专题训练 反比例函数与几何图形
1、如图，反比例函数y =（k ≠0）的图象经过A ，B 两点，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥x 轴，∴AB=PA=
当PA=AB时，则有
，PB=
=2
=2，，
，解得x=﹣3或
垂足为D ，连接AO ，连接BO 交AC 于点E ，若OC =CD ，四边形BDCE 的面积为2，则k 的值为 ．
【解答】解：设点B 坐标为（a ，
b ），则DO =﹣a ，BD =b ∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴 ∴BD ∥AC ∵OC =CD ∴CE =BD =b ，CD =DO =a
∵四边形BDCE 的面积为2
∴（BD +CE ）×CD =2，即（b +b ）×（﹣a ）=2 ∴ab =﹣
将B （a ，b ）代入反比例函数y =（k ≠0），得 k =ab =﹣
故答案为：﹣
2、如图，已知点A （1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，
点P 是x 轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P 的坐标是 ．
∵反比例函数y=图象关于原点对称， ∴A 、B 两点关于O 对称，
∴O 为AB 的中点，且B （﹣1，﹣2），
∴当△PAB 为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB， 设P 点坐标为（x ，0）， ∵A （1，2），B （﹣1，﹣2），
5，此时P 点坐标为（﹣3，0）或（5，0）； 当PB=AB时，则有
=2
，解得x=3
或﹣5，此时P 点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；
综上可知P 点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），
故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．
3、（2016·山东省滨州市·4分）如图，已知点A 、C 在反比例函数y =的图象上，点B ，D 在反比例函数y =的图象上，a ＞b ＞0，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，
AB =，CD =，AB 与CD 间的距
离为6，则a ﹣b 的值是 ． 解：设点A 、B 的纵坐标为y 1，点C 、D 的纵坐标为y 2， 则点A （
，y 1），点B （
，y 1），点C （
，y 2），
点D （
，y 2）．∵AB =，CD =，
∴2×||=|
|，∴|y 1|=2|y 2|．
∵|y 1|+|y 2|=6，∴y 1=4，y 2=﹣2．
连接OA 、OB ，延长AB 交y 轴于点E ，如图所示．
S △OAB =S △OAE ﹣S △OBE =（a ﹣b ）=AB •OE =××4=， ∴a ﹣b =2S △OAB =3． 故答案为：3．
4、(2016年吉林省长春) 如图，在平面直角坐标系中，点P （1，4）、Q （m ，n ）在函数y=（x ＞0）的图象上，当m ＞1时，过点P 分别作x
轴、y 轴的垂线，垂足为点A ，B ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点C 、D ．QD 交PA 于点E ，随着m 的增大，四边形ACQE 的面积（ ）
A ．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 解：AC=m﹣1，CQ=n，
则S 四边形ACQE =AC•CQ=（m ﹣1）n=mn﹣n ．
∵P （1，4）、Q （m ，n ）在函数y=（x ＞0）的图象上， ∴mn=k=4（常数）．∴S 四边形ACQE =AC•CQ=4﹣n ， ∵当m ＞1时，n 随m 的增大而减小， ∴S 四边形ACQE =4﹣n 随m 的增大而增大． 故选B ．
5、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴，y 轴上，反比例函
数y=（x ＞0）的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，求点E 的坐标．
解：过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，则∠AOB=∠DFA=90°， ∴∠OAB+∠ABO=90°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，AD=BC， ∴∠OAB+∠DAF=90°， ∴∠ABO=∠DAF ， ∴△AOB ∽△DFA ，
∴OA ：DF=OB：AF=AB：AD ， ∵AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）， ∴AB ：AD=3：2，OA=3，OB=6， ∴DF=2，AF=4， ∴OF=OA+AF=7， ∴点D 的坐标为：（7，2）， ∴反比例函数的解析式为：y=
①，点C 的坐标为：（4，
8），
设直线BC 的解析式为：y=kx+b， 则
，
解得：，∴直线BC 的解析式为：y=x+6②，
联立①②得：或（舍去），
∴点E 的坐标为：（2，7）．
故答案为：（2，7）．
6、如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =2，F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数y
k
x
的图象与BC 边交于点E ．
⑴当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式； ⑵当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？
解：⑴在矩形OABC 中，OA =3，OC =2，
∴B （3，2），
∵F 为AB 的中点，∴F （3，1）. …………2分 ∵点F 在反比例函数y =∴k =3.
（2）∵A （2，﹣1），B （析式为y =2x ﹣5， ∴AB =
，﹣4），直线AB 解
k
的图象上， x
=，原点（0，0）
3
. ………4分 x
k
⑵由题意，知E ，F 两点坐标分别为E （，2），F （3，
∴该函数的解析式为y =
到直线y =2x ﹣5的距离d ==，
2
k 3
）， ∴
S 11k k 1∆EFA =
2AF ⋅BE =2⨯3(3-2) =-12k 2+12
k …
=-1(k -3) 2312+4
………………………6分
所以当k =3时，S 有最大值，S 最大值
=
3
4
． ……………………………………8分 7、（2016·四川宜宾）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =（x ＞0）的图象交于A （2，﹣1），B （，n ）两点，直线y =2与y 轴
交于点C ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积． 解：（1）把A （2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m =﹣2，
∴反比例解析式为y =﹣， 把B （，n ）代入反比例解析式得：n =﹣4，即
B （
，﹣4），
把A 与B 坐标代入y =kx +b 中得：
，解得：k =2，b =﹣5，
则一次函数解析式为y =2x ﹣5；
则S △A B C =AB •d =．
8、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O
与坐标原点重合，点C 的坐标为（0，3），点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D 和M ，反比例函数y=的图象经过点D ，与BC 的交点为N ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P 在直线DM 上，且使△OPM的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．
解：（1）∵正方形OABC 的顶点C （0，3）， ∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°， ∵AD=2DB， ∴AD=AB=2，
∴D （﹣3，2），
把D 坐标代入y=得：m=﹣6，
∴反比例解析式为y=﹣，
∵AM=2MO，
∴MO=OA=1，即M （﹣1，0），
把M 与D 坐标代入y=kx+b中得：， 解得：k=b=﹣1，
则直线DM 解析式为y=﹣x ﹣1；
（2）把y=3代入y=﹣得：x=﹣2， ∴N （﹣2，3），即NC=2， 设P （x ，y ）， ∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等， ∴（OM+NC）OC=OM|y|，即|y|=9，
解得：y=±9，
当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8，
则P 坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．
9、（2016·浙江省湖州市·4分）已知点P 在一次函数
y =kx +b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q ，点Q 也在该函数y =kx +b 的图象上．
（1）求k 的值；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，
B 两点，且与反比例函数y =图象交于C ，D 两点（点
C 在第二象限内），过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，记S 1为四
边形CEOB 的面积，S 2为△OAB 的面积，若=，求b
的值．
解：（1）设点P 的坐标为（m ，n ），则点Q 的坐标为（m ﹣1，n +2）， 依题意得：
，
解得：k =﹣2． 故答案为：﹣2．
（2）∵BO ⊥x 轴，CE ⊥x 轴， ∴BO ∥CE ， ∴△AOB ∽△AE C ．
又∵
=，
∴
= =
．
令一次函数 y = ﹣2x +b 中x =0，则y =b ，
∴BO =b ；
令一次函数
y = ﹣2x +b 中y =0，则0=﹣2x +b ， 解得：x = ，即 AO =． ∵△AOB ∽△
AEC ，且
=，
∴．
∴AE =AO =b ，CE =BO =b ，OE =AE ﹣AO =b ． ∵OE •CE =|﹣4|=4，即b 2=4，
解得：b =3，或b =﹣3（舍去）．
故答案为：3
．
如图，如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 面积为2，则这个反比例函数的解析式为 ．
解：设反比例函数的解析式为
y= ．
∵△AOB 的面积=△ABP 的面积=2，
△AOB 的面积
= |k|，
∴ |k|=2，
∴k=±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限， ∴k ＞0． ∴k=4．
∴这个反比例函数的解析式为
y=
．
专题训练 反比例函数与几何图形
1、如图，反比例函数y =（k ≠0）的图象经过A ，B 两点，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥x 轴，∴AB=PA=
当PA=AB时，则有
，PB=
=2
=2，，
，解得x=﹣3或
垂足为D ，连接AO ，连接BO 交AC 于点E ，若OC =CD ，四边形BDCE 的面积为2，则k 的值为 ．
【解答】解：设点B 坐标为（a ，
b ），则DO =﹣a ，BD =b ∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴 ∴BD ∥AC ∵OC =CD ∴CE =BD =b ，CD =DO =a
∵四边形BDCE 的面积为2
∴（BD +CE ）×CD =2，即（b +b ）×（﹣a ）=2 ∴ab =﹣
将B （a ，b ）代入反比例函数y =（k ≠0），得 k =ab =﹣
故答案为：﹣
2、如图，已知点A （1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，
点P 是x 轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P 的坐标是 ．
∵反比例函数y=图象关于原点对称， ∴A 、B 两点关于O 对称，
∴O 为AB 的中点，且B （﹣1，﹣2），
∴当△PAB 为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB， 设P 点坐标为（x ，0）， ∵A （1，2），B （﹣1，﹣2），
5，此时P 点坐标为（﹣3，0）或（5，0）； 当PB=AB时，则有
=2
，解得x=3
或﹣5，此时P 点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；
综上可知P 点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），
故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．
3、（2016·山东省滨州市·4分）如图，已知点A 、C 在反比例函数y =的图象上，点B ，D 在反比例函数y =的图象上，a ＞b ＞0，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，
AB =，CD =，AB 与CD 间的距
离为6，则a ﹣b 的值是 ． 解：设点A 、B 的纵坐标为y 1，点C 、D 的纵坐标为y 2， 则点A （
，y 1），点B （
，y 1），点C （
，y 2），
点D （
，y 2）．∵AB =，CD =，
∴2×||=|
|，∴|y 1|=2|y 2|．
∵|y 1|+|y 2|=6，∴y 1=4，y 2=﹣2．
连接OA 、OB ，延长AB 交y 轴于点E ，如图所示．
S △OAB =S △OAE ﹣S △OBE =（a ﹣b ）=AB •OE =××4=， ∴a ﹣b =2S △OAB =3． 故答案为：3．
4、(2016年吉林省长春) 如图，在平面直角坐标系中，点P （1，4）、Q （m ，n ）在函数y=（x ＞0）的图象上，当m ＞1时，过点P 分别作x
轴、y 轴的垂线，垂足为点A ，B ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点C 、D ．QD 交PA 于点E ，随着m 的增大，四边形ACQE 的面积（ ）
A ．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 解：AC=m﹣1，CQ=n，
则S 四边形ACQE =AC•CQ=（m ﹣1）n=mn﹣n ．
∵P （1，4）、Q （m ，n ）在函数y=（x ＞0）的图象上， ∴mn=k=4（常数）．∴S 四边形ACQE =AC•CQ=4﹣n ， ∵当m ＞1时，n 随m 的增大而减小， ∴S 四边形ACQE =4﹣n 随m 的增大而增大． 故选B ．
5、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴，y 轴上，反比例函
数y=（x ＞0）的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，求点E 的坐标．
解：过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，则∠AOB=∠DFA=90°， ∴∠OAB+∠ABO=90°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，AD=BC， ∴∠OAB+∠DAF=90°， ∴∠ABO=∠DAF ， ∴△AOB ∽△DFA ，
∴OA ：DF=OB：AF=AB：AD ， ∵AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）， ∴AB ：AD=3：2，OA=3，OB=6， ∴DF=2，AF=4， ∴OF=OA+AF=7， ∴点D 的坐标为：（7，2）， ∴反比例函数的解析式为：y=
①，点C 的坐标为：（4，
8），
设直线BC 的解析式为：y=kx+b， 则
，
解得：，∴直线BC 的解析式为：y=x+6②，
联立①②得：或（舍去），
∴点E 的坐标为：（2，7）．
故答案为：（2，7）．
6、如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =2，F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数y
k
x
的图象与BC 边交于点E ．
⑴当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式； ⑵当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？
解：⑴在矩形OABC 中，OA =3，OC =2，
∴B （3，2），
∵F 为AB 的中点，∴F （3，1）. …………2分 ∵点F 在反比例函数y =∴k =3.
（2）∵A （2，﹣1），B （析式为y =2x ﹣5， ∴AB =
，﹣4），直线AB 解
k
的图象上， x
=，原点（0，0）
3
. ………4分 x
k
⑵由题意，知E ，F 两点坐标分别为E （，2），F （3，
∴该函数的解析式为y =
到直线y =2x ﹣5的距离d ==，
2
k 3
）， ∴
S 11k k 1∆EFA =
2AF ⋅BE =2⨯3(3-2) =-12k 2+12
k …
=-1(k -3) 2312+4
………………………6分
所以当k =3时，S 有最大值，S 最大值
=
3
4
． ……………………………………8分 7、（2016·四川宜宾）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =（x ＞0）的图象交于A （2，﹣1），B （，n ）两点，直线y =2与y 轴
交于点C ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积． 解：（1）把A （2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m =﹣2，
∴反比例解析式为y =﹣， 把B （，n ）代入反比例解析式得：n =﹣4，即
B （
，﹣4），
把A 与B 坐标代入y =kx +b 中得：
，解得：k =2，b =﹣5，
则一次函数解析式为y =2x ﹣5；
则S △A B C =AB •d =．
8、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O
与坐标原点重合，点C 的坐标为（0，3），点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D 和M ，反比例函数y=的图象经过点D ，与BC 的交点为N ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P 在直线DM 上，且使△OPM的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．
解：（1）∵正方形OABC 的顶点C （0，3）， ∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°， ∵AD=2DB， ∴AD=AB=2，
∴D （﹣3，2），
把D 坐标代入y=得：m=﹣6，
∴反比例解析式为y=﹣，
∵AM=2MO，
∴MO=OA=1，即M （﹣1，0），
把M 与D 坐标代入y=kx+b中得：， 解得：k=b=﹣1，
则直线DM 解析式为y=﹣x ﹣1；
（2）把y=3代入y=﹣得：x=﹣2， ∴N （﹣2，3），即NC=2， 设P （x ，y ）， ∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等， ∴（OM+NC）OC=OM|y|，即|y|=9，
解得：y=±9，
当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8，
则P 坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．
9、（2016·浙江省湖州市·4分）已知点P 在一次函数
y =kx +b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q ，点Q 也在该函数y =kx +b 的图象上．
（1）求k 的值；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，
B 两点，且与反比例函数y =图象交于C ，D 两点（点
C 在第二象限内），过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，记S 1为四
边形CEOB 的面积，S 2为△OAB 的面积，若=，求b
的值．
解：（1）设点P 的坐标为（m ，n ），则点Q 的坐标为（m ﹣1，n +2）， 依题意得：
，
解得：k =﹣2． 故答案为：﹣2．
（2）∵BO ⊥x 轴，CE ⊥x 轴， ∴BO ∥CE ， ∴△AOB ∽△AE C ．
又∵
=，
∴
= =
．
令一次函数 y = ﹣2x +b 中x =0，则y =b ，
∴BO =b ；
令一次函数
y = ﹣2x +b 中y =0，则0=﹣2x +b ， 解得：x = ，即 AO =． ∵△AOB ∽△
AEC ，且
=，
∴．
∴AE =AO =b ，CE =BO =b ，OE =AE ﹣AO =b ． ∵OE •CE =|﹣4|=4，即b 2=4，
解得：b =3，或b =﹣3（舍去）．
故答案为：3
．
如图，如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 面积为2，则这个反比例函数的解析式为 ．
解：设反比例函数的解析式为
y= ．
∵△AOB 的面积=△ABP 的面积=2，
△AOB 的面积
= |k|，
∴ |k|=2，
∴k=±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限， ∴k ＞0． ∴k=4．
∴这个反比例函数的解析式为
y=
．