大学自主招生数学知识补充
一、三角函数 1、半角公式
sin
α
2
=±
1-cos α
2
cos α=±1+cos α
2
2
tan
α
2
=±
1-cos α1+cos α
=
1-cos αsin α
=
sin α1+cos α
积化和差
sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α-β)] cos αsin β=12[sin (α+β)-sin (α-β
)] cos αcos β=
1
2[cos (α
+β)+cos (α-β
)] sin αsin β=-1
2
[cos (α+β)-cos (α-β
)]
2、和差化积
sin α+sin β=2sin α+β
β
2cos α-2 sin α-sin β=2cos α+β
sin
α-β22 cos α+cos β=2cos α+β
cos α-β
22 cos α-cos β=-2sin
α+βα-β2
sin
2
3、万能公式
sin 2α=
2tan α1-tan 2
α2tan α1+tan 2
α
cos 2α=
=
1-tan 2
α
三倍角公式
1+tan 2
tan 2αα
sin 3α=3sin α-4sin 3
α=4sin (60
-α)sin αsin (60
+α)
cos 3α=4cos 3
α-3cos α=4cos (60
-α)cos αcos (60
+α)
tan 3α=tan (60
-α)tan αtan (60
+α)
4、三角恒等式
（换成余弦也成立）
sin θ+sin(θ+2π3
) +sin(θ+4π
3
) =0
sin 2
θ+sin 2
(θ+
2π2
3
) +sin (θ+4π3) =32 sin
4
θ+sin 4(θ+
2π3
) +sin
4
(θ+
4π93
) =
8
5、正弦平方差公式
sin
2α-sin
2β=sin(α+β) sin(α-β)
cos 2
α-cos
2
β=cos(α+β) cos(α-β)
6、三角形中的结论(注意前提条件)
tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C cot A cot B +cot B cot C +cot C cot A =1
cot tan
A 2A 2
+cot tan
B 2
2
B 2
+cot
B 2
C 2
=cot C 2
A 2
cot C 2
2
B 2
cot A 2
2
C 2
+tan
2
tan +tan tan =1
A =2B ⇒a cot A =
=b (b +c )
2
2
b +c -a
4S
c o t B =
a +c -b
4S
2
c o t C =
b +a -c
4S
222
7、某些特殊角的三角函数值
二、数列
1给递推式求通项公式
(1)常见形式即一般求解方法 ①a n +1=pa n +q
若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列， 若p ≠1，则两边同时加上显然是以a 1+
q p -1
q p -1
⎛q ⎫
⎪=p a + n ⎪ p -1p -1⎭⎝q
，变为a n +1+
为首项，p 为公比的等比数列
②a n +1=pa n +f (n )，其中f(n)不是常数 若p=1，则显然a n =a1+∑f (i )，n ≥2
i =1n -1
若p ≠1，则两边同时除以p n+1，变形为
a n p
n
a n +1p
n +1
=
a n p
n
+
f (n )p
n +1
n -1
利用叠加法易得=
a 1p
n -1
+
∑
i =1
f (i )p
i +1
，从而a n =p
n -1
⎡
⎢a 1+⎣
∑
i =1
f (i )⎤
i ⎥p ⎦
(2)不动点法
当f(x)=x时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：a n +1=令x =
a ⋅x +b c ⋅x +d
a ⋅a n +b c ⋅a n +d
2
，即cx +(d -a )x -b =0，
令此方程的两个根为x 1，x 2， 若x 1=x2
则有
1a n +1-x 1
=
1a n -x 1
+p
其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 若x 1≠x 2则有
a n +1-x 1a n +1-x 2
=q ⋅
a n -x 1a n -x 2
其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 (3)特征根法
特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。 ①a n +2=pa n +1+qa n
特征方程为x 2=px+q，令其两根为x 1，x 2
则其通项公式为a n =A ⋅x 1+B ⋅x 2(x 1≠x 2) ，A 、B 用待定系数法求得。或
a n =（A +nB ) ⋅x 1(x 1=x 2)
n
n
n
②a n +3=pa n +2+qa n +1+ra n
特征方程为x 3=px2+qx+r，令其三根为x 1，x 2，x 3
则其通项公式为a n =A ⋅x 1+B ⋅x 2+C ⋅x 3，A 、B 、C 用待定系数法求得。 (4)数学归纳法
简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。 (5)联系三角函数
三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子
a n +1=
2a n 1-a
2n
n
n
n
看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。 三、不等式与最值 1平均不等式 设a i ∈R (i=1,2,…,n) 调和平均值：H n =
n
n
+
n
∑
i =1
1a i
几何平均值：G n =
∏a
i =1
i
n n
∑a
算术平均值：A n =
i =1
i
∑a
平方平均值：G n =
i =1
2i
n n
则有：H n ≤G n ≤A n ≤G n
等号成立当且仅当a 1=a 2= =a n 注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！ 2柯西不等式及其变形
设a i , b i ∈R (i=1,2,…,n) ，则
⎛n ⎫⎛n 2⎫⎛n 2⎫ ∑a i b i ⎪≤ ∑a i ⎪ ∑b i ⎪ ⎝i =1⎭⎝i =1⎭⎝i =1⎭
2
其中等号成立，当且仅当
a i b i
为定值
常用变形一：
若a i ∈R ，b i ∈R (i=1,2,…,n) ，则
+
n
∑
i =1
a i
2
b i
≥
⎛n ⎫ ∑a i ⎪⎝i =1⎭
n
2
∑b
i =1
i
注：要求b i 为正数 常用变形二：
若a i ，b i ∈R (i=1,2,…,n) ，则
n
+
∑
i =1
a i b i
≥
⎛n ⎫ ∑a i ⎪⎝i =1⎭
n
2
∑a b
i
i =1
i
注：要求a i ，b i 均为正数。当然，这两个式子虽常用，但是记不记并不太重要，只要将柯西
不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用。
3排序不等式（略）
4琴生不等式
（8）琴生不等式：
琴生（Jensen ）不等式：（注意前提、等号成立条件）
设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn )/n]=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn )]/n(上凸), 称为琴生不等式 若一个函数的二阶导数为负数，则该函数为上凸的；若二阶导数为正数，则该函数为下凸的
三、方程根的问题
1、零点存在定理（略）
2、三次方程的韦达定理：设三次方程为ax +bx +cx +d =0(a ≠0) 的三根为x 1, x 2, x 3则有：x 1+x 2+x 3=-
b a
, x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=
c a
, x 1x 2x 3=-
n
32
d a
n -1
3、整系数多项式的根：若既约分数根，则p a n ，q a 0 四、排列组合二项式定理 1. 常见组合恒等式:
q p
为整系数方程a n x +a n -1x + +a 1x +a 0=0的
q
kC
r
k n
=nC
r
k -1n -1
∑
k =0
r
r
r +1
5
2
4
C n
k
C
q -k m
=C m +n
1
2
r
n
n
q
C r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1. C n +C n +C n + +C n + +C n =2. C n +C n +C n + =C n +C n +C n + =2
1
3
n -1
.
n -1
C n +2C n +3C n + +nC n =n ⋅2
123n n -1
2、一次不定方程x 1+x 2+ x n =r 的正整数解得个数为：C r -1，非负整数解得个数为：
n -1
C n +r -1
3、错位排列个数：D n =n ！(1-
11
+
12
-
13
+ +(-1)
n
1n
)
五、立体几何
1、三面角公式：如图，平面M 、N 相交于直线l ，且两个平面的二面角为ϕ，A 、D 为l 上两点，射线DB 在平面M 内，射线DC 在平面N 内. 已知∠BDC =α，∠BDA =β，
∠CDA =γ，且α，β，γ 都是
锐角. 则有：cos ϕ=
π
2
cos α-cos βcos γ
sin βsin γ
特殊地，若ϕ=，则cos α=cos βcos γ，这就是著名的三余弦
公式。
2、四面体ABCD 中，AB,CD 的夹角为θ AB,CD 的距离为d ，则 （1）V =
16
AB . CDd sin θ
（2）cos θ=六、函数
(AC
2
+BD ) -(BC
2AB . CD
22
+AD )
2
1、f (x ) =(1+2、f (x ) =(1+七、极限
n
1x 1x
) (x >0) 是单调递增的函数，极限为e )
x +1
x
(x >0) 是单调递减的函数，极限为e
1、n →∞, a 的极限情况： （1）当a
（2）当a =1时，极限为1
（3）当a >1, a =-1时，极限不存在 2、(1+
1n
) 的极限为e ，2≤(1+
n
1n
)
n
3、无穷等比递缩数列的所有项的和为：S =
lim
a 1(1-q ) 1-q
n
=
a 11-q
n →∞
祝同学们梦想成真，考上理想的大学，加油
大学自主招生数学知识补充
一、三角函数 1、半角公式
sin
α
2
=±
1-cos α
2
cos α=±1+cos α
2
2
tan
α
2
=±
1-cos α1+cos α
=
1-cos αsin α
=
sin α1+cos α
积化和差
sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α-β)] cos αsin β=12[sin (α+β)-sin (α-β
)] cos αcos β=
1
2[cos (α
+β)+cos (α-β
)] sin αsin β=-1
2
[cos (α+β)-cos (α-β
)]
2、和差化积
sin α+sin β=2sin α+β
β
2cos α-2 sin α-sin β=2cos α+β
sin
α-β22 cos α+cos β=2cos α+β
cos α-β
22 cos α-cos β=-2sin
α+βα-β2
sin
2
3、万能公式
sin 2α=
2tan α1-tan 2
α2tan α1+tan 2
α
cos 2α=
=
1-tan 2
α
三倍角公式
1+tan 2
tan 2αα
sin 3α=3sin α-4sin 3
α=4sin (60
-α)sin αsin (60
+α)
cos 3α=4cos 3
α-3cos α=4cos (60
-α)cos αcos (60
+α)
tan 3α=tan (60
-α)tan αtan (60
+α)
4、三角恒等式
（换成余弦也成立）
sin θ+sin(θ+2π3
) +sin(θ+4π
3
) =0
sin 2
θ+sin 2
(θ+
2π2
3
) +sin (θ+4π3) =32 sin
4
θ+sin 4(θ+
2π3
) +sin
4
(θ+
4π93
) =
8
5、正弦平方差公式
sin
2α-sin
2β=sin(α+β) sin(α-β)
cos 2
α-cos
2
β=cos(α+β) cos(α-β)
6、三角形中的结论(注意前提条件)
tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C cot A cot B +cot B cot C +cot C cot A =1
cot tan
A 2A 2
+cot tan
B 2
2
B 2
+cot
B 2
C 2
=cot C 2
A 2
cot C 2
2
B 2
cot A 2
2
C 2
+tan
2
tan +tan tan =1
A =2B ⇒a cot A =
=b (b +c )
2
2
b +c -a
4S
c o t B =
a +c -b
4S
2
c o t C =
b +a -c
4S
222
7、某些特殊角的三角函数值
二、数列
1给递推式求通项公式
(1)常见形式即一般求解方法 ①a n +1=pa n +q
若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列， 若p ≠1，则两边同时加上显然是以a 1+
q p -1
q p -1
⎛q ⎫
⎪=p a + n ⎪ p -1p -1⎭⎝q
，变为a n +1+
为首项，p 为公比的等比数列
②a n +1=pa n +f (n )，其中f(n)不是常数 若p=1，则显然a n =a1+∑f (i )，n ≥2
i =1n -1
若p ≠1，则两边同时除以p n+1，变形为
a n p
n
a n +1p
n +1
=
a n p
n
+
f (n )p
n +1
n -1
利用叠加法易得=
a 1p
n -1
+
∑
i =1
f (i )p
i +1
，从而a n =p
n -1
⎡
⎢a 1+⎣
∑
i =1
f (i )⎤
i ⎥p ⎦
(2)不动点法
当f(x)=x时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：a n +1=令x =
a ⋅x +b c ⋅x +d
a ⋅a n +b c ⋅a n +d
2
，即cx +(d -a )x -b =0，
令此方程的两个根为x 1，x 2， 若x 1=x2
则有
1a n +1-x 1
=
1a n -x 1
+p
其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 若x 1≠x 2则有
a n +1-x 1a n +1-x 2
=q ⋅
a n -x 1a n -x 2
其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 (3)特征根法
特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。 ①a n +2=pa n +1+qa n
特征方程为x 2=px+q，令其两根为x 1，x 2
则其通项公式为a n =A ⋅x 1+B ⋅x 2(x 1≠x 2) ，A 、B 用待定系数法求得。或
a n =（A +nB ) ⋅x 1(x 1=x 2)
n
n
n
②a n +3=pa n +2+qa n +1+ra n
特征方程为x 3=px2+qx+r，令其三根为x 1，x 2，x 3
则其通项公式为a n =A ⋅x 1+B ⋅x 2+C ⋅x 3，A 、B 、C 用待定系数法求得。 (4)数学归纳法
简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。 (5)联系三角函数
三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子
a n +1=
2a n 1-a
2n
n
n
n
看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。 三、不等式与最值 1平均不等式 设a i ∈R (i=1,2,…,n) 调和平均值：H n =
n
n
+
n
∑
i =1
1a i
几何平均值：G n =
∏a
i =1
i
n n
∑a
算术平均值：A n =
i =1
i
∑a
平方平均值：G n =
i =1
2i
n n
则有：H n ≤G n ≤A n ≤G n
等号成立当且仅当a 1=a 2= =a n 注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！ 2柯西不等式及其变形
设a i , b i ∈R (i=1,2,…,n) ，则
⎛n ⎫⎛n 2⎫⎛n 2⎫ ∑a i b i ⎪≤ ∑a i ⎪ ∑b i ⎪ ⎝i =1⎭⎝i =1⎭⎝i =1⎭
2
其中等号成立，当且仅当
a i b i
为定值
常用变形一：
若a i ∈R ，b i ∈R (i=1,2,…,n) ，则
+
n
∑
i =1
a i
2
b i
≥
⎛n ⎫ ∑a i ⎪⎝i =1⎭
n
2
∑b
i =1
i
注：要求b i 为正数 常用变形二：
若a i ，b i ∈R (i=1,2,…,n) ，则
n
+
∑
i =1
a i b i
≥
⎛n ⎫ ∑a i ⎪⎝i =1⎭
n
2
∑a b
i
i =1
i
注：要求a i ，b i 均为正数。当然，这两个式子虽常用，但是记不记并不太重要，只要将柯西
不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用。
3排序不等式（略）
4琴生不等式
（8）琴生不等式：
琴生（Jensen ）不等式：（注意前提、等号成立条件）
设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn )/n]=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn )]/n(上凸), 称为琴生不等式 若一个函数的二阶导数为负数，则该函数为上凸的；若二阶导数为正数，则该函数为下凸的
三、方程根的问题
1、零点存在定理（略）
2、三次方程的韦达定理：设三次方程为ax +bx +cx +d =0(a ≠0) 的三根为x 1, x 2, x 3则有：x 1+x 2+x 3=-
b a
, x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=
c a
, x 1x 2x 3=-
n
32
d a
n -1
3、整系数多项式的根：若既约分数根，则p a n ，q a 0 四、排列组合二项式定理 1. 常见组合恒等式:
q p
为整系数方程a n x +a n -1x + +a 1x +a 0=0的
q
kC
r
k n
=nC
r
k -1n -1
∑
k =0
r
r
r +1
5
2
4
C n
k
C
q -k m
=C m +n
1
2
r
n
n
q
C r +C r +1+C r +2+ +C n =C n +1. C n +C n +C n + +C n + +C n =2. C n +C n +C n + =C n +C n +C n + =2
1
3
n -1
.
n -1
C n +2C n +3C n + +nC n =n ⋅2
123n n -1
2、一次不定方程x 1+x 2+ x n =r 的正整数解得个数为：C r -1，非负整数解得个数为：
n -1
C n +r -1
3、错位排列个数：D n =n ！(1-
11
+
12
-
13
+ +(-1)
n
1n
)
五、立体几何
1、三面角公式：如图，平面M 、N 相交于直线l ，且两个平面的二面角为ϕ，A 、D 为l 上两点，射线DB 在平面M 内，射线DC 在平面N 内. 已知∠BDC =α，∠BDA =β，
∠CDA =γ，且α，β，γ 都是
锐角. 则有：cos ϕ=
π
2
cos α-cos βcos γ
sin βsin γ
特殊地，若ϕ=，则cos α=cos βcos γ，这就是著名的三余弦
公式。
2、四面体ABCD 中，AB,CD 的夹角为θ AB,CD 的距离为d ，则 （1）V =
16
AB . CDd sin θ
（2）cos θ=六、函数
(AC
2
+BD ) -(BC
2AB . CD
22
+AD )
2
1、f (x ) =(1+2、f (x ) =(1+七、极限
n
1x 1x
) (x >0) 是单调递增的函数，极限为e )
x +1
x
(x >0) 是单调递减的函数，极限为e
1、n →∞, a 的极限情况： （1）当a
（2）当a =1时，极限为1
（3）当a >1, a =-1时，极限不存在 2、(1+
1n
) 的极限为e ，2≤(1+
n
1n
)
n
3、无穷等比递缩数列的所有项的和为：S =
lim
a 1(1-q ) 1-q
n
=
a 11-q
n →∞
祝同学们梦想成真，考上理想的大学，加油