2008N O . 32
理论前沿
C hi na Educa t i on I nnov at i on H er al d
中国科教创新导刊
关于极限的几个重要定义的探究
智红燕
(中国石油大学华东数学与计算科学学院
山东东营
257061)
摘要:本文对高等数学中极限的概念进行了深入的分析并对极限的相关知识点进行了总结, 详细的剖析了极限的概念以及与极限有密切关系的无穷小量、无穷大量和无界的概念。关键词:极限无穷小量无穷大量无界中图分类号:O172文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2008) 11(b) -0123-01极限概念的正确理解是学好高等数学的关键。在教学过程中发现初学者对极限概念的理解不够准确, 甚至理解错误, 本文针对这些问题对极限相关知识点进行剖析和总结。
1极限
1. 1数列极限的定义
设有数列{xn }及常数A, 若对任意给定的正数ω, 总存在正整数N, 使得对n ＞N 的任何N, 不等式
|x n －A |＜
都成立, 则称当n →∞时, {x n }的极限为A, 或称{x n }收敛于A, 记作
:
=A。
下面给出用逻辑量词的叙述
:
当n ＞N 时, 有|x n －A |＜。
如何理解“”的定义呢？可以从以下几个方面思考:
(1) :是任意的预先给定的, 来刻画x n 与A 的接近程度, 它不是一个常量, 且有任意性. 但一经给定就“暂时”把它理解为一个确定的数。
(2) N:一般而言N
是随变化的, 但N 并不是由唯一确定的, 只关心它的存在性, 不关心它的大小。
(3) n ＞N:N 的作用其实就是起一个分界线的作用。对n ＞N , 它表示λn 中的下标大于的项应该都满足|x n －A |＜ε。(即x n 的第N 项后所有的项应该都满足|x n －A |＜) 。
(4) A :A(一般不为∞) 是一个确定的常数, 是一个极限值。如果这样的存在, 则称{x n }极限存在, 否则称极限不存在。
(5) n →∞:研究{x n }的极限就是考察当N →∞时{xn }的变化趋势, 因而{x n }的极限与前面的有限项没有关系, 所以任意改变有限项的位置以及去掉有限项都不会改变{xn }的极限的存在性和大小。
注:①对任何n, 当n ＞N 时, 不等式|x n －A |＜都成立, 与n ＞N 时, 有无限(无穷多) 项x n , 使得不等式|x n －A|＜都成立不同。
因而如下定义极限:
“对于任给的＞0, 存在正整数N, 当n ＞N, 有无限(无穷多) 项x n , 使不等式|x n －A|＜都成立”是不正确的。
②任意给定的＞0与无穷多个＞0是不同的概念。
例1x n =(-1) n
对于任给的＞0, 存在正整数N , 当n ＞N
若n 只取偶数时, x n =1。则有|x n －1|=|1－1|=0＜, 显然这样的x n 有无穷多项;
若n 只取奇数时, x n =-1。则有|x n +1|=|-3无穷大量与无界
1+1|=0＜。显然这样的x n 有无穷多项。
只考虑函数的情况, 数列的情况可以类似即x n 的奇数项收敛到-1, 而偶数项收敛的得到。
到1, 因而x n =(-1) n 的极限是不存在的。若对任意给定的正数M , 总存在x 0属于1. 2函数极限的定义
f (x) 的定义域, 有|f (x) |＞M , 则称f (x) 在设f (x) 在x 0的某个去心邻域内有定义, 定义域内无界。
A 为常数。若对任意给定的正数, 总存在正应从以下几个方面来理解无穷大量与无数, 使得满足0＜|x －x 0|＜的一切x, 都有
界的区别:
|f (x) －A |＜
(1) 它们本质上是不同的, 无穷大量是一个成立, 则称当x →x 过程量, 而无界则不是。无界只说明对任意的0时, f (x) 的极限为A , 或称f (x) 收敛于A, 记作
:
正数M , 总能在f (x) 的定义域内找到一个点x 0, 使它满足不等式|f (x) |＞M 。
(2) 若f (x) 在x →x 0时为无穷大量, 则可以从以下几个方面思“”考定义。f (x) 在定义域内是无界的, 但f (x) 在定义(
1) :是任意的预先给定的, 用来刻画f 域内无界并不能说明对f (x) 存在x 0, 使x (x) 与A 的接近程度, 它不是一个常量, 且有任→x 0时有f (x) 为无穷大量。
意性。但一经给定就“暂时”把它理解为一个确定的数。
例2试问
在区间(0, 1］上
(2) :一般而言是随变化的, 但并不是不是无界, 是不是无穷大量。
是由唯一确定的, 只关心它的存在性, 不关心取数列
它的大小。
(
3) 的作用:它同数列极限中的N 一样, 起一个分界线的作用。它说明对于x 属于x 0则0＜x n ＜1
。而
的某个去心邻域时, f (x) 与A 的距离是小于的。是当x 无限接近x 0时, f (x) 与A 的距离变化的分界线。
当n →+∞时, f (x
n ) →+∞, 有因为当n →+∞时, 有x →0+, 故函数f (x) 在(0, 1］上2无穷小量与无穷大量
无界。而对于＞0都找不到一个区间使得这若对任意给定的正数, 总存在正数, 当个区间内的数使得f (x) 在这个区间上是无穷0＜|x －x 0|＜时, 有
大量。因为只要取
|f (x)|＜
成立, 则称f (x) 当x →x ,
0时为无穷小量(简称无穷小) 。记作
:
0。
虽然当n →+∞, 有x →0+,
但是
若对任意给定的正数M , 总存在正数, 当0＜|x －x 0|＜时, 有
|f (x) |＞M
这与无穷大量的定义矛盾, 因而这个函数成立, 则称f (x) 当x →x 不是无穷大量。
0时为无穷大量(简称无穷大) 。记作
:
∞。
4结语
可以从以下几个方面思考无穷小量和无本文主要剖析了数列极限、函数极限、穷大量定义。
无穷大量、无穷小量的概念, 通过分析给出了(1) 无穷小(大) 量是一个过程量不能简单一些理解这些概念的思维方式, 有助于加深对的说f (x) 是无穷小(大) 量, 必须指明x 在哪种极限相关概念的理解。
变化趋势下是无穷小(大) 量。
(2) 无穷小量不是一个很小很小的数, 它只参考文献
是函数的变化趋势, 与很小很小的数不是一回[1]傅英定, 谢云荪. 微积分[M ].北京:高等教
事。
育出版社, 2003. (3) 无穷小量和无穷大量的关系:在自变量[2]A N t oN , H owA r d. C Al cul us 8t h ed. [M ].
的同一趋向下, 无穷大量的倒数是无穷小量:B ei j i n g:H i gher Ed ucA t i o N Pr ess , 2008.
非零的无穷小量的倒数是无穷大量。
中国科教创新导刊C hi na Ed ucat i on I n novat i on Her al d 123
2008N O . 32
理论前沿
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中国科教创新导刊
关于极限的几个重要定义的探究
智红燕
(中国石油大学华东数学与计算科学学院
山东东营
257061)
摘要:本文对高等数学中极限的概念进行了深入的分析并对极限的相关知识点进行了总结, 详细的剖析了极限的概念以及与极限有密切关系的无穷小量、无穷大量和无界的概念。关键词:极限无穷小量无穷大量无界中图分类号:O172文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2008) 11(b) -0123-01极限概念的正确理解是学好高等数学的关键。在教学过程中发现初学者对极限概念的理解不够准确, 甚至理解错误, 本文针对这些问题对极限相关知识点进行剖析和总结。
1极限
1. 1数列极限的定义
设有数列{xn }及常数A, 若对任意给定的正数ω, 总存在正整数N, 使得对n ＞N 的任何N, 不等式
|x n －A |＜
都成立, 则称当n →∞时, {x n }的极限为A, 或称{x n }收敛于A, 记作
:
=A。
下面给出用逻辑量词的叙述
:
当n ＞N 时, 有|x n －A |＜。
如何理解“”的定义呢？可以从以下几个方面思考:
(1) :是任意的预先给定的, 来刻画x n 与A 的接近程度, 它不是一个常量, 且有任意性. 但一经给定就“暂时”把它理解为一个确定的数。
(2) N:一般而言N
是随变化的, 但N 并不是由唯一确定的, 只关心它的存在性, 不关心它的大小。
(3) n ＞N:N 的作用其实就是起一个分界线的作用。对n ＞N , 它表示λn 中的下标大于的项应该都满足|x n －A |＜ε。(即x n 的第N 项后所有的项应该都满足|x n －A |＜) 。
(4) A :A(一般不为∞) 是一个确定的常数, 是一个极限值。如果这样的存在, 则称{x n }极限存在, 否则称极限不存在。
(5) n →∞:研究{x n }的极限就是考察当N →∞时{xn }的变化趋势, 因而{x n }的极限与前面的有限项没有关系, 所以任意改变有限项的位置以及去掉有限项都不会改变{xn }的极限的存在性和大小。
注:①对任何n, 当n ＞N 时, 不等式|x n －A |＜都成立, 与n ＞N 时, 有无限(无穷多) 项x n , 使得不等式|x n －A|＜都成立不同。
因而如下定义极限:
“对于任给的＞0, 存在正整数N, 当n ＞N, 有无限(无穷多) 项x n , 使不等式|x n －A|＜都成立”是不正确的。
②任意给定的＞0与无穷多个＞0是不同的概念。
例1x n =(-1) n
对于任给的＞0, 存在正整数N , 当n ＞N
若n 只取偶数时, x n =1。则有|x n －1|=|1－1|=0＜, 显然这样的x n 有无穷多项;
若n 只取奇数时, x n =-1。则有|x n +1|=|-3无穷大量与无界
1+1|=0＜。显然这样的x n 有无穷多项。
只考虑函数的情况, 数列的情况可以类似即x n 的奇数项收敛到-1, 而偶数项收敛的得到。
到1, 因而x n =(-1) n 的极限是不存在的。若对任意给定的正数M , 总存在x 0属于1. 2函数极限的定义
f (x) 的定义域, 有|f (x) |＞M , 则称f (x) 在设f (x) 在x 0的某个去心邻域内有定义, 定义域内无界。
A 为常数。若对任意给定的正数, 总存在正应从以下几个方面来理解无穷大量与无数, 使得满足0＜|x －x 0|＜的一切x, 都有
界的区别:
|f (x) －A |＜
(1) 它们本质上是不同的, 无穷大量是一个成立, 则称当x →x 过程量, 而无界则不是。无界只说明对任意的0时, f (x) 的极限为A , 或称f (x) 收敛于A, 记作
:
正数M , 总能在f (x) 的定义域内找到一个点x 0, 使它满足不等式|f (x) |＞M 。
(2) 若f (x) 在x →x 0时为无穷大量, 则可以从以下几个方面思“”考定义。f (x) 在定义域内是无界的, 但f (x) 在定义(
1) :是任意的预先给定的, 用来刻画f 域内无界并不能说明对f (x) 存在x 0, 使x (x) 与A 的接近程度, 它不是一个常量, 且有任→x 0时有f (x) 为无穷大量。
意性。但一经给定就“暂时”把它理解为一个确定的数。
例2试问
在区间(0, 1］上
(2) :一般而言是随变化的, 但并不是不是无界, 是不是无穷大量。
是由唯一确定的, 只关心它的存在性, 不关心取数列
它的大小。
(
3) 的作用:它同数列极限中的N 一样, 起一个分界线的作用。它说明对于x 属于x 0则0＜x n ＜1
。而
的某个去心邻域时, f (x) 与A 的距离是小于的。是当x 无限接近x 0时, f (x) 与A 的距离变化的分界线。
当n →+∞时, f (x
n ) →+∞, 有因为当n →+∞时, 有x →0+, 故函数f (x) 在(0, 1］上2无穷小量与无穷大量
无界。而对于＞0都找不到一个区间使得这若对任意给定的正数, 总存在正数, 当个区间内的数使得f (x) 在这个区间上是无穷0＜|x －x 0|＜时, 有
大量。因为只要取
|f (x)|＜
成立, 则称f (x) 当x →x ,
0时为无穷小量(简称无穷小) 。记作
:
0。
虽然当n →+∞, 有x →0+,
但是
若对任意给定的正数M , 总存在正数, 当0＜|x －x 0|＜时, 有
|f (x) |＞M
这与无穷大量的定义矛盾, 因而这个函数成立, 则称f (x) 当x →x 不是无穷大量。
0时为无穷大量(简称无穷大) 。记作
:
∞。
4结语
可以从以下几个方面思考无穷小量和无本文主要剖析了数列极限、函数极限、穷大量定义。
无穷大量、无穷小量的概念, 通过分析给出了(1) 无穷小(大) 量是一个过程量不能简单一些理解这些概念的思维方式, 有助于加深对的说f (x) 是无穷小(大) 量, 必须指明x 在哪种极限相关概念的理解。
变化趋势下是无穷小(大) 量。
(2) 无穷小量不是一个很小很小的数, 它只参考文献
是函数的变化趋势, 与很小很小的数不是一回[1]傅英定, 谢云荪. 微积分[M ].北京:高等教
事。
育出版社, 2003. (3) 无穷小量和无穷大量的关系:在自变量[2]A N t oN , H owA r d. C Al cul us 8t h ed. [M ].
的同一趋向下, 无穷大量的倒数是无穷小量:B ei j i n g:H i gher Ed ucA t i o N Pr ess , 2008.
非零的无穷小量的倒数是无穷大量。
中国科教创新导刊C hi na Ed ucat i on I n novat i on Her al d 123