第12卷 第1期 铜仁学院学报
2010年 1 月 Journal of Tongren University
变异系数的统计推断及其应用
吴 媚1，2 顾赛赛1
（ 1．东南大学 数学系，江苏 南京 210096；2．南京化工职业技术学院 基础部，江苏 南京 210048 ）
摘 要：变异系数是反映总体离散程度的重要指标。应用delta 方法研究了样本变异系数的渐近分布，进一步构造了其置信区间及检验统计量，并用Monte Carlo方法给出了置信区间的模拟覆盖概率和检验的模拟功效，最后分析了一组实际考试成绩。
关键词： 变异系数； delta 方法； 区间估计； 假设检验
中图分类号：O212 文献标识码：A 文章编号：1673-9639 (2010) 01-0139-04
变异系数，就是标准差系数，也称差异系数、离散系数，它分为总体变异系数和样本变异系数。样本变异系数是衡量样本资料中各观测值变异程度的重要统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。样本变异系数（Coefficient of Variance，简称为CV ）定义为标准差与均值的比率：
CV =
S
1n 1n
=∑X i ，S 2=∑X i −n i =1n i =1
()
2
[2]
，现在考察
S
的渐k
近分布，构造置信区间。设总体
X
的四阶矩αk =EX
2
（k =1, 2, 3, 4）存在，显然EX =α1，σ2=Var (X )=α2−α1。
1n 2
再记X =∑X i 。为推导CV
n i =1
2
=
S
的渐近分布，我们其中，CV 代表变异系数，S 代表样本标准差，X 代表样本平均数。
变异系数的最大优点在于它具有直观简洁的形式，容易由样本直接得到估计值。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。杨运清和张宏
[2]
[1]
要先推导, X 2的联合渐近分布，见以下结论。
结论1：若总体X 的四阶矩α1、α2、α3、α4存在，则样本的前两阶矩
()
(, X )的联合渐近分布为：
2
探讨了总体变异系数间差异的统计检验方法；周昌隆
[3]
在抽样分布的基础上，推导了来自正态总体的样本变异系
在正态总体下给出了样本变利用非参数方法构造了变
[4]
⎛⎛0⎞⎛α2−α12α3−α1α2⎞⎞⎛⎛x ⎞⎛α1⎞⎞L
⎟⎯⎟⎟⎟−⎜⎟⎟⎯→N 2⎜⎜n ⎜⎜, ⎜2⎜⎟⎜⎟2⎜⎟⎜x ⎟⎜⎝0⎠⎜α3−α1α2α4−α2⎟⎟
⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎝α2⎠⎠⎝
证明：由数学期望的性质易得：
数的抽样分布；谢锋和周飞跃异系数的区间估计；王文森
异系数的假设检验方法；高洪忠
[5]
Var =E 2−E 从经济统计的角度概括了变异
()
2
系数的作用。本文的第一部分给出了样本变异系数的渐近分布，并进一步给出置信区间和假设检验，第二部分给出了模拟结果，并以实际的考试成绩为例来说明此方法的实用性。
⎛1n ⎞2
=E ⎜∑X i ⎟−α1
⎝n i =1⎠1⎛n 2=2E ⎜x i +∑x i x j
⎜∑n i ≠j ⎝i =1
2
⎞2
⎟⎟−α1⎠
1．样本变异系数的渐近分布
由于、S 2的渐近分布已解决，即
收稿日期：2009-12-27
作者简介：吴 媚（1982-），女，安徽和县人，讲师，研究方向：概率统计。
又因为x 1、x 2是独立同分布，所以
139
2010年第1期 铜仁学院学报
⎞1⎛n 22−α1E ⎜x i +∑x i x j ⎟∑2⎜⎟n i ≠j ⎝i =1⎠
122=2n α2+n 2−n α1−α1
n α2n −12=+α1−α12
n n α2−α12=
n
证明：由于CV =S CV ==φ, 2S
为⎛⎜, X ⎞⎟的函数，记为⎝⎠(
(
))
(
2
)，其中φ(x , y )=
y −x 2x
。由文后参考
文献[4]得：
L
n CV −θ)⎯N 0, φ′α1, α2D φ′α1, α2⎯→
((
)((
)))
T
E X
2
1
=E
n
2
∑
i =1
n
X i
2
1=n
∑
i =1
n
2
E X i =α2
其中：
Var X 2=E X 2
φ′(x , y )=⎜−
2
2
⎛⎜⎝
y
()−(E X )
2
x 2y −x 22x y −x 2
,
1
⎞⎟ ⎟⎠
⎛1n 2⎞2=E ⎜∑X i ⎟−α2
⎝n i =1⎠1⎛n 422=2E ⎜x i −∑x i x j ∑⎜n i ≠j ⎝i =1
⎞2
⎟−α2⎟⎠
2
⎛α2−α12α3−α1α2⎞
⎟。 D =⎜
⎜α3−α1α2α4−α22⎟⎝⎠
同样由于x 1、……、x n 是独立同分布，所以
⎛1y
′把α1、α2代入φ(x , y )=⎜−,
⎜x 2y −x 22x y −x 2⎝⎞
⎟，得： ⎟⎠
1⎛n 422
E ⎜x i −∑x i x j ∑2⎜n i ≠j ⎝i =112=2n α4+n 2−n α2
n
α4−α22=
n
⎞2⎟⎟−α2⎠
22
2
φ′(α1, α2)
⎛1y
, =⎜−
⎜x 2y −x 22x y −x 2⎝
⎞⎟⎟⎠(α
(())−α
1
, α2
)
E
=E X −α1X −α2+α1α2⎛1n 1n
X =E ⎜⎜n ∑i n ∑X
j =1⎝i =1⎛n 1
=2E ⎜⎜∑X i n ⎝i =1
2
j
(
(−α)(X
12
22
−α2
)
⎛
α2⎜1
, =⎜−
⎜α122−α122α12−α12⎝⎞⎟⎟⎟⎠
)
再根据文后参考文献[6]，通过对delta 方法主要结果进行变形，可以得到：
⎞
⎟−α1α2−α1α2+α1α2⎟ ⎠⎞
⎟−α1α2⎟⎠
2j
∑X
j =1
n
2−α12S n ⎜−
α1⎜⎝⎞⎟
⎯→N 0, φ′α1, α2D φ′α1, α2⎟⎯⎟⎠
((
)((
)))
T
2j
将φ′α1, α2，D 代入上式得：
()
⎛n 13
X =2E ⎜+∑X i X ∑i ⎜n i ≠j ⎝i =1
=α3−α1α2
⎞
⎟−α1α2⎟⎠
[5]
⎛α22α2(α3−α1α2)α4−α22
n CV −θ)⎯⎯→N ⎜⎜0, α4−α3α−α2+4α2α−α2
1121121⎝
L
⎞
⎟⎟⎠
下面利用定理1构造变异系数的置信区间和检验统计量。
得：
最后由多元中心极限定理和delta 方法1、总体变异系数的置信区间
⎛x ⎞⎛α1⎞⎞L ⎛⎛0⎞⎛α2−α12α3−α1α2⎞⎞
⎟⎟⎟ ⎟⎟n ⎜2⎟−⎜, ⎜⎯⎯→N 2⎜⎜2⎟⎜⎟⎟⎜⎜⎜⎟⎜⎟⎜x α⎟⎝⎝0⎠⎝α3−α1α2α4−α2⎠⎠⎝⎝⎠⎝2⎠⎠
结论2：若总体X 的四阶矩α1、α2、α3、α4存在，则有：
α22α2(α3−α1α2)α4−α22
+令σ=−，即 α1α1α2−α14α1α2−α1
2
L
n CV −θ)⎯⎯→N 0, σ
(
2
)，可对上述的正态分布标
⎛α22α2(α3−α1α2)α4−α22
n (CV −θ)⎯⎯→N ⎜⎜0, α4−α3α−α2+4α2α−α2
1121121⎝
L
⎞
⎟ ⎟⎠
准化，得：
n (CV −θ)ˆ2L
ˆ2是由将σ2中αk 替换 ⎯⎯→N (0, 1)，其中σ
其中θ=
2−αα1
2
1
是总体变异系数。
140
吴 媚 顾赛赛：变异系数的统计推断及其应用
成X k
1=n
n
（可通过改变总体参数σ或a 来得到）从两总体中分别抽取
k i
∑X
i =1
得到的统计量，由大数定律知：
容量为400个的样本，可以计算出检验统计量的值，通过与给定的临界值比较，即可得到拒绝或不拒绝原假设的结论，重复上述过程1000次，拒绝原假设的比例，即为参数θ下的模拟功效。图1给出了两个总体下对应的模拟功效曲线，它们具有类似的性质，即在原假设附近，功效接近0.05，而当θ离θ0越远时，模拟功效接近于1。
P
ˆ2⎯σ⎯→σ2。于是可得θ的水平为α的置信区间可由下式得
到：
===
n CV −θ)≤z α，即θ的水平为α的置信区间为
1−σ2
∧∧
⎡
σσ⎢−z α+CV , z α+CV
1−⎢n 2n 1−2
⎣
⎤
⎥，其中z α为标准正态分布
1−⎥2
⎦
的分位点。
2、总体变异系数的假设检验
同样利用结论2，可以得到θ的检验统计量。例如单边假设检验H 0:θ≤θ0、H 1:θ>θ0，则显著性水平为1−α的此假设检验的拒绝域是
n (CV −θ0)>z 1−α。
ˆσ
同理，对双边假设检验H 0:θ=θ0、H 1:θ≠θ0，则显著性水平为1−α的此假设检验的拒绝域是
图1 检验的模拟功效图
2．2．实例分析
调查某校86位同学某门功课未规格化的成绩，应用前面的方法可计算出变异系数
s
的值为0.1818，相应的置信度为n CV −θ0)>z α。
1−ˆσ2
2．数值模拟及应用实例
2．1． 数值模拟
为了说明文中得到的结果，现分别从正态分布N (2, 1)和伽马分布Γ(3, 3)中抽取容量分别为50、100、200个样本，取置信度为95%，从而得到总体变异系数的置信区间，然后循环1000次，可以得到该置信区间的置信概率的模拟值，见表1。
95%的置信区间为[0. 1500, 0. 2061]。同时对假设检验问题H 0:θ≤0. 20、H 1:θ>0. 20的检验统计量的值为1.267，可以
认为本次考试成绩的变异系数不超过20%。
参考文献：
[1] 杨运清，张宏．变异系数差异的显著性检验[J]．东北农业大学学报，
1994，25（1）：27-31．
表1 置信概率的模拟
[2] 周昌隆．变异系数的抽样分布[J]．赣南师范学院学报，1996（1）：
19-26． N N 从表1中可看出，随着样本量的增加，变异系数真值落在置信区间的概率越来越接近于设定的置信值95%。
第一部分已经给出了样本变异系数的渐近正态性，现在考虑总体变异系数的假设检验的模拟功效。分别在正态总体
[3] 谢锋，周飞跃．变异系数的假设检验[J]．工业技术经济，1999，18
（4）：82-87．
[4] 高洪忠．变异系数的区间估计[J]．数理统计与管理，2004，23（5）：
10-13．
[5] 王文森．变异系数—个衡量离散程度简单而有用的统计指标[J]．中国
统计，2007（？）：41-42．
[6] A. W. van der Vaart．Asymptotic Statistics [M]．Cambridge university
press ，2000．
[7] 王正林等．精通MATLAB 科学计算[M]．北京：电子工业出版社． [8] 杨静．学生成绩分析方法及其理论基础[J]．彭城职业大学学报，1999
（4）：81-82． （下转
N μ, σ
(
2
)（μ=2）和伽马总体Γ(a , b )（b =3）中设定需
检验的假设分别为：H 0:θ=0. 6、H 1:θ>0. 6和H 0:θ=0. 5、H 1:θ>0. 5，显著性水平均设定为
0.05。我们首先对不同的θ
144页）
141
2010年第1期 铜仁学院学报
[1] 同济大学数学教研室．高等数学（上册）（第4版）[M]．北京：高等
教育出版社，2006．
[2] 符世斌．幂指函数极限的一种简捷求法[J]．高等数学研究，1999，2
（3）：20-21.
[3] 杨春林，张传芳．变上限积分的等价无穷小[J]．高等数学研究，2004
（11）．
[4] 肖岸纯．等价无穷小性质的理解、延拓及应用[J]．数理医药学杂志，
2007，20（5）．
11
−
x 4=1−1=−1 因此，原式=lim 4
x →04! 4⋅2! 12x 综上所述，我们看到等价无穷小的应用非常广泛，但还是要具体情况具体分析，同时结合洛必达法则，选择合理恰当的方法进行求解。
参考文献：
Application of the Equivalent Infinitesimal in Functional Limit
LI Qiang
( Department of Mathematics, Tongren University, Tongren, Guizhou 554300, China )
Abstract: Using the Equivalent Infinitesimal is a common, convenient and effective method to calculate limits. This paper centers
on the ratio between polynomials and infinitesimal, the limit of variable upper limit integral and the limit of power-exponent function, as well as Taylor Formula, adapting three kinds of limits and analyzing their application by using the thought of equivalent infinitesimal replacement so as to simplify the process of calculating the limit.
Key words: equivalent infinitesimal; function; limit; application
（责任编辑 王婷婷）
（上接141页）
The Statistical Inference of Variation Coefficient of Sample
and Its Applications
WU Mei
1, 2
GU Sai-sai
1
( 1. Mathematics Department, Southeast University, Nanjing, Jiangsu 210096, China;
2. Foundation Department, Nanjing College of Chemical Technology, Nanjing, Jiangsu 210048, China )
Abstract: Variation Coefficient is an important indicator to reflect the overall degree of dispersion. In this paper, we studied the
asymptotic distribution of variation coefficient of sample by the delta method, and further established confidence interval and test statistics, and gave the simulation coverage probability of confidence intervals and the simulation effectiveness of test by Monte Carlo method, and finally we analyzed a group of practical examination results by the method obtained from this paper. Key words: Coefficient of variation; delta method; interval estimation; hypothesis testing
（责任编辑 王婷婷）
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2010年 1 月 Journal of Tongren University
变异系数的统计推断及其应用
吴 媚1，2 顾赛赛1
（ 1．东南大学 数学系，江苏 南京 210096；2．南京化工职业技术学院 基础部，江苏 南京 210048 ）
摘 要：变异系数是反映总体离散程度的重要指标。应用delta 方法研究了样本变异系数的渐近分布，进一步构造了其置信区间及检验统计量，并用Monte Carlo方法给出了置信区间的模拟覆盖概率和检验的模拟功效，最后分析了一组实际考试成绩。
关键词： 变异系数； delta 方法； 区间估计； 假设检验
中图分类号：O212 文献标识码：A 文章编号：1673-9639 (2010) 01-0139-04
变异系数，就是标准差系数，也称差异系数、离散系数，它分为总体变异系数和样本变异系数。样本变异系数是衡量样本资料中各观测值变异程度的重要统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。样本变异系数（Coefficient of Variance，简称为CV ）定义为标准差与均值的比率：
CV =
S
1n 1n
=∑X i ，S 2=∑X i −n i =1n i =1
()
2
[2]
，现在考察
S
的渐k
近分布，构造置信区间。设总体
X
的四阶矩αk =EX
2
（k =1, 2, 3, 4）存在，显然EX =α1，σ2=Var (X )=α2−α1。
1n 2
再记X =∑X i 。为推导CV
n i =1
2
=
S
的渐近分布，我们其中，CV 代表变异系数，S 代表样本标准差，X 代表样本平均数。
变异系数的最大优点在于它具有直观简洁的形式，容易由样本直接得到估计值。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。杨运清和张宏
[2]
[1]
要先推导, X 2的联合渐近分布，见以下结论。
结论1：若总体X 的四阶矩α1、α2、α3、α4存在，则样本的前两阶矩
()
(, X )的联合渐近分布为：
2
探讨了总体变异系数间差异的统计检验方法；周昌隆
[3]
在抽样分布的基础上，推导了来自正态总体的样本变异系
在正态总体下给出了样本变利用非参数方法构造了变
[4]
⎛⎛0⎞⎛α2−α12α3−α1α2⎞⎞⎛⎛x ⎞⎛α1⎞⎞L
⎟⎯⎟⎟⎟−⎜⎟⎟⎯→N 2⎜⎜n ⎜⎜, ⎜2⎜⎟⎜⎟2⎜⎟⎜x ⎟⎜⎝0⎠⎜α3−α1α2α4−α2⎟⎟
⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎝α2⎠⎠⎝
证明：由数学期望的性质易得：
数的抽样分布；谢锋和周飞跃异系数的区间估计；王文森
异系数的假设检验方法；高洪忠
[5]
Var =E 2−E 从经济统计的角度概括了变异
()
2
系数的作用。本文的第一部分给出了样本变异系数的渐近分布，并进一步给出置信区间和假设检验，第二部分给出了模拟结果，并以实际的考试成绩为例来说明此方法的实用性。
⎛1n ⎞2
=E ⎜∑X i ⎟−α1
⎝n i =1⎠1⎛n 2=2E ⎜x i +∑x i x j
⎜∑n i ≠j ⎝i =1
2
⎞2
⎟⎟−α1⎠
1．样本变异系数的渐近分布
由于、S 2的渐近分布已解决，即
收稿日期：2009-12-27
作者简介：吴 媚（1982-），女，安徽和县人，讲师，研究方向：概率统计。
又因为x 1、x 2是独立同分布，所以
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2010年第1期 铜仁学院学报
⎞1⎛n 22−α1E ⎜x i +∑x i x j ⎟∑2⎜⎟n i ≠j ⎝i =1⎠
122=2n α2+n 2−n α1−α1
n α2n −12=+α1−α12
n n α2−α12=
n
证明：由于CV =S CV ==φ, 2S
为⎛⎜, X ⎞⎟的函数，记为⎝⎠(
(
))
(
2
)，其中φ(x , y )=
y −x 2x
。由文后参考
文献[4]得：
L
n CV −θ)⎯N 0, φ′α1, α2D φ′α1, α2⎯→
((
)((
)))
T
E X
2
1
=E
n
2
∑
i =1
n
X i
2
1=n
∑
i =1
n
2
E X i =α2
其中：
Var X 2=E X 2
φ′(x , y )=⎜−
2
2
⎛⎜⎝
y
()−(E X )
2
x 2y −x 22x y −x 2
,
1
⎞⎟ ⎟⎠
⎛1n 2⎞2=E ⎜∑X i ⎟−α2
⎝n i =1⎠1⎛n 422=2E ⎜x i −∑x i x j ∑⎜n i ≠j ⎝i =1
⎞2
⎟−α2⎟⎠
2
⎛α2−α12α3−α1α2⎞
⎟。 D =⎜
⎜α3−α1α2α4−α22⎟⎝⎠
同样由于x 1、……、x n 是独立同分布，所以
⎛1y
′把α1、α2代入φ(x , y )=⎜−,
⎜x 2y −x 22x y −x 2⎝⎞
⎟，得： ⎟⎠
1⎛n 422
E ⎜x i −∑x i x j ∑2⎜n i ≠j ⎝i =112=2n α4+n 2−n α2
n
α4−α22=
n
⎞2⎟⎟−α2⎠
22
2
φ′(α1, α2)
⎛1y
, =⎜−
⎜x 2y −x 22x y −x 2⎝
⎞⎟⎟⎠(α
(())−α
1
, α2
)
E
=E X −α1X −α2+α1α2⎛1n 1n
X =E ⎜⎜n ∑i n ∑X
j =1⎝i =1⎛n 1
=2E ⎜⎜∑X i n ⎝i =1
2
j
(
(−α)(X
12
22
−α2
)
⎛
α2⎜1
, =⎜−
⎜α122−α122α12−α12⎝⎞⎟⎟⎟⎠
)
再根据文后参考文献[6]，通过对delta 方法主要结果进行变形，可以得到：
⎞
⎟−α1α2−α1α2+α1α2⎟ ⎠⎞
⎟−α1α2⎟⎠
2j
∑X
j =1
n
2−α12S n ⎜−
α1⎜⎝⎞⎟
⎯→N 0, φ′α1, α2D φ′α1, α2⎟⎯⎟⎠
((
)((
)))
T
2j
将φ′α1, α2，D 代入上式得：
()
⎛n 13
X =2E ⎜+∑X i X ∑i ⎜n i ≠j ⎝i =1
=α3−α1α2
⎞
⎟−α1α2⎟⎠
[5]
⎛α22α2(α3−α1α2)α4−α22
n CV −θ)⎯⎯→N ⎜⎜0, α4−α3α−α2+4α2α−α2
1121121⎝
L
⎞
⎟⎟⎠
下面利用定理1构造变异系数的置信区间和检验统计量。
得：
最后由多元中心极限定理和delta 方法1、总体变异系数的置信区间
⎛x ⎞⎛α1⎞⎞L ⎛⎛0⎞⎛α2−α12α3−α1α2⎞⎞
⎟⎟⎟ ⎟⎟n ⎜2⎟−⎜, ⎜⎯⎯→N 2⎜⎜2⎟⎜⎟⎟⎜⎜⎜⎟⎜⎟⎜x α⎟⎝⎝0⎠⎝α3−α1α2α4−α2⎠⎠⎝⎝⎠⎝2⎠⎠
结论2：若总体X 的四阶矩α1、α2、α3、α4存在，则有：
α22α2(α3−α1α2)α4−α22
+令σ=−，即 α1α1α2−α14α1α2−α1
2
L
n CV −θ)⎯⎯→N 0, σ
(
2
)，可对上述的正态分布标
⎛α22α2(α3−α1α2)α4−α22
n (CV −θ)⎯⎯→N ⎜⎜0, α4−α3α−α2+4α2α−α2
1121121⎝
L
⎞
⎟ ⎟⎠
准化，得：
n (CV −θ)ˆ2L
ˆ2是由将σ2中αk 替换 ⎯⎯→N (0, 1)，其中σ
其中θ=
2−αα1
2
1
是总体变异系数。
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吴 媚 顾赛赛：变异系数的统计推断及其应用
成X k
1=n
n
（可通过改变总体参数σ或a 来得到）从两总体中分别抽取
k i
∑X
i =1
得到的统计量，由大数定律知：
容量为400个的样本，可以计算出检验统计量的值，通过与给定的临界值比较，即可得到拒绝或不拒绝原假设的结论，重复上述过程1000次，拒绝原假设的比例，即为参数θ下的模拟功效。图1给出了两个总体下对应的模拟功效曲线，它们具有类似的性质，即在原假设附近，功效接近0.05，而当θ离θ0越远时，模拟功效接近于1。
P
ˆ2⎯σ⎯→σ2。于是可得θ的水平为α的置信区间可由下式得
到：
===
n CV −θ)≤z α，即θ的水平为α的置信区间为
1−σ2
∧∧
⎡
σσ⎢−z α+CV , z α+CV
1−⎢n 2n 1−2
⎣
⎤
⎥，其中z α为标准正态分布
1−⎥2
⎦
的分位点。
2、总体变异系数的假设检验
同样利用结论2，可以得到θ的检验统计量。例如单边假设检验H 0:θ≤θ0、H 1:θ>θ0，则显著性水平为1−α的此假设检验的拒绝域是
n (CV −θ0)>z 1−α。
ˆσ
同理，对双边假设检验H 0:θ=θ0、H 1:θ≠θ0，则显著性水平为1−α的此假设检验的拒绝域是
图1 检验的模拟功效图
2．2．实例分析
调查某校86位同学某门功课未规格化的成绩，应用前面的方法可计算出变异系数
s
的值为0.1818，相应的置信度为n CV −θ0)>z α。
1−ˆσ2
2．数值模拟及应用实例
2．1． 数值模拟
为了说明文中得到的结果，现分别从正态分布N (2, 1)和伽马分布Γ(3, 3)中抽取容量分别为50、100、200个样本，取置信度为95%，从而得到总体变异系数的置信区间，然后循环1000次，可以得到该置信区间的置信概率的模拟值，见表1。
95%的置信区间为[0. 1500, 0. 2061]。同时对假设检验问题H 0:θ≤0. 20、H 1:θ>0. 20的检验统计量的值为1.267，可以
认为本次考试成绩的变异系数不超过20%。
参考文献：
[1] 杨运清，张宏．变异系数差异的显著性检验[J]．东北农业大学学报，
1994，25（1）：27-31．
表1 置信概率的模拟
[2] 周昌隆．变异系数的抽样分布[J]．赣南师范学院学报，1996（1）：
19-26． N N 从表1中可看出，随着样本量的增加，变异系数真值落在置信区间的概率越来越接近于设定的置信值95%。
第一部分已经给出了样本变异系数的渐近正态性，现在考虑总体变异系数的假设检验的模拟功效。分别在正态总体
[3] 谢锋，周飞跃．变异系数的假设检验[J]．工业技术经济，1999，18
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[4] 高洪忠．变异系数的区间估计[J]．数理统计与管理，2004，23（5）：
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[5] 王文森．变异系数—个衡量离散程度简单而有用的统计指标[J]．中国
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（4）：81-82． （下转
N μ, σ
(
2
)（μ=2）和伽马总体Γ(a , b )（b =3）中设定需
检验的假设分别为：H 0:θ=0. 6、H 1:θ>0. 6和H 0:θ=0. 5、H 1:θ>0. 5，显著性水平均设定为
0.05。我们首先对不同的θ
144页）
141
2010年第1期 铜仁学院学报
[1] 同济大学数学教研室．高等数学（上册）（第4版）[M]．北京：高等
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[3] 杨春林，张传芳．变上限积分的等价无穷小[J]．高等数学研究，2004
（11）．
[4] 肖岸纯．等价无穷小性质的理解、延拓及应用[J]．数理医药学杂志，
2007，20（5）．
11
−
x 4=1−1=−1 因此，原式=lim 4
x →04! 4⋅2! 12x 综上所述，我们看到等价无穷小的应用非常广泛，但还是要具体情况具体分析，同时结合洛必达法则，选择合理恰当的方法进行求解。
参考文献：
Application of the Equivalent Infinitesimal in Functional Limit
LI Qiang
( Department of Mathematics, Tongren University, Tongren, Guizhou 554300, China )
Abstract: Using the Equivalent Infinitesimal is a common, convenient and effective method to calculate limits. This paper centers
on the ratio between polynomials and infinitesimal, the limit of variable upper limit integral and the limit of power-exponent function, as well as Taylor Formula, adapting three kinds of limits and analyzing their application by using the thought of equivalent infinitesimal replacement so as to simplify the process of calculating the limit.
Key words: equivalent infinitesimal; function; limit; application
（责任编辑 王婷婷）
（上接141页）
The Statistical Inference of Variation Coefficient of Sample
and Its Applications
WU Mei
1, 2
GU Sai-sai
1
( 1. Mathematics Department, Southeast University, Nanjing, Jiangsu 210096, China;
2. Foundation Department, Nanjing College of Chemical Technology, Nanjing, Jiangsu 210048, China )
Abstract: Variation Coefficient is an important indicator to reflect the overall degree of dispersion. In this paper, we studied the
asymptotic distribution of variation coefficient of sample by the delta method, and further established confidence interval and test statistics, and gave the simulation coverage probability of confidence intervals and the simulation effectiveness of test by Monte Carlo method, and finally we analyzed a group of practical examination results by the method obtained from this paper. Key words: Coefficient of variation; delta method; interval estimation; hypothesis testing
（责任编辑 王婷婷）
144