第一章 有理数
初中学习的负数是不是比小学负数多了实际生活中表示与运用的功能？
1.1 正数和负数
数的产生和发展离不开生活和生产的需要：
由记数、排序，产生数1、2、3……
由表示“没有”“空位”，产生数0
由分物、测量，产生分数1/2，1/3…
大于0的数叫做正数
在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数
(有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”(正)号)
0既不是正数，也不是负数
如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们。
中国古代用算筹(表示数的工具)进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。 算筹的历史：
根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。
算筹计数法：
在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循一百进位制。据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。《夏阳侯算经》说：满六以上，五在上方.六不积算，五不单张。
筹算的摆法：
那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。其一是
数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是
筹算规则：
按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式等等（到搜狗可以查）这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。
0是正数与负数的分界，0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度。因此，0的意义已不仅表示没有。
开课:让学生回顾上学期学过的知识，然后查漏补缺，知识更新
有理数的分类→0是不是表示没有？
1.2 有理数
1.2.1 有理数
正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
1.2.2 数轴
在研究实际生活中具有相反意义的量(如“东”与“西”，“左”与“右”等，可以用整数和负数进行研究。在一条直线上取一个点O为基准点，用0表示它，再用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点。这样我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点。
在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
(1)在直线上任取一个点表示0,这个点叫做原点；
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或右)为负方向；
(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1、2、3……；从原点向左，用类似方法依次表示-1、-2、-3……
0是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”。
1.2.3 相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数是0。这里a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
1.2.4 绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 有理数比较大小：一般地，
（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
通过数轴模拟运动过程，再列式探索出规律：
（1）符号相同的两个数相加，结果的符号不变，绝对值相加。
（2）符号相反的两个数相加，结果的符号与绝对值较大的加数的符号相同，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
先定符号，再算绝对值。
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)
运用加法交换律和结合律可以使运算简化。
1.3.2 有理数的减法
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)
有理数加减混合运算归纳：
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。a+b-c=a+b+(-c)
探究结论：在数轴上，点A,B表示数a,b，利用有理数减法，A、B之间的距离为|a-b|。 阅读与思考：中国人最先使用负数
中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法。
史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并用到生产和生活中。例如，在古代商业活动中，以收入为正，支出为负；以盈余为正，亏欠为负。在古代农业活动中，以增产为正，减产为负，中国人使用负数在世界上是首创。
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
还原到乘法的运算本质从正数乘正数探索正数乘负数和负数乘正数的规律：正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也是负数。积的绝对值等于各乘数绝对值之积。
再利用上述规律，探索负数乘负数的规律：负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积。
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0。
也就是：有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值。
一般地，在有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。（从运算练习和倒数的概念引入)
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
通过个别运算验证乘法交换律、乘法结合律。
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=a(bc) a×b也可以写为a•b或ab。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 a(b+c)=ab+ac
1.4.2 有理数的除法
由个别运算和小学除法的联系，对于有理数除法，我们有如下法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数， aba1(b0) b
从有理数除法法则，容易得出：两个相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除于任何一个不等于0的数，都得0。（这是有理数除法法则的另一种说法）
因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学的混合运算一样，按照“先乘除、后加减”的顺序进行。
计算器有理数加减乘除的混合运算的键入，不同品牌的计算器的操作方法可能不同，具体参见计算器的使用方法。
97（-1）（-1）1 故任意奇数张牌观察与猜想 翻牌游戏中的数学道理 11 1
都不可以随意翻动任意两张使其全部反面朝上。
1.5 有理数的乘法
1.5.1 乘方
n一般地，n个相同的因数a相乘，即a，记作，读作“a的n次方”。 aaa
n
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。
nn-aa,n为奇数nn-aa,n为偶数a0
因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算，结合个别运算和有理数的乘法法则思考规律，得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
显然，正数的任何次幂是都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
计算器负数的乘方的键入。
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1、先乘方，再乘除，最后加减；
2、同级运算，从左到右进行；
3、如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2 科学计数法
一般地，10的n次幂等于10…0（1的后面有n个0），所以可以用10的乘方表示一些大数，这样可以使书写简短，同时还便于读数。
把一个大于10的数表示成a10的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。
补充科学计数法的定义：科学计数法是一种数学专用术语。把一个大于10的数表示成na10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种计数方法叫做科学计数法。
思考运算式子得，等号左边正数的位数与右边10的指数的关系，得出用科学计数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。
1.5.3 近似数
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，就可以使用近似数。
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。
1.8和1.80精确度不同，故表示近似数时，不能简单地把1.80后面的0去掉。
数学活动
活动一：帮助家庭记录一个月（或一周）的生活收支账目→不太能实施
活动二：熟悉你所用的计算器有关有理数混合运算的功能和操作方法，考虑怎样使用计算器最为简便，实习这样的操作，并与同学进行交流。
活动三：收集现实生活中你认为非常大的数据的实例，体会科学计数法和近似数等在实际中的运用。
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们在小学学习的基础上，进一步认识了负数，使数的范围扩充到有理数。引入负数不仅可以表示具有相反意义的量，而且还扩展了减法运算的范围。由此，类似于x+2=1的方程就可以解了。
我们知道，有理数是整数与分数的统称。由于整数可以看成是分母为1的分数，因此有理数可以写成p/q（p,q是整数，q≠0）的形式；另一方面，形如p/q（p,q是整数，q≠0）的数都是有理数。所以，有理数可用p/q（p,q是整数，q≠0）的表示。
本章我们研究了有理数的加、减、乘、除和乘方运算。实际上。与负数有关的运算。我们都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算。数轴不仅能直观表示数，而且还能帮助我们理解数的运算。在运算的过程中，数形结合、转化是很重要的思想方法。
我们从具体的加法和乘法中，归纳出了交换律、结合律和分配律等运算律。运算律不仅能给数的运算带来方便，而且还是今后研究代数问题(如解方程、不等式等)的基础。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.你能举出一些实例，说明正数、负数在表示相反意义的量时的作用吗？
2.你能用一个图表示有理数的分类吗？引入负数后，减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了？
3.怎样用数轴表示有理数？数轴与普通直线有什么不同？怎样利用数轴解释一下数的绝对值和相反数？
4.有理数的加法与减法、乘法与除法各有什么关系？有理数的混合运算都能转化为加法与乘法运算吗？
5.有理数有哪些运算律？结合例子说明运算律在有理数运算中的作用。
第二章 整式的加减
2.1 整式
表示成数与字母乘积的式子叫做单向式。单独的一个数或一个字母也是单向式。单向式中的数字因数叫做这个单向式的系数。一个单向式中，所有字母的指数的和叫做这个单向式的次数。
用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义。
几个单向式的和叫做多项式。其中，每个单向式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单向式与多项式统称整式。
阅读与思考：数字1与字母X的对话
数字的优点：是数学学科的源头；由数字组成的式子有确切的大小；解决实际问题需要具体数字进行计算；数是人们经过长期实践创造出来的，并建立了专门研究数及其运算的学科——算术;算术有着非常悠久的历史，是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的。
字母的特点:可以表示各种各样的数;含有字母的式子进行运算和推理时具有一般性;解决实际问题时，字母可以表示未知数列入算式（方程），能更方便地表示数量关系，数和字母一起运算会使问题的解法更简单；随着实践的发展与需求，字母促进产生了代数学科，它研究的是字母表示的式子的运算法则和方程的解法，从算术发展到代数是数学的一大进步；代数的历史可以追溯到约3800年前的古埃及和古巴比伦时期，那时便有了代数的萌芽。
2.2 整式的加减
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。把多项式中的同类项合并在一起，叫做合并同类项。合并同类项后，所得系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列。
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
整式加减法运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
信息技术应用
电子表格与数据计算
单元格是电子表格的基本元素，是进行整体操作的最小单位。
利用电子表格可以进行数据计算。
电子表格操作简单、功能强大，可以有效地进行数据计算和数据处理。在复杂的统计问题中，电子表格的作用可以得到充分的发挥。
数学活动
活动1 看图识规律，类推
活动2 整式计算对比单数购买和成批购买的价格
活动3 日历中格子数的规律
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章学习了整式的有关概念与整数的加减运算。由具体的数到用字母表示数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，给研究问题和计算带来方便，这是数学上的一个重大发展。
从数到式，字母参与运算，得到了各种式子。其中表示数或字母的积的式子叫做单向式，几个单向式的和叫做多项式。因此，整式可以看作包含乘法与加法的式子。
整式中的每个字母都表示数，因此，数的一些运算规律也适用于整式。例如，利用分配律可以合并同类项，去括号，从而可以进行整式的加减运算。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.举出一些用单向式、多项式表示数量关系的实际例子。
2.合并同类项和去括号是整式加减的基础，举例说明合并同类项和去括号的依据。
3.举例说明整式加减的运算法则。
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
通常用x,y,z等字母表示未知数，法国数学家笛卡尔是最早这样做的人。我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数。
方程为我们解决许多问题带来方便。通过学习会逐步认识：从算式到方程是数学的进步。 列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程。
只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
问题：一元一次方程里的整式的限定是否有必要？数学的相对严谨性如何处理？
归纳：列方程解应用题的分析过程可以表示如下：实际问题→设未知数，列方程→一元一次方程，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
3.1.2 等式的性质
性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么 a+（-）c=b+（-）c。
性质2 等式两边乘同一个数，或除于同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0）,那么a/c=b/c。
利用等式的性质求方程的解。
阅读与思考
“方程”史话
在很长时间，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们。17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z这样的字母表示未知数，把这些字母与普通数字同样看待，用运算符号和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式。后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式。
中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数。按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现代数学中的矩阵
非常接近。宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李治写的《测圆海镜》（1248年），书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数x
随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展。但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表达涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步划归为用已知数表达的形式。这正是方程的本质所在。
3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
列方程中经常用到的基本的相等关系：总量=各部分量的和、表示同一个量的不同的式子……
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
解方程中时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”。早在一千多年前，数学家阿尔—花拉子米就已经对“合并同类项”和“移项”非常重视了。
解方程的基本流程：移项→合并同类项→系数化为1。
实验与探究
无限循环小数化分数
0.7x，由0.70.777可知，10x7.777，所以10xx7，得x
类比把0.1，0.2，…，0.9这样的无限循环小数化为分数的形式。
设0.73x，由0.730.737373
得x7。 9100x73.737373，所以100xx73，可知，73。 99
类比把0.10，0.12，…，0.98这样的无限循环小数化为分数的形式。
思考：如何把无限循环小数0.735，0.8231化为分数形式？动手试试，并总结把无限循环小数化为分数形式的一般规律。
3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母
归纳：解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等。
3.4 实际问题与一元一次方程
归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程、解方程、检查所得结果、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。
用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。因此，利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断。
数学活动
活动1 统计问题：人均收入与商品售价
活动2 实验证明杠杆定理
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
方程是一种重要的描述现实世界的数学模型。本章中，通过一些实际问题，我们学习了最基本的方程——一元一次方程，为进一步学习方程打下了基础。
方程是含有未知数的等式，解方程就是求出方程中的未知数。解方程的过程是使方程形式逐步简化，最终得出未知数的值(如x=a(已知数))。在此过程中，化归的思想方法起了重要作用，而等式的性质及运算律是化归的根据。
利用方程解决实际问题，应认真分析其中的数量关系，关键是要找出相等关系，由此设未知数、列方程，从而把实际问题转化为数学问题；然后通过解方程获得数学结论；最后用数学结论解释实际问题。这是一个“实际问题——数学问题——实际问题”的过程，今后，我们将在不断经历这一过程中，提高应用数学解决实际问题的能力。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容。
1.举例说明方程与等式的关系以及一元一次方程的特征。
2.回顾解一元一次方程的一般步骤，结合例子体会：解关于x的方程，就是运用等式性质和运算律，根据方程的具体特点，通过灵活变形将方程逐步化简，最后变成x=a(已知数)
而得解。
3.你能举例说明用字母表示数、列含字母的算式和列方程的区别和联系吗？
4.用方程解决实际问题，是把实际问题转化为数学问题(方程)的过程，其中要特别关注从实际问题中分析出关键性的相等关系。你能举例对此加以解释吗？
5.请收集一些重要问题(例如气候、节能、经济等)的有关数据，经过分析后编出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题及解决过程。
第四章 几何图形初步
几何就是研究图形的形状、大小和位置关系的一门学科。
4.1 几何图形
长方形、圆柱、球、长(正)方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形。几何图形是数学研究的主要对象之一。
4.1.1 立体图形与平面图形
有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在一个平面内，它们是立体图形。
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同平面内，它们是平面图形。
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。立体图形中某部分是平面图形。
对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。
三视图(还未正式介绍这个词)的简单认知。
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以得到平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
识别展开图和相应的立体图。
4.1.2 点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体。包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。面和面相交的地方形成线。线与线相交的地方形成点。
点动成线，线动成面，面动成体。
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
阅读与思考
几何学的起源
我们生活的世界处处存在着关于数量和空间的问题，数学中以空间形式(简称形)为研究对象的分支，叫做几何学，它有着悠久的历史。
在古埃及，由于尼罗河经常泛滥而需要不断整修土地，由此测量土地的方法引起人们的重视。几何学的英文单词geometry就是由geo(土地)和metry(测量)组成的。夏禹治水时期就已有规、矩、准、绳等测量工具。约公元前1000年的西周初期，人们已经认识了直角三角形的“勾三，股四，弦五”的知识。大量事实说明，测量活动是几何学形成的直接原因。
人类从开始制作和使用工具起，就开始研究工具的造型、体积、外表装饰等，这也对几何学的产生起了促进作用。
约公元前300年，古希腊数学家欧几里得广泛收集和研究前人的成果，将已有的关于形
和数的知识作了系统编排，写成了《原本》一书。这是数学发展史上的一个里程碑。1607年，意大利传教士利玛窦和我国学者徐光启把此书的前一部分翻译成中文，以《几何原本》为名成书，这对于介绍西方数学和科学起了积极的推动作用，在中国数学发展史上具有重要影响。
4.2 直线、射线、线段
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。
一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点。
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
射线和线段都是直线的一部分。因此可类似于直线用AB和OA表示线段和射线。 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。
用尺规作图可以做出“一条线段等于已知线段”。
两条线段比较大小，除了可以分别测量两者的长度进行比较，也可以将二者的某一个端点重合，比较另外端点的相互位置来比较。
点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。
可通过折纸折出线段的中点。
通过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
阅读与思考
长度的测量
4.3 角
4.3.1 角
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
角通常用如下方法来表示：∠AOB，∠O，∠а，∠1。
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°;把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1’;把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1
角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。此外，还有其他度量角的单位制，如以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等。除量角器外，工程测量中还常用经纬仪来测量角的大小。
角度制起源于四大文明古国之一的古代巴比伦。选择60这个数作为进制的基数，据说是由于60这个数是许多常用数2,3,4,5,6,10,12,15,20,30的倍数。60=12×5,12是一年中的月数，5是一只手的手指数，所以古代巴比伦人认为60是一个特别而又重要的数。
4.3.2 角的比较与运算
与线段长短的比较类似，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；也可以把它们的一边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小。
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。类似地，还有角的三等分线等。
可以通过折纸折出角的平分线。
4.3.3 余角和补角
一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。
类似地，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角。
两个角互为余角简称为两个角互余，两个角互为补角简称为两个角互补。
同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。
有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°”“南偏东25°”。表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到。
4.4 课题学习——设计制作长方体形状的包装纸盒
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
几何是研究图形的形状、大小和位置关系的学科。本章我们学习了图形与几何的一些基本的知识，如几何图形、立体图形、平面图形；点、线、面、体等。我们还学习了确定直线的基本事实，直线、射线、线段和角的表示，以及线段和角的度量和大小比较等，这些知识是进一步学习图形与几何知识的基础。
几何图形是从各种物体中抽象出来的，是更一般的“形”。另外，我们还要注意几何图形之间的联系，如点动成线、线动成面、面动成体，这种联系有助于我们理解和掌握知识。
在研究几何图形的过程中，我们常常采用类比的方法。例如，类比线段的大小比较、线段中点研究角的大小比较、角平分线等。类比的方法既引导我们发现问题，也帮助我们找到解决问题的途径。
请你带着下面问题，复习一下全章的内容：
1.下面是本章学习的一些数学名词，你能简短地描述这些数学名词吗？你能画出图形来表示它们吗？
立体图形 平面图形 展开图 两点的距离 余角 补角
2.你能举出几个立体图形和平面图形的实例吗？
3.找几个简单的立体图形，分别画出它们的展开图和从不同方向看得到的平面图形，你能由此说说立体图形与平面图形的联系吗？
4.在本章中，关于直线和线段有哪些重要结论？
5.本章学习了有关角的哪些知识？有哪些重要结论？
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1 相交线
工具：直尺、量角器
举例两条直线相交、平行，让学生模仿举例。
例子剪刀，推出研究相交线所成的角具有实际意义。
探究
问题1：∠1和∠2有什么样的位置关系呢？∠1和∠3呢？（再在图中分别举一例）
问题2：借助量角器，∠1和∠2度数有什么关系？∠1和∠3呢？（图中另一个例子也满足这个特点吗？）不同同学画的图不一样，结论为什么是一样的？
明确定义：有一条公共边，另外一边互为反向延长线的两个角，互为领补角。 图中还有哪两个角是互为邻补角的？（反例识别）
有一个公共顶点，并且其中一角两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角，互为对顶角。图中还有哪两个角是互为对顶角的？（反例识别）
【结论1】两条直线相交，有4对领补角，2对对顶角。
问题3：若不借助量角器，可否说明∠1=∠3？试着将这个过程写出来。
答：同（等）角的补角相等；括号表解释说明的目的，在后面标注
【结论2】对顶角相等
例1 黑板画图抄题，学生解答，评论
三种解法：∠4即是∠1的领补角，也是∠2的对顶角，也可全部借助于领补角的性质，但计算缓慢
作业：课后练习，※P8 练习2
5.1.2 垂线
工具：直尺、量角器、三角板
定义：上节的练习题中，是相交线的模型，转动木条b，当b的位置变化时，a,b所成的∠α也会随之变化。当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直是相交的一种特殊情形。
让学生举出其他一些垂直的例子。
性质→判定
判定：根据两条直线垂直的定义，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直。（（开始训练论证过程的表述））
探究：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线（再过直线上、外一点画）
请学生回答问题，说出是如何利用两种工具画出的，供其他学生对照参考。
【结论1】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
练习1、2
【结论2】画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。（线段、射线是直线的一部分）
思考：灌溉饮水，何路最短？
探究：思考题中的模型（引出垂线段的定义） 几何画板
【结论3】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
问题：为什么直角三角形的斜边与直角边哪条大？
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
问题：思考题中水渠要怎么挖？在图中画出来，如果比例尺是1:100 000，水渠大概要挖多长？
作业：P8 5、6、7
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
AB、CD被第三条直线EF所截（其中，EF称为截线，AB、CD称为被截线），构成8个角，研究没有公共顶点的两个角的关系。
问题1：研究图中∠1与∠5、∠3与∠5、∠3与∠6的位置关系（学生讨论、回答） 定义1：两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，两个角分别在直线AB、CD（被截线）的同一方（上方），并且都在直线EF（截线）的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角。（F）
图中还有哪几对同位角？
定义2：两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，两个角分别在直线AB、CD（被截线）的同一方（上方），并且分别在直线EF（截线）两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角。（Z）
图中还有哪几对内错角？
定义3：两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，两个角在直线AB、CD（被截线）之间，但在直线EF（截线）同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
图中还有哪几对同旁内角？（C）
【结论】两条直线被第三条直线所截，共形成4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。
例2 学生解答
作业：课后练习，P9 11
观察与猜想
看图时的错觉 几何画板
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
工具：直尺、三角板
思考 从两条木棍到三条木棍
【结论1】在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行。 定义 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
让学生举出其他一些生活中具有平行线形象的例子
思考：过点B画直线a的平行线，能画出几条？
通过观察和画图（涉及平行线画法的复习），可以发现一个基本事实：
【平行公理】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
【结论2】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（由平行公理进一步得到）
（反证：如果这两条直线相交，则过交点有两条直线与第三条直线平行，不满足平行公理。） 练习作为课堂练习，让学生在黑板上画。
5.2.2 平行线的判定
工具：直尺、三角板
平行线的定义难以判断两条直线是否平行→其他的判定方法
回顾平行线的画法（这样操作的目的是什么？)，画成图分析，实际是过某点画已知直线平行线的过程。其中，直尺起固定的作用，三角板起平移运动的作用。
根据一交二模型，找出被截线、截线、位置关系角，得出三角板显示的是同位角，并且始终保持不变，得到：
【判定方法1】两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。
如图5.2-7，木工用图中直尺画平行线的道理。
思考：可否用内错角或同旁内角来判定两条直线平行？
【判定方法2】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行。（推演）
【判定方法3】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。（学生自己尝试推演）
探究思想：遇到新问题，常常将其转化为已知的（或已解决的问题）
例题 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
证明过程，∵→因为 ∴→所以
作业 待定
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
工具：直尺、三角板、量角器
平行线的判定→平行线的性质
探究 通过度量角度，得到两直线平行，同位角相等。
【性质1】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。（开始训练几何语言的转化）
思考 类比思想 判定方法的寻找过程→平行线性质的寻找过程
【性质2】两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
【性质3】两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
例1 利用梯形的性质求缺角。
作业 课后练习
5.3.2 命题、定理、证明
一些例子引入
定义 判断一件事情的语句，叫做命题。（这里判断即陈述）
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果…那么…”的形式，“如果”＋题设，“那么”＋结论，有些命题的题设和结论并不明显，需要经过分析才可以找出。
练习命题的识别；题设、结论的识别；命题形式的改写
题设 真命题
命题的结构 命题的分类
结论 假命题
定义：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
前面学到很多真命题，其中有些事基本事实，有些则需要经过推理才能作出判断。 定义：正确性经过推理证实的真命题，叫做定理。
定理也可以作为继续推理的依据。
定义：判断一个命题正确性的推理过程，叫做证明。
例2 证明过程的表达
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。（可以作为推理的根据有哪些？各术语的区分）
判断一个命题为真，需要严谨细致的证明，而判断一个命题为假，只要举出一个例子，它符合命题的题设，但不符合命题的结论。我们称这样的例子为反例。
信息技术应用
探索两条直线的位置关系
工具：几何画板
1.探索领补角、对顶角的关系
2.探索垂线段的性质
3.探索平行线的性质
5.4 平移
观察一些具有平移变换生成的图案，探究它们有什么共同特点？
探究：描雪人活动
思考：连接雪人对应点的线段，它们的位置和大小有什么关系？再做一些对应点的连接线段，结论是否仍成立？
归纳：1.把一个图形整体延某一直线方向移动，，会得到一个新的图形，新的图形与原图形的形状和大小完全相同。
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
定义：图形的这种移动，叫做平移。
平移的方向不止是水平的，举出生活中另外一些平移的例子。
例 根据已知图形和某一个对应点画出平移后的图形。（根据平移对应点的特征） 作业 待定
数学活动
活动1 画平行线的多种方法（同位角相等、距离相等、折纸等）
活动2 通过平移自己设计图案
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们学习了平面内不重合的两条直线的位置关系——相交与平行。当两条直线只有一个公共点时，这两条直线相交。在相交线的学习中，我们研究了两条直线相交所形成的领补角和对顶角的位置和数量关系，这也是相交线的性质。垂直是相交的特殊情形，它在实际生产和社会生活中具有广泛的应用。当两条直线没有公共点时，这两条直线平行。借助两条直线被第三条直线所截所形成的同位角、内错角和同旁内角，我们研究了平行线的判定与性质。
“图形的判定”讨论的是确定某种图形需要需要什么条件。例如，两条直线与第三条直线相交，具备“同位角相等”，就有“两直线平行”。“图形的性质”讨论的是这类图形有怎样的共同特性。例如，两条直线平行，它们被第三条直线所截时，就一定有同位角相等。
学习本章时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质。同时，还要注意体会通过“推理”获得数学结论的的方法，培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.下面是本章学到的一些数学名词，你能用自己的语言描述它们吗？
对顶角、领补角、垂直、平行、同位角、内错角、同旁内角、平移。
2.两条直线形成四个角，它们具有怎样的位置关系和数量关系？
3.什么是点到直线的距离？你会度量吗？请举例说明。
4.怎样判定两条直线是否平行？平行线具有什么性质？对比平行线的性质和直线平行的判定方法，它们有什么异同？
5.什么是命题？如何判定一个命题是真命题还是假命题？请结合具体例子说明。
6.图形平移时，连接各对应点的线段有什么关系？你能利用平移设计一些图形吗？
第六章 实数
6.1 平方根
已知画布面积，求画布边长，实际是已知一个数的平方，求这个数的问题。
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即xa。那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a，读作“根号a”,a叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0。
例1 求平方数的平方根（通过平方反推）
【结论】被开方数越大，对应的算术平方根也越大。这个结论对所有正数都成立。
22探究：用两个面积为1dm的小正方形拼接成一个面积为2dm的大正方形，得出大正方形的边长是2dm。
探究：2的大小，不断迭代得到2是无限不循环小数。2
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数。实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数。
2
记住几个常用的无理数：21.414，31.732，2.236，3.162。 探究：某些具体数值得出a10a，0.01a0.1a
例3 剪纸，无理数与有理数比较大小。
思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。这就是说，如果xa，那么x叫做a的平方根。a的平方根记为a，读作“正负根号a”。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方是互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。
例4 求平方数的平方根
思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
归纳：正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根。0的平方根是0。负数没有平方根。（推导）
例5 课堂练习
课后作业 待定
6.2 立方根
问题：已知正方体体积，求正方体边长。
定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果xa,那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。我们可以根据这种关系求一个数的立方根。 32
探究：根据立方根的意义填空，发现正数、0、负数的立方根的特点。
归纳：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”。其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
说说数的平方根与数的立方根有什么不同。（根指数，根个数，被开方数的取值范围） 算术平方根的符号a，实际上省略了a中的根指数2。a也可读作“二次根号a”。探究得：一般地，-a-a
例题 求开立方的值
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可以用有理数近似地表示它们。
探究：某些具体数值得出a10a，0.001a0.1a
练习：课堂练习
作业 待定
用计算器，无限开立方后结果是什么？（>0是1，
6.3 实数
探究 有理数包括整数和分数，将分数化为小数的形式，有什么发现？
【结论】分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
像有理数一样，无理数也有正负之分。
有理数和无理数统称为实数，这样，我们学过的数可以这样分类
正有理数 有理数 0 有限小数或无限循环小数 正实数 实数 负有理数 实数 0
正无理数 负实数 无理数 负无理数 无限不循环小数
探究：无理数可以通过滚动直径为1的圆在数轴上表示出来。
另一例，无理数2可通过以边长为1的正方形的对角线画弧，通过与数轴交点表现出来。 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。
扩充到实数，实数与数轴是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的一个点均表示一个实数。与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.（转化成数轴上的点加以解释）
例1 课堂练习 写出实数的相反数、绝对值
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
例2 用运算法则进行实数的运算
例3 在实数运算中遇到无理数并且要求求出其结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数（精确度取下一位）去代替无理数，再进行计算。
作业 待定
阅读与思考
为什么说2不是有理数
毕达哥拉斯学派（无理数的“无理”时代）
数学活动
活动一 做纸盒，从已知条件求未知条件
活动二 立方根的估算
2是无理数的证明
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们学习了平方根和立方根，并通过开平方、开立方运算认识了一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。随着数的扩充，数的运算也有了新的发展。在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算。
本章中，我们通过类比有理数及其运算，，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作用。实数与数轴上的点是一一对应的，因此，我们可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？
2.回顾平方根与立方根的概念。乘方运算与开方运算有什么关系？
3.无理数和有理数的区别是什么？
4.实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有什么关系？
第七章 平面直角坐标系
通过平面直角坐标系等有关注知识，建立图形与数量间是联系，为几何问题和代数问题的相互转化打下基础。
7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对
电影院、印刷错误的位置、教室座位等
定义：有顺序的两个数a,b组成的数对，叫做有序数对。
注意：当ab时，（a,b）和（b,a）表示的位置不同；
当ab时，（a,b）和（b,a）表示的位置相同。
利用有序数对，可以准确地表示出一个位置。
让学生举另外一些例子，经纬度，街巷，栋层等。
练习：用有序数对表达具体位置和路径。
7.1.2 平面直角坐标系
数轴上的点与实数是一一对应的。数轴上的每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标。反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了。 思考：类似于用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内点的位置呢？ 定义：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
有了平面直角坐标系，平面内的点便可以用一个有序数对来表示了。我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对（3,4）就叫做点A的坐标，记作A（3,4）。
思考：原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？
可以看出，原点O的坐标为（0.0）；x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0。（用横纵坐标的本质来解释，原点是两坐标轴的交点，因此兼具二者的性质）
定义：建立了直角坐标系后，坐标平面就被两条坐标轴分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。
例题 在平面直角坐标系中描绘出已知点。
方法：A（4,5），先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A。
数轴上的点与实数是一一对应的，类似地，坐标平面内的点与有序实数对也是一一对应的。 探究：不同坐标系下正方形各顶点的坐标。
补充：垂直x轴上的点，横坐标相同；垂直y轴上的点，纵坐标相同。
第一、三象限平分线上的点的横、纵坐标相同；第二、四象限的平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。（可在探究题中的正方形构造对角线得出）
阅读与思考
用经纬度表示地理位置
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置
思考：如何在地图上用坐标表示各地点的地理位置？
探究：根据地理条件画示意图
归纳：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确立x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题确立单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出的坐标和各个地点的名称。
思考：如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？
一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置。此外，还可以用方位角和距离表示平面内物体的位置。
7.2.2 用坐标表示平移
在平面内对一个图形进行平移，图形的点的位置发生变化，其坐标也会发生变化。 探究：画出已知点平移后的点的坐标，观察它们的坐标是否按照你发现的规律变化？
【结论1】一般地，在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a,y）（或（x-a,y））；将点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）（或（x,y-b））。
探究：在平面直角坐标系中平移正方形，两次平移与一次平移后的结果相同吗？
【结论2 】一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到。
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
例题：探究平移后图形的大小、形状和位置有什么关系？
思考：把横纵坐标加或减去某一个数时，图形作了怎样的变化？
【结论3】一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
数学活动
活动一 描绘平面分布图
活动二 两种方法描绘地理位置
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们通过具体实例学习了平面直角坐标系等知识应用坐标方法解决了一些简单问题。
建立平面直角坐标系后，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x,y）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y），在坐标平面内都有唯一的点M和它对应。这样，我们就可以数形结合地研究问题。
坐标方法有广泛的应用。例如，我们可以利用坐标描述一些地点的分布情况；还可以通
过直角坐标系中对应点的坐标之间的关系，研究图形平移等问题。这种用数和运算来研究几何问题的方法是非常重要的，今后我们将不断地看到它的应用。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容：
1.在日常生活中，我们可以用有序数对来描述物体的位置。以教室中座位位置为例，说明有序数对（x,y)和（y,x）是否相同以及为什么？
2.平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。请你举例说明如何建立平面直角坐标系，在直角坐标平面内描出点P（2,4）和原点的位置，并指出点P和原点的横坐标和纵坐标。
平面直角坐标系的两条坐标轴将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，这四个部分依次称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。请你在直角坐标系内描出点A（2,1），B（-2,1），C（-1，-1），D（2，-1）的位置，并说明它们所在的象限。
3.平面直角坐标系具有广泛的应用，请你举例说明它的应用。
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
思考：引言中的问题用方程表示出来
定义：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
探究：满足二元一次方程的x、y的值的列举
定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
练习：对下面问题列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解。
8.2 消元——解二元一次方程组
思考：二元一次方程组与代入后的二元一次方程的关系
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
例1 用代入法解方程组（注意变式和代入的式子的选择）
例2 用代入法解应用题
思考：通过方程组中某个未知数的系数的关系思考另一种解二元一次方程组的方法 思考：联系上面解法解另一个二元一次方程组
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相同时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例3 用加减法解方程组
例4 用加减法解应用题
代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同。我们应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法。（二者的比较，并用一些习题让学生练习消元法的选择）
8.3 实际问题与二元一次方程组
继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题，学生可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流。
探究1 养牛场饲料需求的估算
探究2 作物种植土地的划分
探究3 材料运输的费用
【结论】从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义。
*8.4 三元一次方程组的解法
定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
类比二元一次方程组的解法探索三元一次方程组的解法。
三元一次方程组的求解思路：
例1 求解三元一次方程组（鼓励学生探索不同种解法，并选择最便捷的解法） 例2 代值、列三元一次方程组、求解
阅读与思考
一元一次方程组的古今表示及解法
我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”章，便有许多关于一次方程组的内容。
古代算筹与现代矩阵
具体解法一致：在一个方程两边乘另一个方程中某未知数的系数，然后再累减另一个方程。 我们祖先掌握上述解法，比起欧洲人来，要早一千多年，这是我国古代数学的一个光辉成就。
数学活动
活动一 探索二元一次方程的解及其图像，利用二元一次方程的图像求二元一次方程组的解 活动二 用二元一次方程组解决实际问题
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们通过实际问题引入了二元一次方程（组），并学习了二元一次方程组的解法——代入消元法和加减消元法。在此基础上，学习了简单的三元一次方程组及其解法。
消元是解二（三）元一次方程组的基本方法。通过消元，我们把“三元”转化为“二元”，把“二元”转化为“一元”，这一过程体现了回归思想。
二（三）元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，在现实中具有广泛的应用。用它解决实际问题时，要注意分析问题中的各种等量关系，引进适当的未知量，建立相应的方程组。
请你带着下面问题，复习一下全章的内容：
1.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组。“代入”与“加减”的目的是什么？
2.比较解三元一次方程组与解二元一次方程组的联系与区别。你能说说“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
3.用二元或三元一次方程组解决一个实际问题，你能说说用方程组解决实际问题的基本思路吗？
第九章 不等式与不等式组
本章将从什么是不等式说起，类比等式和方程，讨论不等式的性质，学习一元一次不等式（组）及其解法，并利用这些知识解决一些问题，感受不等式在研究不等关系问题中的重要作用。
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
问题：一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
思考：不等式的解应满足什么条件？（可以在数轴上表示出不等式的解，空心与实心） 定义：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
9.1.2 不等式的性质
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质。
思考：用“>”或“
【总结】当不等式两边加或减同一个数（正数或负数）时，不等号的方向不变。当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向不变；而乘同一个负数时，不等号的方向改变。
【不等式的性质1】不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。如果a>b，那么a±c>b±c。
【不等式的性质2】不等式两边乘（或除于）同一个正数，不等号的方向不变。如果a>b，c>0，那么ac>bc（或a/c>b/c）。
【不等式的性质3】不等式两边乘（或除于）同一个负数，不等号的方向改变。如果a>b，c
比较上面的性质2和性质3,指出它们有什么区别。再比较等式的性质和不等式的性质，它们有什么异同？
例1 利用不等式的性质解不等式
不等式的解集也可以在数轴上表示出来
“”读作“大于或等于”或“不小于”；“”读作“小于或等于”或“不大于”。
比较符号“”与“>”的区别。带有“”、“”的不等式具有与前面不等式一样的性质。 例2 求注水的体积范围
阅读与思考
用求差法比较大小
我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小。 补充：探索其他的比较大小的方法。
9.3 一元一次不等式组
利用数轴体会：x可取值的范围是两个不等式解集的公共部分。
定义：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集。
例1 解不等式组（利用数轴确定不等式组的解集）
例2 x取何值时，不两条等式同时成立
归纳：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分。利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
数学活动
活动一 用一元一次方程解决实际问题
活动二 猜数游戏
小结
二、回顾与思考
不等式（组）是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用。本章主要学习不等式的基础知识以及一类最简单的不等式（组）——一元一次不等式（组），并运用它们解决一些数学问题和实际问题。
在学习不等式的性质和一元一次不等式（组）的解法时，与等式的性质和方程（组）的解法进行类比，有益于对知识的理解与掌握。
与解方程是逐步将方程化为x=a的形式类似，解不等式是逐步将不等式化为x>a或x
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容：
1.总结不等式的性质，并与等式的性质进行比较。
2.总结一元一次不等式的解法，并与一元一次方程的解法进行比较。结合例子说明：解未知数为x的不等式，就是将不等式逐步变成x>a或x
3.如何解一元一次不等式组？结合例子说明：解不等式组就是求有关不等式的解集的公共部分。
4.举例说明数轴在解不等式（组）中的作用。
5.结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程。
第十章 数据的收集、整理与描述
这一章将在小学所学统计知识的基础上，学习收集数据的一些基本方法，在此基础上进一步学习如何整理数据，并用统计图表直观形象地描述数据，从中发现数据蕴含的规律，获取我们需要的信息。
10.1 统计调查
问题1 如果要了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，你会怎么做？
收集数据——整理数据——描述数据——分析数据——得出结论
定义：考查全体对象的调查叫做全面调查。
一、统计调查的步骤
1、收集数据的途径
①民主调查（如投票）；②实地调查；③网络调查；④实验调查；⑤查阅文献等。
2、整理数据的方法，如划记法
3、描述数据的方法：统计图表（扇形图的画法）
4、分析数据
5、得出结论
问题2 某校有2000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，怎样进行调查？
二、调查方式
①全面调查（又叫普查），如人口普查；
②抽样调查（注意选择的样本具有代表性、整体性。
三、总体、个体、样本、样本容量
总体：要考查的全体对象，这里指全校学生，有时为了强调调查目的，人们有时也把全校学生喜爱的电视节目作为总体。
个体：组成总体的每个考查对象称为个体。
样本：考查被抽取的那些个体组成一个样本。
样本容量：样本中个体的数目叫样本容量（不带单位）
定义：抽样调查是这样一种方法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。
定义：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到的抽样方法是简单随机抽样。 抽样调查的优点：花费少、省时省力、且适用于一些不宜用全面调查的情况。
在抽样调查中，抽取样本的方法得当，样本能客观地反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况。
归纳：全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式。全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费少、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查。抽样调查具有花费少、省时的特点，
但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。
问题3 比较你所在学校三个年级同学的平均体重
实验与探究
瓶子中有多少粒豆子
利用简单随机抽样，qpm（m：总的标记的豆粒数；p取出的豆粒数；n：取出的标记的豆粒数；q：瓶子中的豆粒数 ） p
这种调查方法在生产和科研中经常用到，例如用来估计一个养鱼池中鱼的数目。
10.2 直方图
前面学习了条形图、折线图、扇形图等描述数据的方法，下面介绍另一种常用来描述数据的统计图——直方图。
问题：从63名学生中挑选身高差不多的40名同学参加比赛。
画直方图的步骤：
1、计算最大值与最小值的差
2、决定组距和组数
组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。
组数n=|（最大值-最小值）/组距|+1
一般数据越多分的组数也越多。当数据在100个以内时，按照数据的多少常分成5-12组。
3、列频数分布表
频数：各个小组内的数据的个数，叫做频数。
4、画频数分布直方图
小长方形面积组距频数频数 组距
频数分布直观图是以小长方形的面积来反应频数，小长方形的高表示频数与组距的比值。 等距分组时，为画图与看图的方便，通常直接用小长方形的高表示频数。
信息技术应用
利用计算机画统计图
工具：电子表格（Excel）软件
优点：快捷方便、标准美观
10.3 课题学习 从数据谈节水
一、用回归法画出用水量的散点图，并进行预测
二、以“家庭人均月生活用水量”为题，在全校范围内展开一次统计调查活动，并完成一份调查报告。
1、给出调查目的，调查对象，调查问卷，调查方法。
2、用表格整理收集到的数据，用直方图描述数据，并分析数据中蕴含的信息。
3、计算或估计全校同学家庭人均月生活用水量的平均数，并与全国人均月生活用水量比较。
4、结合我国水资源短缺的形势，谈谈节约用水的意义，以及节约用水如何从我做起。
数学活动
活动一 用简单随机抽样方法估计全班同学的平均身高
活动二 谁的反应快
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
为了更好地了解周围世界，根据现有信息作合理推断和预测，我们经常需要有目的地收集一些数据。
本章我们学习了两种收集数据的方法——全面调查和抽样调查。全面调查要考察全体调查对象，而抽样调查只考察部分调查对象。因为抽样调查是根据样本来推断总体，所以在设计抽样调查方案时，要注意样本对总体的代表性。简单随机抽样是一种基本且实用的抽样方法，它要求总体中的每一个体有相等的机会被抽到。除了抽样方法要合理外，为了使样本能比较客观地反映总体，还要考虑样本容量的大小。
利用统计图表等整理和描述数据，有利于我们发现和探索数据中蕴含的规律，获取数据中的信息。不同的统计图从不同侧面描述了数据的特点，因此，选用合适的统计图描述数据，对发现和探索数据的特点和规律是很重要的。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容：
1.什么是全面调查和抽样调查？它们各有什么优缺点？
2.哪些情况下宜用全面调查？哪些情况下宜用抽样调查？
3.为什么抽样调查可以作为了解总体的方法？为了使样本对总体有较好的代表性，抽样时需要注意什么？
4.简单随机抽样有什么特点？用简单随机抽样抽出的样本是否一定具有代表性？请举例说明。
5.条形图、扇形图、折线图和直方图在表示数据方面各有什么特点？
第一章 有理数
初中学习的负数是不是比小学负数多了实际生活中表示与运用的功能？
1.1 正数和负数
数的产生和发展离不开生活和生产的需要：
由记数、排序，产生数1、2、3……
由表示“没有”“空位”，产生数0
由分物、测量，产生分数1/2，1/3…
大于0的数叫做正数
在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数
(有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”(正)号)
0既不是正数，也不是负数
如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们。
中国古代用算筹(表示数的工具)进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。 算筹的历史：
根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。
算筹计数法：
在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循一百进位制。据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。《夏阳侯算经》说：满六以上，五在上方.六不积算，五不单张。
筹算的摆法：
那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。其一是
数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是
筹算规则：
按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式等等（到搜狗可以查）这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。
0是正数与负数的分界，0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度。因此，0的意义已不仅表示没有。
开课:让学生回顾上学期学过的知识，然后查漏补缺，知识更新
有理数的分类→0是不是表示没有？
1.2 有理数
1.2.1 有理数
正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
1.2.2 数轴
在研究实际生活中具有相反意义的量(如“东”与“西”，“左”与“右”等，可以用整数和负数进行研究。在一条直线上取一个点O为基准点，用0表示它，再用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点。这样我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点。
在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
(1)在直线上任取一个点表示0,这个点叫做原点；
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或右)为负方向；
(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1、2、3……；从原点向左，用类似方法依次表示-1、-2、-3……
0是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”。
1.2.3 相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数是0。这里a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
1.2.4 绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 有理数比较大小：一般地，
（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
通过数轴模拟运动过程，再列式探索出规律：
（1）符号相同的两个数相加，结果的符号不变，绝对值相加。
（2）符号相反的两个数相加，结果的符号与绝对值较大的加数的符号相同，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
先定符号，再算绝对值。
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)
运用加法交换律和结合律可以使运算简化。
1.3.2 有理数的减法
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)
有理数加减混合运算归纳：
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。a+b-c=a+b+(-c)
探究结论：在数轴上，点A,B表示数a,b，利用有理数减法，A、B之间的距离为|a-b|。 阅读与思考：中国人最先使用负数
中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法。
史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并用到生产和生活中。例如，在古代商业活动中，以收入为正，支出为负；以盈余为正，亏欠为负。在古代农业活动中，以增产为正，减产为负，中国人使用负数在世界上是首创。
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
还原到乘法的运算本质从正数乘正数探索正数乘负数和负数乘正数的规律：正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也是负数。积的绝对值等于各乘数绝对值之积。
再利用上述规律，探索负数乘负数的规律：负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积。
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0。
也就是：有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值。
一般地，在有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。（从运算练习和倒数的概念引入)
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
通过个别运算验证乘法交换律、乘法结合律。
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=a(bc) a×b也可以写为a•b或ab。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 a(b+c)=ab+ac
1.4.2 有理数的除法
由个别运算和小学除法的联系，对于有理数除法，我们有如下法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数， aba1(b0) b
从有理数除法法则，容易得出：两个相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除于任何一个不等于0的数，都得0。（这是有理数除法法则的另一种说法）
因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学的混合运算一样，按照“先乘除、后加减”的顺序进行。
计算器有理数加减乘除的混合运算的键入，不同品牌的计算器的操作方法可能不同，具体参见计算器的使用方法。
97（-1）（-1）1 故任意奇数张牌观察与猜想 翻牌游戏中的数学道理 11 1
都不可以随意翻动任意两张使其全部反面朝上。
1.5 有理数的乘法
1.5.1 乘方
n一般地，n个相同的因数a相乘，即a，记作，读作“a的n次方”。 aaa
n
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。
nn-aa,n为奇数nn-aa,n为偶数a0
因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算，结合个别运算和有理数的乘法法则思考规律，得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
显然，正数的任何次幂是都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
计算器负数的乘方的键入。
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1、先乘方，再乘除，最后加减；
2、同级运算，从左到右进行；
3、如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2 科学计数法
一般地，10的n次幂等于10…0（1的后面有n个0），所以可以用10的乘方表示一些大数，这样可以使书写简短，同时还便于读数。
把一个大于10的数表示成a10的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。
补充科学计数法的定义：科学计数法是一种数学专用术语。把一个大于10的数表示成na10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种计数方法叫做科学计数法。
思考运算式子得，等号左边正数的位数与右边10的指数的关系，得出用科学计数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。
1.5.3 近似数
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，就可以使用近似数。
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。
1.8和1.80精确度不同，故表示近似数时，不能简单地把1.80后面的0去掉。
数学活动
活动一：帮助家庭记录一个月（或一周）的生活收支账目→不太能实施
活动二：熟悉你所用的计算器有关有理数混合运算的功能和操作方法，考虑怎样使用计算器最为简便，实习这样的操作，并与同学进行交流。
活动三：收集现实生活中你认为非常大的数据的实例，体会科学计数法和近似数等在实际中的运用。
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们在小学学习的基础上，进一步认识了负数，使数的范围扩充到有理数。引入负数不仅可以表示具有相反意义的量，而且还扩展了减法运算的范围。由此，类似于x+2=1的方程就可以解了。
我们知道，有理数是整数与分数的统称。由于整数可以看成是分母为1的分数，因此有理数可以写成p/q（p,q是整数，q≠0）的形式；另一方面，形如p/q（p,q是整数，q≠0）的数都是有理数。所以，有理数可用p/q（p,q是整数，q≠0）的表示。
本章我们研究了有理数的加、减、乘、除和乘方运算。实际上。与负数有关的运算。我们都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算。数轴不仅能直观表示数，而且还能帮助我们理解数的运算。在运算的过程中，数形结合、转化是很重要的思想方法。
我们从具体的加法和乘法中，归纳出了交换律、结合律和分配律等运算律。运算律不仅能给数的运算带来方便，而且还是今后研究代数问题(如解方程、不等式等)的基础。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.你能举出一些实例，说明正数、负数在表示相反意义的量时的作用吗？
2.你能用一个图表示有理数的分类吗？引入负数后，减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了？
3.怎样用数轴表示有理数？数轴与普通直线有什么不同？怎样利用数轴解释一下数的绝对值和相反数？
4.有理数的加法与减法、乘法与除法各有什么关系？有理数的混合运算都能转化为加法与乘法运算吗？
5.有理数有哪些运算律？结合例子说明运算律在有理数运算中的作用。
第二章 整式的加减
2.1 整式
表示成数与字母乘积的式子叫做单向式。单独的一个数或一个字母也是单向式。单向式中的数字因数叫做这个单向式的系数。一个单向式中，所有字母的指数的和叫做这个单向式的次数。
用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义。
几个单向式的和叫做多项式。其中，每个单向式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单向式与多项式统称整式。
阅读与思考：数字1与字母X的对话
数字的优点：是数学学科的源头；由数字组成的式子有确切的大小；解决实际问题需要具体数字进行计算；数是人们经过长期实践创造出来的，并建立了专门研究数及其运算的学科——算术;算术有着非常悠久的历史，是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的。
字母的特点:可以表示各种各样的数;含有字母的式子进行运算和推理时具有一般性;解决实际问题时，字母可以表示未知数列入算式（方程），能更方便地表示数量关系，数和字母一起运算会使问题的解法更简单；随着实践的发展与需求，字母促进产生了代数学科，它研究的是字母表示的式子的运算法则和方程的解法，从算术发展到代数是数学的一大进步；代数的历史可以追溯到约3800年前的古埃及和古巴比伦时期，那时便有了代数的萌芽。
2.2 整式的加减
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。把多项式中的同类项合并在一起，叫做合并同类项。合并同类项后，所得系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列。
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
整式加减法运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
信息技术应用
电子表格与数据计算
单元格是电子表格的基本元素，是进行整体操作的最小单位。
利用电子表格可以进行数据计算。
电子表格操作简单、功能强大，可以有效地进行数据计算和数据处理。在复杂的统计问题中，电子表格的作用可以得到充分的发挥。
数学活动
活动1 看图识规律，类推
活动2 整式计算对比单数购买和成批购买的价格
活动3 日历中格子数的规律
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章学习了整式的有关概念与整数的加减运算。由具体的数到用字母表示数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，给研究问题和计算带来方便，这是数学上的一个重大发展。
从数到式，字母参与运算，得到了各种式子。其中表示数或字母的积的式子叫做单向式，几个单向式的和叫做多项式。因此，整式可以看作包含乘法与加法的式子。
整式中的每个字母都表示数，因此，数的一些运算规律也适用于整式。例如，利用分配律可以合并同类项，去括号，从而可以进行整式的加减运算。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.举出一些用单向式、多项式表示数量关系的实际例子。
2.合并同类项和去括号是整式加减的基础，举例说明合并同类项和去括号的依据。
3.举例说明整式加减的运算法则。
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
通常用x,y,z等字母表示未知数，法国数学家笛卡尔是最早这样做的人。我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数。
方程为我们解决许多问题带来方便。通过学习会逐步认识：从算式到方程是数学的进步。 列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程。
只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
问题：一元一次方程里的整式的限定是否有必要？数学的相对严谨性如何处理？
归纳：列方程解应用题的分析过程可以表示如下：实际问题→设未知数，列方程→一元一次方程，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
3.1.2 等式的性质
性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么 a+（-）c=b+（-）c。
性质2 等式两边乘同一个数，或除于同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0）,那么a/c=b/c。
利用等式的性质求方程的解。
阅读与思考
“方程”史话
在很长时间，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们。17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z这样的字母表示未知数，把这些字母与普通数字同样看待，用运算符号和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式。后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式。
中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数。按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现代数学中的矩阵
非常接近。宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李治写的《测圆海镜》（1248年），书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数x
随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展。但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表达涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步划归为用已知数表达的形式。这正是方程的本质所在。
3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
列方程中经常用到的基本的相等关系：总量=各部分量的和、表示同一个量的不同的式子……
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
解方程中时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”。早在一千多年前，数学家阿尔—花拉子米就已经对“合并同类项”和“移项”非常重视了。
解方程的基本流程：移项→合并同类项→系数化为1。
实验与探究
无限循环小数化分数
0.7x，由0.70.777可知，10x7.777，所以10xx7，得x
类比把0.1，0.2，…，0.9这样的无限循环小数化为分数的形式。
设0.73x，由0.730.737373
得x7。 9100x73.737373，所以100xx73，可知，73。 99
类比把0.10，0.12，…，0.98这样的无限循环小数化为分数的形式。
思考：如何把无限循环小数0.735，0.8231化为分数形式？动手试试，并总结把无限循环小数化为分数形式的一般规律。
3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母
归纳：解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等。
3.4 实际问题与一元一次方程
归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程、解方程、检查所得结果、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。
用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。因此，利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断。
数学活动
活动1 统计问题：人均收入与商品售价
活动2 实验证明杠杆定理
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
方程是一种重要的描述现实世界的数学模型。本章中，通过一些实际问题，我们学习了最基本的方程——一元一次方程，为进一步学习方程打下了基础。
方程是含有未知数的等式，解方程就是求出方程中的未知数。解方程的过程是使方程形式逐步简化，最终得出未知数的值(如x=a(已知数))。在此过程中，化归的思想方法起了重要作用，而等式的性质及运算律是化归的根据。
利用方程解决实际问题，应认真分析其中的数量关系，关键是要找出相等关系，由此设未知数、列方程，从而把实际问题转化为数学问题；然后通过解方程获得数学结论；最后用数学结论解释实际问题。这是一个“实际问题——数学问题——实际问题”的过程，今后，我们将在不断经历这一过程中，提高应用数学解决实际问题的能力。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容。
1.举例说明方程与等式的关系以及一元一次方程的特征。
2.回顾解一元一次方程的一般步骤，结合例子体会：解关于x的方程，就是运用等式性质和运算律，根据方程的具体特点，通过灵活变形将方程逐步化简，最后变成x=a(已知数)
而得解。
3.你能举例说明用字母表示数、列含字母的算式和列方程的区别和联系吗？
4.用方程解决实际问题，是把实际问题转化为数学问题(方程)的过程，其中要特别关注从实际问题中分析出关键性的相等关系。你能举例对此加以解释吗？
5.请收集一些重要问题(例如气候、节能、经济等)的有关数据，经过分析后编出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题及解决过程。
第四章 几何图形初步
几何就是研究图形的形状、大小和位置关系的一门学科。
4.1 几何图形
长方形、圆柱、球、长(正)方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形。几何图形是数学研究的主要对象之一。
4.1.1 立体图形与平面图形
有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在一个平面内，它们是立体图形。
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同平面内，它们是平面图形。
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。立体图形中某部分是平面图形。
对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。
三视图(还未正式介绍这个词)的简单认知。
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以得到平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
识别展开图和相应的立体图。
4.1.2 点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体。包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。面和面相交的地方形成线。线与线相交的地方形成点。
点动成线，线动成面，面动成体。
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
阅读与思考
几何学的起源
我们生活的世界处处存在着关于数量和空间的问题，数学中以空间形式(简称形)为研究对象的分支，叫做几何学，它有着悠久的历史。
在古埃及，由于尼罗河经常泛滥而需要不断整修土地，由此测量土地的方法引起人们的重视。几何学的英文单词geometry就是由geo(土地)和metry(测量)组成的。夏禹治水时期就已有规、矩、准、绳等测量工具。约公元前1000年的西周初期，人们已经认识了直角三角形的“勾三，股四，弦五”的知识。大量事实说明，测量活动是几何学形成的直接原因。
人类从开始制作和使用工具起，就开始研究工具的造型、体积、外表装饰等，这也对几何学的产生起了促进作用。
约公元前300年，古希腊数学家欧几里得广泛收集和研究前人的成果，将已有的关于形
和数的知识作了系统编排，写成了《原本》一书。这是数学发展史上的一个里程碑。1607年，意大利传教士利玛窦和我国学者徐光启把此书的前一部分翻译成中文，以《几何原本》为名成书，这对于介绍西方数学和科学起了积极的推动作用，在中国数学发展史上具有重要影响。
4.2 直线、射线、线段
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。
一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点。
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
射线和线段都是直线的一部分。因此可类似于直线用AB和OA表示线段和射线。 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。
用尺规作图可以做出“一条线段等于已知线段”。
两条线段比较大小，除了可以分别测量两者的长度进行比较，也可以将二者的某一个端点重合，比较另外端点的相互位置来比较。
点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。
可通过折纸折出线段的中点。
通过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
阅读与思考
长度的测量
4.3 角
4.3.1 角
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
角通常用如下方法来表示：∠AOB，∠O，∠а，∠1。
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°;把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1’;把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1
角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。此外，还有其他度量角的单位制，如以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等。除量角器外，工程测量中还常用经纬仪来测量角的大小。
角度制起源于四大文明古国之一的古代巴比伦。选择60这个数作为进制的基数，据说是由于60这个数是许多常用数2,3,4,5,6,10,12,15,20,30的倍数。60=12×5,12是一年中的月数，5是一只手的手指数，所以古代巴比伦人认为60是一个特别而又重要的数。
4.3.2 角的比较与运算
与线段长短的比较类似，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；也可以把它们的一边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小。
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。类似地，还有角的三等分线等。
可以通过折纸折出角的平分线。
4.3.3 余角和补角
一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。
类似地，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角。
两个角互为余角简称为两个角互余，两个角互为补角简称为两个角互补。
同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。
有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°”“南偏东25°”。表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到。
4.4 课题学习——设计制作长方体形状的包装纸盒
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
几何是研究图形的形状、大小和位置关系的学科。本章我们学习了图形与几何的一些基本的知识，如几何图形、立体图形、平面图形；点、线、面、体等。我们还学习了确定直线的基本事实，直线、射线、线段和角的表示，以及线段和角的度量和大小比较等，这些知识是进一步学习图形与几何知识的基础。
几何图形是从各种物体中抽象出来的，是更一般的“形”。另外，我们还要注意几何图形之间的联系，如点动成线、线动成面、面动成体，这种联系有助于我们理解和掌握知识。
在研究几何图形的过程中，我们常常采用类比的方法。例如，类比线段的大小比较、线段中点研究角的大小比较、角平分线等。类比的方法既引导我们发现问题，也帮助我们找到解决问题的途径。
请你带着下面问题，复习一下全章的内容：
1.下面是本章学习的一些数学名词，你能简短地描述这些数学名词吗？你能画出图形来表示它们吗？
立体图形 平面图形 展开图 两点的距离 余角 补角
2.你能举出几个立体图形和平面图形的实例吗？
3.找几个简单的立体图形，分别画出它们的展开图和从不同方向看得到的平面图形，你能由此说说立体图形与平面图形的联系吗？
4.在本章中，关于直线和线段有哪些重要结论？
5.本章学习了有关角的哪些知识？有哪些重要结论？
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1 相交线
工具：直尺、量角器
举例两条直线相交、平行，让学生模仿举例。
例子剪刀，推出研究相交线所成的角具有实际意义。
探究
问题1：∠1和∠2有什么样的位置关系呢？∠1和∠3呢？（再在图中分别举一例）
问题2：借助量角器，∠1和∠2度数有什么关系？∠1和∠3呢？（图中另一个例子也满足这个特点吗？）不同同学画的图不一样，结论为什么是一样的？
明确定义：有一条公共边，另外一边互为反向延长线的两个角，互为领补角。 图中还有哪两个角是互为邻补角的？（反例识别）
有一个公共顶点，并且其中一角两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角，互为对顶角。图中还有哪两个角是互为对顶角的？（反例识别）
【结论1】两条直线相交，有4对领补角，2对对顶角。
问题3：若不借助量角器，可否说明∠1=∠3？试着将这个过程写出来。
答：同（等）角的补角相等；括号表解释说明的目的，在后面标注
【结论2】对顶角相等
例1 黑板画图抄题，学生解答，评论
三种解法：∠4即是∠1的领补角，也是∠2的对顶角，也可全部借助于领补角的性质，但计算缓慢
作业：课后练习，※P8 练习2
5.1.2 垂线
工具：直尺、量角器、三角板
定义：上节的练习题中，是相交线的模型，转动木条b，当b的位置变化时，a,b所成的∠α也会随之变化。当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直是相交的一种特殊情形。
让学生举出其他一些垂直的例子。
性质→判定
判定：根据两条直线垂直的定义，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直。（（开始训练论证过程的表述））
探究：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线（再过直线上、外一点画）
请学生回答问题，说出是如何利用两种工具画出的，供其他学生对照参考。
【结论1】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
练习1、2
【结论2】画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。（线段、射线是直线的一部分）
思考：灌溉饮水，何路最短？
探究：思考题中的模型（引出垂线段的定义） 几何画板
【结论3】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
问题：为什么直角三角形的斜边与直角边哪条大？
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
问题：思考题中水渠要怎么挖？在图中画出来，如果比例尺是1:100 000，水渠大概要挖多长？
作业：P8 5、6、7
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
AB、CD被第三条直线EF所截（其中，EF称为截线，AB、CD称为被截线），构成8个角，研究没有公共顶点的两个角的关系。
问题1：研究图中∠1与∠5、∠3与∠5、∠3与∠6的位置关系（学生讨论、回答） 定义1：两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，两个角分别在直线AB、CD（被截线）的同一方（上方），并且都在直线EF（截线）的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角。（F）
图中还有哪几对同位角？
定义2：两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，两个角分别在直线AB、CD（被截线）的同一方（上方），并且分别在直线EF（截线）两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角。（Z）
图中还有哪几对内错角？
定义3：两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，两个角在直线AB、CD（被截线）之间，但在直线EF（截线）同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
图中还有哪几对同旁内角？（C）
【结论】两条直线被第三条直线所截，共形成4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。
例2 学生解答
作业：课后练习，P9 11
观察与猜想
看图时的错觉 几何画板
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
工具：直尺、三角板
思考 从两条木棍到三条木棍
【结论1】在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行。 定义 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
让学生举出其他一些生活中具有平行线形象的例子
思考：过点B画直线a的平行线，能画出几条？
通过观察和画图（涉及平行线画法的复习），可以发现一个基本事实：
【平行公理】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
【结论2】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（由平行公理进一步得到）
（反证：如果这两条直线相交，则过交点有两条直线与第三条直线平行，不满足平行公理。） 练习作为课堂练习，让学生在黑板上画。
5.2.2 平行线的判定
工具：直尺、三角板
平行线的定义难以判断两条直线是否平行→其他的判定方法
回顾平行线的画法（这样操作的目的是什么？)，画成图分析，实际是过某点画已知直线平行线的过程。其中，直尺起固定的作用，三角板起平移运动的作用。
根据一交二模型，找出被截线、截线、位置关系角，得出三角板显示的是同位角，并且始终保持不变，得到：
【判定方法1】两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。
如图5.2-7，木工用图中直尺画平行线的道理。
思考：可否用内错角或同旁内角来判定两条直线平行？
【判定方法2】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行。（推演）
【判定方法3】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。（学生自己尝试推演）
探究思想：遇到新问题，常常将其转化为已知的（或已解决的问题）
例题 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
证明过程，∵→因为 ∴→所以
作业 待定
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
工具：直尺、三角板、量角器
平行线的判定→平行线的性质
探究 通过度量角度，得到两直线平行，同位角相等。
【性质1】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。（开始训练几何语言的转化）
思考 类比思想 判定方法的寻找过程→平行线性质的寻找过程
【性质2】两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
【性质3】两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
例1 利用梯形的性质求缺角。
作业 课后练习
5.3.2 命题、定理、证明
一些例子引入
定义 判断一件事情的语句，叫做命题。（这里判断即陈述）
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果…那么…”的形式，“如果”＋题设，“那么”＋结论，有些命题的题设和结论并不明显，需要经过分析才可以找出。
练习命题的识别；题设、结论的识别；命题形式的改写
题设 真命题
命题的结构 命题的分类
结论 假命题
定义：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
前面学到很多真命题，其中有些事基本事实，有些则需要经过推理才能作出判断。 定义：正确性经过推理证实的真命题，叫做定理。
定理也可以作为继续推理的依据。
定义：判断一个命题正确性的推理过程，叫做证明。
例2 证明过程的表达
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。（可以作为推理的根据有哪些？各术语的区分）
判断一个命题为真，需要严谨细致的证明，而判断一个命题为假，只要举出一个例子，它符合命题的题设，但不符合命题的结论。我们称这样的例子为反例。
信息技术应用
探索两条直线的位置关系
工具：几何画板
1.探索领补角、对顶角的关系
2.探索垂线段的性质
3.探索平行线的性质
5.4 平移
观察一些具有平移变换生成的图案，探究它们有什么共同特点？
探究：描雪人活动
思考：连接雪人对应点的线段，它们的位置和大小有什么关系？再做一些对应点的连接线段，结论是否仍成立？
归纳：1.把一个图形整体延某一直线方向移动，，会得到一个新的图形，新的图形与原图形的形状和大小完全相同。
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
定义：图形的这种移动，叫做平移。
平移的方向不止是水平的，举出生活中另外一些平移的例子。
例 根据已知图形和某一个对应点画出平移后的图形。（根据平移对应点的特征） 作业 待定
数学活动
活动1 画平行线的多种方法（同位角相等、距离相等、折纸等）
活动2 通过平移自己设计图案
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们学习了平面内不重合的两条直线的位置关系——相交与平行。当两条直线只有一个公共点时，这两条直线相交。在相交线的学习中，我们研究了两条直线相交所形成的领补角和对顶角的位置和数量关系，这也是相交线的性质。垂直是相交的特殊情形，它在实际生产和社会生活中具有广泛的应用。当两条直线没有公共点时，这两条直线平行。借助两条直线被第三条直线所截所形成的同位角、内错角和同旁内角，我们研究了平行线的判定与性质。
“图形的判定”讨论的是确定某种图形需要需要什么条件。例如，两条直线与第三条直线相交，具备“同位角相等”，就有“两直线平行”。“图形的性质”讨论的是这类图形有怎样的共同特性。例如，两条直线平行，它们被第三条直线所截时，就一定有同位角相等。
学习本章时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质。同时，还要注意体会通过“推理”获得数学结论的的方法，培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.下面是本章学到的一些数学名词，你能用自己的语言描述它们吗？
对顶角、领补角、垂直、平行、同位角、内错角、同旁内角、平移。
2.两条直线形成四个角，它们具有怎样的位置关系和数量关系？
3.什么是点到直线的距离？你会度量吗？请举例说明。
4.怎样判定两条直线是否平行？平行线具有什么性质？对比平行线的性质和直线平行的判定方法，它们有什么异同？
5.什么是命题？如何判定一个命题是真命题还是假命题？请结合具体例子说明。
6.图形平移时，连接各对应点的线段有什么关系？你能利用平移设计一些图形吗？
第六章 实数
6.1 平方根
已知画布面积，求画布边长，实际是已知一个数的平方，求这个数的问题。
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即xa。那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a，读作“根号a”,a叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0。
例1 求平方数的平方根（通过平方反推）
【结论】被开方数越大，对应的算术平方根也越大。这个结论对所有正数都成立。
22探究：用两个面积为1dm的小正方形拼接成一个面积为2dm的大正方形，得出大正方形的边长是2dm。
探究：2的大小，不断迭代得到2是无限不循环小数。2
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数。实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数。
2
记住几个常用的无理数：21.414，31.732，2.236，3.162。 探究：某些具体数值得出a10a，0.01a0.1a
例3 剪纸，无理数与有理数比较大小。
思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。这就是说，如果xa，那么x叫做a的平方根。a的平方根记为a，读作“正负根号a”。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方是互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。
例4 求平方数的平方根
思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
归纳：正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根。0的平方根是0。负数没有平方根。（推导）
例5 课堂练习
课后作业 待定
6.2 立方根
问题：已知正方体体积，求正方体边长。
定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果xa,那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。我们可以根据这种关系求一个数的立方根。 32
探究：根据立方根的意义填空，发现正数、0、负数的立方根的特点。
归纳：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”。其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
说说数的平方根与数的立方根有什么不同。（根指数，根个数，被开方数的取值范围） 算术平方根的符号a，实际上省略了a中的根指数2。a也可读作“二次根号a”。探究得：一般地，-a-a
例题 求开立方的值
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可以用有理数近似地表示它们。
探究：某些具体数值得出a10a，0.001a0.1a
练习：课堂练习
作业 待定
用计算器，无限开立方后结果是什么？（>0是1，
6.3 实数
探究 有理数包括整数和分数，将分数化为小数的形式，有什么发现？
【结论】分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
像有理数一样，无理数也有正负之分。
有理数和无理数统称为实数，这样，我们学过的数可以这样分类
正有理数 有理数 0 有限小数或无限循环小数 正实数 实数 负有理数 实数 0
正无理数 负实数 无理数 负无理数 无限不循环小数
探究：无理数可以通过滚动直径为1的圆在数轴上表示出来。
另一例，无理数2可通过以边长为1的正方形的对角线画弧，通过与数轴交点表现出来。 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。
扩充到实数，实数与数轴是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的一个点均表示一个实数。与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.（转化成数轴上的点加以解释）
例1 课堂练习 写出实数的相反数、绝对值
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
例2 用运算法则进行实数的运算
例3 在实数运算中遇到无理数并且要求求出其结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数（精确度取下一位）去代替无理数，再进行计算。
作业 待定
阅读与思考
为什么说2不是有理数
毕达哥拉斯学派（无理数的“无理”时代）
数学活动
活动一 做纸盒，从已知条件求未知条件
活动二 立方根的估算
2是无理数的证明
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们学习了平方根和立方根，并通过开平方、开立方运算认识了一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。随着数的扩充，数的运算也有了新的发展。在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算。
本章中，我们通过类比有理数及其运算，，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作用。实数与数轴上的点是一一对应的，因此，我们可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1.数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？
2.回顾平方根与立方根的概念。乘方运算与开方运算有什么关系？
3.无理数和有理数的区别是什么？
4.实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有什么关系？
第七章 平面直角坐标系
通过平面直角坐标系等有关注知识，建立图形与数量间是联系，为几何问题和代数问题的相互转化打下基础。
7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对
电影院、印刷错误的位置、教室座位等
定义：有顺序的两个数a,b组成的数对，叫做有序数对。
注意：当ab时，（a,b）和（b,a）表示的位置不同；
当ab时，（a,b）和（b,a）表示的位置相同。
利用有序数对，可以准确地表示出一个位置。
让学生举另外一些例子，经纬度，街巷，栋层等。
练习：用有序数对表达具体位置和路径。
7.1.2 平面直角坐标系
数轴上的点与实数是一一对应的。数轴上的每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标。反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了。 思考：类似于用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内点的位置呢？ 定义：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
有了平面直角坐标系，平面内的点便可以用一个有序数对来表示了。我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对（3,4）就叫做点A的坐标，记作A（3,4）。
思考：原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？
可以看出，原点O的坐标为（0.0）；x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0。（用横纵坐标的本质来解释，原点是两坐标轴的交点，因此兼具二者的性质）
定义：建立了直角坐标系后，坐标平面就被两条坐标轴分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。
例题 在平面直角坐标系中描绘出已知点。
方法：A（4,5），先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A。
数轴上的点与实数是一一对应的，类似地，坐标平面内的点与有序实数对也是一一对应的。 探究：不同坐标系下正方形各顶点的坐标。
补充：垂直x轴上的点，横坐标相同；垂直y轴上的点，纵坐标相同。
第一、三象限平分线上的点的横、纵坐标相同；第二、四象限的平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。（可在探究题中的正方形构造对角线得出）
阅读与思考
用经纬度表示地理位置
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置
思考：如何在地图上用坐标表示各地点的地理位置？
探究：根据地理条件画示意图
归纳：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确立x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题确立单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出的坐标和各个地点的名称。
思考：如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？
一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置。此外，还可以用方位角和距离表示平面内物体的位置。
7.2.2 用坐标表示平移
在平面内对一个图形进行平移，图形的点的位置发生变化，其坐标也会发生变化。 探究：画出已知点平移后的点的坐标，观察它们的坐标是否按照你发现的规律变化？
【结论1】一般地，在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a,y）（或（x-a,y））；将点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）（或（x,y-b））。
探究：在平面直角坐标系中平移正方形，两次平移与一次平移后的结果相同吗？
【结论2 】一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到。
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
例题：探究平移后图形的大小、形状和位置有什么关系？
思考：把横纵坐标加或减去某一个数时，图形作了怎样的变化？
【结论3】一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
数学活动
活动一 描绘平面分布图
活动二 两种方法描绘地理位置
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们通过具体实例学习了平面直角坐标系等知识应用坐标方法解决了一些简单问题。
建立平面直角坐标系后，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x,y）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y），在坐标平面内都有唯一的点M和它对应。这样，我们就可以数形结合地研究问题。
坐标方法有广泛的应用。例如，我们可以利用坐标描述一些地点的分布情况；还可以通
过直角坐标系中对应点的坐标之间的关系，研究图形平移等问题。这种用数和运算来研究几何问题的方法是非常重要的，今后我们将不断地看到它的应用。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容：
1.在日常生活中，我们可以用有序数对来描述物体的位置。以教室中座位位置为例，说明有序数对（x,y)和（y,x）是否相同以及为什么？
2.平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。请你举例说明如何建立平面直角坐标系，在直角坐标平面内描出点P（2,4）和原点的位置，并指出点P和原点的横坐标和纵坐标。
平面直角坐标系的两条坐标轴将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，这四个部分依次称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。请你在直角坐标系内描出点A（2,1），B（-2,1），C（-1，-1），D（2，-1）的位置，并说明它们所在的象限。
3.平面直角坐标系具有广泛的应用，请你举例说明它的应用。
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
思考：引言中的问题用方程表示出来
定义：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
探究：满足二元一次方程的x、y的值的列举
定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
练习：对下面问题列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解。
8.2 消元——解二元一次方程组
思考：二元一次方程组与代入后的二元一次方程的关系
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
例1 用代入法解方程组（注意变式和代入的式子的选择）
例2 用代入法解应用题
思考：通过方程组中某个未知数的系数的关系思考另一种解二元一次方程组的方法 思考：联系上面解法解另一个二元一次方程组
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相同时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例3 用加减法解方程组
例4 用加减法解应用题
代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同。我们应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法。（二者的比较，并用一些习题让学生练习消元法的选择）
8.3 实际问题与二元一次方程组
继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题，学生可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流。
探究1 养牛场饲料需求的估算
探究2 作物种植土地的划分
探究3 材料运输的费用
【结论】从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义。
*8.4 三元一次方程组的解法
定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
类比二元一次方程组的解法探索三元一次方程组的解法。
三元一次方程组的求解思路：
例1 求解三元一次方程组（鼓励学生探索不同种解法，并选择最便捷的解法） 例2 代值、列三元一次方程组、求解
阅读与思考
一元一次方程组的古今表示及解法
我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”章，便有许多关于一次方程组的内容。
古代算筹与现代矩阵
具体解法一致：在一个方程两边乘另一个方程中某未知数的系数，然后再累减另一个方程。 我们祖先掌握上述解法，比起欧洲人来，要早一千多年，这是我国古代数学的一个光辉成就。
数学活动
活动一 探索二元一次方程的解及其图像，利用二元一次方程的图像求二元一次方程组的解 活动二 用二元一次方程组解决实际问题
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们通过实际问题引入了二元一次方程（组），并学习了二元一次方程组的解法——代入消元法和加减消元法。在此基础上，学习了简单的三元一次方程组及其解法。
消元是解二（三）元一次方程组的基本方法。通过消元，我们把“三元”转化为“二元”，把“二元”转化为“一元”，这一过程体现了回归思想。
二（三）元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，在现实中具有广泛的应用。用它解决实际问题时，要注意分析问题中的各种等量关系，引进适当的未知量，建立相应的方程组。
请你带着下面问题，复习一下全章的内容：
1.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组。“代入”与“加减”的目的是什么？
2.比较解三元一次方程组与解二元一次方程组的联系与区别。你能说说“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
3.用二元或三元一次方程组解决一个实际问题，你能说说用方程组解决实际问题的基本思路吗？
第九章 不等式与不等式组
本章将从什么是不等式说起，类比等式和方程，讨论不等式的性质，学习一元一次不等式（组）及其解法，并利用这些知识解决一些问题，感受不等式在研究不等关系问题中的重要作用。
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
问题：一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
思考：不等式的解应满足什么条件？（可以在数轴上表示出不等式的解，空心与实心） 定义：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
9.1.2 不等式的性质
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质。
思考：用“>”或“
【总结】当不等式两边加或减同一个数（正数或负数）时，不等号的方向不变。当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向不变；而乘同一个负数时，不等号的方向改变。
【不等式的性质1】不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。如果a>b，那么a±c>b±c。
【不等式的性质2】不等式两边乘（或除于）同一个正数，不等号的方向不变。如果a>b，c>0，那么ac>bc（或a/c>b/c）。
【不等式的性质3】不等式两边乘（或除于）同一个负数，不等号的方向改变。如果a>b，c
比较上面的性质2和性质3,指出它们有什么区别。再比较等式的性质和不等式的性质，它们有什么异同？
例1 利用不等式的性质解不等式
不等式的解集也可以在数轴上表示出来
“”读作“大于或等于”或“不小于”；“”读作“小于或等于”或“不大于”。
比较符号“”与“>”的区别。带有“”、“”的不等式具有与前面不等式一样的性质。 例2 求注水的体积范围
阅读与思考
用求差法比较大小
我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小。 补充：探索其他的比较大小的方法。
9.3 一元一次不等式组
利用数轴体会：x可取值的范围是两个不等式解集的公共部分。
定义：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集。
例1 解不等式组（利用数轴确定不等式组的解集）
例2 x取何值时，不两条等式同时成立
归纳：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分。利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
数学活动
活动一 用一元一次方程解决实际问题
活动二 猜数游戏
小结
二、回顾与思考
不等式（组）是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用。本章主要学习不等式的基础知识以及一类最简单的不等式（组）——一元一次不等式（组），并运用它们解决一些数学问题和实际问题。
在学习不等式的性质和一元一次不等式（组）的解法时，与等式的性质和方程（组）的解法进行类比，有益于对知识的理解与掌握。
与解方程是逐步将方程化为x=a的形式类似，解不等式是逐步将不等式化为x>a或x
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容：
1.总结不等式的性质，并与等式的性质进行比较。
2.总结一元一次不等式的解法，并与一元一次方程的解法进行比较。结合例子说明：解未知数为x的不等式，就是将不等式逐步变成x>a或x
3.如何解一元一次不等式组？结合例子说明：解不等式组就是求有关不等式的解集的公共部分。
4.举例说明数轴在解不等式（组）中的作用。
5.结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程。
第十章 数据的收集、整理与描述
这一章将在小学所学统计知识的基础上，学习收集数据的一些基本方法，在此基础上进一步学习如何整理数据，并用统计图表直观形象地描述数据，从中发现数据蕴含的规律，获取我们需要的信息。
10.1 统计调查
问题1 如果要了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，你会怎么做？
收集数据——整理数据——描述数据——分析数据——得出结论
定义：考查全体对象的调查叫做全面调查。
一、统计调查的步骤
1、收集数据的途径
①民主调查（如投票）；②实地调查；③网络调查；④实验调查；⑤查阅文献等。
2、整理数据的方法，如划记法
3、描述数据的方法：统计图表（扇形图的画法）
4、分析数据
5、得出结论
问题2 某校有2000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，怎样进行调查？
二、调查方式
①全面调查（又叫普查），如人口普查；
②抽样调查（注意选择的样本具有代表性、整体性。
三、总体、个体、样本、样本容量
总体：要考查的全体对象，这里指全校学生，有时为了强调调查目的，人们有时也把全校学生喜爱的电视节目作为总体。
个体：组成总体的每个考查对象称为个体。
样本：考查被抽取的那些个体组成一个样本。
样本容量：样本中个体的数目叫样本容量（不带单位）
定义：抽样调查是这样一种方法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。
定义：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到的抽样方法是简单随机抽样。 抽样调查的优点：花费少、省时省力、且适用于一些不宜用全面调查的情况。
在抽样调查中，抽取样本的方法得当，样本能客观地反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况。
归纳：全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式。全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费少、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查。抽样调查具有花费少、省时的特点，
但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。
问题3 比较你所在学校三个年级同学的平均体重
实验与探究
瓶子中有多少粒豆子
利用简单随机抽样，qpm（m：总的标记的豆粒数；p取出的豆粒数；n：取出的标记的豆粒数；q：瓶子中的豆粒数 ） p
这种调查方法在生产和科研中经常用到，例如用来估计一个养鱼池中鱼的数目。
10.2 直方图
前面学习了条形图、折线图、扇形图等描述数据的方法，下面介绍另一种常用来描述数据的统计图——直方图。
问题：从63名学生中挑选身高差不多的40名同学参加比赛。
画直方图的步骤：
1、计算最大值与最小值的差
2、决定组距和组数
组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。
组数n=|（最大值-最小值）/组距|+1
一般数据越多分的组数也越多。当数据在100个以内时，按照数据的多少常分成5-12组。
3、列频数分布表
频数：各个小组内的数据的个数，叫做频数。
4、画频数分布直方图
小长方形面积组距频数频数 组距
频数分布直观图是以小长方形的面积来反应频数，小长方形的高表示频数与组距的比值。 等距分组时，为画图与看图的方便，通常直接用小长方形的高表示频数。
信息技术应用
利用计算机画统计图
工具：电子表格（Excel）软件
优点：快捷方便、标准美观
10.3 课题学习 从数据谈节水
一、用回归法画出用水量的散点图，并进行预测
二、以“家庭人均月生活用水量”为题，在全校范围内展开一次统计调查活动，并完成一份调查报告。
1、给出调查目的，调查对象，调查问卷，调查方法。
2、用表格整理收集到的数据，用直方图描述数据，并分析数据中蕴含的信息。
3、计算或估计全校同学家庭人均月生活用水量的平均数，并与全国人均月生活用水量比较。
4、结合我国水资源短缺的形势，谈谈节约用水的意义，以及节约用水如何从我做起。
数学活动
活动一 用简单随机抽样方法估计全班同学的平均身高
活动二 谁的反应快
小结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
为了更好地了解周围世界，根据现有信息作合理推断和预测，我们经常需要有目的地收集一些数据。
本章我们学习了两种收集数据的方法——全面调查和抽样调查。全面调查要考察全体调查对象，而抽样调查只考察部分调查对象。因为抽样调查是根据样本来推断总体，所以在设计抽样调查方案时，要注意样本对总体的代表性。简单随机抽样是一种基本且实用的抽样方法，它要求总体中的每一个体有相等的机会被抽到。除了抽样方法要合理外，为了使样本能比较客观地反映总体，还要考虑样本容量的大小。
利用统计图表等整理和描述数据，有利于我们发现和探索数据中蕴含的规律，获取数据中的信息。不同的统计图从不同侧面描述了数据的特点，因此，选用合适的统计图描述数据，对发现和探索数据的特点和规律是很重要的。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容：
1.什么是全面调查和抽样调查？它们各有什么优缺点？
2.哪些情况下宜用全面调查？哪些情况下宜用抽样调查？
3.为什么抽样调查可以作为了解总体的方法？为了使样本对总体有较好的代表性，抽样时需要注意什么？
4.简单随机抽样有什么特点？用简单随机抽样抽出的样本是否一定具有代表性？请举例说明。
5.条形图、扇形图、折线图和直方图在表示数据方面各有什么特点？