基于matlab的线性规划论文

1 绪 论

随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。

在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”（Linear Programming，简记为LP）问题。线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。

2 线性规划模型的建立与求解

2.1线性规划模型

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有非负要求（称这样的变量为自由变量）。为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标准形式为

minzf1x1f2x2fnxn.s..a11x1a12x2a1nxnb1,ta21x1a22x2a2nxnb2,





am1x1am2x2···amnxnbm,

xi0(i1,2,,n).

极小值模型

maxzf1x1f2x2fnxn.

s..a11x1a12x2a1nxnb1,ta21x1a22x2a2nxnb2,





am1x1am2x2amnxnbm,

xi0(i1,2,,n).

极大值模型 利用矩阵与向量记为

minzCTx



tAxb s..x0

其中C 和x为n 维列向量，b为m 维列向量，b≥0，A为m×n矩阵,m

如果根据实际问题建立起来的线性规划问题并非标准形式，可以将它如下化为标准形式：（1）若目标函数为maxzCTx，可将它化为minzCTx

(2）若第i个约束为ai1x1ainxnbi，可增加一个松驰变量yi，将不等式化为

ai1x1ainxnyibi，且yi0。

若第i个约束为ai1x1+…+ainxnbi，可引入剩余量yi，将不等式化为

ai1x1+…+ainxn－ yi = bi，且yi0。

（3）若xi为自变量，则可令xixixi,其中xi、xi0 2.2应用实例 2.2.1

试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。

设配合饲料中，用A 种饲料x1单位，用B种饲料x2单位，用C种饲料x3单位，用D种饲料x4单位，用E种饲料x5单位，则配合饲料的原料成本函数，即决策的目标函数为Z。考虑三种营养含量限制条件后，得这一问题的线性规划模型如下

目标函数：

Min Z=0.4 x+1.4 x2+0.8 x3 +1.6 x4+1.6 x5

约束条件为：

3x12x2x36x412x5700s.. t1.0x10.5x20.2x32.0x40.5x530

0.5x1.0x1.2x2.0x0.8x100

12345

编写M文件如下： c = [0.4;1.4;0.8;1.6;1.6];

A=[-3,-2,-1,-6,-12;-1.0,-0.5,-0.2,-2.0,-0.5;-0.5,-1.0,-1.2,-2.0,-0.8]; b=[-700;-30;-100]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(5,1);

[x,fval,eval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq，vlb) %调用linprog函数 可得到如下结果： Optimization terminated. x =

224.7115 0.0000 0.0000 0.0000 2.1555 fval = 93.3333

从以上结果可以看出，买224.7115千克的A饲料，2.1555千克的E饲料，能满足动物生能满足动物生长营养需求又最经济，所用价钱为93.3333元。 2.2.2果然

某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？

设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为：

84x183x232x124x2

因检验员错检而造成的损失为：

(8252%x18155%x2)28x112x2

故目标函数为：

minz40x136x2

约束条件为：

5x13x245

x91

s.t. 

x152x10,x20

编写M文件如下： c = [40;36]; A=[-5 -3];

b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15];

[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) x =

9.0000 0.0000 fval =360

即只需聘用9个一级检验员。 2.3线性规划的求解——图解法

若一个线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的某个极点上找到一个最优解。同时仍有可能有其他最优解存在，但它们也只可能存在于可行域的其他极点或是边界上。如果我们的目的是找出一个最优解而不是全部最优解，这一定理实际上是把寻找的范围，从可行域中的无穷多个可行点，缩小到可行域的有限几个极点上。 例

某农户有耕地20公顷，可采用甲乙两种种植方式。甲种植方式每公顷需投资280元，每公顷投工6个，可获收入1000元，乙方式每公顷需投资150元，劳动15个工日，可获收入1200元，该户共有可用资金4200元、240个劳动工日。问如何安排甲乙两种方式的生产，可使总收入最大?

解：设甲方式种x1公顷，乙方式种x2公顷，总收入为Z，则有：

maxz1000x11200x2

280x150x4200

12

6x115x2240

xx2012x10,x20

所以，如图所示，在B点时，甲级两种方式的总收入最大，即甲方式种6.7公顷，乙方式种13.3公顷。

3 结 论

把线性规划的知识运用到企业中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，及时、准确、科学的制定生产计划、投资计划、对资源进行合理配置。过去企业在制定计划，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活，运用线性规划并配合计算机进行测算非常简便易行，几分钟就可以拿出最优方案，提高了企业决策的科学性和可靠性。其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而在使企业能够在生产的各个环节中优化配置，提高了企业的效率，对企业是大有益处的。

4 参考文献

[1] 韩明, 王家宝, 李林. 数学实验[M].上海:同济大学出版社, 2009. [2] 管梅谷，郑汉鼎.线性规划.济南:山东科学技术出版社,1983

郎艳怀.经济数学方法与模型教程.上海:上海财经大学出版社.2004.

1 绪 论

随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。

在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”（Linear Programming，简记为LP）问题。线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。

2 线性规划模型的建立与求解

2.1线性规划模型

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有非负要求（称这样的变量为自由变量）。为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标准形式为

minzf1x1f2x2fnxn.s..a11x1a12x2a1nxnb1,ta21x1a22x2a2nxnb2,





am1x1am2x2···amnxnbm,

xi0(i1,2,,n).

极小值模型

maxzf1x1f2x2fnxn.

s..a11x1a12x2a1nxnb1,ta21x1a22x2a2nxnb2,





am1x1am2x2amnxnbm,

xi0(i1,2,,n).

极大值模型 利用矩阵与向量记为

minzCTx



tAxb s..x0

其中C 和x为n 维列向量，b为m 维列向量，b≥0，A为m×n矩阵,m

如果根据实际问题建立起来的线性规划问题并非标准形式，可以将它如下化为标准形式：（1）若目标函数为maxzCTx，可将它化为minzCTx

(2）若第i个约束为ai1x1ainxnbi，可增加一个松驰变量yi，将不等式化为

ai1x1ainxnyibi，且yi0。

若第i个约束为ai1x1+…+ainxnbi，可引入剩余量yi，将不等式化为

ai1x1+…+ainxn－ yi = bi，且yi0。

（3）若xi为自变量，则可令xixixi,其中xi、xi0 2.2应用实例 2.2.1

试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。

设配合饲料中，用A 种饲料x1单位，用B种饲料x2单位，用C种饲料x3单位，用D种饲料x4单位，用E种饲料x5单位，则配合饲料的原料成本函数，即决策的目标函数为Z。考虑三种营养含量限制条件后，得这一问题的线性规划模型如下

目标函数：

Min Z=0.4 x+1.4 x2+0.8 x3 +1.6 x4+1.6 x5

约束条件为：

3x12x2x36x412x5700s.. t1.0x10.5x20.2x32.0x40.5x530

0.5x1.0x1.2x2.0x0.8x100

12345

编写M文件如下： c = [0.4;1.4;0.8;1.6;1.6];

A=[-3,-2,-1,-6,-12;-1.0,-0.5,-0.2,-2.0,-0.5;-0.5,-1.0,-1.2,-2.0,-0.8]; b=[-700;-30;-100]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(5,1);

[x,fval,eval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq，vlb) %调用linprog函数 可得到如下结果： Optimization terminated. x =

224.7115 0.0000 0.0000 0.0000 2.1555 fval = 93.3333

从以上结果可以看出，买224.7115千克的A饲料，2.1555千克的E饲料，能满足动物生能满足动物生长营养需求又最经济，所用价钱为93.3333元。 2.2.2果然

某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？

设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为：

84x183x232x124x2

因检验员错检而造成的损失为：

(8252%x18155%x2)28x112x2

故目标函数为：

minz40x136x2

约束条件为：

5x13x245

x91

s.t. 

x152x10,x20

编写M文件如下： c = [40;36]; A=[-5 -3];

b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15];

[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) x =

9.0000 0.0000 fval =360

即只需聘用9个一级检验员。 2.3线性规划的求解——图解法

若一个线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的某个极点上找到一个最优解。同时仍有可能有其他最优解存在，但它们也只可能存在于可行域的其他极点或是边界上。如果我们的目的是找出一个最优解而不是全部最优解，这一定理实际上是把寻找的范围，从可行域中的无穷多个可行点，缩小到可行域的有限几个极点上。 例

某农户有耕地20公顷，可采用甲乙两种种植方式。甲种植方式每公顷需投资280元，每公顷投工6个，可获收入1000元，乙方式每公顷需投资150元，劳动15个工日，可获收入1200元，该户共有可用资金4200元、240个劳动工日。问如何安排甲乙两种方式的生产，可使总收入最大?

解：设甲方式种x1公顷，乙方式种x2公顷，总收入为Z，则有：

maxz1000x11200x2

280x150x4200

12

6x115x2240

xx2012x10,x20

所以，如图所示，在B点时，甲级两种方式的总收入最大，即甲方式种6.7公顷，乙方式种13.3公顷。

3 结 论

把线性规划的知识运用到企业中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，及时、准确、科学的制定生产计划、投资计划、对资源进行合理配置。过去企业在制定计划，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活，运用线性规划并配合计算机进行测算非常简便易行，几分钟就可以拿出最优方案，提高了企业决策的科学性和可靠性。其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而在使企业能够在生产的各个环节中优化配置，提高了企业的效率，对企业是大有益处的。

4 参考文献

[1] 韩明, 王家宝, 李林. 数学实验[M].上海:同济大学出版社, 2009. [2] 管梅谷，郑汉鼎.线性规划.济南:山东科学技术出版社,1983

郎艳怀.经济数学方法与模型教程.上海:上海财经大学出版社.2004.