区间估计：
求单个正态总体期望（均值）和方差的置信区间
1、总体方差σ2已知，总体均值的置信区间
①据α，得临界值U α； 2
1n
②x =∑x i n i =1
例：设总体 ③求d=U α⋅2σn ④置信区间（x -d ，x +d） X ~N (μ, 0. 09) 随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值μ的95%的置信区间。
解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴查表得： U α=1.96 2
141X =X =(12. 6+13. 4+12. 8+13. 2) =13 ②∑i 4i =14
③∵σ=0.3，n=4 ∴d=U α⋅
2σn =1. 96⨯0. 3=0.29 4
④所以，总体均值μ的α=0.05的置信区间为：
（X －d ，X ＋d ）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29）
2、总体方差σ2未知，总体均值的置信区间
①据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表得t α(n -1) ； 2
1n
②确定x =∑x i n i =1
s ③求d=t α(n -1) ⋅n 21n 2(x -x ) 和s = ∑i n -1i =12 ④置信区间（x -d ，x +d）
例：某公司欲估计自己生产的电池寿命，现从其产品中随机抽取30只电池做寿命试验，这些电池的寿命的平均值x =2.266（单位：100小时），s
平均寿命的置信度为95%的置信区间。
解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴查表得： ②X =1.935。求该公司生产的电池=2. 266，s =1.935
③∵n=30 ∴d=t α(n -1) ⋅
2s n =0.723
1
④所以，总体均值μ的α=0.05的置信区间为：
（X －d ，X ＋d ）=（2.989，1.543）
3、总体比例的区间估计
①据α，得临界值U α；
2
②确定样本比例
③求d=U α
2p 和样本容量n ④置信区间（⋅p (1-p ) n p -d ，p +d）
例：某印染厂在配制一种染料时，在40次试验中成功了34次，求配制成功的概率p 的置信度为95%的置信区间。
解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴查表得：U 0. 025=1. 96 n =40, p =
②34=0.8540
3434(1-) p (1-p ) =1. 96⨯③d=U α⋅ n 402
④所以，总体比例p 的α=0.05的置信区间为：
（X －d ，X ＋d ）=（0.7379，0.9607）
假设检验
必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准
一般思路：
1、提出待检假设H 0
2、选择统计量
3、据检验水平α，确定临界值
4、计算统计量的值
5、作出判断
检验类型（1）：已知方差σ2，检验总体期望(均值) μ
①根据题设条件，提出H 0:μ= μ0(μ0已知) ； ②选择统计量u =X -μ
σ/n
2； ③据α，查表得U α；
2
④由样本值算出X ＝？, 从而得到u 0=
⑤作出判断 X -μσ/n ；
⎧若u 0U α，则拒绝H 0
2⎩
检验类型⑵：未知方差σ2，检验总体期望(均值) μ
①根据题设条件，提出H 0:μ= μ0(μ0已知) ； ②选择统计量T =X -μ
s /n ~t (n -1) ；
③据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表得t α(n -1) ； 2
④由样本值算出X ＝？和s ＝？从而得到T 0=
⑤作出判断 X -μs /n ；
|T 0|>t α(n -1) 拒绝原假设
2
例：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2 ）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（α=0.05）
解：H 0:μ= 549 H1:μ≠ 549 选择统计量T =X -μ
s /n ~t (n -1)
∵α=0.05，n －1=4，∴查表得：t 0.025(4)=2.776 1又∵X =(545+... +545) =543 5
s 2=1[(545-545) 2+... +(543-545) 2]=57.5 4
3
∴0=X -μ
s /n =543-54957. 5/5=1.77
∴不拒绝假设，即可以认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。
列联分析
拟合优度检验（比例检验）步骤：
①提出假设
H 0:π1=π2=... =πj ;
H 1:π1, π2,... πj
不全相等
②计算检验的统计量
(f 0-f e ) 2
χ=∑f e 2
f e =f i . ⨯π f i . 表示各组的总频数，π表示总体比例
③进行决策
根据显著性水平α和自由度(r-1)(c-1)查出临界值
若χ2222，拒绝H 0；若χχα2χα
独立性检验（比例检验）步骤：
①提出假设
H 0：行变量与列变量独立
H 1：行变量与列变量不独立
②计算检验的统计量
2(f -f ) χ2=∑0e
f e
f e =n ⨯RT CT ⨯ RT 表示给定单元所在行的合计， n n
CT表示给定单元所在列的合计。
③进行决策
根据显著性水平α和自由度(r-1)(c-1)查出临界值
若χ2222，拒绝H 0；若χχα2χα
交叉列联表分析：
1. 在进行计数资料时，要对频数变量进行加权处理（Dat a →Weight Cases→Weight cases 4
by →选频数变量）
2. Analyze →Descriptive Statistics→Crosstables →将需要交叉分析的行和列变量选进
Row ，Column →Statistics(勾选Chi-square) →Cells （可根据需要选择期望频数，行列变量百分比等）
分析（1）根据卡方检验的Pearson Chi-Square 的P 值=0.023，拒绝原假设，可认为不同的专业对所选课程有影响。
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区间估计：
求单个正态总体期望（均值）和方差的置信区间
1、总体方差σ2已知，总体均值的置信区间
①据α，得临界值U α； 2
1n
②x =∑x i n i =1
例：设总体 ③求d=U α⋅2σn ④置信区间（x -d ，x +d） X ~N (μ, 0. 09) 随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值μ的95%的置信区间。
解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴查表得： U α=1.96 2
141X =X =(12. 6+13. 4+12. 8+13. 2) =13 ②∑i 4i =14
③∵σ=0.3，n=4 ∴d=U α⋅
2σn =1. 96⨯0. 3=0.29 4
④所以，总体均值μ的α=0.05的置信区间为：
（X －d ，X ＋d ）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29）
2、总体方差σ2未知，总体均值的置信区间
①据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表得t α(n -1) ； 2
1n
②确定x =∑x i n i =1
s ③求d=t α(n -1) ⋅n 21n 2(x -x ) 和s = ∑i n -1i =12 ④置信区间（x -d ，x +d）
例：某公司欲估计自己生产的电池寿命，现从其产品中随机抽取30只电池做寿命试验，这些电池的寿命的平均值x =2.266（单位：100小时），s
平均寿命的置信度为95%的置信区间。
解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴查表得： ②X =1.935。求该公司生产的电池=2. 266，s =1.935
③∵n=30 ∴d=t α(n -1) ⋅
2s n =0.723
1
④所以，总体均值μ的α=0.05的置信区间为：
（X －d ，X ＋d ）=（2.989，1.543）
3、总体比例的区间估计
①据α，得临界值U α；
2
②确定样本比例
③求d=U α
2p 和样本容量n ④置信区间（⋅p (1-p ) n p -d ，p +d）
例：某印染厂在配制一种染料时，在40次试验中成功了34次，求配制成功的概率p 的置信度为95%的置信区间。
解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴查表得：U 0. 025=1. 96 n =40, p =
②34=0.8540
3434(1-) p (1-p ) =1. 96⨯③d=U α⋅ n 402
④所以，总体比例p 的α=0.05的置信区间为：
（X －d ，X ＋d ）=（0.7379，0.9607）
假设检验
必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准
一般思路：
1、提出待检假设H 0
2、选择统计量
3、据检验水平α，确定临界值
4、计算统计量的值
5、作出判断
检验类型（1）：已知方差σ2，检验总体期望(均值) μ
①根据题设条件，提出H 0:μ= μ0(μ0已知) ； ②选择统计量u =X -μ
σ/n
2； ③据α，查表得U α；
2
④由样本值算出X ＝？, 从而得到u 0=
⑤作出判断 X -μσ/n ；
⎧若u 0U α，则拒绝H 0
2⎩
检验类型⑵：未知方差σ2，检验总体期望(均值) μ
①根据题设条件，提出H 0:μ= μ0(μ0已知) ； ②选择统计量T =X -μ
s /n ~t (n -1) ；
③据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表得t α(n -1) ； 2
④由样本值算出X ＝？和s ＝？从而得到T 0=
⑤作出判断 X -μs /n ；
|T 0|>t α(n -1) 拒绝原假设
2
例：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2 ）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（α=0.05）
解：H 0:μ= 549 H1:μ≠ 549 选择统计量T =X -μ
s /n ~t (n -1)
∵α=0.05，n －1=4，∴查表得：t 0.025(4)=2.776 1又∵X =(545+... +545) =543 5
s 2=1[(545-545) 2+... +(543-545) 2]=57.5 4
3
∴0=X -μ
s /n =543-54957. 5/5=1.77
∴不拒绝假设，即可以认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。
列联分析
拟合优度检验（比例检验）步骤：
①提出假设
H 0:π1=π2=... =πj ;
H 1:π1, π2,... πj
不全相等
②计算检验的统计量
(f 0-f e ) 2
χ=∑f e 2
f e =f i . ⨯π f i . 表示各组的总频数，π表示总体比例
③进行决策
根据显著性水平α和自由度(r-1)(c-1)查出临界值
若χ2222，拒绝H 0；若χχα2χα
独立性检验（比例检验）步骤：
①提出假设
H 0：行变量与列变量独立
H 1：行变量与列变量不独立
②计算检验的统计量
2(f -f ) χ2=∑0e
f e
f e =n ⨯RT CT ⨯ RT 表示给定单元所在行的合计， n n
CT表示给定单元所在列的合计。
③进行决策
根据显著性水平α和自由度(r-1)(c-1)查出临界值
若χ2222，拒绝H 0；若χχα2χα
交叉列联表分析：
1. 在进行计数资料时，要对频数变量进行加权处理（Dat a →Weight Cases→Weight cases 4
by →选频数变量）
2. Analyze →Descriptive Statistics→Crosstables →将需要交叉分析的行和列变量选进
Row ，Column →Statistics(勾选Chi-square) →Cells （可根据需要选择期望频数，行列变量百分比等）
分析（1）根据卡方检验的Pearson Chi-Square 的P 值=0.023，拒绝原假设，可认为不同的专业对所选课程有影响。
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