如何关注后进生
白石小学 包建芳
很高兴能坐在这里与大家一起交流，学校让我说说自己平时教学的经验，其实，经验谈不上，只是在平时工作中的一点感受，希望在这里与各位老师共勉。
一、了解学生情况，分层辅导
（一）利用课余时间与一些学生、家长沟通，倾听学生的心声和家长的建议。
（二）进行课堂摸底练习，根据学生情况分为优秀、良好、及格和需努力四个层次。“及格”层次的学生具体表现为会进行数学运算，但对知识应用有困难，“需努力”层次学生则具体表现为进行数学运算存在困难。对不同层次学生因材施教，分别实施辅导计划。
二、扎扎实实地教学，形成能力
（一）知识点逐个过关。例如，1/3＋1/4，1/3－1/4这类分数题不会计算的学生，则需要先帮他们复习通分的内容。数学的连贯性很强，如有一个知识点脱节，学习就有障碍，例如，分数改成百分数，它要用分子除以分母。把它转化成小数，才能转化成百分数。辅导时，先复习除法等。这样先将学习障碍先行进行扫除，学生学习起来就比较轻松。
（二）学习习惯与方法培养。每复习一个知识，让学生把例题、方法都列成表格形式并做好笔记。课标要求记忆的概念方法要求熟记，并帮助学生分析记忆方法。
（三）辅导后巩固。在每次辅导后，再留几道相应的练习，让学生回家练习巩固，而且及时反馈。
（四）及时表扬，增强信心。如果发现有所提高，就帮他总结经验，让他们体验到成功的快乐，从而树立主动参与的学习信心，还要注意把知识连贯串通辅导。
三、关注学生的作业，养成习惯
（一）监控作业完成情况，对于布置的作业，要求每个学生一定要交。建立家长联系录，对于经常不按时完成作业的学生，经常与他的家长进行沟通，告知其当天表现，同时要求家长配合督促，使其按时完成作业。
（二）对作业及时记录和反馈，对学生作业的完成情况进行记录。对于特别优秀的学生作业，作为范例在课堂上进行展示，以作为对该学生的鼓励，同时也激励其他同学继续努力。对于存在进步的学生的作业即在课堂上进行鼓励，有时也发一些小奖品以示奖励。对于错误比较多的作业，则面批面改，并进行讲解，让学生知道错在何处。一些完成作业有难度的学生，要充分理解他们，利用课余时间耐心进行辅导，加强练习。对于学生作业中的特殊错误，特别摘录出来，作为范例进行详细分析，并给出一些类似题型供学生练习，进行巩固。
（三）注重错误范例的分析
1、问题表征方面
（1）信息误解
例1 下图平行四边形的底是9厘米，高是6厘米。这幅图是根据1：3000的比例尺画出来的，求这个平行四边形的实际面积是多少平方米。
错解：先求这个平行四边形的图上面积9×6=54（平方米厘米），再求这个平行四边形的实际面积。设这个平行四边形的实际面积为X平方厘米。
54/X=1/3000，X=162000
162000平方厘米=16.2平方米
会诊：解错本题的原因是信息误解，没有真正理解比例尺的意义，误认为长度比也就是面积比。教学中要强调容易误解的内容，促进数学理解。
例2 一间会客室地面用边长3分米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长4分米的正方形地砖，需要多少块？
错解：设需要边长4分米的正方形地砖X块。
4X=3×640，X=480
会诊：学生把题目中的间接条件“边长4分米”和“边长3分米”当成直接条件用。实际是两种铺法的总面积保持不变，也就是每块正方形地砖的面积与块数的乘积一定，可用反比例方法求解。
（2）信息遗漏
例3 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，它们底面积的比是3：5，它们的高是几比几？，若这个圆柱的高是8厘米，那么这个圆锥的高是多少厘米？
会诊：本题条件比较隐蔽复杂，学生往往觉得无从下手。其实我们可以根据题目中的条件，列出下面这样的一张表格，从中就能很清楚地看出各种量之间的关系。
圆柱
圆锥
体积
1
1
底面积
3
5
高
？
？
要求高之比，我们可以利用表中的数据分别求出圆柱和圆锥的高：“1÷3=1/3”，“1×3÷5=3/5”。然后再化简比“1/3：3/5=5：9”，有了这个比第二个问题也就迎刃而解了。
这道题的第二个条件如果改成“半径比”“直径比”“底面周长比，同样也可以列这样的表格来帮助思考。
例4 小明和小华分别从东村和西村同时出发，相向而行，分别到西村和东村办事，小明每分钟走65米，小华每分钟走55米，10分钟后两人相柜100米，求东西两村之间的路程。
会诊：大多数学生只列式“65×10+55×10+100=1300（米）“，他们只考虑到了未相遇前相距的情况。通过画线段图对问题进行表征，可以帮助学生理解相距还有一种情况（如下图），进行直觉思维，克服思维惯性。
（3）隐喻的干扰
例5 收音机厂生产一种收音机，现在每台成本是68元，比原来降低了15%。原来每台成本多少元？
错解：68×（1+15%）=78.2（元）
会诊：有学生列出这样的式子，从表面上看是因为学生没有找准单位“1”的量，实际上学生出错的根据原因是由负迁移的干扰而产生了认识上的混淆。学生知道如果现在比原来少15元，那么原来比现在就多15元，所以他理所当然地认为现在比原来少15%，就是原来比现在多15%。因此，理解百分率表示的实际意义是解决问题的关键。
例6 如下图，正方形的面积是10平方厘米，求圆的面积。
会诊：在求圆的面积的教学中，教师平时强调最多的是“必须知道圆的半径”，所以大多数学生面对此题时，一般都会想怎么求圆的半径。但圆的半径无法得出，导致圆的面积无法求解。教学中应注重变式教学，克服思维定势，加强对问题本质的理解。
2、问题解决策略方面
（1）数形结合
例7 王叔叔买了3本《本语故事》和5本《儿童文学》，一共花了50元。1本《成语故事》比1本《儿童文学》贵6元，《成语故事》和《儿童文学》的单价各是多少元？
会诊：用线段图表示具体的数量，既简捷又直观。由于本题的数量关系比较复杂，直接思考很难解决，而如能根据给定的条件画出线段图，那么替换中需要思考的三个核心问题“怎么替换”“替换后的份数”“替换后的总量”就跃然纸上，问题也就能迎刃而解了。
①《成语故事》→《儿童文学》
②《儿童文学》→《成语故事》
（2）引实避虚
例8 小张每天读书的页数比小刘多1/4，有一本书小张8天读完，小刘几天读完？
会诊：学生在未学比例之前，要弄清在一本书总页数一定时，每天读的页数与所需天数之间的关系比较困难。况且题中又未给出两人每天读的页数，这更增加了解题的难度。如果假设小刘每天读书的页数已知，如“小刘每天读12页”，可求出小张每天读书12×（1+1/4）=15（页）。小张8天读完一本书，小刘则需要15×8÷12=10（天）读完。
（2）化零为整
例9 李林喝了一杯牛奶的1/6，然后加满水又喝了这一杯的1/3，再倒满水后又喝了半杯，又加满水，最后把一杯都喝了，李林喝的牛奶多还是水多？
会诊：此题若按常规方法分步算出李林每次喝的牛奶和水的量很麻烦。不防采用整体思维方法：李林前后喝了四次，牛奶正好喝了一杯。与此同时，三次所加的水共1/6+1/3+1/2=1（杯），也全部喝完，故李林喝的水和牛奶一样多。
例10 如下图，已知平行四边形ABCD的面积是54平方厘米，求阴影部分的面积。
会诊：按常规思路想，分别去求每个小三角形的面积，思路将受阴，因为无法求得每个小三解形的底和高。不妨从整体比较，在比较中发现，平行四边形与四个涂阴影的小解形存在着等底等高的关系，即平行四边形的底BC等于四个小三角形的底的和（BF+FH+HJ+JC），每个小三角形与平行四边形等高。根据“等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍“，求得阴影部分的面积为54÷2=27（平方厘米）。
（4）求同存异
例11 ①5÷（5/7+5/9） ②（5/7+5/9）÷5
=5÷5/7+5÷5/9 =5/7÷5+5/9÷5
=7+9 =1/7+1/9
=16 =16/63
会诊：学习了乘法分配率a×(b+c)=a×b+a×c以后，学生并没有真正理解算理，遇到a÷(b+c)的算式，采用类比的方法得出了“a÷b+a÷c”的错误结论。教学中加强对比分析，求同存异，如上面的①②两题，虽然题目不同，但都需要运用分数除法的法则。第①题显然是错误的，应该先算出括号内的和。但是，如果注意到这两题的结果应是互为倒数关系，，也可以先将①转化为②，求出其结果后再求倒数即可，即①的答案的63/16。
如何关注后进生
白石小学 包建芳
很高兴能坐在这里与大家一起交流，学校让我说说自己平时教学的经验，其实，经验谈不上，只是在平时工作中的一点感受，希望在这里与各位老师共勉。
一、了解学生情况，分层辅导
（一）利用课余时间与一些学生、家长沟通，倾听学生的心声和家长的建议。
（二）进行课堂摸底练习，根据学生情况分为优秀、良好、及格和需努力四个层次。“及格”层次的学生具体表现为会进行数学运算，但对知识应用有困难，“需努力”层次学生则具体表现为进行数学运算存在困难。对不同层次学生因材施教，分别实施辅导计划。
二、扎扎实实地教学，形成能力
（一）知识点逐个过关。例如，1/3＋1/4，1/3－1/4这类分数题不会计算的学生，则需要先帮他们复习通分的内容。数学的连贯性很强，如有一个知识点脱节，学习就有障碍，例如，分数改成百分数，它要用分子除以分母。把它转化成小数，才能转化成百分数。辅导时，先复习除法等。这样先将学习障碍先行进行扫除，学生学习起来就比较轻松。
（二）学习习惯与方法培养。每复习一个知识，让学生把例题、方法都列成表格形式并做好笔记。课标要求记忆的概念方法要求熟记，并帮助学生分析记忆方法。
（三）辅导后巩固。在每次辅导后，再留几道相应的练习，让学生回家练习巩固，而且及时反馈。
（四）及时表扬，增强信心。如果发现有所提高，就帮他总结经验，让他们体验到成功的快乐，从而树立主动参与的学习信心，还要注意把知识连贯串通辅导。
三、关注学生的作业，养成习惯
（一）监控作业完成情况，对于布置的作业，要求每个学生一定要交。建立家长联系录，对于经常不按时完成作业的学生，经常与他的家长进行沟通，告知其当天表现，同时要求家长配合督促，使其按时完成作业。
（二）对作业及时记录和反馈，对学生作业的完成情况进行记录。对于特别优秀的学生作业，作为范例在课堂上进行展示，以作为对该学生的鼓励，同时也激励其他同学继续努力。对于存在进步的学生的作业即在课堂上进行鼓励，有时也发一些小奖品以示奖励。对于错误比较多的作业，则面批面改，并进行讲解，让学生知道错在何处。一些完成作业有难度的学生，要充分理解他们，利用课余时间耐心进行辅导，加强练习。对于学生作业中的特殊错误，特别摘录出来，作为范例进行详细分析，并给出一些类似题型供学生练习，进行巩固。
（三）注重错误范例的分析
1、问题表征方面
（1）信息误解
例1 下图平行四边形的底是9厘米，高是6厘米。这幅图是根据1：3000的比例尺画出来的，求这个平行四边形的实际面积是多少平方米。
错解：先求这个平行四边形的图上面积9×6=54（平方米厘米），再求这个平行四边形的实际面积。设这个平行四边形的实际面积为X平方厘米。
54/X=1/3000，X=162000
162000平方厘米=16.2平方米
会诊：解错本题的原因是信息误解，没有真正理解比例尺的意义，误认为长度比也就是面积比。教学中要强调容易误解的内容，促进数学理解。
例2 一间会客室地面用边长3分米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长4分米的正方形地砖，需要多少块？
错解：设需要边长4分米的正方形地砖X块。
4X=3×640，X=480
会诊：学生把题目中的间接条件“边长4分米”和“边长3分米”当成直接条件用。实际是两种铺法的总面积保持不变，也就是每块正方形地砖的面积与块数的乘积一定，可用反比例方法求解。
（2）信息遗漏
例3 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，它们底面积的比是3：5，它们的高是几比几？，若这个圆柱的高是8厘米，那么这个圆锥的高是多少厘米？
会诊：本题条件比较隐蔽复杂，学生往往觉得无从下手。其实我们可以根据题目中的条件，列出下面这样的一张表格，从中就能很清楚地看出各种量之间的关系。
圆柱
圆锥
体积
1
1
底面积
3
5
高
？
？
要求高之比，我们可以利用表中的数据分别求出圆柱和圆锥的高：“1÷3=1/3”，“1×3÷5=3/5”。然后再化简比“1/3：3/5=5：9”，有了这个比第二个问题也就迎刃而解了。
这道题的第二个条件如果改成“半径比”“直径比”“底面周长比，同样也可以列这样的表格来帮助思考。
例4 小明和小华分别从东村和西村同时出发，相向而行，分别到西村和东村办事，小明每分钟走65米，小华每分钟走55米，10分钟后两人相柜100米，求东西两村之间的路程。
会诊：大多数学生只列式“65×10+55×10+100=1300（米）“，他们只考虑到了未相遇前相距的情况。通过画线段图对问题进行表征，可以帮助学生理解相距还有一种情况（如下图），进行直觉思维，克服思维惯性。
（3）隐喻的干扰
例5 收音机厂生产一种收音机，现在每台成本是68元，比原来降低了15%。原来每台成本多少元？
错解：68×（1+15%）=78.2（元）
会诊：有学生列出这样的式子，从表面上看是因为学生没有找准单位“1”的量，实际上学生出错的根据原因是由负迁移的干扰而产生了认识上的混淆。学生知道如果现在比原来少15元，那么原来比现在就多15元，所以他理所当然地认为现在比原来少15%，就是原来比现在多15%。因此，理解百分率表示的实际意义是解决问题的关键。
例6 如下图，正方形的面积是10平方厘米，求圆的面积。
会诊：在求圆的面积的教学中，教师平时强调最多的是“必须知道圆的半径”，所以大多数学生面对此题时，一般都会想怎么求圆的半径。但圆的半径无法得出，导致圆的面积无法求解。教学中应注重变式教学，克服思维定势，加强对问题本质的理解。
2、问题解决策略方面
（1）数形结合
例7 王叔叔买了3本《本语故事》和5本《儿童文学》，一共花了50元。1本《成语故事》比1本《儿童文学》贵6元，《成语故事》和《儿童文学》的单价各是多少元？
会诊：用线段图表示具体的数量，既简捷又直观。由于本题的数量关系比较复杂，直接思考很难解决，而如能根据给定的条件画出线段图，那么替换中需要思考的三个核心问题“怎么替换”“替换后的份数”“替换后的总量”就跃然纸上，问题也就能迎刃而解了。
①《成语故事》→《儿童文学》
②《儿童文学》→《成语故事》
（2）引实避虚
例8 小张每天读书的页数比小刘多1/4，有一本书小张8天读完，小刘几天读完？
会诊：学生在未学比例之前，要弄清在一本书总页数一定时，每天读的页数与所需天数之间的关系比较困难。况且题中又未给出两人每天读的页数，这更增加了解题的难度。如果假设小刘每天读书的页数已知，如“小刘每天读12页”，可求出小张每天读书12×（1+1/4）=15（页）。小张8天读完一本书，小刘则需要15×8÷12=10（天）读完。
（2）化零为整
例9 李林喝了一杯牛奶的1/6，然后加满水又喝了这一杯的1/3，再倒满水后又喝了半杯，又加满水，最后把一杯都喝了，李林喝的牛奶多还是水多？
会诊：此题若按常规方法分步算出李林每次喝的牛奶和水的量很麻烦。不防采用整体思维方法：李林前后喝了四次，牛奶正好喝了一杯。与此同时，三次所加的水共1/6+1/3+1/2=1（杯），也全部喝完，故李林喝的水和牛奶一样多。
例10 如下图，已知平行四边形ABCD的面积是54平方厘米，求阴影部分的面积。
会诊：按常规思路想，分别去求每个小三角形的面积，思路将受阴，因为无法求得每个小三解形的底和高。不妨从整体比较，在比较中发现，平行四边形与四个涂阴影的小解形存在着等底等高的关系，即平行四边形的底BC等于四个小三角形的底的和（BF+FH+HJ+JC），每个小三角形与平行四边形等高。根据“等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍“，求得阴影部分的面积为54÷2=27（平方厘米）。
（4）求同存异
例11 ①5÷（5/7+5/9） ②（5/7+5/9）÷5
=5÷5/7+5÷5/9 =5/7÷5+5/9÷5
=7+9 =1/7+1/9
=16 =16/63
会诊：学习了乘法分配率a×(b+c)=a×b+a×c以后，学生并没有真正理解算理，遇到a÷(b+c)的算式，采用类比的方法得出了“a÷b+a÷c”的错误结论。教学中加强对比分析，求同存异，如上面的①②两题，虽然题目不同，但都需要运用分数除法的法则。第①题显然是错误的，应该先算出括号内的和。但是，如果注意到这两题的结果应是互为倒数关系，，也可以先将①转化为②，求出其结果后再求倒数即可，即①的答案的63/16。