图形变换在四边形中的应用

几何图形变换在四边形中的应用

一、旋转

1．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转30°，至正方形AB′C′D′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是________．

2．如图，正方形ABCD中，E为DC上任意一点，∠BAE的平分线交BC于F．试判断AE、DE、BF之间存在怎样的一个数量关系，并说明理由．解：AE=DE+BF

3．已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，D为斜边上任意一点，求证：BD2+DC2=2AD2．

4.如图，正方形ABCD内有一点P，PA1，PB2，PC3. （1）求PD的长；（2）求APB的大小；（3）求正方形的边长.

【变式1】变式1中其他条件不变，PA1，PB

3，PDAPD的大小和正方形的面积.

5.如图，P是边长为1的等边ABC内任意一点，

求证：

6.已知正方形ABCD，在BC边上取一点E，作EFAE交C的外角平分线于F，求证：AEEF．

BEC

已知：PAPB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.

⑴ 如图，当APB45时，求AB及PD的长；

⑵ 当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小.

B90，8.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BCBC>AD，ABBC12，且DCE45，E是AB上一点，

DE10，求BE的长．

9、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）

的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。

⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2=BN2+CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。

图① 图② 图③

⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。

⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系（不需要证明）

图④

10．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；

（2）将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E，MC(即MC′)同时与AD交于一点F时，

点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

11．阅读下面材料：

小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△ABC内部一点，且OA:OB:OC1:2:，求AOB

的度数.

图⑴ 图⑵ 图⑶

小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO，连结OO. 则△AOO是等边三角形，故OOOA，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形OOB中. （1）请你回答：AOB. （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四边形ABCD的面积. 解：

12.⑴ 如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且

EAFBAD．求证：EFBEFD；

⑵ 如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且

EAFBAD，⑴中的结论是否仍然成立？不用证明．

⑶ 如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，

且EAFBAD，⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关

系，并证明．

图1

C图2

C图3

13．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角

板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时，

①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；

②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

图1

图2

图3

A F

二、平移

1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，

PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列

四个结论：①AP =EF；②∠PFE=∠BAP；③PD= 2EC；

④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）． F

BCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF，△AEF

的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长．

小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中

到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2)，可以解决这个问题．

请你参考小杰同学的思路回答：（1）图2中AH的长等于．

（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于．

3. 梯形ABCD中，AB//CD，M、N分别是CD、AB的中点，∠A+∠B=90试猜想线段CD、AB与MN之间的数量关系，并说明理由．

A N B

4．在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC边上的动点，E是BC边上的动点，AD=BC，CD=BE ．（1）如图1，若点E与点C重合，连结BD，请写出∠

BDE的度数；

（2）若点E与点B、C不重合，连结AE 、BD交于点F，请在图2中补全图形，并求出∠BFE的

度数．

三、轴对称

1．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD,

M、N分别是AD、BC的中点，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN 上一个动点，若AD=3, 则PD+PC的最小值是．

2．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点， PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为（）

12132A． B． C．2 D．

555

3.如图，正方形ABCD中，AB8，M是DC上的一点，且DM2，N是AC上的一动点，求DNMN的最小值．

4.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，CM2，点P是BD上一动点，则PMPC的最小值是．

5.如图，在菱形ABCD中，AB4a，E在BC上，EC2a，BAD120，P在BD上，求PEPC的最小值．

BEC

6.如图，P边边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，求

MPNP的最小值．

四、折叠

1. 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF折叠，点A、B分别落在A'、B'处，线段FB与AD交于点M，再将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C'、D'处，且使MD（1）求证：四边形MNFE是平行四边形； D（2）当翻折角∠BFE 度时，

四边形MNFE是菱形．（将答案直接填写在横线上） C 2. 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F. （1）求证：△FAC是等腰三角形；

（2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.

3.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE6cm，AB16cm，求BF的长． A

4.．如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，

则折痕EF的长是……………………………………………………………………（）（A）7．5 （B）6 （C）10 （D）5

5．将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴

和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠. （1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为；

（2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G. 求证：EH＝CH；

（3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式；（4）如图③，将矩形OABC变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度．

图① 图②

图③

6. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm。

①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合，则

②如图2，若将直角C沿MN折叠，使点C落在AB中点H上，点M、N分别在AC、BC上，则AM2、BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论。