高中数学必修1难题好题
参考答案与试题解析
1．（2013•重庆）对正整数n ，记I n ={1，2，3…，n}，P n ={
|m∈I n ，k ∈I n }．
（1）求集合P 7中元素的个数；
（2）若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．
2．（2011•朝阳区二模）对于整数a ，b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a=bq+r，0≤r ＜|b|．特别地，当r=0时，称b 能整除a ，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}． （Ⅰ）存在q ∈A ，使得2011=91q+r（0≤r ＜91），试求q ，r 的值；
（Ⅱ）若B ⊆A ，card （B ）=12（card （B ）指集合B 中的元素的个数），且存在a ，b ∈B ，b ＜a ，b|a，则称B 为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B 0和一个含有元素8的非“谐和集”C ，并求最大的m ∈A ，使含m 的集合A 有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．
3．（2010•北京）已知集合S n ={X|X=（x 1，x 2，…，x n ），x 1∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n ≥2）对于A=（a 1，a 2，…a n ，），B=（b 1，b 2，…b n ，）∈S n ，定义A 与B 的差为A ﹣B=（|a1﹣b 1|，|a2﹣b 2|，…|an ﹣b n |）； A 与B 之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d （A ，B ）； （Ⅱ）证明：∀A ，B ，C ∈S n ，有A ﹣B ∈S n ，且d （A ﹣C ，B ﹣C ）=d（A ，B ）； （Ⅲ）证明：∀A ，B ，C ∈S n ，d （A ，B ），d （A ，C ），d （B ，C ）三个数中至少有一个是偶数．
4．（2008•南京模拟）已知集合A={a1，a 2，a 3，…，a n }，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），k （A ）表示a i +aj （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k （P ）和k （Q ）； （2）若集合A={2，4，8，…，2}，证明：（3）求k （A ）的最小值． n
；
5．（2007•北京）已知集合A={a1，a 2，…，a k （k ≥2）}，其中a i ∈Z （i=1，2，…，k ），由A 中的元素构成两个相应的集合：S={（a ，b ）|a∈A ，b ∈A ，a+b∈A}，T={（a ，b ）|a∈A ，b ∈A ，a ﹣b ∈A}．其中（a ，b ）是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a ∈A ，总有﹣a ∉A ，则称集合A 具有性质P ． （Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：
；
（Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．
6．（2003•上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f （x+T）=T•f （x ）成立．
（1）函数f （x ）=x是否属于集合M ？说明理由；
x x
（2）设函数f （x ）=a（a ＞0，且a ≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f （x ）=a∈M ； （3）若函数f （x ）=sinkx∈M ，求实数k 的取值范围．
7．设a ，b 是两个实数，
A={（x ，y ）|x=n，y=na+b，n 是整数}，
B={（x ，y ）|x=m，y=3m+15，m 是整数}，
22
C={（x ，y ）|x+y≤144}，
是平面XOY 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得 （1）A ∩B ≠φ（φ表示空集）， （2）（a ，b ）∈C 同时成立．
2
8．设集合
，B={x|x﹣3mx+2m﹣m ﹣1＜0}．
2
2
（1）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数． （2）若B=∅，求m 的取值范围． （3）若A ⊇B ，求m 的取值范围．
9．已知集合P=
，
y=log2（ax ﹣2x+2）的定义域为Q ．
2
（1）若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围； （2）若方程
，求实数a 的取值的取值范围．
10．（2007•天津）设函数f （x ）=﹣x （x ﹣a ）（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）当a ≠0时，求函数f （x ）的极大值和极小值；
22
（Ⅲ）当a ＞3时，证明存在k ∈[﹣1，0]，使得不等式f （k ﹣cosx ）≥f （k ﹣cos x ）对任意的x ∈R 恒成立．
2
11．（2006•上海）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在（0，上是增函数． （Ⅰ）如果函数y=x+（Ⅱ）研究函数y=x+
2
]上是减函数，在[，+∞）
（x ＞0）的值域为[6，+∞），求b 的值；
（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
2
（Ⅲ）对函数y=x+和y=x+（常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的
2
单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F （x ）=（x 大值和最小值（可利用你的研究结论）．
）+（
n
）（n 是正整数）在区间[，2]上的最
n
12．（2006•上海）已知函数
上是增函数．
（1）如果函数
（2）设常数c ∈[1，4]，求函数（3）当n 是正整数时，研究函数
在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b 的值．
的最大值和最小值； 的单调性，并说明理由．
有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在
上是减函数，在
13．（2005•上海）对定义域是D f ．D g 的函数y=f（x ）．y=g（x ），
规定：函数h （x ）=．
（1）若函数f （x ）=，g （x ）=x，写出函数h （x ）的解析式；
2
（2）求问题（1）中函数h （x ）的值域； （3）若g （x ）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y=f（x ），及一个α的值，使得h （x ）=cos4x，并予以证明．
14．（2005•浙江）函数f （x ）和g （x ）的图象关于原点对称，且f （x ）=x+2x （Ⅰ）求函数g （x ）的解析式； （Ⅱ）解不等式g （x ）≥f （x ）﹣|x﹣1|． （Ⅲ）若h （x ）=g（x ）﹣λf （x ）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
2
15．（2005•湖南）已知函数f （x ）=lnx，g （x ）=ax +bx，a ≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h （x ）=f（x ）﹣g （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设函数f （x ）的图象C 1与函数g （x ）图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行．
2
16．（2005•广东）设函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上满足f （2﹣x ）=f（2+x），f （7﹣x ）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f （1）=f（3）=0． （Ⅰ）试判断函数y=f（x ）的奇偶性； （Ⅱ）试求方程f （x ）=0在闭区间[﹣2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．
17．（2004•上海）已知函数f （x ）=|x﹣a|，g （x ）=x+2ax+1（a 为正常数），且函数f （x ）与g （x ）的图象在y 轴上的截距相等． （1）求a 的值；
（2）求函数f （x ）+g（x ）的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：
．
2
18．（2002•北京）已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：f （ab ）=af（b ）+bf（a ）．
（1）求f （0）及f （1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若
f （2）=2，u n =
，求证数列{un }是等差数列，并求{un }的通项公式．
19．（2001•广东）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称对任意x 1，x 2∈[0，]，都有f （x 1+x2）=f（x 1）•f （x 2），且f （1）=a＞0． （Ⅰ）求f
；
（Ⅱ）证明f （x ）是周期函数； （Ⅲ）记a n =f（2n+
），求
．
20．（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （Ⅰ）将V 表示成r 的函数V （r ），并求该函数的定义域； （Ⅱ）讨论函数V （r ）的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
21．（2011•湖北）设函数f （x ）=x+2ax+bx+a，g （x ）=x﹣3x+2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y=f（x ）与y=g（x ）在点（2，0）处有相同的切线l ． （Ⅰ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程； （Ⅱ）若方程f （x ）+g（x ）=mx有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1＜x 2，且对任意的x ∈[x1，x 2]，f （x ）+g（x ）＜m （x ﹣1）恒成立，求实数m 的取值范围． 322
22．（2009•韶关二模）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式； （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
23．（2009•山东）两城市A 和B 相距20km ，现计划在两城市外以AB 为直径的半圆弧
上选择一点C 建造垃圾处
理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在（1）将y 表示成x 的函数； （2）判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城
的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065．
A 的距离；若不存在，说明理由．
24．（2008•湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i ﹣1＜t ＜i 表示第i 月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．
25．（2007•浙江）已知f （x ）=|x﹣1|+x+kx． （Ⅰ）若k=2，求方程f （x ）=0的解；
（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=0在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明
．
2
2
26．（2007•北京）已知函数y=kx与y=x+2（x ≥0）的图象相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），l 1，l 2分别是y=x+2（x ≥0）的图象在A ，B 两点的切线，M ，N 分别是l 1，l 2与x 轴的交点． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当x 1＜x 2时，写出t 以x 1为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III ）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．
22
27．（2007•江苏）已知a ，b ，c ，d 是不全为零的实数，函数f （x ）=bx+cx+d，g （x ）=ax+bx+cx+d．方程f （x ）=0有实数根，且f （x ）=0的实数根都是g （f （x ））=0的根；反之，g （f （x ））=0的实数根都是f （x ）=0的根． （1）求d 的值；
（2）若a=0，求c 的取值范围；
（3）若a=1，f （1）=0，求c 的取值范围．
232
28．（2006•重庆）已知定义域为R 的函数
是奇函数．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
22
（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f （t ﹣2t ）+f（2t ﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．
29．（2006•浙江）设f （x ）=3ax+2bx+c，若a+b+c=0，f （0）f （1）＞0，求证： （Ⅰ）方程f （x ）=0有实根． （Ⅱ）﹣2＜＜﹣1；设x 1，x 2是方程f （x ）=0的两个实根，则.
．
2
30．（2004•北京）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f（x ）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）
高中数学必修1难题好题
参考答案与试题解析
1．（2013•重庆）对正整数n ，记I n ={1，2，3…，n}，P n ={
|m∈I n ，k ∈I n }．
（1）求集合P 7中元素的个数；
（2）若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．
2．（2011•朝阳区二模）对于整数a ，b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a=bq+r，0≤r ＜|b|．特别地，当r=0时，称b 能整除a ，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}． （Ⅰ）存在q ∈A ，使得2011=91q+r（0≤r ＜91），试求q ，r 的值；
（Ⅱ）若B ⊆A ，card （B ）=12（card （B ）指集合B 中的元素的个数），且存在a ，b ∈B ，b ＜a ，b|a，则称B 为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B 0和一个含有元素8的非“谐和集”C ，并求最大的m ∈A ，使含m 的集合A 有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．
3．（2010•北京）已知集合S n ={X|X=（x 1，x 2，…，x n ），x 1∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n ≥2）对于A=（a 1，a 2，…a n ，），B=（b 1，b 2，…b n ，）∈S n ，定义A 与B 的差为A ﹣B=（|a1﹣b 1|，|a2﹣b 2|，…|an ﹣b n |）； A 与B 之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d （A ，B ）； （Ⅱ）证明：∀A ，B ，C ∈S n ，有A ﹣B ∈S n ，且d （A ﹣C ，B ﹣C ）=d（A ，B ）； （Ⅲ）证明：∀A ，B ，C ∈S n ，d （A ，B ），d （A ，C ），d （B ，C ）三个数中至少有一个是偶数．
4．（2008•南京模拟）已知集合A={a1，a 2，a 3，…，a n }，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），k （A ）表示a i +aj （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k （P ）和k （Q ）； （2）若集合A={2，4，8，…，2}，证明：（3）求k （A ）的最小值． n
；
5．（2007•北京）已知集合A={a1，a 2，…，a k （k ≥2）}，其中a i ∈Z （i=1，2，…，k ），由A 中的元素构成两个相应的集合：S={（a ，b ）|a∈A ，b ∈A ，a+b∈A}，T={（a ，b ）|a∈A ，b ∈A ，a ﹣b ∈A}．其中（a ，b ）是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a ∈A ，总有﹣a ∉A ，则称集合A 具有性质P ． （Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：
；
（Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．
6．（2003•上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f （x+T）=T•f （x ）成立．
（1）函数f （x ）=x是否属于集合M ？说明理由；
x x
（2）设函数f （x ）=a（a ＞0，且a ≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f （x ）=a∈M ； （3）若函数f （x ）=sinkx∈M ，求实数k 的取值范围．
7．设a ，b 是两个实数，
A={（x ，y ）|x=n，y=na+b，n 是整数}，
B={（x ，y ）|x=m，y=3m+15，m 是整数}，
22
C={（x ，y ）|x+y≤144}，
是平面XOY 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得 （1）A ∩B ≠φ（φ表示空集）， （2）（a ，b ）∈C 同时成立．
2
8．设集合
，B={x|x﹣3mx+2m﹣m ﹣1＜0}．
2
2
（1）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数． （2）若B=∅，求m 的取值范围． （3）若A ⊇B ，求m 的取值范围．
9．已知集合P=
，
y=log2（ax ﹣2x+2）的定义域为Q ．
2
（1）若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围； （2）若方程
，求实数a 的取值的取值范围．
10．（2007•天津）设函数f （x ）=﹣x （x ﹣a ）（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）当a ≠0时，求函数f （x ）的极大值和极小值；
22
（Ⅲ）当a ＞3时，证明存在k ∈[﹣1，0]，使得不等式f （k ﹣cosx ）≥f （k ﹣cos x ）对任意的x ∈R 恒成立．
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11．（2006•上海）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在（0，上是增函数． （Ⅰ）如果函数y=x+（Ⅱ）研究函数y=x+
2
]上是减函数，在[，+∞）
（x ＞0）的值域为[6，+∞），求b 的值；
（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
2
（Ⅲ）对函数y=x+和y=x+（常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的
2
单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F （x ）=（x 大值和最小值（可利用你的研究结论）．
）+（
n
）（n 是正整数）在区间[，2]上的最
n
12．（2006•上海）已知函数
上是增函数．
（1）如果函数
（2）设常数c ∈[1，4]，求函数（3）当n 是正整数时，研究函数
在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b 的值．
的最大值和最小值； 的单调性，并说明理由．
有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在
上是减函数，在
13．（2005•上海）对定义域是D f ．D g 的函数y=f（x ）．y=g（x ），
规定：函数h （x ）=．
（1）若函数f （x ）=，g （x ）=x，写出函数h （x ）的解析式；
2
（2）求问题（1）中函数h （x ）的值域； （3）若g （x ）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y=f（x ），及一个α的值，使得h （x ）=cos4x，并予以证明．
14．（2005•浙江）函数f （x ）和g （x ）的图象关于原点对称，且f （x ）=x+2x （Ⅰ）求函数g （x ）的解析式； （Ⅱ）解不等式g （x ）≥f （x ）﹣|x﹣1|． （Ⅲ）若h （x ）=g（x ）﹣λf （x ）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
2
15．（2005•湖南）已知函数f （x ）=lnx，g （x ）=ax +bx，a ≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h （x ）=f（x ）﹣g （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设函数f （x ）的图象C 1与函数g （x ）图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行．
2
16．（2005•广东）设函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上满足f （2﹣x ）=f（2+x），f （7﹣x ）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f （1）=f（3）=0． （Ⅰ）试判断函数y=f（x ）的奇偶性； （Ⅱ）试求方程f （x ）=0在闭区间[﹣2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．
17．（2004•上海）已知函数f （x ）=|x﹣a|，g （x ）=x+2ax+1（a 为正常数），且函数f （x ）与g （x ）的图象在y 轴上的截距相等． （1）求a 的值；
（2）求函数f （x ）+g（x ）的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：
．
2
18．（2002•北京）已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：f （ab ）=af（b ）+bf（a ）．
（1）求f （0）及f （1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若
f （2）=2，u n =
，求证数列{un }是等差数列，并求{un }的通项公式．
19．（2001•广东）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称对任意x 1，x 2∈[0，]，都有f （x 1+x2）=f（x 1）•f （x 2），且f （1）=a＞0． （Ⅰ）求f
；
（Ⅱ）证明f （x ）是周期函数； （Ⅲ）记a n =f（2n+
），求
．
20．（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （Ⅰ）将V 表示成r 的函数V （r ），并求该函数的定义域； （Ⅱ）讨论函数V （r ）的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
21．（2011•湖北）设函数f （x ）=x+2ax+bx+a，g （x ）=x﹣3x+2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y=f（x ）与y=g（x ）在点（2，0）处有相同的切线l ． （Ⅰ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程； （Ⅱ）若方程f （x ）+g（x ）=mx有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1＜x 2，且对任意的x ∈[x1，x 2]，f （x ）+g（x ）＜m （x ﹣1）恒成立，求实数m 的取值范围． 322
22．（2009•韶关二模）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式； （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
23．（2009•山东）两城市A 和B 相距20km ，现计划在两城市外以AB 为直径的半圆弧
上选择一点C 建造垃圾处
理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在（1）将y 表示成x 的函数； （2）判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城
的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065．
A 的距离；若不存在，说明理由．
24．（2008•湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i ﹣1＜t ＜i 表示第i 月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．
25．（2007•浙江）已知f （x ）=|x﹣1|+x+kx． （Ⅰ）若k=2，求方程f （x ）=0的解；
（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=0在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明
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26．（2007•北京）已知函数y=kx与y=x+2（x ≥0）的图象相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），l 1，l 2分别是y=x+2（x ≥0）的图象在A ，B 两点的切线，M ，N 分别是l 1，l 2与x 轴的交点． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当x 1＜x 2时，写出t 以x 1为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III ）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．
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27．（2007•江苏）已知a ，b ，c ，d 是不全为零的实数，函数f （x ）=bx+cx+d，g （x ）=ax+bx+cx+d．方程f （x ）=0有实数根，且f （x ）=0的实数根都是g （f （x ））=0的根；反之，g （f （x ））=0的实数根都是f （x ）=0的根． （1）求d 的值；
（2）若a=0，求c 的取值范围；
（3）若a=1，f （1）=0，求c 的取值范围．
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28．（2006•重庆）已知定义域为R 的函数
是奇函数．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
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（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f （t ﹣2t ）+f（2t ﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．
29．（2006•浙江）设f （x ）=3ax+2bx+c，若a+b+c=0，f （0）f （1）＞0，求证： （Ⅰ）方程f （x ）=0有实根． （Ⅱ）﹣2＜＜﹣1；设x 1，x 2是方程f （x ）=0的两个实根，则.
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30．（2004•北京）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f（x ）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）