2t1)(t22t12t1t23)

22

(t

tt1t23)0，t2t1

0 t21当y0 yf(t在))上单调递增

22(t

tt1t23)0，t2t10 t21当y0 yf(t在)(,上单调递增„„„„„„„„„„12