关于量纲分析法及其应用的探讨
顾诚甦
（南通农业职业技术学院
摘
江苏南通２２６００７）
量纲分析是研究物理问题的重要方法之一。本文在研究有关量纲分析的基本理论问题上，结合实例对量纲分析在物理公要：
式检查，方程正确性判断及物理规律推知等方面进行了应用性研究，提出了量纲分析的简单应用和复杂应用，指出了应用的普遍性，简单性及不完全性。量纲量纲分析应用关键词：
中图分类号：Ｇ６４２１
文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－１５７８（２００８）１－００６９－０２
因为Πｊ＝Ｐ１
α１
－α１
引言
物理量的量纲（ｄｉｍｅｎｓｉｏｏｆｑｕａｎｔｉｔｙ）是用于表示一个物理量怎样由基本量（包括这些量的幂次）组合的式子，是指该物理量单位的性质或种类，而不表示该量的大小，它包括基本量纲和导出量纲两类。基本量纲是代表基本物理概念的量纲，它不涉及其它量就能直接说明某物理量，导出量纲是由基本量纲组成，是由基本量纲通过各种自然规律导出的。物理量Ｑ的量纲记为ｄｉｍＱ，任何一个导出量Ｑ的量纲ｄｉｍＱ均可用基本量纲的幂次积表示：
ｄｉｍＱ＝Ｌ
α１
Ｐ２
－α２
…ＰｍΠｊ
－αｍｊ
Ｐｍ＋ｊ
（５）
所以物理量可表示为Ｐｍ＋ｊ＝Ｐ１Ｐ２…Ｐｍ
α２
αｍｊ
（６）
则
α２ｊ因此通过（６）式可知，只要了解各物理量的幂次α１ｊ，…αｍｊ就可以确定物理量的基本结构。而无量纲数Πｊ可由其他知识而获得，从而物理量Ｐｍ＋ｊ就可以确定下来。
当ｎ＝ｍ时，有两种情况：
（１）若物理量Ｐ１，Ｐ２，…Ｐｎ的量纲彼此相互独立，则不能有它们组成无量纲的量；
（２）如果物理量Ｐ１，Ｐ２，…Ｐｎ彼此不互相独立，则它们可以组成无量纲的量。３量纲分析的应用举例３．１检查物理方程的正确性
量纲比起单位来更基本，它是检查方程是否正确的基本手段．依据量纲和谐原理只有量纲相同的量才能相加减或用等号相联接．较复杂的方程，常包括若干项，每一项必然具有相同的量纲，因此校核各项的量纲，就可以协助判别等式是否正确。
３．２检验答案的正确性
根据量纲齐次定理分析物理方程计算后的量纲是否有误可作为判断结论正确性的依据。
例１：解题得到下列结果，试用量纲检查法判断该结果是“一定错误”，还是“可能正确”？
２
（１）Ｆ＝４Ｐｖ（其中Ｆ———力，Ｐ———密度，ｖ———速度）
－２２４Ｐｖ２
＝［Ｐ］［ｖ］分析：因为［Ｆ］＝［ｍ］［α］＝ＭＬＴ而
Ｍ
α２
Ｔ
α３
Ｉ
α４
Θ
α５
Ｎ
α６
Ｊ
α７
（１）
Ｎ、Ｊ，分别为长度、质量、时间、电流、其中Ｌ、Ｍ、Ｔ、Ｉ、Θ、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲。量纲分析是研究较
为复杂的自然现象中各物理量之间的关系及内在规律性的有效工具，也是相似理论的理论基础。量纲分析的理论基础是齐次定理和定理，应用量纲分析方法往往可以使寻找物理量间关系或规律的过程变得简单、方便，也常常用于单位换算、方程或等式检查等，因此在物理理论分析和实验中应着力推广。２量纲分析基础
２．１量纲分析的齐次定理
内容：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。
推论１：必须是具备相同量纲的物理量，才可以相加减。推论２：量纲为１的数Ａ，其量纲指数均为零。推论３：三角函数、指数函数、对数函数的宗量的量纲必为１。
推论４：每个物理量与它的单位必具相同的量纲。２．２量纲分析的定理
Π定理是Ｂｕｃｋｉｎｇｈａｍ在１９１４年提出的。该定理的基
本内容是：如果某物理问题涉及ｎ个物理量Ｐ１，Ｐ２，…Ｐｎ，而我们所选的单位制中有ｍ个基本量（ｎ＞ｍ），则由此可组成ｎ－ｍ
在物理量Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ，之个无量纲的量Π１，Π２，…，Πｎ－ｍ，，间存在的函数关系式
ｆ（Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ）＝０
其可表达成相应的无量纲形式Ｆ（Π１，Π２，…，Πｎ－ｍ）＝０
（２）（３）
１
"
＝ＭＬＬＴ＝ＭＬＴ≠［Ｆ］
所以原式错误。（２）ε＝１ＢωＬ２（Ｌ２＋Ｌ１）（其中ε———感生电动势，Ｂ———
磁感应强度，ω———角速度，Ｌ１，Ｌ２———长度）
分析：由物理公式ｖ＝ωＬ，ε＝ＢｖＬｓｉｎθ，可得
］＝［Ｂ］［ｖ］［Ｌ］［ＢωＬ２（Ｌ２＋Ｌ１）
所以原式可能正确。
３．３估计常数的数量级
量纲分析可以用来估算一些重要常数的数量级。这类问题的关键是通过定性分析，找出与问题相关的物理量及一些重要的常数，并熟悉这些常数与相关物理量的联系方式，再由量纲分析给出其构造式，进而进行估算。
例２：算氢原子大小的数量级。解：（１）影响氢原子大小的因素
－３２－２－１－２
Π定理反映出ｎ个物理量中某一个物理量与其他物理
量之间存在的关系，比如想了解物理量Ｐｍ＋ｊ，则可由（３）式中解出
Πｊ＝φ（Π１，Π２，…，Πｎ－ｍ）
（４）
不考虑原子核的运动，描述原子的基本常数有电子的静止质量ｍ，元电荷ｅ，普朗克常数ｈ，还有描述电子饶核运动的基本常数１，另外，是不是求解电荷量的问题中，
０
２
１与ｅ是以ｅ方式联系在一起的，这样根据库仑００３－２定律就容易得出ｅ的量纲为ＭＬＴ。
０
２２
理量，即ｎ＝４。由于ｎ＝ｍ，根据Π定理知，这４个物理量可以组成无量纲的量，故ｆ与ｑ，ｖ，Ｂ之间的关系可表示为：
ｆ＝ｑｖＢΠ（９）
式中Π为一无量纲量。（９）式对应的量纲表达式为：［ｆ］＝［ＴＩ］［ＬＴ］［ＭＴＩ］
＝［Ｍ］［Ｌ］［Ｔ］
α
β
α－β－２γ
α
－１
β
－２
－１
γα－γ
１
α
β
γ
［Ｉ］
１
（１０）
－２
０
（２）量纲分析用
ｅ、ｍ、ｈ组成一个新的物理量
０
２２
αβγ
α￣（ｅ）ｍｈ（７）
０
将它们的量纲代入，得到（７）式的量纲为［ＭＬＴ］Ｍβ［ＭＬＴ］＝Ｍα＋β＋γＬ３α＋２γＴ－２α－γ如果α、β、γ满足下列三式
α＋β＋γ＝０３α＋２γ＝１（８）２α＋γ＝０
则（７）式具有长度的量纲Ｌ，由（８）式可解得α＝－１，
!###"###$
３－２α２－１
β＝－１，γ＝２，于是得到长度为α￣
４πε０ｈｍｅ
２
（３）将几个常数代入得到α￣０．５３×１０
－１０
ｍ，此值正是氢
－１０
原子的玻尔半径，故氢原子大小的数量级为１０ｍ。３．４推知某些物理规律
当我们对所设问题有一定了解，就可在实验和经验的基础上利用量纲分析来确定问题中各物理量之间的关系，推知物理规律。虽然不是每一个问题都能得到完全的定量结果，但往往与它只差一个无量纲的未知函数或未知系数，因此说量纲分析法是一种十分有用的半定量分析方法。
例３：用量纲分析法找出洛伦兹力的具体形式。
解：磁场对运动电荷的作用力亦称为洛伦兹力。此问题中涉及的物理量有磁场对运动电荷的作用力（ｆ）、运动电荷的电量（ｑ）、运动电荷的速度（ｖ）以及磁感应强度（Ｂ）四个物
而力ｆ的量纲式为［ｆ］＝［Ｍ］［Ｌ］［Ｔ］［Ｉ］（１１）
由量纲分析理论知，方程或等式各项及表达式两边的量纲必须保持完全一致，所以由（１０），（１１）式可得：
!
α＝１####β＝１#"（１２）#
α－β－２γ＝－２####
α－γ＝０$解（１２）式可知α＝β＝γ＝１（１３）由（９），（１３）式得ｆ＝ｑｖＢΠ实际中Π＝ｓｉｎθ，所以有ｆ＝ｑｖＢｓｉｎθ，此结果与洛伦兹力的具体形式完全符合。４结语
一个物理现象或过程往往涉及多个物理参量，量纲分析可以简单应用于定性地表示出物理量与基本量之间的关系，有效的用于检查物理公式，方程的正确与否，其复杂应用主要是从一个问题中各物理量的量纲及其之间的关系，推导出必须加于这些物理量的某些限制，这是量纲分析的主要作用。这种方法既普遍又简单，但不能给出完全确定的解，它还须借实验等方法来确定常数，有些问题用它来解决也并不一定简单，所以它不是万能的。参考文献
［１］中华人民共和国国家标准：ＧＢ３１０１—９３．国际单位制及其应用［Ｓ］．［２］赵凯华，罗蕴茵．新概念物理教程：力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［３］赵凯华，陈熙谋．电磁学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８６．
［４］赵凯华．定性与半定量物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９４．
（上接５５页）
地面对大学、人生和社会。“教师有激情，学生才有回应”，和谐、愉快的教学气氛更有利于知识的理解和巩固。此外，注意“以师导生，言传身教”。教师本身就是学生的一本好教材。３通过课外教学，进一步增强“基础”课教学的实效性
全国德育教学中普遍存在“５＋２＝０”的怪圈现象，即五天正规的学校的教育（立德、做人）加上两天的社会教育（网络、媒体等）后的教育效果等于或小于零。这种现象说明德育在课外实践方面的缺失。因此，应建立健全“基础”课的课外辅助教学，强化教学的实际应用效果是广大高校德育教育工作者的教学重点。鉴于全国各高校普遍存在德育教师较少的问题，可以通过以下几种方式强化并扩大课外的辅助教学：第一，应用网络平台。针对学生的思想困惑和心理困扰及时给予解决，其他登陆的同学也可以据此作为参照指导自己走出误区，提高抗干扰能力。第二，知识推荐，辅以各种报告会、跨年级跨学院学习方法交流等方式。报告会主题可以通过课堂上收集到的学生具体问题有针对性的开展。第三，鼓励学生走入社会，加强理论与实践的联系，能够真正做到“学以致用”。如大学生义务帮教、扶贫社团、摄影协会等活动的开展能够更好地帮助大学生体现自身的价值，理解“八荣八耻”以及养成勤俭节约的好习惯等。第四，可以将“基础”课教学与党团活动和先进人物事迹报告会相结合，号召学生党员和非学生党员向党和群众中的先进人物学习。如可以组织全校分各个学院的新生观看《巨粉娥》《郭秀明》等纪录片，过后分小组讨论、课堂发言或交观后感等。参考文献
［１］刘书林．《思想道德修养与法律基础》教师参考用书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６年：３－４［２］罗国杰．《思想道德修养与法律基础》教材编写的有关问题［Ｊ］．思想理论导刊，２００６．增刊：１７
［３］邓小平文选，第３卷［Ｍ］．北京：人民出版社，１９９３［４］姚本先：心理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５．３．
关于量纲分析法及其应用的探讨
顾诚甦
（南通农业职业技术学院
摘
江苏南通２２６００７）
量纲分析是研究物理问题的重要方法之一。本文在研究有关量纲分析的基本理论问题上，结合实例对量纲分析在物理公要：
式检查，方程正确性判断及物理规律推知等方面进行了应用性研究，提出了量纲分析的简单应用和复杂应用，指出了应用的普遍性，简单性及不完全性。量纲量纲分析应用关键词：
中图分类号：Ｇ６４２１
文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－１５７８（２００８）１－００６９－０２
因为Πｊ＝Ｐ１
α１
－α１
引言
物理量的量纲（ｄｉｍｅｎｓｉｏｏｆｑｕａｎｔｉｔｙ）是用于表示一个物理量怎样由基本量（包括这些量的幂次）组合的式子，是指该物理量单位的性质或种类，而不表示该量的大小，它包括基本量纲和导出量纲两类。基本量纲是代表基本物理概念的量纲，它不涉及其它量就能直接说明某物理量，导出量纲是由基本量纲组成，是由基本量纲通过各种自然规律导出的。物理量Ｑ的量纲记为ｄｉｍＱ，任何一个导出量Ｑ的量纲ｄｉｍＱ均可用基本量纲的幂次积表示：
ｄｉｍＱ＝Ｌ
α１
Ｐ２
－α２
…ＰｍΠｊ
－αｍｊ
Ｐｍ＋ｊ
（５）
所以物理量可表示为Ｐｍ＋ｊ＝Ｐ１Ｐ２…Ｐｍ
α２
αｍｊ
（６）
则
α２ｊ因此通过（６）式可知，只要了解各物理量的幂次α１ｊ，…αｍｊ就可以确定物理量的基本结构。而无量纲数Πｊ可由其他知识而获得，从而物理量Ｐｍ＋ｊ就可以确定下来。
当ｎ＝ｍ时，有两种情况：
（１）若物理量Ｐ１，Ｐ２，…Ｐｎ的量纲彼此相互独立，则不能有它们组成无量纲的量；
（２）如果物理量Ｐ１，Ｐ２，…Ｐｎ彼此不互相独立，则它们可以组成无量纲的量。３量纲分析的应用举例３．１检查物理方程的正确性
量纲比起单位来更基本，它是检查方程是否正确的基本手段．依据量纲和谐原理只有量纲相同的量才能相加减或用等号相联接．较复杂的方程，常包括若干项，每一项必然具有相同的量纲，因此校核各项的量纲，就可以协助判别等式是否正确。
３．２检验答案的正确性
根据量纲齐次定理分析物理方程计算后的量纲是否有误可作为判断结论正确性的依据。
例１：解题得到下列结果，试用量纲检查法判断该结果是“一定错误”，还是“可能正确”？
２
（１）Ｆ＝４Ｐｖ（其中Ｆ———力，Ｐ———密度，ｖ———速度）
－２２４Ｐｖ２
＝［Ｐ］［ｖ］分析：因为［Ｆ］＝［ｍ］［α］＝ＭＬＴ而
Ｍ
α２
Ｔ
α３
Ｉ
α４
Θ
α５
Ｎ
α６
Ｊ
α７
（１）
Ｎ、Ｊ，分别为长度、质量、时间、电流、其中Ｌ、Ｍ、Ｔ、Ｉ、Θ、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲。量纲分析是研究较
为复杂的自然现象中各物理量之间的关系及内在规律性的有效工具，也是相似理论的理论基础。量纲分析的理论基础是齐次定理和定理，应用量纲分析方法往往可以使寻找物理量间关系或规律的过程变得简单、方便，也常常用于单位换算、方程或等式检查等，因此在物理理论分析和实验中应着力推广。２量纲分析基础
２．１量纲分析的齐次定理
内容：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。
推论１：必须是具备相同量纲的物理量，才可以相加减。推论２：量纲为１的数Ａ，其量纲指数均为零。推论３：三角函数、指数函数、对数函数的宗量的量纲必为１。
推论４：每个物理量与它的单位必具相同的量纲。２．２量纲分析的定理
Π定理是Ｂｕｃｋｉｎｇｈａｍ在１９１４年提出的。该定理的基
本内容是：如果某物理问题涉及ｎ个物理量Ｐ１，Ｐ２，…Ｐｎ，而我们所选的单位制中有ｍ个基本量（ｎ＞ｍ），则由此可组成ｎ－ｍ
在物理量Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ，之个无量纲的量Π１，Π２，…，Πｎ－ｍ，，间存在的函数关系式
ｆ（Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ）＝０
其可表达成相应的无量纲形式Ｆ（Π１，Π２，…，Πｎ－ｍ）＝０
（２）（３）
１
"
＝ＭＬＬＴ＝ＭＬＴ≠［Ｆ］
所以原式错误。（２）ε＝１ＢωＬ２（Ｌ２＋Ｌ１）（其中ε———感生电动势，Ｂ———
磁感应强度，ω———角速度，Ｌ１，Ｌ２———长度）
分析：由物理公式ｖ＝ωＬ，ε＝ＢｖＬｓｉｎθ，可得
］＝［Ｂ］［ｖ］［Ｌ］［ＢωＬ２（Ｌ２＋Ｌ１）
所以原式可能正确。
３．３估计常数的数量级
量纲分析可以用来估算一些重要常数的数量级。这类问题的关键是通过定性分析，找出与问题相关的物理量及一些重要的常数，并熟悉这些常数与相关物理量的联系方式，再由量纲分析给出其构造式，进而进行估算。
例２：算氢原子大小的数量级。解：（１）影响氢原子大小的因素
－３２－２－１－２
Π定理反映出ｎ个物理量中某一个物理量与其他物理
量之间存在的关系，比如想了解物理量Ｐｍ＋ｊ，则可由（３）式中解出
Πｊ＝φ（Π１，Π２，…，Πｎ－ｍ）
（４）
不考虑原子核的运动，描述原子的基本常数有电子的静止质量ｍ，元电荷ｅ，普朗克常数ｈ，还有描述电子饶核运动的基本常数１，另外，是不是求解电荷量的问题中，
０
２
１与ｅ是以ｅ方式联系在一起的，这样根据库仑００３－２定律就容易得出ｅ的量纲为ＭＬＴ。
０
２２
理量，即ｎ＝４。由于ｎ＝ｍ，根据Π定理知，这４个物理量可以组成无量纲的量，故ｆ与ｑ，ｖ，Ｂ之间的关系可表示为：
ｆ＝ｑｖＢΠ（９）
式中Π为一无量纲量。（９）式对应的量纲表达式为：［ｆ］＝［ＴＩ］［ＬＴ］［ＭＴＩ］
＝［Ｍ］［Ｌ］［Ｔ］
α
β
α－β－２γ
α
－１
β
－２
－１
γα－γ
１
α
β
γ
［Ｉ］
１
（１０）
－２
０
（２）量纲分析用
ｅ、ｍ、ｈ组成一个新的物理量
０
２２
αβγ
α￣（ｅ）ｍｈ（７）
０
将它们的量纲代入，得到（７）式的量纲为［ＭＬＴ］Ｍβ［ＭＬＴ］＝Ｍα＋β＋γＬ３α＋２γＴ－２α－γ如果α、β、γ满足下列三式
α＋β＋γ＝０３α＋２γ＝１（８）２α＋γ＝０
则（７）式具有长度的量纲Ｌ，由（８）式可解得α＝－１，
!###"###$
３－２α２－１
β＝－１，γ＝２，于是得到长度为α￣
４πε０ｈｍｅ
２
（３）将几个常数代入得到α￣０．５３×１０
－１０
ｍ，此值正是氢
－１０
原子的玻尔半径，故氢原子大小的数量级为１０ｍ。３．４推知某些物理规律
当我们对所设问题有一定了解，就可在实验和经验的基础上利用量纲分析来确定问题中各物理量之间的关系，推知物理规律。虽然不是每一个问题都能得到完全的定量结果，但往往与它只差一个无量纲的未知函数或未知系数，因此说量纲分析法是一种十分有用的半定量分析方法。
例３：用量纲分析法找出洛伦兹力的具体形式。
解：磁场对运动电荷的作用力亦称为洛伦兹力。此问题中涉及的物理量有磁场对运动电荷的作用力（ｆ）、运动电荷的电量（ｑ）、运动电荷的速度（ｖ）以及磁感应强度（Ｂ）四个物
而力ｆ的量纲式为［ｆ］＝［Ｍ］［Ｌ］［Ｔ］［Ｉ］（１１）
由量纲分析理论知，方程或等式各项及表达式两边的量纲必须保持完全一致，所以由（１０），（１１）式可得：
!
α＝１####β＝１#"（１２）#
α－β－２γ＝－２####
α－γ＝０$解（１２）式可知α＝β＝γ＝１（１３）由（９），（１３）式得ｆ＝ｑｖＢΠ实际中Π＝ｓｉｎθ，所以有ｆ＝ｑｖＢｓｉｎθ，此结果与洛伦兹力的具体形式完全符合。４结语
一个物理现象或过程往往涉及多个物理参量，量纲分析可以简单应用于定性地表示出物理量与基本量之间的关系，有效的用于检查物理公式，方程的正确与否，其复杂应用主要是从一个问题中各物理量的量纲及其之间的关系，推导出必须加于这些物理量的某些限制，这是量纲分析的主要作用。这种方法既普遍又简单，但不能给出完全确定的解，它还须借实验等方法来确定常数，有些问题用它来解决也并不一定简单，所以它不是万能的。参考文献
［１］中华人民共和国国家标准：ＧＢ３１０１—９３．国际单位制及其应用［Ｓ］．［２］赵凯华，罗蕴茵．新概念物理教程：力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［３］赵凯华，陈熙谋．电磁学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８６．
［４］赵凯华．定性与半定量物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９４．
（上接５５页）
地面对大学、人生和社会。“教师有激情，学生才有回应”，和谐、愉快的教学气氛更有利于知识的理解和巩固。此外，注意“以师导生，言传身教”。教师本身就是学生的一本好教材。３通过课外教学，进一步增强“基础”课教学的实效性
全国德育教学中普遍存在“５＋２＝０”的怪圈现象，即五天正规的学校的教育（立德、做人）加上两天的社会教育（网络、媒体等）后的教育效果等于或小于零。这种现象说明德育在课外实践方面的缺失。因此，应建立健全“基础”课的课外辅助教学，强化教学的实际应用效果是广大高校德育教育工作者的教学重点。鉴于全国各高校普遍存在德育教师较少的问题，可以通过以下几种方式强化并扩大课外的辅助教学：第一，应用网络平台。针对学生的思想困惑和心理困扰及时给予解决，其他登陆的同学也可以据此作为参照指导自己走出误区，提高抗干扰能力。第二，知识推荐，辅以各种报告会、跨年级跨学院学习方法交流等方式。报告会主题可以通过课堂上收集到的学生具体问题有针对性的开展。第三，鼓励学生走入社会，加强理论与实践的联系，能够真正做到“学以致用”。如大学生义务帮教、扶贫社团、摄影协会等活动的开展能够更好地帮助大学生体现自身的价值，理解“八荣八耻”以及养成勤俭节约的好习惯等。第四，可以将“基础”课教学与党团活动和先进人物事迹报告会相结合，号召学生党员和非学生党员向党和群众中的先进人物学习。如可以组织全校分各个学院的新生观看《巨粉娥》《郭秀明》等纪录片，过后分小组讨论、课堂发言或交观后感等。参考文献
［１］刘书林．《思想道德修养与法律基础》教师参考用书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６年：３－４［２］罗国杰．《思想道德修养与法律基础》教材编写的有关问题［Ｊ］．思想理论导刊，２００６．增刊：１７
［３］邓小平文选，第３卷［Ｍ］．北京：人民出版社，１９９３［４］姚本先：心理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５．３．