§5.6函数图象的定位作图法

§5.6 函数图象的定位作图法

预备知识 ∙函数值

∙用列表、描点法作函数的图象 重点

∙从y =f (x ) 的图象,用定位法作函数y +b =f (x +a ) 的图象 ∙函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象——正弦型曲线 难点

∙函数y =f (x ) 的图象与函数y +b =f (x +a ) 的图象之间的关系 学习要求

∙了解函数y =f (x ) 的图象与函数y +b =f (x +a ) 的图象之间的关系 ∙会用五点法作正弦型曲线

除了用图象法表示的函数外,列表法、解析法表示的函数,都存在一个作出函数图象的问题.列表法表示的函数的图象,不过是一系列点(但是在某些特定情况,为了看出变换趋势,有时也用折线把这一系列点连接起来,成为折线图) ,可以说作图是不成问题的.所谓函数作图,主要是指作出用解析法表示的函数的图象.我们在下面所讲的函数作图,也就是对此而言. 作出函数图象的重要性是不言自明的,起码可以说出如下几点: (1)能直观地看出函数的变化情况.

(2)能从函数的图象,看出函数的某些变化性质.最明显的,例如增减性、凹凸性及对称性等.

(3)能利用函数的图象,来解算一些仅靠演算无法解决的问题,这就是所谓图象解算法.例如求f (x )=0的根,只要求出y =f (x ) 的图象与x 轴(y =0)交点的横坐标,这至少可以得到近似根.

既然函数作图是如此重要,那么到现在为止,你掌握了多少作图本领呢?罗列一下,你会作图的函数计有:直线y =kx +b ,反比例函数y =k ,三角函

数y =sinx , y =cosx , y =tanx ,幂函数y =x α,指数函数y =a x .此外就是描点法了. 在本节,我们将向你介绍一种普遍有用的作图方法――定位缩放作图法,使你能从你所掌握的少数几个图象,作出具有特定形式的其它函数的图象. 1. y =f (x ) 的图象与y +b =f (x +a ) 图象的关系 (1)一个简单实例

先来看一个最简单的例子.用列表、描图的方法,在同一个坐标系中作出函数 y 1=x 2 (1) y 2 -2=(x -1) 2 (2) 的图象.列表如下,图象见图5-35.

比较表上所列的两个函数的函数值, 你能发现在相同的x 处,y 1, y 2的函数值 是不同的,但是把y 2减去2,那么y 1的 各函数值在y 2-2中都出现 (见表的第四 行) ,只是出现的地方,比y 1滞后了1, 或者说,y 1提前1个单位出现与y 2-2相 同数值.这一现象表示什么意思呢?它 表示:

把(2)图象上的每一点,往下移2个

y 图5-35

单位(成为y 2-2) ,并且再往左移一个单位(提前1个单位) ,就到了(1)的图象

上.例如(2)图象上的点A (0,3),往左移1个单位、往下移2个单位,变成点A 1(-1,1),而A 1正是(1)的图象上的点;(2)图象上的点B (-1,6),往左移1个单位、往下移2个单位,变成点B 1(-2,4),而B 1也正是(1)的图象上的点(见图5-35箭头所标) .

这又表示:(1)的图象与(2)的图象是完全相同的,只是位置不同,把(2)的图象,往左移动1个单位、往下移动2个单位,就变成(1)的图象.这样两个图象的关系,称(1)由(2)平移得到.平移关系是相对的,你也可以说,(2)的图象是由(1)的图象平移得到,只是平移的方向相反,把(1)的图象往右移动1个单位、往上移动2个单位,就变成了(2)的图象. (2)一般情形 把函数(1)记作

y =f (x ) (1)' 那么函数(2)可以用f 表示为y -2=f (x -1) .若记b =-2, a =-1,那么(2)是 y +b =f (x +a ) (2)' 上面讨论表明,(1)', (2)'的图象相同,(2)'的图象,可以用(1)'的图象在x 方向平移-a (=1)、y 方向平移-b (=2)个单位得到.

对一般函数y =f (x ) 的图象(在图5-36上标记为l 1) 与y +b =f (x +a ) 图象(在图5-36上标记为l ) 之间的关系, 也与(1)(2)或(1)' (2)'之间的关系类 似:把l 在x 方向平移a 、y 方向 平移b 个单位,即成为l 1;反之, 把l 1在x 方向平移-a 、y 方向 平移-b 个单位,即成为l .由此可 得结论:y =f (x ) 和y +b =f (x +a ) 的图 象曲线的形状是相同的,只是位置 个单位,就是y +b =f (x +a ) 的图象l .

例1 说出下列两个函数图象之间的位置关系: (1)y =3x , y =3x -2-2; (2)y =sin(x + (4)y =

图5-36

不同;把y =f (x ) 的图象l 1在x 方向上移动 -a 个单位、在y 轴方向上移动 -b

π

3

)-2, y =sinx ; (3)y =x 3, y =(x -5) 3+4;

11

, y =;(5)y =7x 2, y =7x 2-0.5;

x +1x

(6)y =2cos(2x +

π)+3, y =2cos (2x ) .

3

解 (1)记函数y =3x 为y =f (x ) ,则函数y =3x -2-2为y +2=f (x -2) .对照一般形式,a =-2, b =2(-a =2,-b =-2).所以y =3x -2-2的图象是y =3x 的图象在x 轴方向平移2个单位、在y 轴方向平移-2个单位的结果 ▌

(2)记函数y =sinx 为y =f (x ) ,则函数y =sin(x +π)-2为y +2=f (x +) .对

33照一般形式,a =

π

π, b =2(-a =-π,-b =-2).π)-2的图象是y =sinx

所以y =sin(x +

3

3

3

的图象在x 轴方向平移-

π个单位、在y 轴方向平移-2个单位的结果 ▌

3

(3)记函数y =x 3为y =f (x ) ,则函数y =(x -5) 3+4为y -4=f (x -5) .对照一般形式,a =-5,b =-4 (-a =5,-b =4).所以y =(x -5) 3+4的图象是y =x 3的图象在x 轴方向平移5个单位、在y 轴方向平移4个单位的结果 ▌ (4)记函数y =

1

为y =f (x ) ,则函数y =1为y -4=f (x +1).对照一般形x +1

1

的图象是y =1的图象在x 轴方向x +1式,a =1,b =0 (-a =-1,-b =0).所以y =平移-1个单位的结果 ▌

(5)记函数y =7x 2为y =f (x ) ,则函数y =7x 2-0.5为y +0.5=f (x ) .对照一般形式,a =0,b =0.5(-a =0,-b =-0.5).所以y =7x 2-0.5的图象是y =7x 2 的图象在y 轴方向平移-0.5个单位的结果 ▌

(6)记函数y =2cos (2x ) 为y =f (x ) ,函数

y =2cos(2x +π)+3=2cos 2(x +π)+3, y -3=2cos2(x +) ,

636所以函数y =2cos(2x +

π

π)+3为y -3=f (x +π) .对照一般形式,a =π, b =-3

3

6

6

(-a =-

π,-b =3).所以y =2cos(2x +π)+3的图象是y =2cos (2x ) 的图象在x 轴

36

方向平移-

π个单位、在y 轴方向平移3个单位的结果 ▌

6

课内练习1

1. 说出下列两个函数图象之间的位置关系:

+2

(1)y =(3) x , y 2=(3) x ; (2)y =(x +3)3, y =(x -5) 3-4;

22

31

(3)y =1, y =+; (4)y =3x , y =3(x +2+1);

x -12 (5)y =tan(-x +π)-2, y =tanx ; (6)y =2[sin(4x +2π)+3], y =2sin(4x ) . 3

2. 定位作图法

让我们回到先前的讨论过的简单实例.你想作出(2)、即y -2=(x -1) 2的图象.根据图象位置关系,你只要作出比较简单的函数(1)、即y =x 2的图象,然

后往右(即在x 轴方向) 移动1个单位、往上(即在x 轴方向) 移动2个单位就行了.这样,任务是完成了,但要作(2)的图象,还非得先作出(1)的图象,然后再平移,最后再擦去无用的(1)的图象,动作是否太多了一点?能不能不作(2)的图象而又能从(1)的图象直接得到(2)的图象呢?

看一下图5-35,你能发现完全不必作出(1)的图象再平移得到(2)的图象,而是可以直接作出(2)的图象,方法如下:先建立一个实在的坐标系,你的任务是要在这个坐标系中作出(2)的图象.为此,你只要以坐标是(1,2)的点为假想原点,建立一个假想的坐标系,(在图5-35上用虚线表示,而且因为坐标系是假想的,所以也没有标记箭头) .在这个假想坐标系中,按(1)作出图象,那么,这个图象在原坐标系中,就成了(2)的图象了.

返回到一般情况上来.你的任务是在一个已经建立的坐标系中,作出y +b =f (x +a ) 的图象.据图5-36,以坐标是(-a ,-b ) 的点为假想原点,建立一个假想坐标系(在图5-36中以不带箭头的虚线表示) ,在这个假想坐标系中,作y =f (x ) 的图象,那么在原坐标系中,它就是y +b =f (x +a ) 的图象.

这种在假想坐标系中作y =f (x ) 的图象,得到在原坐标系中y +b =f (x +a ) 的图象的方法,关键一点,是定好假想坐标系的原点在原坐标系中的位置(-a ,-b ) ,因此称为定位作图法.现在总结定位作图法的要点如下: 目的:通过作y =f (x ) 的图象,得到y +b =f (x +a ) 的图象; 步骤:

第一步 检查函数确实已经准确地表示成y +b =f (x +a ) 的形式;

x +a =0 第二步 画出一个直角坐标系.从⎧⎨y +b =0,解得x =-a , y =-b ,得到⎩

定位点在直角坐标系中的坐标(-a ,-b ) ;

第三步 以定位点(-a ,-b ) 为假想原点,画一个假想直角坐标系; 第四步 在假想坐标系中作出y =f (x ) 的图象,它就是y +b =f (x +a ) 原直角坐标系中的图象.

当然,使用定位作图法的基础,是y =f (x ) 的图象是熟知的,例如是本节开始时所列的直线、三角函数、指数函数、幂函数及反比例函数的图象等. 例2 用定位作图法,作出函数y =2x -1-2的图象.

分析 根据所给函数的形式,我们想通过作y =2x 的图象来得到要求的图象.

解 令f (x )=2x .

第一步 改写函数为 y +2=2(x -1) ,即y +2= f(x -1)

第二步 画好直角坐标系(见图5-37) .令x -1=0解得x =1;令y +2=0,解得y = -2.所以定位点为(1, -2) ;

第三步 以(1,-2)为假想原点,画一个假想直角 坐标系;

图5-37

第四步 在假想直角坐标系中,作出y = 2x 的图象,即为所求 ▌ 例3 用定位作图法,作出函数y =x +2+3的图象.

分析 根据所给函数的形式,我们想通过作y =x 的图象来得到要求的图象.

解 令f (x )=x .

改写函数为y -3=x +2,即y -3=f (x +2); 画好直角坐标系(见图5-38) .令x +2=0,解得 x =-2;令y -3=0,解得y =3.所以定位点为(-2,3); 以(-2,3)为假想原点,画一个假想直角坐标系; 在假想直角坐标系中,作出y =x 的图象,

即为所求 ▌

例4 用定位作图法,作出函数y =sin(2x -图5-38 π

)-1的图象. 3

分析 根据所给函数的形式,我们想通过作y =sin2x 的图象来得到要求的图象.

解 令f (x )= sin2x 改写函数为y +1=sin2(x -

ππ) ,即y +1= f(x -) ; 66

ππ

=0,解得x =;令y +1=0,解得66

画好直角坐标系(见图5-39) .令x -y =-1.所以定位点为( 以(

π

,-1) ; 6

π

,-1) 为假想原点,画一个假想直角坐标系; 6

在假想直角坐标系中,用五点作图法作出y =sin2x 的图象,即为所求函数在一个周期内(注意,周期T =π) 的图象.再作周期延拓,即得全部图象 ▌

图5-39

例5 用定位作图法,作出函数y = 解 函数化为为y = 令f (x )=

x +1

的图象. -1

(x -1) +22

,即y =1+. x -1x -1

2

,则原给函数为 y -1= f(x –1) ;

x

画好直角坐标系(见图5-40) .令x -1=0,解得x =1;令y -1=0,解得

y =1.所以定位点为(1,1);

以(1,1)为假想原点,画一个假想直角 坐标系;

在假想直角坐标系中,作出y =象,即为所求 ▌ 课内练习2

1. 用定位作图法,作出下列函数的图象: (1)y =(

图5-40 2

的图 x

x -11π1x +1

) +2; (2)y =x -2-2; (3)y =sin(x -)+1; (4)y =.

2+162

(2)正弦型曲线及其作图方法 ①正弦型曲线 函数

y =A sin(ωx +ϕ) (5-6-1) 的图象,称为正弦型曲线,其中A ≠0, ω>0, ϕ都是已知常数.以前,讲到正弦函数,总是免不了同时讲余弦函数,这里为什么只对正弦函数考虑形如(5-6-1)的图象,而不提余弦函数中形如y =A cos(ωx +ϕ) 的图象呢?你能找到一个充分的理由吗?

在没有开始作图之前,让我们先来看一看它与标准的正弦函数y =sinx 有些什么差别.

周期:y =sinx 的周期T =2π.因为

y =A sin(ωx +ϕ)=A sin(ωx +ϕ+2π)=A sin[ω (x +所以函数(5-6-1)是以

2π)+ϕ], x ∈(-∞,+∞) , ω

ω

为周期的周期函数;

最大值和最小值:y =sinx 的最大值为1,最小值为-1.对函数(5-6-1),当ωx +ϕ=±

π, 即x =1(±π-ϕ) 分别达到最大值|A |和最小值-|A |;

2ω2

在电学的交流电中,经常遇到函数(5-6-1),沿袭电学中的名称,称ω为圆频率(因为以周角2π表示绕一圈的圆,则ω恰好表示一个周角中包含的周期数) ,称|A |为振幅,称ϕ为初相位(以x =0表示初始时刻,函数(5-6-1)当x =0时,出现在函数符号sin 下的变量ωx +ϕ=ϕ,即似乎(5-6-1)在初始时已到达了相当于y =sinx 在x =ϕ的位置) .

例9 求出下列函数的周期、振幅及初相位: (1)y =2sin(50x +

π) ; (2)y =-0.5sin(x -π) ;

222

(3)y =-20sin(x -

π) ; (4)y =3sin(5.5x ) .

23

解 (1)对照(5-6-1),A =2, ω=50, ϕ= 周期=

π

,所以 2

ω

=

π2ππ=,振幅=2,初相位= ▌ 25025

, ϕ=-,所以 22

(2)对照(5-6-1),A =-0.5, ω= 周期=

ω

=2π=4π,振幅=0.5,初相位=-1

2

π ▌ 2

(3)对照(5-6-1),A =-20, ω=1, ϕ=-

π

,所以 3

π ▌ 3

周期=2π,振幅=20,初相位=- (4)对照(5-6-1),A = 周期=课内练习5

3

, ω=5.5, ϕ=0,所以 2

3

=4π=4π,振幅=,初相位=0 ▌

2ω5. 511

1. 求出下列函数的周期、振幅及初相位: (1)y =4sin(100x -

πx

) ; (2)y =-2sin; 250

(3)y =-1sin(x +π) ; (4)y =3sin(55x +65︒) .

1002 ②正弦型曲线作图

把函数(5-6-1)改写成y =A sin[ω (x +ϕ)].令f (x )=sinωx ,(5-6-1)能写成

ωy =Af (x +ϕ) ,它还不能化为y +b =f (x +a ) 的形式,因此还得用五点法结合周期

ω延拓作出它的图象.这里五点的取法是: ωx +ϕ=0 ⇒ x = -ϕ;ωx +ϕ=

π-ϕπ1π

⇒ x =(- ϕ) ;ωx +ϕ=π ⇒ x

= 2ω2(3)

2π-ϕ3π13π

ωx +ϕ=⇒ x =(- ϕ) ;ωx +ϕ=2π ⇒ x =

2ωω2

因此五点额函数值表为

去死记五点的公式是没有必要的,知道推算式(7)才是重要的. 例10 求作下列正弦型曲线: (1)y =2sin(3x +

ππ) ; (2)y =-1sin(1x -) . 4822

π2π2π,周期T ==.

4ω3

解 (1) A=2, ω=3, ϕ=

求出五点的横坐标及函数值:

以下就是常规的描点作图法了,最后周期延拓.图象见图5-41.

图5-41

π2π (2) A=1, ω=1, ϕ= -,周期T ==4π. 8ω22 求出五点的横坐标及函数值:

以下用描点作图法作出在[π, 17π]内的图象,最后周期延拓.图象见图

445-42.

课内练习6

1. 求作下列正弦型曲线:

图5-42

(1)y =-2sin(

1π12

x +) ; (2)y =sin(x -π) . 2332

课外习题 A 组

1. 说出下列两个函数图象之间的位置关系:

(1)y =2x , y =2x -3-1; (2)y =sin(x +π)-3, y =sinx ; (3)y =x 3, y =(x +3)3-2;

7 (4)y =1, y =1+3; (5)y =7x 2, y =7(x +1)2-5;

x x -2 (6)y =3cos(4x +4π)-5, y =3cos (4x ) .

32. 作出函数y =0.5x - 2-3的图象. 3. 用定位作图法作出下列函数的图象: (1)y =x +1+2;(2)y =sin(x -

π)+1;(3)y =x -2.

x +13

4. 说出下列函数的周期、振幅及初相位: (1)y =308sin(50x +

2π2x π

) ; (2)y = -5sin(-) ; 336

(3)y =-10sin(0.01x -

π3

) ; (4)y =sin(1.5x ) . 3004

5. 求作下列正弦型曲线: (1)y =3sin(

ππ11

x +) ; (2)y =-sin(3x -) ; 8222

1ππ3

) ; (4) y=sin(x -) .

31234

(3) y=3sin(2x +

6*.作出y =2sin(x +)-1的图象.

36

π

B 组

1. 将下列函数图象按指定方式平移,写出平移后函数图象的解析式: (1)y =2x +3, 向右平移2,向下平移3; (2)y =

1

,向左平移1,向上平移2; 2-3

(3)y =1-2x ,向上平移2,向右平移1; (4)y =2sin (2x -π) ,向下平移2,向左平移.

33

π

2. 用定位作图法作出下列函数的草图,并分析这些函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性和周期性:

(1)y =(x -1) 2-3, x ∈[0, 4]; (2)y =x +4-2;

(3)y =2x +1-2; (4)y =x +4; (5)y =3cos (1x +π) +1. x +222

3. 如图所示为函数y =x +1的图象,试由 2 此画出函数y =x +x +1的图象. x +1

4. 已知:y =f (x ) 的定义域为[-1,1],值域为

[-π, π],在定义域上是单调增加函数,请 22 分析下列函数的定义域及单调性:

(1)y =f (x +2) ; (2)y =-f (x -1) ;

(3)y =-f (x -

π; (4)y =f (x -π) -π. ) 2C 组

1. 试画出函数y =(cos x -2) -3的图象,并分析该函数的性质.

2. 如图,当K 闭合时,电容C 两端的电压U (V ) 与时间t 之间的关系为

U =12(1-e -λt 2) ,λ为一个与电阻R 和电容C 有关的常数(见第7题图(1)). 现在在C 的两端并联一只开关二极管,当其两端电压达到10V 时,它将 导通,电容放电(极为迅速) ,放电到一定程度,二极管两端电压将低于 8V ,二极管将截止(不再导通) ,电容将再次充电,如此周期性反复,这 样,二极管两端电压U 将出现一种有趣的“振荡”现象(见第7题图(1)).请 你结合电子专业知识,定性地画一下二极管两端电压随时间变化的函数 U (t ) 的草图.(不要求求出周期,但要考虑一下每段曲线的凹凸性)

第2题图

278

§5.6 函数图象的定位作图法

预备知识 ∙函数值

∙用列表、描点法作函数的图象 重点

∙从y =f (x ) 的图象,用定位法作函数y +b =f (x +a ) 的图象 ∙函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象——正弦型曲线 难点

∙函数y =f (x ) 的图象与函数y +b =f (x +a ) 的图象之间的关系 学习要求

∙了解函数y =f (x ) 的图象与函数y +b =f (x +a ) 的图象之间的关系 ∙会用五点法作正弦型曲线

除了用图象法表示的函数外,列表法、解析法表示的函数,都存在一个作出函数图象的问题.列表法表示的函数的图象,不过是一系列点(但是在某些特定情况,为了看出变换趋势,有时也用折线把这一系列点连接起来,成为折线图) ,可以说作图是不成问题的.所谓函数作图,主要是指作出用解析法表示的函数的图象.我们在下面所讲的函数作图,也就是对此而言. 作出函数图象的重要性是不言自明的,起码可以说出如下几点: (1)能直观地看出函数的变化情况.

(2)能从函数的图象,看出函数的某些变化性质.最明显的,例如增减性、凹凸性及对称性等.

(3)能利用函数的图象,来解算一些仅靠演算无法解决的问题,这就是所谓图象解算法.例如求f (x )=0的根,只要求出y =f (x ) 的图象与x 轴(y =0)交点的横坐标,这至少可以得到近似根.

既然函数作图是如此重要,那么到现在为止,你掌握了多少作图本领呢?罗列一下,你会作图的函数计有:直线y =kx +b ,反比例函数y =k ,三角函

数y =sinx , y =cosx , y =tanx ,幂函数y =x α,指数函数y =a x .此外就是描点法了. 在本节,我们将向你介绍一种普遍有用的作图方法――定位缩放作图法,使你能从你所掌握的少数几个图象,作出具有特定形式的其它函数的图象. 1. y =f (x ) 的图象与y +b =f (x +a ) 图象的关系 (1)一个简单实例

先来看一个最简单的例子.用列表、描图的方法,在同一个坐标系中作出函数 y 1=x 2 (1) y 2 -2=(x -1) 2 (2) 的图象.列表如下,图象见图5-35.

比较表上所列的两个函数的函数值, 你能发现在相同的x 处,y 1, y 2的函数值 是不同的,但是把y 2减去2,那么y 1的 各函数值在y 2-2中都出现 (见表的第四 行) ,只是出现的地方,比y 1滞后了1, 或者说,y 1提前1个单位出现与y 2-2相 同数值.这一现象表示什么意思呢?它 表示:

把(2)图象上的每一点,往下移2个

y 图5-35

单位(成为y 2-2) ,并且再往左移一个单位(提前1个单位) ,就到了(1)的图象

上.例如(2)图象上的点A (0,3),往左移1个单位、往下移2个单位,变成点A 1(-1,1),而A 1正是(1)的图象上的点;(2)图象上的点B (-1,6),往左移1个单位、往下移2个单位,变成点B 1(-2,4),而B 1也正是(1)的图象上的点(见图5-35箭头所标) .

这又表示:(1)的图象与(2)的图象是完全相同的,只是位置不同,把(2)的图象,往左移动1个单位、往下移动2个单位,就变成(1)的图象.这样两个图象的关系,称(1)由(2)平移得到.平移关系是相对的,你也可以说,(2)的图象是由(1)的图象平移得到,只是平移的方向相反,把(1)的图象往右移动1个单位、往上移动2个单位,就变成了(2)的图象. (2)一般情形 把函数(1)记作

y =f (x ) (1)' 那么函数(2)可以用f 表示为y -2=f (x -1) .若记b =-2, a =-1,那么(2)是 y +b =f (x +a ) (2)' 上面讨论表明,(1)', (2)'的图象相同,(2)'的图象,可以用(1)'的图象在x 方向平移-a (=1)、y 方向平移-b (=2)个单位得到.

对一般函数y =f (x ) 的图象(在图5-36上标记为l 1) 与y +b =f (x +a ) 图象(在图5-36上标记为l ) 之间的关系, 也与(1)(2)或(1)' (2)'之间的关系类 似:把l 在x 方向平移a 、y 方向 平移b 个单位,即成为l 1;反之, 把l 1在x 方向平移-a 、y 方向 平移-b 个单位,即成为l .由此可 得结论:y =f (x ) 和y +b =f (x +a ) 的图 象曲线的形状是相同的,只是位置 个单位,就是y +b =f (x +a ) 的图象l .

例1 说出下列两个函数图象之间的位置关系: (1)y =3x , y =3x -2-2; (2)y =sin(x + (4)y =

图5-36

不同;把y =f (x ) 的图象l 1在x 方向上移动 -a 个单位、在y 轴方向上移动 -b

π

3

)-2, y =sinx ; (3)y =x 3, y =(x -5) 3+4;

11

, y =;(5)y =7x 2, y =7x 2-0.5;

x +1x

(6)y =2cos(2x +

π)+3, y =2cos (2x ) .

3

解 (1)记函数y =3x 为y =f (x ) ,则函数y =3x -2-2为y +2=f (x -2) .对照一般形式,a =-2, b =2(-a =2,-b =-2).所以y =3x -2-2的图象是y =3x 的图象在x 轴方向平移2个单位、在y 轴方向平移-2个单位的结果 ▌

(2)记函数y =sinx 为y =f (x ) ,则函数y =sin(x +π)-2为y +2=f (x +) .对

33照一般形式,a =

π

π, b =2(-a =-π,-b =-2).π)-2的图象是y =sinx

所以y =sin(x +

3

3

3

的图象在x 轴方向平移-

π个单位、在y 轴方向平移-2个单位的结果 ▌

3

(3)记函数y =x 3为y =f (x ) ,则函数y =(x -5) 3+4为y -4=f (x -5) .对照一般形式,a =-5,b =-4 (-a =5,-b =4).所以y =(x -5) 3+4的图象是y =x 3的图象在x 轴方向平移5个单位、在y 轴方向平移4个单位的结果 ▌ (4)记函数y =

1

为y =f (x ) ,则函数y =1为y -4=f (x +1).对照一般形x +1

1

的图象是y =1的图象在x 轴方向x +1式,a =1,b =0 (-a =-1,-b =0).所以y =平移-1个单位的结果 ▌

(5)记函数y =7x 2为y =f (x ) ,则函数y =7x 2-0.5为y +0.5=f (x ) .对照一般形式,a =0,b =0.5(-a =0,-b =-0.5).所以y =7x 2-0.5的图象是y =7x 2 的图象在y 轴方向平移-0.5个单位的结果 ▌

(6)记函数y =2cos (2x ) 为y =f (x ) ,函数

y =2cos(2x +π)+3=2cos 2(x +π)+3, y -3=2cos2(x +) ,

636所以函数y =2cos(2x +

π

π)+3为y -3=f (x +π) .对照一般形式,a =π, b =-3

3

6

6

(-a =-

π,-b =3).所以y =2cos(2x +π)+3的图象是y =2cos (2x ) 的图象在x 轴

36

方向平移-

π个单位、在y 轴方向平移3个单位的结果 ▌

6

课内练习1

1. 说出下列两个函数图象之间的位置关系:

+2

(1)y =(3) x , y 2=(3) x ; (2)y =(x +3)3, y =(x -5) 3-4;

22

31

(3)y =1, y =+; (4)y =3x , y =3(x +2+1);

x -12 (5)y =tan(-x +π)-2, y =tanx ; (6)y =2[sin(4x +2π)+3], y =2sin(4x ) . 3

2. 定位作图法

让我们回到先前的讨论过的简单实例.你想作出(2)、即y -2=(x -1) 2的图象.根据图象位置关系,你只要作出比较简单的函数(1)、即y =x 2的图象,然

后往右(即在x 轴方向) 移动1个单位、往上(即在x 轴方向) 移动2个单位就行了.这样,任务是完成了,但要作(2)的图象,还非得先作出(1)的图象,然后再平移,最后再擦去无用的(1)的图象,动作是否太多了一点?能不能不作(2)的图象而又能从(1)的图象直接得到(2)的图象呢?

看一下图5-35,你能发现完全不必作出(1)的图象再平移得到(2)的图象,而是可以直接作出(2)的图象,方法如下:先建立一个实在的坐标系,你的任务是要在这个坐标系中作出(2)的图象.为此,你只要以坐标是(1,2)的点为假想原点,建立一个假想的坐标系,(在图5-35上用虚线表示,而且因为坐标系是假想的,所以也没有标记箭头) .在这个假想坐标系中,按(1)作出图象,那么,这个图象在原坐标系中,就成了(2)的图象了.

返回到一般情况上来.你的任务是在一个已经建立的坐标系中,作出y +b =f (x +a ) 的图象.据图5-36,以坐标是(-a ,-b ) 的点为假想原点,建立一个假想坐标系(在图5-36中以不带箭头的虚线表示) ,在这个假想坐标系中,作y =f (x ) 的图象,那么在原坐标系中,它就是y +b =f (x +a ) 的图象.

这种在假想坐标系中作y =f (x ) 的图象,得到在原坐标系中y +b =f (x +a ) 的图象的方法,关键一点,是定好假想坐标系的原点在原坐标系中的位置(-a ,-b ) ,因此称为定位作图法.现在总结定位作图法的要点如下: 目的:通过作y =f (x ) 的图象,得到y +b =f (x +a ) 的图象; 步骤:

第一步 检查函数确实已经准确地表示成y +b =f (x +a ) 的形式;

x +a =0 第二步 画出一个直角坐标系.从⎧⎨y +b =0,解得x =-a , y =-b ,得到⎩

定位点在直角坐标系中的坐标(-a ,-b ) ;

第三步 以定位点(-a ,-b ) 为假想原点,画一个假想直角坐标系; 第四步 在假想坐标系中作出y =f (x ) 的图象,它就是y +b =f (x +a ) 原直角坐标系中的图象.

当然,使用定位作图法的基础,是y =f (x ) 的图象是熟知的,例如是本节开始时所列的直线、三角函数、指数函数、幂函数及反比例函数的图象等. 例2 用定位作图法,作出函数y =2x -1-2的图象.

分析 根据所给函数的形式,我们想通过作y =2x 的图象来得到要求的图象.

解 令f (x )=2x .

第一步 改写函数为 y +2=2(x -1) ,即y +2= f(x -1)

第二步 画好直角坐标系(见图5-37) .令x -1=0解得x =1;令y +2=0,解得y = -2.所以定位点为(1, -2) ;

第三步 以(1,-2)为假想原点,画一个假想直角 坐标系;

图5-37

第四步 在假想直角坐标系中,作出y = 2x 的图象,即为所求 ▌ 例3 用定位作图法,作出函数y =x +2+3的图象.

分析 根据所给函数的形式,我们想通过作y =x 的图象来得到要求的图象.

解 令f (x )=x .

改写函数为y -3=x +2,即y -3=f (x +2); 画好直角坐标系(见图5-38) .令x +2=0,解得 x =-2;令y -3=0,解得y =3.所以定位点为(-2,3); 以(-2,3)为假想原点,画一个假想直角坐标系; 在假想直角坐标系中,作出y =x 的图象,

即为所求 ▌

例4 用定位作图法,作出函数y =sin(2x -图5-38 π

)-1的图象. 3

分析 根据所给函数的形式,我们想通过作y =sin2x 的图象来得到要求的图象.

解 令f (x )= sin2x 改写函数为y +1=sin2(x -

ππ) ,即y +1= f(x -) ; 66

ππ

=0,解得x =;令y +1=0,解得66

画好直角坐标系(见图5-39) .令x -y =-1.所以定位点为( 以(

π

,-1) ; 6

π

,-1) 为假想原点,画一个假想直角坐标系; 6

在假想直角坐标系中,用五点作图法作出y =sin2x 的图象,即为所求函数在一个周期内(注意,周期T =π) 的图象.再作周期延拓,即得全部图象 ▌

图5-39

例5 用定位作图法,作出函数y = 解 函数化为为y = 令f (x )=

x +1

的图象. -1

(x -1) +22

,即y =1+. x -1x -1

2

,则原给函数为 y -1= f(x –1) ;

x

画好直角坐标系(见图5-40) .令x -1=0,解得x =1;令y -1=0,解得

y =1.所以定位点为(1,1);

以(1,1)为假想原点,画一个假想直角 坐标系;

在假想直角坐标系中,作出y =象,即为所求 ▌ 课内练习2

1. 用定位作图法,作出下列函数的图象: (1)y =(

图5-40 2

的图 x

x -11π1x +1

) +2; (2)y =x -2-2; (3)y =sin(x -)+1; (4)y =.

2+162

(2)正弦型曲线及其作图方法 ①正弦型曲线 函数

y =A sin(ωx +ϕ) (5-6-1) 的图象,称为正弦型曲线,其中A ≠0, ω>0, ϕ都是已知常数.以前,讲到正弦函数,总是免不了同时讲余弦函数,这里为什么只对正弦函数考虑形如(5-6-1)的图象,而不提余弦函数中形如y =A cos(ωx +ϕ) 的图象呢?你能找到一个充分的理由吗?

在没有开始作图之前,让我们先来看一看它与标准的正弦函数y =sinx 有些什么差别.

周期:y =sinx 的周期T =2π.因为

y =A sin(ωx +ϕ)=A sin(ωx +ϕ+2π)=A sin[ω (x +所以函数(5-6-1)是以

2π)+ϕ], x ∈(-∞,+∞) , ω

ω

为周期的周期函数;

最大值和最小值:y =sinx 的最大值为1,最小值为-1.对函数(5-6-1),当ωx +ϕ=±

π, 即x =1(±π-ϕ) 分别达到最大值|A |和最小值-|A |;

2ω2

在电学的交流电中,经常遇到函数(5-6-1),沿袭电学中的名称,称ω为圆频率(因为以周角2π表示绕一圈的圆,则ω恰好表示一个周角中包含的周期数) ,称|A |为振幅,称ϕ为初相位(以x =0表示初始时刻,函数(5-6-1)当x =0时,出现在函数符号sin 下的变量ωx +ϕ=ϕ,即似乎(5-6-1)在初始时已到达了相当于y =sinx 在x =ϕ的位置) .

例9 求出下列函数的周期、振幅及初相位: (1)y =2sin(50x +

π) ; (2)y =-0.5sin(x -π) ;

222

(3)y =-20sin(x -

π) ; (4)y =3sin(5.5x ) .

23

解 (1)对照(5-6-1),A =2, ω=50, ϕ= 周期=

π

,所以 2

ω

=

π2ππ=,振幅=2,初相位= ▌ 25025

, ϕ=-,所以 22

(2)对照(5-6-1),A =-0.5, ω= 周期=

ω

=2π=4π,振幅=0.5,初相位=-1

2

π ▌ 2

(3)对照(5-6-1),A =-20, ω=1, ϕ=-

π

,所以 3

π ▌ 3

周期=2π,振幅=20,初相位=- (4)对照(5-6-1),A = 周期=课内练习5

3

, ω=5.5, ϕ=0,所以 2

3

=4π=4π,振幅=,初相位=0 ▌

2ω5. 511

1. 求出下列函数的周期、振幅及初相位: (1)y =4sin(100x -

πx

) ; (2)y =-2sin; 250

(3)y =-1sin(x +π) ; (4)y =3sin(55x +65︒) .

1002 ②正弦型曲线作图

把函数(5-6-1)改写成y =A sin[ω (x +ϕ)].令f (x )=sinωx ,(5-6-1)能写成

ωy =Af (x +ϕ) ,它还不能化为y +b =f (x +a ) 的形式,因此还得用五点法结合周期

ω延拓作出它的图象.这里五点的取法是: ωx +ϕ=0 ⇒ x = -ϕ;ωx +ϕ=

π-ϕπ1π

⇒ x =(- ϕ) ;ωx +ϕ=π ⇒ x

= 2ω2(3)

2π-ϕ3π13π

ωx +ϕ=⇒ x =(- ϕ) ;ωx +ϕ=2π ⇒ x =

2ωω2

因此五点额函数值表为

去死记五点的公式是没有必要的,知道推算式(7)才是重要的. 例10 求作下列正弦型曲线: (1)y =2sin(3x +

ππ) ; (2)y =-1sin(1x -) . 4822

π2π2π,周期T ==.

4ω3

解 (1) A=2, ω=3, ϕ=

求出五点的横坐标及函数值:

以下就是常规的描点作图法了,最后周期延拓.图象见图5-41.

图5-41

π2π (2) A=1, ω=1, ϕ= -,周期T ==4π. 8ω22 求出五点的横坐标及函数值:

以下用描点作图法作出在[π, 17π]内的图象,最后周期延拓.图象见图

445-42.

课内练习6

1. 求作下列正弦型曲线:

图5-42

(1)y =-2sin(

1π12

x +) ; (2)y =sin(x -π) . 2332

课外习题 A 组

1. 说出下列两个函数图象之间的位置关系:

(1)y =2x , y =2x -3-1; (2)y =sin(x +π)-3, y =sinx ; (3)y =x 3, y =(x +3)3-2;

7 (4)y =1, y =1+3; (5)y =7x 2, y =7(x +1)2-5;

x x -2 (6)y =3cos(4x +4π)-5, y =3cos (4x ) .

32. 作出函数y =0.5x - 2-3的图象. 3. 用定位作图法作出下列函数的图象: (1)y =x +1+2;(2)y =sin(x -

π)+1;(3)y =x -2.

x +13

4. 说出下列函数的周期、振幅及初相位: (1)y =308sin(50x +

2π2x π

) ; (2)y = -5sin(-) ; 336

(3)y =-10sin(0.01x -

π3

) ; (4)y =sin(1.5x ) . 3004

5. 求作下列正弦型曲线: (1)y =3sin(

ππ11

x +) ; (2)y =-sin(3x -) ; 8222

1ππ3

) ; (4) y=sin(x -) .

31234

(3) y=3sin(2x +

6*.作出y =2sin(x +)-1的图象.

36

π

B 组

1. 将下列函数图象按指定方式平移,写出平移后函数图象的解析式: (1)y =2x +3, 向右平移2,向下平移3; (2)y =

1

,向左平移1,向上平移2; 2-3

(3)y =1-2x ,向上平移2,向右平移1; (4)y =2sin (2x -π) ,向下平移2,向左平移.

33

π

2. 用定位作图法作出下列函数的草图,并分析这些函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性和周期性:

(1)y =(x -1) 2-3, x ∈[0, 4]; (2)y =x +4-2;

(3)y =2x +1-2; (4)y =x +4; (5)y =3cos (1x +π) +1. x +222

3. 如图所示为函数y =x +1的图象,试由 2 此画出函数y =x +x +1的图象. x +1

4. 已知:y =f (x ) 的定义域为[-1,1],值域为

[-π, π],在定义域上是单调增加函数,请 22 分析下列函数的定义域及单调性:

(1)y =f (x +2) ; (2)y =-f (x -1) ;

(3)y =-f (x -

π; (4)y =f (x -π) -π. ) 2C 组

1. 试画出函数y =(cos x -2) -3的图象,并分析该函数的性质.

2. 如图,当K 闭合时,电容C 两端的电压U (V ) 与时间t 之间的关系为

U =12(1-e -λt 2) ,λ为一个与电阻R 和电容C 有关的常数(见第7题图(1)). 现在在C 的两端并联一只开关二极管,当其两端电压达到10V 时,它将 导通,电容放电(极为迅速) ,放电到一定程度,二极管两端电压将低于 8V ,二极管将截止(不再导通) ,电容将再次充电,如此周期性反复,这 样,二极管两端电压U 将出现一种有趣的“振荡”现象(见第7题图(1)).请 你结合电子专业知识,定性地画一下二极管两端电压随时间变化的函数 U (t ) 的草图.(不要求求出周期,但要考虑一下每段曲线的凹凸性)

第2题图

278


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