第七周初中数学教研活动会议记录

第七周初中数学教研活动会议记录

城关二中

时间： 2011年10月15日

地点： 城关二中数学办公室

课题： 2.1 花边有多宽（1）教学交流 主持： 李敏

参加人员：初三数学教师。

一、2.1 花边有多宽（1）教学交流

花边有多宽数学教案；课 题

§2．1．1 花边有多宽(一)

教学目标：(一)知识与技能： 1．一元二次方程的概念 2．一元二次方程的有关概念． (二)过程与方法： 1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型． 2．理解一元二次方程的概念

(三)情感、态度与价值观：从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识． 教学重点：一元二次方程的概念a≠0 教学难点： 一元二次方程的概念:a≠0 教学方法： 启发诱导式 教具准备：投影片四张

第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A) 第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B) 第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C) 第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D) 教学过程： Ⅰ．创设现实情景、引入新课

[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗? [生]黄金比是0.618．

[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗? „„

[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?„„

从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程． 与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型． 下面我们来学习第一节：花边有多宽． Ⅱ．讲授新课

[师]我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．

一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m，那么花边有多宽?

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[生]我们可以利用列方程来求解．

[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法． [生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．

这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m． 这个题所要求的是；地毯的花边有多宽． 本题是以面积为等量关系．

[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．

[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程

(8-2x)(5-2x)＝18

注意：1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽． 2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．

[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)： 观察下面等式 10+11+12＝13+14．

你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? [生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．

[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢?

[生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4． [生乙]根据题意，则可得到方程 x+(x+1)+(x+2) =(x+3)+(x+4)．

[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程 (x-2)+(x-1)+x ＝(x+1)+(x+2)． 这样行吗?

[师]丙同学的思路很好， 这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．

下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：

如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?

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[师]同学们分组讨论，列出方程．

[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．

[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程． (x+6)+(8-1)＝10， 即(x+6)+7＝10．

[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)： 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8-2x)(5-2x)＝18， x+(x+1)+(x+2) =(x+3)+(x+4)， (x+6)+7＝10．

这三个方程有什么共同特点?

[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式． [生乙]我把这三个方程进行了化简，即 (1)(8-2x)(5-2x)＝18， 40-26x+4x＝18， 4x-26x+22＝0． (2)x+(x+1)+(x+2) ＝(x+3)+(x+4)， x+x+2x+1+x+4x+4 =x+6x+9+x+8x+16， x-8x-20＝0． (3)(x+6)+7=10， x+12x+36+49=100， x+12x-15=0．

由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和． [生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次． [生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．

[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

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注意：

1．一元二次方程必须同时满足以下三点； (1)方程是整式方程． (2)它只含有一个未知数．

(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax+bx+c=0时，a≠0．

2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．

因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax+bx+c＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数． 注意：

(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含 了条件：a≠0.

(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式． Ⅲ．应用、深化 课本P43随堂练习

1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗? 请根据这一问题列出方程．

解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x＝ (x-4)+(x-2)， 即x-12x+20=0

2．把方程(3x+2)＝4(x-3)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

解：方程(3x+2)＝4(x-3)的一般形式是5x+36x-32＝0． 方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32． Ⅳ．课时小结

本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．

1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．

2．一元二次方程的一般形式为ax+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．

3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性． Ⅴ.课后作业

(一)课本P44习题2．1 1、2 (二)1．预习内容：P44-P46 2．预习提纲

探索一元二次方程的解或近似解， Ⅵ．活动与探究

1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x-bx+c＝0是一元一次方程? [过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax+bx+c＝0，当a≠0时．是一元 二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程． [结果]

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当a≠1时，方程(a-1)x-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．

当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．

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李老师：

今天我们以聊天方式分享自己的经验，谈谈2.1 花边有多宽，大家可以积极参与发言。 白老师：

2.1 花边有多宽 基于学生对方程认识的基础之上，提出了具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。在设计上面有点缺少。 郭老师：

投影片§2．1．1 A 提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。 马老师:

投影片§ 2．1．1 B 直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。 刘老师：

投影片§2．1．1 C 先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。 陈老师：

应用、深化阶段设计了联系生活的例子比较好。 金老师：

活动与探究设计比较适合学生进一步理解了方程定义。 李老师：

老师有意识放学生的手，进行口头表达，培养了表达能力。 把学生分成小组，让学生自己讨论比较好。

总之，这次会议内容比较丰富，大家都获益良多。采用新的形式进行教研，使教研活动更加有趣。希望下次教研能够更精彩。 二、改进后的教学案例：

2.1 花边有多宽（1）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生在八年级已学过二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程；学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析

教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。 三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：自主探究问题一；第二环节：自主探究问题二；第三环节：自主探究问题三；第四环节：总结归纳；第五环节：学以致用；第六环节：反思；第七环节：布置作业。

第一环节：自主探究问题一

活动内容：

出示问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为

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８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m。

让学生根据这一问题情境提出问题：根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？

活动目的：

提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。

教学要求与效果：

教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题：你能找到图中的地毯、花边和中央长方形吗？并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。

教学中教师可以一次完成下列任务： （1）罗列学生提的问题；

（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式； （3）引导学生列出相应的方程并整理。 从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1）花边的宽，（2）中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。 第二环节：自主探究问题二

活动内容：

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在学生的疑问处提出问题：你能找到关于10、11、12、13、14这五个数之间的等式吗？

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得到等式10+11+12=13+14之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 在难以找到的情况下，归结为方程去解决。 活动目的：

上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。

教学要求与效果：

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找到等式10+11+12=13+14之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。

首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。 然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。

从实际效果来看，学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个小高潮。 第三环节：自主探究问题三

活动内容：

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？

活动目的： 通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。 活动的实际效果：

先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。 第四环节：总结归纳

活动内容：

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

活动目的：

关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。

活动的实际效果：学生基本能识别一元二次方程及各个部分。 第五环节：学以致用

活动内容：

1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．

活动目的：

及时巩固一元二次方程的有关概念，巩固学生通过实际问题列出相应方程。 活动的实际效果：

问题（1）中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数，请写出事故和条件的方程；也可以在第四环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么。

问题（2），实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来。 第六环节：反思

活动内容：

让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？ 活动目的：

让学生学会自己梳理知识要点，提高归纳总结的能力。 活动的实际效果：

绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题。 第七环节：布置作业

作业：P45 习题2、1

第七周初中数学教研活动会议记录

城关二中

时间： 2011年10月15日

地点： 城关二中数学办公室

课题： 2.1 花边有多宽（1）教学交流 主持： 李敏

参加人员：初三数学教师。

一、2.1 花边有多宽（1）教学交流

花边有多宽数学教案；课 题

§2．1．1 花边有多宽(一)

教学目标：(一)知识与技能： 1．一元二次方程的概念 2．一元二次方程的有关概念． (二)过程与方法： 1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型． 2．理解一元二次方程的概念

(三)情感、态度与价值观：从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识． 教学重点：一元二次方程的概念a≠0 教学难点： 一元二次方程的概念:a≠0 教学方法： 启发诱导式 教具准备：投影片四张

第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A) 第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B) 第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C) 第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D) 教学过程： Ⅰ．创设现实情景、引入新课

[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗? [生]黄金比是0.618．

[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗? „„

[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?„„

从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程． 与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型． 下面我们来学习第一节：花边有多宽． Ⅱ．讲授新课

[师]我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．

一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m，那么花边有多宽?

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[生]我们可以利用列方程来求解．

[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法． [生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．

这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m． 这个题所要求的是；地毯的花边有多宽． 本题是以面积为等量关系．

[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．

[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程

(8-2x)(5-2x)＝18

注意：1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽． 2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．

[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)： 观察下面等式 10+11+12＝13+14．

你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? [生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．

[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢?

[生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4． [生乙]根据题意，则可得到方程 x+(x+1)+(x+2) =(x+3)+(x+4)．

[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程 (x-2)+(x-1)+x ＝(x+1)+(x+2)． 这样行吗?

[师]丙同学的思路很好， 这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．

下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：

如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?

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[师]同学们分组讨论，列出方程．

[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．

[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程． (x+6)+(8-1)＝10， 即(x+6)+7＝10．

[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)： 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8-2x)(5-2x)＝18， x+(x+1)+(x+2) =(x+3)+(x+4)， (x+6)+7＝10．

这三个方程有什么共同特点?

[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式． [生乙]我把这三个方程进行了化简，即 (1)(8-2x)(5-2x)＝18， 40-26x+4x＝18， 4x-26x+22＝0． (2)x+(x+1)+(x+2) ＝(x+3)+(x+4)， x+x+2x+1+x+4x+4 =x+6x+9+x+8x+16， x-8x-20＝0． (3)(x+6)+7=10， x+12x+36+49=100， x+12x-15=0．

由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和． [生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次． [生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．

[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

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注意：

1．一元二次方程必须同时满足以下三点； (1)方程是整式方程． (2)它只含有一个未知数．

(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax+bx+c=0时，a≠0．

2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．

因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax+bx+c＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数． 注意：

(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含 了条件：a≠0.

(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式． Ⅲ．应用、深化 课本P43随堂练习

1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗? 请根据这一问题列出方程．

解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x＝ (x-4)+(x-2)， 即x-12x+20=0

2．把方程(3x+2)＝4(x-3)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

解：方程(3x+2)＝4(x-3)的一般形式是5x+36x-32＝0． 方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32． Ⅳ．课时小结

本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．

1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．

2．一元二次方程的一般形式为ax+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．

3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性． Ⅴ.课后作业

(一)课本P44习题2．1 1、2 (二)1．预习内容：P44-P46 2．预习提纲

探索一元二次方程的解或近似解， Ⅵ．活动与探究

1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x-bx+c＝0是一元一次方程? [过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax+bx+c＝0，当a≠0时．是一元 二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程． [结果]

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当a≠1时，方程(a-1)x-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．

当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．

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李老师：

今天我们以聊天方式分享自己的经验，谈谈2.1 花边有多宽，大家可以积极参与发言。 白老师：

2.1 花边有多宽 基于学生对方程认识的基础之上，提出了具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。在设计上面有点缺少。 郭老师：

投影片§2．1．1 A 提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。 马老师:

投影片§ 2．1．1 B 直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。 刘老师：

投影片§2．1．1 C 先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。 陈老师：

应用、深化阶段设计了联系生活的例子比较好。 金老师：

活动与探究设计比较适合学生进一步理解了方程定义。 李老师：

老师有意识放学生的手，进行口头表达，培养了表达能力。 把学生分成小组，让学生自己讨论比较好。

总之，这次会议内容比较丰富，大家都获益良多。采用新的形式进行教研，使教研活动更加有趣。希望下次教研能够更精彩。 二、改进后的教学案例：

2.1 花边有多宽（1）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生在八年级已学过二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程；学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析

教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。 三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：自主探究问题一；第二环节：自主探究问题二；第三环节：自主探究问题三；第四环节：总结归纳；第五环节：学以致用；第六环节：反思；第七环节：布置作业。

第一环节：自主探究问题一

活动内容：

出示问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为

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８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m。

让学生根据这一问题情境提出问题：根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？

活动目的：

提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。

教学要求与效果：

教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题：你能找到图中的地毯、花边和中央长方形吗？并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。

教学中教师可以一次完成下列任务： （1）罗列学生提的问题；

（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式； （3）引导学生列出相应的方程并整理。 从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1）花边的宽，（2）中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。 第二环节：自主探究问题二

活动内容：

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在学生的疑问处提出问题：你能找到关于10、11、12、13、14这五个数之间的等式吗？

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得到等式10+11+12=13+14之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 在难以找到的情况下，归结为方程去解决。 活动目的：

上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。

教学要求与效果：

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找到等式10+11+12=13+14之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。

首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。 然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。

从实际效果来看，学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个小高潮。 第三环节：自主探究问题三

活动内容：

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？

活动目的： 通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。 活动的实际效果：

先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。 第四环节：总结归纳

活动内容：

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

活动目的：

关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。

活动的实际效果：学生基本能识别一元二次方程及各个部分。 第五环节：学以致用

活动内容：

1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．

活动目的：

及时巩固一元二次方程的有关概念，巩固学生通过实际问题列出相应方程。 活动的实际效果：

问题（1）中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数，请写出事故和条件的方程；也可以在第四环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么。

问题（2），实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来。 第六环节：反思

活动内容：

让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？ 活动目的：

让学生学会自己梳理知识要点，提高归纳总结的能力。 活动的实际效果：

绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题。 第七环节：布置作业

作业：P45 习题2、1