凑微分练习
凑微分ϕ'(x ) dx =d [ϕ(x )]，就是由ϕ'(x ) 找它的一个原函数ϕ(x ) ，而不定积分给出了被积函数的所有原函数，从中恰当地选取一个原函数即可（常选C =0的原函数）。根据微分法则和基本积分表即可得到一些常用的凑微分形式，以下设函数u =u (x ) ，v =v (x ) 可导，C 为常数。 由d (Cu ) =Cdu ，有Cdx =d (Cx ) 。
由d (u ±v ) =du ±dv ，有du =d (u ±C ) 。 x 21由⎰xdx =+C ，有xdx =d (x 2) 。 22
由⎰1x dx =2x +C ，有1
x dx =2d (x ) 。 11由⎰dx =ln |x |+C ，有dx =d (ln|x |)。 x x
11由⎰，有dx =arctan x +C =-arc cot x +C dx =d (arctanx ) =-d (arc cot x ) 。 221+x 1+x
由⎰1
-x 2dx =arcsin x +C =-arccos x +C ，有1-x 2dx =d (arcsinx ) =-d (arccosx ) 。
由⎰cos xdx =sin x +C ，有cos xdx =d (sinx ) 。
由⎰sin xdx =-cos x +C ，有sin xdx =-d (cosx ) 。 112，有dx =sec xdx =tan x +C dx =sec 2xdx =d (tanx ) 。 22⎰cos x cos x
11由⎰2dx =⎰csc 2xdx =-cot x +C ，有2dx =csc 2xdx =-d (cotx ) 。 sin x sin x 由⎰
由⎰sec x tan xdx =sec x +C ，有sec x tan xdx =d (secx ) 。
由⎰csc x cot xdx =-csc x +C ，有csc x cot xdx =-d (cscx ) 。
由⎰e x dx =e x +C ，有e x dx =d (e x ) 。 a x 1+C ，有a x dx =由⎰a dx =d (a x ) 。 ln a ln a x
在熟记基本积分表之后，很容易记住上述凑微分的形式，而熟练掌握上述凑微分形式，在运用第一类换元法（即凑微分法）积分时会更加快捷灵活。
1
凑微分填空练习： 1．Cdx =d (Cx ) ， du =d (u ±C ) 。 2．xdx =( ) d( ) 。 3．1dx =( ) d( ) 。 x
4．1
x dx = d ( ) 。 5．1
1+x 2dx = d (
6．1
-x 2dx = d (
7．cos xdx = d ( ) 。8．sin xdx =( ) d( 9．1
cos 2x dx =sec 2xdx =d ( 10．1
sin 2x dx =csc 2xdx =( 11．sec x tan xdx = d ( 12．csc x cot xdx =( ) d( 13．e x dx =d ( ) 。 14．a x dx =( ) d( ) = －d ( ) = －d ( ) 。 ) 。 ) d( ) 。) 。 ) 。 ) 。
2 ) 。 ) 。
凑微分练习
凑微分ϕ'(x ) dx =d [ϕ(x )]，就是由ϕ'(x ) 找它的一个原函数ϕ(x ) ，而不定积分给出了被积函数的所有原函数，从中恰当地选取一个原函数即可（常选C =0的原函数）。根据微分法则和基本积分表即可得到一些常用的凑微分形式，以下设函数u =u (x ) ，v =v (x ) 可导，C 为常数。 由d (Cu ) =Cdu ，有Cdx =d (Cx ) 。
由d (u ±v ) =du ±dv ，有du =d (u ±C ) 。 x 21由⎰xdx =+C ，有xdx =d (x 2) 。 22
由⎰1x dx =2x +C ，有1
x dx =2d (x ) 。 11由⎰dx =ln |x |+C ，有dx =d (ln|x |)。 x x
11由⎰，有dx =arctan x +C =-arc cot x +C dx =d (arctanx ) =-d (arc cot x ) 。 221+x 1+x
由⎰1
-x 2dx =arcsin x +C =-arccos x +C ，有1-x 2dx =d (arcsinx ) =-d (arccosx ) 。
由⎰cos xdx =sin x +C ，有cos xdx =d (sinx ) 。
由⎰sin xdx =-cos x +C ，有sin xdx =-d (cosx ) 。 112，有dx =sec xdx =tan x +C dx =sec 2xdx =d (tanx ) 。 22⎰cos x cos x
11由⎰2dx =⎰csc 2xdx =-cot x +C ，有2dx =csc 2xdx =-d (cotx ) 。 sin x sin x 由⎰
由⎰sec x tan xdx =sec x +C ，有sec x tan xdx =d (secx ) 。
由⎰csc x cot xdx =-csc x +C ，有csc x cot xdx =-d (cscx ) 。
由⎰e x dx =e x +C ，有e x dx =d (e x ) 。 a x 1+C ，有a x dx =由⎰a dx =d (a x ) 。 ln a ln a x
在熟记基本积分表之后，很容易记住上述凑微分的形式，而熟练掌握上述凑微分形式，在运用第一类换元法（即凑微分法）积分时会更加快捷灵活。
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凑微分填空练习： 1．Cdx =d (Cx ) ， du =d (u ±C ) 。 2．xdx =( ) d( ) 。 3．1dx =( ) d( ) 。 x
4．1
x dx = d ( ) 。 5．1
1+x 2dx = d (
6．1
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7．cos xdx = d ( ) 。8．sin xdx =( ) d( 9．1
cos 2x dx =sec 2xdx =d ( 10．1
sin 2x dx =csc 2xdx =( 11．sec x tan xdx = d ( 12．csc x cot xdx =( ) d( 13．e x dx =d ( ) 。 14．a x dx =( ) d( ) = －d ( ) = －d ( ) 。 ) 。 ) d( ) 。) 。 ) 。 ) 。
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