§5.6 函数图象的定位作图法
预备知识 ∙函数值
∙用列表、描点法作函数的图象 重点
∙从y =f (x ) 的图象，用定位法作函数y +b =f (x +a ) 的图象 ∙函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象——正弦型曲线 难点
∙函数y =f (x ) 的图象与函数y +b =f (x +a ) 的图象之间的关系 学习要求
∙了解函数y =f (x ) 的图象与函数y +b =f (x +a ) 的图象之间的关系 ∙会用五点法作正弦型曲线
除了用图象法表示的函数外，列表法、解析法表示的函数，都存在一个作出函数图象的问题．列表法表示的函数的图象，不过是一系列点(但是在某些特定情况，为了看出变换趋势，有时也用折线把这一系列点连接起来，成为折线图) ，可以说作图是不成问题的．所谓函数作图，主要是指作出用解析法表示的函数的图象．我们在下面所讲的函数作图，也就是对此而言． 作出函数图象的重要性是不言自明的，起码可以说出如下几点： (1)能直观地看出函数的变化情况．
(2)能从函数的图象，看出函数的某些变化性质．最明显的，例如增减性、凹凸性及对称性等．
(3)能利用函数的图象，来解算一些仅靠演算无法解决的问题，这就是所谓图象解算法．例如求f (x )=0的根，只要求出y =f (x ) 的图象与x 轴(y =0)交点的横坐标，这至少可以得到近似根．
既然函数作图是如此重要，那么到现在为止，你掌握了多少作图本领呢？罗列一下，你会作图的函数计有：直线y =kx +b ，反比例函数y =k ，三角函
数y =sinx , y =cosx , y =tanx ，幂函数y =x α，指数函数y =a x ．此外就是描点法了． 在本节，我们将向你介绍一种普遍有用的作图方法――定位缩放作图法，使你能从你所掌握的少数几个图象，作出具有特定形式的其它函数的图象． 1. y =f (x ) 的图象与y +b =f (x +a ) 图象的关系 (1)一个简单实例
先来看一个最简单的例子．用列表、描图的方法，在同一个坐标系中作出函数 y 1=x 2 (1) y 2 -2=(x -1) 2 (2) 的图象．列表如下，图象见图5-35．
比较表上所列的两个函数的函数值， 你能发现在相同的x 处，y 1, y 2的函数值 是不同的，但是把y 2减去2，那么y 1的 各函数值在y 2-2中都出现 (见表的第四 行) ，只是出现的地方，比y 1滞后了1， 或者说，y 1提前1个单位出现与y 2-2相 同数值．这一现象表示什么意思呢？它 表示：
把(2)图象上的每一点，往下移2个
y 图5-35
单位(成为y 2-2) ，并且再往左移一个单位(提前1个单位) ，就到了(1)的图象
上．例如(2)图象上的点A (0,3)，往左移1个单位、往下移2个单位，变成点A 1(-1,1)，而A 1正是(1)的图象上的点；(2)图象上的点B (-1,6)，往左移1个单位、往下移2个单位，变成点B 1(-2,4)，而B 1也正是(1)的图象上的点(见图5-35箭头所标) ．
这又表示：(1)的图象与(2)的图象是完全相同的，只是位置不同，把(2)的图象，往左移动1个单位、往下移动2个单位，就变成(1)的图象．这样两个图象的关系，称(1)由(2)平移得到．平移关系是相对的，你也可以说，(2)的图象是由(1)的图象平移得到，只是平移的方向相反，把(1)的图象往右移动1个单位、往上移动2个单位，就变成了(2)的图象． (2)一般情形 把函数(1)记作
y =f (x ) (1)' 那么函数(2)可以用f 表示为y -2=f (x -1) ．若记b =-2, a =-1，那么(2)是 y +b =f (x +a ) (2)' 上面讨论表明，(1)', (2)'的图象相同，(2)'的图象，可以用(1)'的图象在x 方向平移-a (=1)、y 方向平移-b (=2)个单位得到．
对一般函数y =f (x ) 的图象(在图5-36上标记为l 1) 与y +b =f (x +a ) 图象(在图5-36上标记为l ) 之间的关系， 也与(1)(2)或(1)' (2)'之间的关系类 似：把l 在x 方向平移a 、y 方向 平移b 个单位，即成为l 1；反之， 把l 1在x 方向平移-a 、y 方向 平移-b 个单位，即成为l ．由此可 得结论：y =f (x ) 和y +b =f (x +a ) 的图 象曲线的形状是相同的，只是位置 个单位，就是y +b =f (x +a ) 的图象l ．
例1 说出下列两个函数图象之间的位置关系： (1)y =3x , y =3x -2-2； (2)y =sin(x + (4)y =
图5-36
不同；把y =f (x ) 的图象l 1在x 方向上移动 -a 个单位、在y 轴方向上移动 -b
π
3
)-2, y =sinx ； (3)y =x 3, y =(x -5) 3+4；
11
, y =；(5)y =7x 2, y =7x 2-0.5；
x +1x
(6)y =2cos(2x +
π)+3, y =2cos (2x ) ．
3
解 (1)记函数y =3x 为y =f (x ) ，则函数y =3x -2-2为y +2=f (x -2) ．对照一般形式，a =-2, b =2(-a =2,-b =-2)．所以y =3x -2-2的图象是y =3x 的图象在x 轴方向平移2个单位、在y 轴方向平移-2个单位的结果 ▌
(2)记函数y =sinx 为y =f (x ) ，则函数y =sin(x +π)-2为y +2=f (x +) ．对
33照一般形式，a =
π
π, b =2(-a =-π,-b =-2)．π)-2的图象是y =sinx
所以y =sin(x +
3
3
3
的图象在x 轴方向平移-
π个单位、在y 轴方向平移-2个单位的结果 ▌
3
(3)记函数y =x 3为y =f (x ) ，则函数y =(x -5) 3+4为y -4=f (x -5) ．对照一般形式，a =-5,b =-4 (-a =5,-b =4)．所以y =(x -5) 3+4的图象是y =x 3的图象在x 轴方向平移5个单位、在y 轴方向平移4个单位的结果 ▌ (4)记函数y =
1
为y =f (x ) ，则函数y =1为y -4=f (x +1)．对照一般形x +1
1
的图象是y =1的图象在x 轴方向x +1式，a =1,b =0 (-a =-1,-b =0)．所以y =平移-1个单位的结果 ▌
(5)记函数y =7x 2为y =f (x ) ，则函数y =7x 2-0.5为y +0.5=f (x ) ．对照一般形式，a =0,b =0.5(-a =0,-b =-0.5)．所以y =7x 2-0.5的图象是y =7x 2 的图象在y 轴方向平移-0.5个单位的结果 ▌
(6)记函数y =2cos (2x ) 为y =f (x ) ，函数
y =2cos(2x +π)+3=2cos 2(x +π)+3， y -3=2cos2(x +) ，
636所以函数y =2cos(2x +
π
π)+3为y -3=f (x +π) ．对照一般形式，a =π, b =-3
3
6
6
(-a =-
π,-b =3)．所以y =2cos(2x +π)+3的图象是y =2cos (2x ) 的图象在x 轴
36
方向平移-
π个单位、在y 轴方向平移3个单位的结果 ▌
6
课内练习1
1. 说出下列两个函数图象之间的位置关系：
+2
(1)y =(3) x , y 2=(3) x ； (2)y =(x +3)3, y =(x -5) 3-4；
22
31
(3)y =1, y =+； (4)y =3x , y =3(x +2+1)；
x -12 (5)y =tan(-x +π)-2, y =tanx ； (6)y =2[sin(4x +2π)+3], y =2sin(4x ) ． 3
2. 定位作图法
让我们回到先前的讨论过的简单实例．你想作出(2)、即y -2=(x -1) 2的图象．根据图象位置关系，你只要作出比较简单的函数(1)、即y =x 2的图象，然
后往右(即在x 轴方向) 移动1个单位、往上(即在x 轴方向) 移动2个单位就行了．这样，任务是完成了，但要作(2)的图象，还非得先作出(1)的图象，然后再平移，最后再擦去无用的(1)的图象，动作是否太多了一点？能不能不作(2)的图象而又能从(1)的图象直接得到(2)的图象呢？
看一下图5-35，你能发现完全不必作出(1)的图象再平移得到(2)的图象，而是可以直接作出(2)的图象，方法如下：先建立一个实在的坐标系，你的任务是要在这个坐标系中作出(2)的图象．为此，你只要以坐标是(1,2)的点为假想原点，建立一个假想的坐标系，(在图5-35上用虚线表示，而且因为坐标系是假想的，所以也没有标记箭头) ．在这个假想坐标系中，按(1)作出图象，那么，这个图象在原坐标系中，就成了(2)的图象了．
返回到一般情况上来．你的任务是在一个已经建立的坐标系中，作出y +b =f (x +a ) 的图象．据图5-36，以坐标是(-a ,-b ) 的点为假想原点，建立一个假想坐标系(在图5-36中以不带箭头的虚线表示) ，在这个假想坐标系中，作y =f (x ) 的图象，那么在原坐标系中，它就是y +b =f (x +a ) 的图象．
这种在假想坐标系中作y =f (x ) 的图象，得到在原坐标系中y +b =f (x +a ) 的图象的方法，关键一点，是定好假想坐标系的原点在原坐标系中的位置(-a ,-b ) ，因此称为定位作图法．现在总结定位作图法的要点如下： 目的：通过作y =f (x ) 的图象，得到y +b =f (x +a ) 的图象； 步骤：
第一步 检查函数确实已经准确地表示成y +b =f (x +a ) 的形式；
x +a =0 第二步 画出一个直角坐标系．从⎧⎨y +b =0，解得x =-a , y =-b ，得到⎩
定位点在直角坐标系中的坐标(-a ,-b ) ；
第三步 以定位点(-a ,-b ) 为假想原点，画一个假想直角坐标系； 第四步 在假想坐标系中作出y =f (x ) 的图象，它就是y +b =f (x +a ) 原直角坐标系中的图象．
当然，使用定位作图法的基础，是y =f (x ) 的图象是熟知的，例如是本节开始时所列的直线、三角函数、指数函数、幂函数及反比例函数的图象等． 例2 用定位作图法，作出函数y =2x -1-2的图象．
分析 根据所给函数的形式，我们想通过作y =2x 的图象来得到要求的图象．
解 令f (x )=2x ．
第一步 改写函数为 y +2=2(x -1) ，即y +2= f(x -1)
第二步 画好直角坐标系(见图5-37) ．令x -1=0解得x =1；令y +2=0，解得y = -2．所以定位点为(1, -2) ；
第三步 以(1,-2)为假想原点，画一个假想直角 坐标系；
图5-37
第四步 在假想直角坐标系中，作出y = 2x 的图象，即为所求 ▌ 例3 用定位作图法，作出函数y =x +2+3的图象．
分析 根据所给函数的形式，我们想通过作y =x 的图象来得到要求的图象．
解 令f (x )=x ．
改写函数为y -3=x +2，即y -3=f (x +2)； 画好直角坐标系(见图5-38) ．令x +2=0，解得 x =-2；令y -3=0，解得y =3．所以定位点为(-2,3)； 以(-2,3)为假想原点，画一个假想直角坐标系； 在假想直角坐标系中，作出y =x 的图象，
即为所求 ▌
例4 用定位作图法，作出函数y =sin(2x -图5-38 π
)-1的图象． 3
分析 根据所给函数的形式，我们想通过作y =sin2x 的图象来得到要求的图象．
解 令f (x )= sin2x 改写函数为y +1=sin2(x -
ππ) ，即y +1= f(x -) ； 66
ππ
=0，解得x =；令y +1=0，解得66
画好直角坐标系(见图5-39) ．令x -y =-1．所以定位点为( 以(
π
,-1) ； 6
π
,-1) 为假想原点，画一个假想直角坐标系； 6
在假想直角坐标系中，用五点作图法作出y =sin2x 的图象，即为所求函数在一个周期内(注意，周期T =π) 的图象．再作周期延拓，即得全部图象 ▌
图5-39
例5 用定位作图法，作出函数y = 解 函数化为为y = 令f (x )=
x +1
的图象． -1
(x -1) +22
，即y =1+． x -1x -1
2
，则原给函数为 y -1= f(x –1) ；
x
画好直角坐标系(见图5-40) ．令x -1=0，解得x =1；令y -1=0，解得
y =1．所以定位点为(1,1)；
以(1,1)为假想原点，画一个假想直角 坐标系；
在假想直角坐标系中，作出y =象，即为所求 ▌ 课内练习2
1. 用定位作图法，作出下列函数的图象： (1)y =(
图5-40 2
的图 x
x -11π1x +1
) +2； (2)y =x -2-2； (3)y =sin(x -)+1； (4)y =．
2+162
(2)正弦型曲线及其作图方法 ①正弦型曲线 函数
y =A sin(ωx +ϕ) (5-6-1) 的图象，称为正弦型曲线，其中A ≠0, ω>0, ϕ都是已知常数．以前，讲到正弦函数，总是免不了同时讲余弦函数，这里为什么只对正弦函数考虑形如(5-6-1)的图象，而不提余弦函数中形如y =A cos(ωx +ϕ) 的图象呢？你能找到一个充分的理由吗？
在没有开始作图之前，让我们先来看一看它与标准的正弦函数y =sinx 有些什么差别．
周期：y =sinx 的周期T =2π．因为
y =A sin(ωx +ϕ)=A sin(ωx +ϕ+2π)=A sin[ω (x +所以函数(5-6-1)是以
2π)+ϕ], x ∈(-∞,+∞) ， ω
2π
ω
为周期的周期函数；
最大值和最小值：y =sinx 的最大值为1，最小值为-1．对函数(5-6-1)，当ωx +ϕ=±
π, 即x =1(±π-ϕ) 分别达到最大值|A |和最小值-|A |；
2ω2
在电学的交流电中，经常遇到函数(5-6-1)，沿袭电学中的名称，称ω为圆频率(因为以周角2π表示绕一圈的圆，则ω恰好表示一个周角中包含的周期数) ，称|A |为振幅，称ϕ为初相位(以x =0表示初始时刻，函数(5-6-1)当x =0时，出现在函数符号sin 下的变量ωx +ϕ=ϕ，即似乎(5-6-1)在初始时已到达了相当于y =sinx 在x =ϕ的位置) ．
例9 求出下列函数的周期、振幅及初相位： (1)y =2sin(50x +
π) ； (2)y =-0.5sin(x -π) ；
222
(3)y =-20sin(x -
π) ； (4)y =3sin(5.5x ) ．
23
解 (1)对照(5-6-1)，A =2, ω=50, ϕ= 周期=
π
，所以 2
2π
ω
=
π2ππ=，振幅=2，初相位= ▌ 25025
1π
, ϕ=-，所以 22
(2)对照(5-6-1)，A =-0.5, ω= 周期=
2π
ω
=2π=4π，振幅=0.5，初相位=-1
2
π ▌ 2
(3)对照(5-6-1)，A =-20, ω=1, ϕ=-
π
，所以 3
π ▌ 3
周期=2π，振幅=20，初相位=- (4)对照(5-6-1)，A = 周期=课内练习5
3
, ω=5.5, ϕ=0，所以 2
2π
3
=4π=4π，振幅=，初相位=0 ▌
2ω5. 511
1. 求出下列函数的周期、振幅及初相位： (1)y =4sin(100x -
πx
) ； (2)y =-2sin； 250
(3)y =-1sin(x +π) ； (4)y =3sin(55x +65︒) ．
1002 ②正弦型曲线作图
把函数(5-6-1)改写成y =A sin[ω (x +ϕ)]．令f (x )=sinωx ，(5-6-1)能写成
ωy =Af (x +ϕ) ，它还不能化为y +b =f (x +a ) 的形式，因此还得用五点法结合周期
ω延拓作出它的图象．这里五点的取法是： ωx +ϕ=0 ⇒ x = -ϕ；ωx +ϕ=
π-ϕπ1π
⇒ x =(- ϕ) ；ωx +ϕ=π ⇒ x
= 2ω2(3)
2π-ϕ3π13π
ωx +ϕ=⇒ x =(- ϕ) ；ωx +ϕ=2π ⇒ x =
2ωω2
因此五点额函数值表为
去死记五点的公式是没有必要的，知道推算式(7)才是重要的． 例10 求作下列正弦型曲线： (1)y =2sin(3x +
ππ) ； (2)y =-1sin(1x -) ． 4822
π2π2π，周期T ==．
4ω3
解 (1) A=2, ω=3, ϕ=
求出五点的横坐标及函数值：
以下就是常规的描点作图法了，最后周期延拓．图象见图5-41．
图5-41
π2π (2) A=1, ω=1, ϕ= -，周期T ==4π． 8ω22 求出五点的横坐标及函数值：
以下用描点作图法作出在[π, 17π]内的图象，最后周期延拓．图象见图
445-42．
课内练习6
1. 求作下列正弦型曲线：
图5-42
(1)y =-2sin(
1π12
x +) ； (2)y =sin(x -π) ． 2332
课外习题 A 组
1. 说出下列两个函数图象之间的位置关系：
(1)y =2x , y =2x -3-1； (2)y =sin(x +π)-3, y =sinx ； (3)y =x 3, y =(x +3)3-2；
7 (4)y =1, y =1+3； (5)y =7x 2, y =7(x +1)2-5；
x x -2 (6)y =3cos(4x +4π)-5, y =3cos (4x ) ．
32. 作出函数y =0.5x - 2-3的图象． 3. 用定位作图法作出下列函数的图象： (1)y =x +1+2；(2)y =sin(x -
π)+1；(3)y =x -2．
x +13
4. 说出下列函数的周期、振幅及初相位： (1)y =308sin(50x +
2π2x π
) ； (2)y = -5sin(-) ； 336
(3)y =-10sin(0.01x -
π3
) ； (4)y =sin(1.5x ) ． 3004
5. 求作下列正弦型曲线： (1)y =3sin(
ππ11
x +) ； (2)y =-sin(3x -) ； 8222
1ππ3
) ； (4) y=sin(x -) ．
31234
(3) y=3sin(2x +
6*．作出y =2sin(x +)-1的图象．
36
π
B 组
1. 将下列函数图象按指定方式平移，写出平移后函数图象的解析式： (1)y =2x +3, 向右平移2，向下平移3； (2)y =
1
，向左平移1，向上平移2； 2-3
(3)y =1-2x ，向上平移2，向右平移1； (4)y =2sin (2x -π) ，向下平移2，向左平移．
33
π
2. 用定位作图法作出下列函数的草图，并分析这些函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性和周期性：
(1)y =(x -1) 2-3, x ∈[0, 4]； (2)y =x +4-2；
(3)y =2x +1-2； (4)y =x +4； (5)y =3cos (1x +π) +1． x +222
3. 如图所示为函数y =x +1的图象，试由 2 此画出函数y =x +x +1的图象． x +1
4. 已知：y =f (x ) 的定义域为[-1,1]，值域为
[-π, π]，在定义域上是单调增加函数，请 22 分析下列函数的定义域及单调性：
(1)y =f (x +2) ； (2)y =-f (x -1) ；
(3)y =-f (x -
π； (4)y =f (x -π) -π． ) 2C 组
1. 试画出函数y =(cos x -2) -3的图象，并分析该函数的性质．
2. 如图，当K 闭合时，电容C 两端的电压U (V ) 与时间t 之间的关系为
U =12(1-e -λt 2) ，λ为一个与电阻R 和电容C 有关的常数(见第7题图(1)). 现在在C 的两端并联一只开关二极管，当其两端电压达到10V 时，它将 导通，电容放电(极为迅速) ，放电到一定程度，二极管两端电压将低于 8V ，二极管将截止(不再导通) ，电容将再次充电，如此周期性反复，这 样，二极管两端电压U 将出现一种有趣的“振荡”现象(见第7题图(1))．请 你结合电子专业知识，定性地画一下二极管两端电压随时间变化的函数 U (t ) 的草图．（不要求求出周期，但要考虑一下每段曲线的凹凸性）
第2题图
278
§5.6 函数图象的定位作图法
预备知识 ∙函数值
∙用列表、描点法作函数的图象 重点
∙从y =f (x ) 的图象，用定位法作函数y +b =f (x +a ) 的图象 ∙函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象——正弦型曲线 难点
∙函数y =f (x ) 的图象与函数y +b =f (x +a ) 的图象之间的关系 学习要求
∙了解函数y =f (x ) 的图象与函数y +b =f (x +a ) 的图象之间的关系 ∙会用五点法作正弦型曲线
除了用图象法表示的函数外，列表法、解析法表示的函数，都存在一个作出函数图象的问题．列表法表示的函数的图象，不过是一系列点(但是在某些特定情况，为了看出变换趋势，有时也用折线把这一系列点连接起来，成为折线图) ，可以说作图是不成问题的．所谓函数作图，主要是指作出用解析法表示的函数的图象．我们在下面所讲的函数作图，也就是对此而言． 作出函数图象的重要性是不言自明的，起码可以说出如下几点： (1)能直观地看出函数的变化情况．
(2)能从函数的图象，看出函数的某些变化性质．最明显的，例如增减性、凹凸性及对称性等．
(3)能利用函数的图象，来解算一些仅靠演算无法解决的问题，这就是所谓图象解算法．例如求f (x )=0的根，只要求出y =f (x ) 的图象与x 轴(y =0)交点的横坐标，这至少可以得到近似根．
既然函数作图是如此重要，那么到现在为止，你掌握了多少作图本领呢？罗列一下，你会作图的函数计有：直线y =kx +b ，反比例函数y =k ，三角函
数y =sinx , y =cosx , y =tanx ，幂函数y =x α，指数函数y =a x ．此外就是描点法了． 在本节，我们将向你介绍一种普遍有用的作图方法――定位缩放作图法，使你能从你所掌握的少数几个图象，作出具有特定形式的其它函数的图象． 1. y =f (x ) 的图象与y +b =f (x +a ) 图象的关系 (1)一个简单实例
先来看一个最简单的例子．用列表、描图的方法，在同一个坐标系中作出函数 y 1=x 2 (1) y 2 -2=(x -1) 2 (2) 的图象．列表如下，图象见图5-35．
比较表上所列的两个函数的函数值， 你能发现在相同的x 处，y 1, y 2的函数值 是不同的，但是把y 2减去2，那么y 1的 各函数值在y 2-2中都出现 (见表的第四 行) ，只是出现的地方，比y 1滞后了1， 或者说，y 1提前1个单位出现与y 2-2相 同数值．这一现象表示什么意思呢？它 表示：
把(2)图象上的每一点，往下移2个
y 图5-35
单位(成为y 2-2) ，并且再往左移一个单位(提前1个单位) ，就到了(1)的图象
上．例如(2)图象上的点A (0,3)，往左移1个单位、往下移2个单位，变成点A 1(-1,1)，而A 1正是(1)的图象上的点；(2)图象上的点B (-1,6)，往左移1个单位、往下移2个单位，变成点B 1(-2,4)，而B 1也正是(1)的图象上的点(见图5-35箭头所标) ．
这又表示：(1)的图象与(2)的图象是完全相同的，只是位置不同，把(2)的图象，往左移动1个单位、往下移动2个单位，就变成(1)的图象．这样两个图象的关系，称(1)由(2)平移得到．平移关系是相对的，你也可以说，(2)的图象是由(1)的图象平移得到，只是平移的方向相反，把(1)的图象往右移动1个单位、往上移动2个单位，就变成了(2)的图象． (2)一般情形 把函数(1)记作
y =f (x ) (1)' 那么函数(2)可以用f 表示为y -2=f (x -1) ．若记b =-2, a =-1，那么(2)是 y +b =f (x +a ) (2)' 上面讨论表明，(1)', (2)'的图象相同，(2)'的图象，可以用(1)'的图象在x 方向平移-a (=1)、y 方向平移-b (=2)个单位得到．
对一般函数y =f (x ) 的图象(在图5-36上标记为l 1) 与y +b =f (x +a ) 图象(在图5-36上标记为l ) 之间的关系， 也与(1)(2)或(1)' (2)'之间的关系类 似：把l 在x 方向平移a 、y 方向 平移b 个单位，即成为l 1；反之， 把l 1在x 方向平移-a 、y 方向 平移-b 个单位，即成为l ．由此可 得结论：y =f (x ) 和y +b =f (x +a ) 的图 象曲线的形状是相同的，只是位置 个单位，就是y +b =f (x +a ) 的图象l ．
例1 说出下列两个函数图象之间的位置关系： (1)y =3x , y =3x -2-2； (2)y =sin(x + (4)y =
图5-36
不同；把y =f (x ) 的图象l 1在x 方向上移动 -a 个单位、在y 轴方向上移动 -b
π
3
)-2, y =sinx ； (3)y =x 3, y =(x -5) 3+4；
11
, y =；(5)y =7x 2, y =7x 2-0.5；
x +1x
(6)y =2cos(2x +
π)+3, y =2cos (2x ) ．
3
解 (1)记函数y =3x 为y =f (x ) ，则函数y =3x -2-2为y +2=f (x -2) ．对照一般形式，a =-2, b =2(-a =2,-b =-2)．所以y =3x -2-2的图象是y =3x 的图象在x 轴方向平移2个单位、在y 轴方向平移-2个单位的结果 ▌
(2)记函数y =sinx 为y =f (x ) ，则函数y =sin(x +π)-2为y +2=f (x +) ．对
33照一般形式，a =
π
π, b =2(-a =-π,-b =-2)．π)-2的图象是y =sinx
所以y =sin(x +
3
3
3
的图象在x 轴方向平移-
π个单位、在y 轴方向平移-2个单位的结果 ▌
3
(3)记函数y =x 3为y =f (x ) ，则函数y =(x -5) 3+4为y -4=f (x -5) ．对照一般形式，a =-5,b =-4 (-a =5,-b =4)．所以y =(x -5) 3+4的图象是y =x 3的图象在x 轴方向平移5个单位、在y 轴方向平移4个单位的结果 ▌ (4)记函数y =
1
为y =f (x ) ，则函数y =1为y -4=f (x +1)．对照一般形x +1
1
的图象是y =1的图象在x 轴方向x +1式，a =1,b =0 (-a =-1,-b =0)．所以y =平移-1个单位的结果 ▌
(5)记函数y =7x 2为y =f (x ) ，则函数y =7x 2-0.5为y +0.5=f (x ) ．对照一般形式，a =0,b =0.5(-a =0,-b =-0.5)．所以y =7x 2-0.5的图象是y =7x 2 的图象在y 轴方向平移-0.5个单位的结果 ▌
(6)记函数y =2cos (2x ) 为y =f (x ) ，函数
y =2cos(2x +π)+3=2cos 2(x +π)+3， y -3=2cos2(x +) ，
636所以函数y =2cos(2x +
π
π)+3为y -3=f (x +π) ．对照一般形式，a =π, b =-3
3
6
6
(-a =-
π,-b =3)．所以y =2cos(2x +π)+3的图象是y =2cos (2x ) 的图象在x 轴
36
方向平移-
π个单位、在y 轴方向平移3个单位的结果 ▌
6
课内练习1
1. 说出下列两个函数图象之间的位置关系：
+2
(1)y =(3) x , y 2=(3) x ； (2)y =(x +3)3, y =(x -5) 3-4；
22
31
(3)y =1, y =+； (4)y =3x , y =3(x +2+1)；
x -12 (5)y =tan(-x +π)-2, y =tanx ； (6)y =2[sin(4x +2π)+3], y =2sin(4x ) ． 3
2. 定位作图法
让我们回到先前的讨论过的简单实例．你想作出(2)、即y -2=(x -1) 2的图象．根据图象位置关系，你只要作出比较简单的函数(1)、即y =x 2的图象，然
后往右(即在x 轴方向) 移动1个单位、往上(即在x 轴方向) 移动2个单位就行了．这样，任务是完成了，但要作(2)的图象，还非得先作出(1)的图象，然后再平移，最后再擦去无用的(1)的图象，动作是否太多了一点？能不能不作(2)的图象而又能从(1)的图象直接得到(2)的图象呢？
看一下图5-35，你能发现完全不必作出(1)的图象再平移得到(2)的图象，而是可以直接作出(2)的图象，方法如下：先建立一个实在的坐标系，你的任务是要在这个坐标系中作出(2)的图象．为此，你只要以坐标是(1,2)的点为假想原点，建立一个假想的坐标系，(在图5-35上用虚线表示，而且因为坐标系是假想的，所以也没有标记箭头) ．在这个假想坐标系中，按(1)作出图象，那么，这个图象在原坐标系中，就成了(2)的图象了．
返回到一般情况上来．你的任务是在一个已经建立的坐标系中，作出y +b =f (x +a ) 的图象．据图5-36，以坐标是(-a ,-b ) 的点为假想原点，建立一个假想坐标系(在图5-36中以不带箭头的虚线表示) ，在这个假想坐标系中，作y =f (x ) 的图象，那么在原坐标系中，它就是y +b =f (x +a ) 的图象．
这种在假想坐标系中作y =f (x ) 的图象，得到在原坐标系中y +b =f (x +a ) 的图象的方法，关键一点，是定好假想坐标系的原点在原坐标系中的位置(-a ,-b ) ，因此称为定位作图法．现在总结定位作图法的要点如下： 目的：通过作y =f (x ) 的图象，得到y +b =f (x +a ) 的图象； 步骤：
第一步 检查函数确实已经准确地表示成y +b =f (x +a ) 的形式；
x +a =0 第二步 画出一个直角坐标系．从⎧⎨y +b =0，解得x =-a , y =-b ，得到⎩
定位点在直角坐标系中的坐标(-a ,-b ) ；
第三步 以定位点(-a ,-b ) 为假想原点，画一个假想直角坐标系； 第四步 在假想坐标系中作出y =f (x ) 的图象，它就是y +b =f (x +a ) 原直角坐标系中的图象．
当然，使用定位作图法的基础，是y =f (x ) 的图象是熟知的，例如是本节开始时所列的直线、三角函数、指数函数、幂函数及反比例函数的图象等． 例2 用定位作图法，作出函数y =2x -1-2的图象．
分析 根据所给函数的形式，我们想通过作y =2x 的图象来得到要求的图象．
解 令f (x )=2x ．
第一步 改写函数为 y +2=2(x -1) ，即y +2= f(x -1)
第二步 画好直角坐标系(见图5-37) ．令x -1=0解得x =1；令y +2=0，解得y = -2．所以定位点为(1, -2) ；
第三步 以(1,-2)为假想原点，画一个假想直角 坐标系；
图5-37
第四步 在假想直角坐标系中，作出y = 2x 的图象，即为所求 ▌ 例3 用定位作图法，作出函数y =x +2+3的图象．
分析 根据所给函数的形式，我们想通过作y =x 的图象来得到要求的图象．
解 令f (x )=x ．
改写函数为y -3=x +2，即y -3=f (x +2)； 画好直角坐标系(见图5-38) ．令x +2=0，解得 x =-2；令y -3=0，解得y =3．所以定位点为(-2,3)； 以(-2,3)为假想原点，画一个假想直角坐标系； 在假想直角坐标系中，作出y =x 的图象，
即为所求 ▌
例4 用定位作图法，作出函数y =sin(2x -图5-38 π
)-1的图象． 3
分析 根据所给函数的形式，我们想通过作y =sin2x 的图象来得到要求的图象．
解 令f (x )= sin2x 改写函数为y +1=sin2(x -
ππ) ，即y +1= f(x -) ； 66
ππ
=0，解得x =；令y +1=0，解得66
画好直角坐标系(见图5-39) ．令x -y =-1．所以定位点为( 以(
π
,-1) ； 6
π
,-1) 为假想原点，画一个假想直角坐标系； 6
在假想直角坐标系中，用五点作图法作出y =sin2x 的图象，即为所求函数在一个周期内(注意，周期T =π) 的图象．再作周期延拓，即得全部图象 ▌
图5-39
例5 用定位作图法，作出函数y = 解 函数化为为y = 令f (x )=
x +1
的图象． -1
(x -1) +22
，即y =1+． x -1x -1
2
，则原给函数为 y -1= f(x –1) ；
x
画好直角坐标系(见图5-40) ．令x -1=0，解得x =1；令y -1=0，解得
y =1．所以定位点为(1,1)；
以(1,1)为假想原点，画一个假想直角 坐标系；
在假想直角坐标系中，作出y =象，即为所求 ▌ 课内练习2
1. 用定位作图法，作出下列函数的图象： (1)y =(
图5-40 2
的图 x
x -11π1x +1
) +2； (2)y =x -2-2； (3)y =sin(x -)+1； (4)y =．
2+162
(2)正弦型曲线及其作图方法 ①正弦型曲线 函数
y =A sin(ωx +ϕ) (5-6-1) 的图象，称为正弦型曲线，其中A ≠0, ω>0, ϕ都是已知常数．以前，讲到正弦函数，总是免不了同时讲余弦函数，这里为什么只对正弦函数考虑形如(5-6-1)的图象，而不提余弦函数中形如y =A cos(ωx +ϕ) 的图象呢？你能找到一个充分的理由吗？
在没有开始作图之前，让我们先来看一看它与标准的正弦函数y =sinx 有些什么差别．
周期：y =sinx 的周期T =2π．因为
y =A sin(ωx +ϕ)=A sin(ωx +ϕ+2π)=A sin[ω (x +所以函数(5-6-1)是以
2π)+ϕ], x ∈(-∞,+∞) ， ω
2π
ω
为周期的周期函数；
最大值和最小值：y =sinx 的最大值为1，最小值为-1．对函数(5-6-1)，当ωx +ϕ=±
π, 即x =1(±π-ϕ) 分别达到最大值|A |和最小值-|A |；
2ω2
在电学的交流电中，经常遇到函数(5-6-1)，沿袭电学中的名称，称ω为圆频率(因为以周角2π表示绕一圈的圆，则ω恰好表示一个周角中包含的周期数) ，称|A |为振幅，称ϕ为初相位(以x =0表示初始时刻，函数(5-6-1)当x =0时，出现在函数符号sin 下的变量ωx +ϕ=ϕ，即似乎(5-6-1)在初始时已到达了相当于y =sinx 在x =ϕ的位置) ．
例9 求出下列函数的周期、振幅及初相位： (1)y =2sin(50x +
π) ； (2)y =-0.5sin(x -π) ；
222
(3)y =-20sin(x -
π) ； (4)y =3sin(5.5x ) ．
23
解 (1)对照(5-6-1)，A =2, ω=50, ϕ= 周期=
π
，所以 2
2π
ω
=
π2ππ=，振幅=2，初相位= ▌ 25025
1π
, ϕ=-，所以 22
(2)对照(5-6-1)，A =-0.5, ω= 周期=
2π
ω
=2π=4π，振幅=0.5，初相位=-1
2
π ▌ 2
(3)对照(5-6-1)，A =-20, ω=1, ϕ=-
π
，所以 3
π ▌ 3
周期=2π，振幅=20，初相位=- (4)对照(5-6-1)，A = 周期=课内练习5
3
, ω=5.5, ϕ=0，所以 2
2π
3
=4π=4π，振幅=，初相位=0 ▌
2ω5. 511
1. 求出下列函数的周期、振幅及初相位： (1)y =4sin(100x -
πx
) ； (2)y =-2sin； 250
(3)y =-1sin(x +π) ； (4)y =3sin(55x +65︒) ．
1002 ②正弦型曲线作图
把函数(5-6-1)改写成y =A sin[ω (x +ϕ)]．令f (x )=sinωx ，(5-6-1)能写成
ωy =Af (x +ϕ) ，它还不能化为y +b =f (x +a ) 的形式，因此还得用五点法结合周期
ω延拓作出它的图象．这里五点的取法是： ωx +ϕ=0 ⇒ x = -ϕ；ωx +ϕ=
π-ϕπ1π
⇒ x =(- ϕ) ；ωx +ϕ=π ⇒ x
= 2ω2(3)
2π-ϕ3π13π
ωx +ϕ=⇒ x =(- ϕ) ；ωx +ϕ=2π ⇒ x =
2ωω2
因此五点额函数值表为
去死记五点的公式是没有必要的，知道推算式(7)才是重要的． 例10 求作下列正弦型曲线： (1)y =2sin(3x +
ππ) ； (2)y =-1sin(1x -) ． 4822
π2π2π，周期T ==．
4ω3
解 (1) A=2, ω=3, ϕ=
求出五点的横坐标及函数值：
以下就是常规的描点作图法了，最后周期延拓．图象见图5-41．
图5-41
π2π (2) A=1, ω=1, ϕ= -，周期T ==4π． 8ω22 求出五点的横坐标及函数值：
以下用描点作图法作出在[π, 17π]内的图象，最后周期延拓．图象见图
445-42．
课内练习6
1. 求作下列正弦型曲线：
图5-42
(1)y =-2sin(
1π12
x +) ； (2)y =sin(x -π) ． 2332
课外习题 A 组
1. 说出下列两个函数图象之间的位置关系：
(1)y =2x , y =2x -3-1； (2)y =sin(x +π)-3, y =sinx ； (3)y =x 3, y =(x +3)3-2；
7 (4)y =1, y =1+3； (5)y =7x 2, y =7(x +1)2-5；
x x -2 (6)y =3cos(4x +4π)-5, y =3cos (4x ) ．
32. 作出函数y =0.5x - 2-3的图象． 3. 用定位作图法作出下列函数的图象： (1)y =x +1+2；(2)y =sin(x -
π)+1；(3)y =x -2．
x +13
4. 说出下列函数的周期、振幅及初相位： (1)y =308sin(50x +
2π2x π
) ； (2)y = -5sin(-) ； 336
(3)y =-10sin(0.01x -
π3
) ； (4)y =sin(1.5x ) ． 3004
5. 求作下列正弦型曲线： (1)y =3sin(
ππ11
x +) ； (2)y =-sin(3x -) ； 8222
1ππ3
) ； (4) y=sin(x -) ．
31234
(3) y=3sin(2x +
6*．作出y =2sin(x +)-1的图象．
36
π
B 组
1. 将下列函数图象按指定方式平移，写出平移后函数图象的解析式： (1)y =2x +3, 向右平移2，向下平移3； (2)y =
1
，向左平移1，向上平移2； 2-3
(3)y =1-2x ，向上平移2，向右平移1； (4)y =2sin (2x -π) ，向下平移2，向左平移．
33
π
2. 用定位作图法作出下列函数的草图，并分析这些函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性和周期性：
(1)y =(x -1) 2-3, x ∈[0, 4]； (2)y =x +4-2；
(3)y =2x +1-2； (4)y =x +4； (5)y =3cos (1x +π) +1． x +222
3. 如图所示为函数y =x +1的图象，试由 2 此画出函数y =x +x +1的图象． x +1
4. 已知：y =f (x ) 的定义域为[-1,1]，值域为
[-π, π]，在定义域上是单调增加函数，请 22 分析下列函数的定义域及单调性：
(1)y =f (x +2) ； (2)y =-f (x -1) ；
(3)y =-f (x -
π； (4)y =f (x -π) -π． ) 2C 组
1. 试画出函数y =(cos x -2) -3的图象，并分析该函数的性质．
2. 如图，当K 闭合时，电容C 两端的电压U (V ) 与时间t 之间的关系为
U =12(1-e -λt 2) ，λ为一个与电阻R 和电容C 有关的常数(见第7题图(1)). 现在在C 的两端并联一只开关二极管，当其两端电压达到10V 时，它将 导通，电容放电(极为迅速) ，放电到一定程度，二极管两端电压将低于 8V ，二极管将截止(不再导通) ，电容将再次充电，如此周期性反复，这 样，二极管两端电压U 将出现一种有趣的“振荡”现象(见第7题图(1))．请 你结合电子专业知识，定性地画一下二极管两端电压随时间变化的函数 U (t ) 的草图．（不要求求出周期，但要考虑一下每段曲线的凹凸性）
第2题图
278