§2 柯西中值定理和不等式极限 一 柯西中值定理 定理(6.5) 设
(i) 在区间
(ii) 在
(iii) (iv) 则至少存在一点
、满足 上连续，
内可导
不同时为零;
使得
柯西中值定理的几何意义
曲线
由参数方程
给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线， 则
上存在一点 P处的切线平行于割线
. 。
注意曲线 AB在点
处的切线的斜率为
，
而弦
的斜率为
.
受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于
，
类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数
容易验证
满足罗尔定理的条件且
根据罗尔定理，至少有一点
使得
，即
由此得
注2：在柯西中值定理中，取
，则公式（3）可写成
这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令
. 这恰恰是罗尔定理. 注3:设
.
三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义
在区间 I 上连续，则
在区间 I 上为常数
，则
，
要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。
可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设
在 （a ，b ）
可导，且
在 [a，b] 上严格递增，若
，则对一切
有
证明：记A （
），
。
，对任意的x
，记C （
），
作弦线AB ，BC ，应用拉格 朗日中值定理，但因
严格递增，所以
使得
分别等于AC ，BC 弦的斜率，
＜，从而
＜
注意到
，移项即得
＜
，
2、利用其有限增量公式
要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式
进行思考解题： 例2：设
上连续，在（a ，b ）内有二阶导数，试证存在
使得
证：上式左端
作辅助函数
则上式
=
，
=
，其中
3、作为函数的变形 要点：若
在[a，b]上连续，（a ，b ）内可微，则在[a，b]上
（介于与
之间）
此可视为函数
的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以
用它来研究函数的性质。 例3 设≤成立，试证
在
在
上
上可导，，并设有实数A ＞0，使得
证明 ：在[0，]
上连续，故存在] 使得
==M
于是
M=≤
A
≤
≤
。
故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]
（ i=1,2,…）上恒有
=0, 所以
=0,
。
利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1. 证明中值点的存在性: 例 1 设函数使得
在区间
上连续, 在
内可导, 则
,
.
证 在Cauchy 中值定理中取
例2 设函
数
在区间
.
试证明:
2. 证明恒等式:
.
.
上连续, 在
内可导, 且
有
例3 证明: 对, 有
.
例4 设函数和可导且又
则
.
证明
例5 设对则函数
.
, 有
).
, 其中是正常数.
是常值函数. (证明
3. 证明不等式:
例6 证明不等式: 时, .
例7 证明不等式: 对，有.
4. 证明方程根的存在性: 证明方程
例8 证明方程
四 、小结
本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
1° 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它
的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通
函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。
2° 构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手
段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数
学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三
部分的题目仔细体会总结。
二 不定式的极限
在
内有实根.
在
内有实根.
一. 型:
Hospital 法则 ) 若函数
和
满足：
定理 6.6 (
(i)
(ii) 在点 的某空心邻域内而这可导，且；
(iii) 可为实数，也可为 ）
则
( 证 )
注意: 若将定理中的x 换成
应地求证条件(ii)中的
邻域，也可以得到同样的结论。
，只要相
例1
例2 .
例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )
例4
. ( Hospital 法则失效的例 )
二
. 型不定式 极限:
Hospital 法则 ) 若函数
和
满足：
定理 6.7 (
(i) (ii) 在点
的某右邻域内二这可导，且；
(iii) 可为实数，也可为 ）
则
例5
.
例6
註: 关于
.
当
时的阶.
x=5:0.1:50; y1=log(x); y2=x.^(1/2);
plot(x,y1,'b',x,y2,'m')
右图看出
高于
clf, x=1:0.1:5;
y1=exp(x); y2=x.^2;
plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘) 右图看出
高于
注意
1
么？） 不存在，并不能说明
不存在（为什
注意2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满
足洛必达法则条件
例 求极限
三. 其他待定型:
例7
. ( Hospital 法则失效的例 ) . 前四个是幂指型的.
例8
.
例9
例10 .
例11 .
例12 设 且
求
解
.
例13
.
§2 柯西中值定理和不等式极限 一 柯西中值定理 定理(6.5) 设
(i) 在区间
(ii) 在
(iii) (iv) 则至少存在一点
、满足 上连续，
内可导
不同时为零;
使得
柯西中值定理的几何意义
曲线
由参数方程
给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线， 则
上存在一点 P处的切线平行于割线
. 。
注意曲线 AB在点
处的切线的斜率为
，
而弦
的斜率为
.
受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于
，
类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数
容易验证
满足罗尔定理的条件且
根据罗尔定理，至少有一点
使得
，即
由此得
注2：在柯西中值定理中，取
，则公式（3）可写成
这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令
. 这恰恰是罗尔定理. 注3:设
.
三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义
在区间 I 上连续，则
在区间 I 上为常数
，则
，
要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。
可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设
在 （a ，b ）
可导，且
在 [a，b] 上严格递增，若
，则对一切
有
证明：记A （
），
。
，对任意的x
，记C （
），
作弦线AB ，BC ，应用拉格 朗日中值定理，但因
严格递增，所以
使得
分别等于AC ，BC 弦的斜率，
＜，从而
＜
注意到
，移项即得
＜
，
2、利用其有限增量公式
要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式
进行思考解题： 例2：设
上连续，在（a ，b ）内有二阶导数，试证存在
使得
证：上式左端
作辅助函数
则上式
=
，
=
，其中
3、作为函数的变形 要点：若
在[a，b]上连续，（a ，b ）内可微，则在[a，b]上
（介于与
之间）
此可视为函数
的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以
用它来研究函数的性质。 例3 设≤成立，试证
在
在
上
上可导，，并设有实数A ＞0，使得
证明 ：在[0，]
上连续，故存在] 使得
==M
于是
M=≤
A
≤
≤
。
故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]
（ i=1,2,…）上恒有
=0, 所以
=0,
。
利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1. 证明中值点的存在性: 例 1 设函数使得
在区间
上连续, 在
内可导, 则
,
.
证 在Cauchy 中值定理中取
例2 设函
数
在区间
.
试证明:
2. 证明恒等式:
.
.
上连续, 在
内可导, 且
有
例3 证明: 对, 有
.
例4 设函数和可导且又
则
.
证明
例5 设对则函数
.
, 有
).
, 其中是正常数.
是常值函数. (证明
3. 证明不等式:
例6 证明不等式: 时, .
例7 证明不等式: 对，有.
4. 证明方程根的存在性: 证明方程
例8 证明方程
四 、小结
本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
1° 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它
的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通
函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。
2° 构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手
段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数
学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三
部分的题目仔细体会总结。
二 不定式的极限
在
内有实根.
在
内有实根.
一. 型:
Hospital 法则 ) 若函数
和
满足：
定理 6.6 (
(i)
(ii) 在点 的某空心邻域内而这可导，且；
(iii) 可为实数，也可为 ）
则
( 证 )
注意: 若将定理中的x 换成
应地求证条件(ii)中的
邻域，也可以得到同样的结论。
，只要相
例1
例2 .
例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )
例4
. ( Hospital 法则失效的例 )
二
. 型不定式 极限:
Hospital 法则 ) 若函数
和
满足：
定理 6.7 (
(i) (ii) 在点
的某右邻域内二这可导，且；
(iii) 可为实数，也可为 ）
则
例5
.
例6
註: 关于
.
当
时的阶.
x=5:0.1:50; y1=log(x); y2=x.^(1/2);
plot(x,y1,'b',x,y2,'m')
右图看出
高于
clf, x=1:0.1:5;
y1=exp(x); y2=x.^2;
plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘) 右图看出
高于
注意
1
么？） 不存在，并不能说明
不存在（为什
注意2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满
足洛必达法则条件
例 求极限
三. 其他待定型:
例7
. ( Hospital 法则失效的例 ) . 前四个是幂指型的.
例8
.
例9
例10 .
例11 .
例12 设 且
求
解
.
例13
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