第25卷第3期
2009年6月大 学 数 学COLLEGE M A TH EM A TICS V ol . 25, №.3Jun . 2009
递推数列x n +1=f (x n ) 的单调性与收敛性讨论
吴延东
(淮阴工学院计算科学系, 江苏淮安223001)
[摘 要]利用函数单调递增对递推数列x n +1=f (x n ) 单调性进行讨论, 在对递推数列收敛性作分析的基础上, 得到使得递推数列收敛的初始迭代值的区域, 讨论的方法可以用于类似问题的研究.
[关键词]递推数列; 收敛性; 不动点
[中图分类号]O 172 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2009) 03-0173-04
递推数列的形式多种多样, 递推数列的收敛性在许多问题的研究中有重要的作用. 我们知道单调有界的数列一定收敛, 但对数列{x n }而言, 判定其是否单调并不方便, 往往要借助不等式技巧, 如果可以利用函数单调性考察递推数列单调性, 会比较方便实用. 对一个递推数列{x n }而言, 即使我们得到数列{x n }收敛性的结论但往往也不具典型性, 即初始值对递推数列的收敛性有何影响仍然不清楚, 分析递推数列x n +1=f (x n ) 初始值与收敛性的关系, 能为更好认识递推数列的收敛性提供一些帮助.
1 递推数列x n +1=f (x n ) 的单调性判别
定义1 设数列x n +1=f (x n ) (n =0, 1, 2, …), 其中x 0为一给定常数, 称数列{x n }是由函数y =f (x ) 确定的递推数列.
定理1 如果连续函数y =f (x ) 在区间I 上单调增加, f (I ) I , 则由函数y =f (x ) 确定的递推数列{x n }在I 上单调, 且当x 0x 1时, 数列{x n }单调递减.
用数学归纳法不难证明定理1.
当函数y =f (x ) 在区间I 上可导时, 由f ′(x ) 的符号可确定函数y =f (x ) 单调性, 所以函数y =f (x ) 在被考察的区间上单调增加时用定理1可方便地判定出数列x n +1=f (x n ) 的单调性.
考察数列x n +1数列x n +13x n 3的单调性, 其中a >0, x 0>0. x n 43x n 3是由函数f (x ) =3x 3确定的递推数列, 在a >0, x >0时, f ′(x ) 4x n 4x 14>0. 又x 1-x 0(a +x 0) 0, x 0>0时单调递减. 4x 44x n
值得注意的是, 在函数y =f (x ) 非单调递增时, 利用函数单调递增对递推数列{x n }单调性进行讨论
x (1-x ) 确定的数列x n +1x n (1-x n ) , 在22
, 25的方法如使用恰当, 也有不错的效果. 如由f (x ) , 内虽然f ′(x ) (1-2x )
时, 因x 0x 3, 从而有:x 0x 3>x 5>…>x 2k +1>…;当 [收稿日期]2006-12-18; [修改日期]2007-03-19
174
x 0∈大 学 数 学 第25卷, 时, x 0>x 2, x 1x 2>x 4>…>x 2k >…与x 1
2 递推数列的收敛性讨论举例
定义2 满足方程f (x ) =x 的点x ＊称为函数y =f (x ) 的不动点.
定理2 若由连续函数y =f (x ) 确定的递推数列{x n }收敛于a , 则x =a 是y =f (x ) 的一个不动点. 证 因为递推数列x n +1=f (x n ) 收敛, 设n lim x n =a , 对x n +1=f (x n ) 两端取极限, 得a =f (a ) , 所以※∞
x =a 是y =f (x ) 的一个不动点.
数列1 x n +1=+x n , x 02.
数列{x n }由函数y =2+x 确定的递推数列, n ※∞时为2++2+…无限形式. 考虑到
y =2+x 在x >-2时的导数f ′(x ) >0, 由f ′(x ) >0可知数列x n +1=n . 22+x
0, 所以x 1=222=x 0, 所以x n +1=+x n 单调递增; 又x 02
02
数列2 x n +1=x n , x 02.
数列{x n }由函数y =2x 确定的递推数列, n ※∞时为2
x >0时的导数f ′(x ) 2+无限形式. 考虑到y =2x 在>0, 由f ′(x ) >0可知数列x n +1=x n 是单调的. 2x
又x 0>1, 所以x 1=2=x 0, 所以x n +1=n 单调递增; 又x 0
数列3 x n +12n , x 0.
数列{x n }由函数y 2确定的递推数列, n ※∞时为2无限形式. 考虑到y =2的导数
n f ′(x ) 2ln2>0, 由f ′(x ) >0可知数列x n +12是单调的. 2
又x 02>1, 所以x 122=x 0, 所以x n +12单调递增; 又x 02
1n 0=2, …,1
讨论了以上三个数列的收敛性后, 接下来分析一下所给的初始值x 0如果不是2, 情况会怎样. 3 关于初始值x 0的讨论
定义3 在不动点x 处, 若 f ′(x ) 1, 则称x 为y =f (x ) 的排斥不动点.
对以上三个数列而言, 在极限x =2(即f (x ) 的不动点) 处, 不难发现都有 f ′(2)
第3期 吴延东:递推数列x n +1=f (x n ) 的单调性与收敛性讨论
n ＊n n -1x ∈U , 有 f ′(x )
对任意一点x ∈U , 在x , x ＊为端点的闭区间上由拉格朗日中值定理得
f (x ) -x = f ′(ξ) x -x
所以f (x ) ∈U . 又
f n (x ) -x ＊ = f n (x ) -f n (x ＊) =[f n ′(ξ) ] f n -1(x ) -x ＊
所以{ f (x ) -x }单调递减. 若 f (x ) -x ※0, 即为要证. 若 f (x ) -x ※l ≠0, 则{f (x ) }的极
＊＊＊限点u 在x , x 为端点的闭区间上且满足 f (u ) -x = u -x , 与(1) 式矛盾. 定理结论成立.
定理表明吸引不动点在迭代过程中, 吸引不动点可吸引周边的点.
n ＊＊定义4 若存在不动点x ＊的区间V , 对一切x ∈V 有n lim f (x ) =x , 称V 是不动点x 的吸引域. ※∞n ＊n ＊n ＊n ＊＊＊(1)
由定理3显然有:
推论1 U V .
推论2 在不动点x ＊的吸引域中任取一点x 0作为相应递推数列的初始值, 则数列极限不变. 对数列1, 吸引域V =[-2, +∞) . 对数列2, 相应的y =f (x ) 有两个不动点x 1=0, x 2=2. 但x 1=0是排斥不动点, 对任一x 0≠0作为初始值, 不可能有n lim x n =0; x 2=2是吸引不动点, 吸引域V =(0, +∞) . ※∞
x ) 2, 令f (x ) =x , 即=x . 取对数, 得下面讨论数列3. 数列x n +12相应的函数f (
. 设φ(x ) , 令φ′(x ) =0, 得x =e . x 2x x
当x 0, φ(x ) 单调递增.
当x >e 时, φ′(x )
当x =e 时, φ(x ) =取得最大值. 又x lim =lim =0
在(1, e ) 与(e , +∞) 内各有一个解. 显然(1, e ) 内的解为x 1=2. x 2
f ′(2) 2ln2
所以x 1=2是f (x ) 2的吸引不动点; (e , +∞) 内的解为x 2=4, 而
f ′(4) 2ln2>2ln2>1, 2
所以x 2=4是f (x ) 2的排斥不动点, 即不可能有x 0≠4, 使得n lim x n =4. ※+∞
接下来证明对一切x 0∈(-∞,4) , 都有lim x n =2. n ※∞
因为
f ′(x ) 22ln2>0, f ″(x ) 2ln 2>0, 24
所以函数f ′(x ) 单调递增, 曲线f (x ) 2是凹的. 又f ′(4) =2ln2>1, 而f ′(2) =ln2
0内f ′(x ) =1有唯一解ξ. 对一切x 0∈(-∞,ξ) , 此时0
切x 0∈(ξ, 4) , 因曲线f (x ) 2在(ξ, 4) 内是凹的, 则有x 1=f (x 0)
当x 0∈(4, +∞) 时, 数列{x n }不再收敛. 即数列x n +12在x 0∈(-∞,4) 时, lim x n =2; x 0=4n ※∞
时, x n +1≡4; x ∈(4, +∞) 时, 数列{x n }发散到+∞.
由上面的讨论可以看到, 由函数y =f (x ) 确定的递推数列{x n }的收敛性往往不是独立的, 初始值x 0在不动点的吸引域内取值时不影响递推数列{x n }的收敛性与其极限. 函数y =f (x ) 非单调递增时这n
176大 学 数 学 第25卷
[参 考 文 献]
[1] 李杰红. 关于递推数列收敛的一种判别法[J ]. 天津科技大学学报, 2004, 19(2) :69-70.
[2] 唐燕玉. 递推关系数列的极限[J ]. 阜阳师范学院学报, 1994, 22(2) :79-84.
[3] 陈士华, 陈君安. 混沌动力学初步[M ]. 武汉:武汉水利电力大学出版社, 1998:14-45.
[4] 李广明. 应用泛函分析原理[M ]. 西安:西安电子科技大学出版社, 2003:132-148.
[5] 毛京中. 高等数学竞赛与提高[M ]. 北京:北京理工大学出版社, 2002:12-13.
[6] 李重华, 等. 高等数学竞赛试题精解[M ]. 上海:上海科学普及出版社, 1996:1-3.
A Discuss on Monotonicity and Convergence of
Iterative Sequences x n +1=f (x n )
WU Yan -dong
(Depar tment of Co mputing Science Huaiy in Institute o f T echno lo gy , H uaian , Jiang su 223001, China )
A bstract :We use the me thod of function mono to ny increase to discuss sequence mono to nicity , and g ain the iterative sequence co nv erg ence district about first value . T he metho d is useful to resea rch par allelism pro blem .
Key words :itera tive sequence ; co nve rgence ; fixed point
第25卷第3期
2009年6月大 学 数 学COLLEGE M A TH EM A TICS V ol . 25, №.3Jun . 2009
递推数列x n +1=f (x n ) 的单调性与收敛性讨论
吴延东
(淮阴工学院计算科学系, 江苏淮安223001)
[摘 要]利用函数单调递增对递推数列x n +1=f (x n ) 单调性进行讨论, 在对递推数列收敛性作分析的基础上, 得到使得递推数列收敛的初始迭代值的区域, 讨论的方法可以用于类似问题的研究.
[关键词]递推数列; 收敛性; 不动点
[中图分类号]O 172 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2009) 03-0173-04
递推数列的形式多种多样, 递推数列的收敛性在许多问题的研究中有重要的作用. 我们知道单调有界的数列一定收敛, 但对数列{x n }而言, 判定其是否单调并不方便, 往往要借助不等式技巧, 如果可以利用函数单调性考察递推数列单调性, 会比较方便实用. 对一个递推数列{x n }而言, 即使我们得到数列{x n }收敛性的结论但往往也不具典型性, 即初始值对递推数列的收敛性有何影响仍然不清楚, 分析递推数列x n +1=f (x n ) 初始值与收敛性的关系, 能为更好认识递推数列的收敛性提供一些帮助.
1 递推数列x n +1=f (x n ) 的单调性判别
定义1 设数列x n +1=f (x n ) (n =0, 1, 2, …), 其中x 0为一给定常数, 称数列{x n }是由函数y =f (x ) 确定的递推数列.
定理1 如果连续函数y =f (x ) 在区间I 上单调增加, f (I ) I , 则由函数y =f (x ) 确定的递推数列{x n }在I 上单调, 且当x 0x 1时, 数列{x n }单调递减.
用数学归纳法不难证明定理1.
当函数y =f (x ) 在区间I 上可导时, 由f ′(x ) 的符号可确定函数y =f (x ) 单调性, 所以函数y =f (x ) 在被考察的区间上单调增加时用定理1可方便地判定出数列x n +1=f (x n ) 的单调性.
考察数列x n +1数列x n +13x n 3的单调性, 其中a >0, x 0>0. x n 43x n 3是由函数f (x ) =3x 3确定的递推数列, 在a >0, x >0时, f ′(x ) 4x n 4x 14>0. 又x 1-x 0(a +x 0) 0, x 0>0时单调递减. 4x 44x n
值得注意的是, 在函数y =f (x ) 非单调递增时, 利用函数单调递增对递推数列{x n }单调性进行讨论
x (1-x ) 确定的数列x n +1x n (1-x n ) , 在22
, 25的方法如使用恰当, 也有不错的效果. 如由f (x ) , 内虽然f ′(x ) (1-2x )
时, 因x 0x 3, 从而有:x 0x 3>x 5>…>x 2k +1>…;当 [收稿日期]2006-12-18; [修改日期]2007-03-19
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x 0∈大 学 数 学 第25卷, 时, x 0>x 2, x 1x 2>x 4>…>x 2k >…与x 1
2 递推数列的收敛性讨论举例
定义2 满足方程f (x ) =x 的点x ＊称为函数y =f (x ) 的不动点.
定理2 若由连续函数y =f (x ) 确定的递推数列{x n }收敛于a , 则x =a 是y =f (x ) 的一个不动点. 证 因为递推数列x n +1=f (x n ) 收敛, 设n lim x n =a , 对x n +1=f (x n ) 两端取极限, 得a =f (a ) , 所以※∞
x =a 是y =f (x ) 的一个不动点.
数列1 x n +1=+x n , x 02.
数列{x n }由函数y =2+x 确定的递推数列, n ※∞时为2++2+…无限形式. 考虑到
y =2+x 在x >-2时的导数f ′(x ) >0, 由f ′(x ) >0可知数列x n +1=n . 22+x
0, 所以x 1=222=x 0, 所以x n +1=+x n 单调递增; 又x 02
02
数列2 x n +1=x n , x 02.
数列{x n }由函数y =2x 确定的递推数列, n ※∞时为2
x >0时的导数f ′(x ) 2+无限形式. 考虑到y =2x 在>0, 由f ′(x ) >0可知数列x n +1=x n 是单调的. 2x
又x 0>1, 所以x 1=2=x 0, 所以x n +1=n 单调递增; 又x 0
数列3 x n +12n , x 0.
数列{x n }由函数y 2确定的递推数列, n ※∞时为2无限形式. 考虑到y =2的导数
n f ′(x ) 2ln2>0, 由f ′(x ) >0可知数列x n +12是单调的. 2
又x 02>1, 所以x 122=x 0, 所以x n +12单调递增; 又x 02
1n 0=2, …,1
讨论了以上三个数列的收敛性后, 接下来分析一下所给的初始值x 0如果不是2, 情况会怎样. 3 关于初始值x 0的讨论
定义3 在不动点x 处, 若 f ′(x ) 1, 则称x 为y =f (x ) 的排斥不动点.
对以上三个数列而言, 在极限x =2(即f (x ) 的不动点) 处, 不难发现都有 f ′(2)
第3期 吴延东:递推数列x n +1=f (x n ) 的单调性与收敛性讨论
n ＊n n -1x ∈U , 有 f ′(x )
对任意一点x ∈U , 在x , x ＊为端点的闭区间上由拉格朗日中值定理得
f (x ) -x = f ′(ξ) x -x
所以f (x ) ∈U . 又
f n (x ) -x ＊ = f n (x ) -f n (x ＊) =[f n ′(ξ) ] f n -1(x ) -x ＊
所以{ f (x ) -x }单调递减. 若 f (x ) -x ※0, 即为要证. 若 f (x ) -x ※l ≠0, 则{f (x ) }的极
＊＊＊限点u 在x , x 为端点的闭区间上且满足 f (u ) -x = u -x , 与(1) 式矛盾. 定理结论成立.
定理表明吸引不动点在迭代过程中, 吸引不动点可吸引周边的点.
n ＊＊定义4 若存在不动点x ＊的区间V , 对一切x ∈V 有n lim f (x ) =x , 称V 是不动点x 的吸引域. ※∞n ＊n ＊n ＊n ＊＊＊(1)
由定理3显然有:
推论1 U V .
推论2 在不动点x ＊的吸引域中任取一点x 0作为相应递推数列的初始值, 则数列极限不变. 对数列1, 吸引域V =[-2, +∞) . 对数列2, 相应的y =f (x ) 有两个不动点x 1=0, x 2=2. 但x 1=0是排斥不动点, 对任一x 0≠0作为初始值, 不可能有n lim x n =0; x 2=2是吸引不动点, 吸引域V =(0, +∞) . ※∞
x ) 2, 令f (x ) =x , 即=x . 取对数, 得下面讨论数列3. 数列x n +12相应的函数f (
. 设φ(x ) , 令φ′(x ) =0, 得x =e . x 2x x
当x 0, φ(x ) 单调递增.
当x >e 时, φ′(x )
当x =e 时, φ(x ) =取得最大值. 又x lim =lim =0
在(1, e ) 与(e , +∞) 内各有一个解. 显然(1, e ) 内的解为x 1=2. x 2
f ′(2) 2ln2
所以x 1=2是f (x ) 2的吸引不动点; (e , +∞) 内的解为x 2=4, 而
f ′(4) 2ln2>2ln2>1, 2
所以x 2=4是f (x ) 2的排斥不动点, 即不可能有x 0≠4, 使得n lim x n =4. ※+∞
接下来证明对一切x 0∈(-∞,4) , 都有lim x n =2. n ※∞
因为
f ′(x ) 22ln2>0, f ″(x ) 2ln 2>0, 24
所以函数f ′(x ) 单调递增, 曲线f (x ) 2是凹的. 又f ′(4) =2ln2>1, 而f ′(2) =ln2
0内f ′(x ) =1有唯一解ξ. 对一切x 0∈(-∞,ξ) , 此时0
切x 0∈(ξ, 4) , 因曲线f (x ) 2在(ξ, 4) 内是凹的, 则有x 1=f (x 0)
当x 0∈(4, +∞) 时, 数列{x n }不再收敛. 即数列x n +12在x 0∈(-∞,4) 时, lim x n =2; x 0=4n ※∞
时, x n +1≡4; x ∈(4, +∞) 时, 数列{x n }发散到+∞.
由上面的讨论可以看到, 由函数y =f (x ) 确定的递推数列{x n }的收敛性往往不是独立的, 初始值x 0在不动点的吸引域内取值时不影响递推数列{x n }的收敛性与其极限. 函数y =f (x ) 非单调递增时这n
176大 学 数 学 第25卷
[参 考 文 献]
[1] 李杰红. 关于递推数列收敛的一种判别法[J ]. 天津科技大学学报, 2004, 19(2) :69-70.
[2] 唐燕玉. 递推关系数列的极限[J ]. 阜阳师范学院学报, 1994, 22(2) :79-84.
[3] 陈士华, 陈君安. 混沌动力学初步[M ]. 武汉:武汉水利电力大学出版社, 1998:14-45.
[4] 李广明. 应用泛函分析原理[M ]. 西安:西安电子科技大学出版社, 2003:132-148.
[5] 毛京中. 高等数学竞赛与提高[M ]. 北京:北京理工大学出版社, 2002:12-13.
[6] 李重华, 等. 高等数学竞赛试题精解[M ]. 上海:上海科学普及出版社, 1996:1-3.
A Discuss on Monotonicity and Convergence of
Iterative Sequences x n +1=f (x n )
WU Yan -dong
(Depar tment of Co mputing Science Huaiy in Institute o f T echno lo gy , H uaian , Jiang su 223001, China )
A bstract :We use the me thod of function mono to ny increase to discuss sequence mono to nicity , and g ain the iterative sequence co nv erg ence district about first value . T he metho d is useful to resea rch par allelism pro blem .
Key words :itera tive sequence ; co nve rgence ; fixed point