附件：关于成果内容的科学论文
刊登于《高等理科教育》（全国中文类核心期刊）2002年第4期（总44期）
共点力的合成与分解法则 钱伯初
（兰州大学物理系，甘肃 兰州 730001）
摘要：根据空间的欧几里得性质和对称性，分析讨论了共点力的合成与分解法则
——正交分解法则与平行四边形定则，并在很大程度上用逻辑推理导出了这个法则。
关键词：合力，对称性，正交分解
我国当前流行的中学物理教材，大学普通物理教材和力学教材，在开讲之初，都极少谈到物理空间的欧几里得性质和对称性（均匀性，各向同性）。共点力的合成与分解法则——正交分解法则与平行四边形定则，在大学教材中都不予讲述，因为这是中学阶段已经学过的内容。在高中物理教材中，平行四边形定则作为纯粹的实验定律（但不用“定律”这个词）告知学生，没有讲出任何道理。实验室条件稍好的中学大多安排学生做一个相应的实验，以验证平行四边形定则。但因实验精度不高，作过实验仍将信将疑者大有人在。最近几年，本人在兰州大学主讲 “物理学人才基地”力学课。为了使学生重视物理课程，一开始就养成良好习惯，分析物理问题时充分注意问题所特有的对称性，我在第一堂课就讲述本文内容及其思考过程，教学效果很好。现将这项教学研究成果公之于众，敬待有识之士批评指正。
基本思路是从物理空间的欧几里得性质和对称性（均匀性，各向同性）入手，探讨力的合成与分解可能遵循的法则。作为逻辑推理的前提，首先承认以下假设（A ）和简单实验事实（B ）：
（A ）同时作用于一个质点的两个力，就其引起的种种力学效果（静力学的、
动力学的）而言，等价于一个合力。
（B ）作用于一个质点的两个方向相同的力，其合力仍沿原方向，大小为二
者之和。
力的方向和大小，用“力线”表示。上述（A ）中二力的力线可决定一个
平面，整个物理空间对于这个平面具有左右对称性，因此合力的力线必在此平面内。如二力大小相等，方向相反，从对称性考虑，合力显然为零。再结合实验事实（B ），可知当二力大小不等，方向相反时，合力沿大力方向，大小为二者之差（代数和）。
力的正交分解规律最直接地反映出空间的几何性质对物理规律的制约。下面
试作分析。如图1所示，F x 与F y 正交，其合力为F 。用公式表示，就是
F = Fx + F y （ 1）
上式也可以理解为力F 的正交分解式，即F 可以分解为F x 和F y 。设F 与x 方
向之夹角为θ，则F 与y 方向之夹角为（π/2－θ）。设正交分解的法则（物理规
律）为
F x = F u（θ） ， F y = F v（θ） （2） 其中v （θ）= u（π/2－θ） 。u （θ）为θ 之待定连续函数。 在图1中三力线
所决定的平面上，称F 方向为1，其正交方向为2，如图2所示。将F x 及F y 均沿1，2方向作正交分解，沿方向2的分力之和为
F 2 = Fy u （θ）－F x v（θ） = Fvu－Fuv = 0
沿方向1的分力之和应该等于F ，即
F = Fx u （θ）+Fy v（θ）= Fu2 + Fv2
亦即
22θ）θ） u （+ v（=1 （3）
这是正交分解的最本质的一项性质。当θ=0和π/2 ，显然有
u （0）= v（π/2）= 1 v （0）= u （π/2） = 0 （4a ）
当 θ=π/4，显然有
u （π/4）= v（π/4）= 1/2 （4b ）
还有一个重要的特例。三个大小相等，夹角互成2π/3 的共点力，力线在同一平
面内。从对称性考虑，合力显然为零。将其中二力按图3所示方向作正交分解，容易得出
u （π/3）= v（π/6）= 1/2 u （π/6）= v（π/3）=
3/2 （4c ）
众所周知，由实验确定的力的正交分解法则（与平行四边形定则等价）是
F x = Fcosθ , Fy = Fsinθ （5） 亦即
u （θ）= cosθ , v （θ）= sinθ （6）
它与（3）—（4c ）式是一致的。但由（3）—（4c ）式还不足以证明（6）式。
众所周知，对于任意角θ ，计算cos θ 和sin θ 的值，并不总是由它们的原始定 义直接计算，而是利用相当于（4a ）—（4c ）式的特殊角函数值，公式
cos 2 θ+ sin2θ = 1 （7） 以及和角公式
cos （α+β）= cosαcos β－sin αsin β sin（α+β）= sinαcos β+ cos αsin β （8） 与倍角公式（α=β）。以下证明，待定函数u ，v 也有类似的和角公式。对于
任意（α+β）=θ≤π/2，如图4，将F 先沿方向3、4作正交分解，有
F = F3 + F 4 ,
F 3 = F u（α） , F 4 = F v（α）
再将F 3 ，F 4 沿x ，y 方向作正交分解，即得F 沿x 、y 方向的正交分解
F x = F3 u （β）－F 4 v （β）
= F [ u（α）u （β）－v （α）v （β）]
F y = F4 u（β）+F3 v（β）
= F [ v（α）u （β）+u（α）v （β）]
与（2）式比较，即得
u （α+β）= u （α）u （β）－v （α）v （β）
v （α+β）= v（α）u （β）+ u（α）v （β） （9）
它与（8）式完全类似。利用（3）、（4）、（9）式（包括α=β时的倍角公式）就
可对任意θ 角求出u （θ）、v （θ）之值，结果必然与cos θ、sin θ 之值相同，由此可知， u （θ）即 cos θ，v （θ）即sin θ ，（5）式得证。
在正交分解法则（5）式的基础上，即可证明平行四边形定则。如图5，F 1
与F 2为共点力，设其合力为F ，在F 1－F 2 平面上将F 2 沿F 1方向（x 方向）及其垂直方向（y 方向）分解，F 2 的x 方向分力可与F 1 简单相加，于是合力F 的x ，y 分量为
F x = F1 + F2 cosθ , F y = F2 sin θ
按此画出F 的力线，显然与平行四边形定则给出的结果相同。
既有大小又有方向，可以互相合成与分解，并且遵守正交分解法则（5）式
的量就是矢量。如本文逻辑可以成立，则相当于证明了，三维欧几里得空间中任何有方向的物理量，如符合（A ）、（B ）两项前提（名词“力”可以换成别的）就必然是矢量。
y F
F 2x 图1
F 1
图2
4
3图3
图4
y 1x
2
图5
The rule of composition and resolution of concurrent forces
Qian bo-chu
(department of physics , Lanzhou University , Lanzhou Gansu ,730001 , China)
Abstract: The rule of composition and resolution of concurrent forces
(parallelogram rule) is discussed according to the symmetry of Euclid space . And the rule is deduced by logical reasoning.
Key words: resultant force , symmetry ,orthogonal decompositon
附件：关于成果内容的科学论文
刊登于《高等理科教育》（全国中文类核心期刊）2002年第4期（总44期）
共点力的合成与分解法则 钱伯初
（兰州大学物理系，甘肃 兰州 730001）
摘要：根据空间的欧几里得性质和对称性，分析讨论了共点力的合成与分解法则
——正交分解法则与平行四边形定则，并在很大程度上用逻辑推理导出了这个法则。
关键词：合力，对称性，正交分解
我国当前流行的中学物理教材，大学普通物理教材和力学教材，在开讲之初，都极少谈到物理空间的欧几里得性质和对称性（均匀性，各向同性）。共点力的合成与分解法则——正交分解法则与平行四边形定则，在大学教材中都不予讲述，因为这是中学阶段已经学过的内容。在高中物理教材中，平行四边形定则作为纯粹的实验定律（但不用“定律”这个词）告知学生，没有讲出任何道理。实验室条件稍好的中学大多安排学生做一个相应的实验，以验证平行四边形定则。但因实验精度不高，作过实验仍将信将疑者大有人在。最近几年，本人在兰州大学主讲 “物理学人才基地”力学课。为了使学生重视物理课程，一开始就养成良好习惯，分析物理问题时充分注意问题所特有的对称性，我在第一堂课就讲述本文内容及其思考过程，教学效果很好。现将这项教学研究成果公之于众，敬待有识之士批评指正。
基本思路是从物理空间的欧几里得性质和对称性（均匀性，各向同性）入手，探讨力的合成与分解可能遵循的法则。作为逻辑推理的前提，首先承认以下假设（A ）和简单实验事实（B ）：
（A ）同时作用于一个质点的两个力，就其引起的种种力学效果（静力学的、
动力学的）而言，等价于一个合力。
（B ）作用于一个质点的两个方向相同的力，其合力仍沿原方向，大小为二
者之和。
力的方向和大小，用“力线”表示。上述（A ）中二力的力线可决定一个
平面，整个物理空间对于这个平面具有左右对称性，因此合力的力线必在此平面内。如二力大小相等，方向相反，从对称性考虑，合力显然为零。再结合实验事实（B ），可知当二力大小不等，方向相反时，合力沿大力方向，大小为二者之差（代数和）。
力的正交分解规律最直接地反映出空间的几何性质对物理规律的制约。下面
试作分析。如图1所示，F x 与F y 正交，其合力为F 。用公式表示，就是
F = Fx + F y （ 1）
上式也可以理解为力F 的正交分解式，即F 可以分解为F x 和F y 。设F 与x 方
向之夹角为θ，则F 与y 方向之夹角为（π/2－θ）。设正交分解的法则（物理规
律）为
F x = F u（θ） ， F y = F v（θ） （2） 其中v （θ）= u（π/2－θ） 。u （θ）为θ 之待定连续函数。 在图1中三力线
所决定的平面上，称F 方向为1，其正交方向为2，如图2所示。将F x 及F y 均沿1，2方向作正交分解，沿方向2的分力之和为
F 2 = Fy u （θ）－F x v（θ） = Fvu－Fuv = 0
沿方向1的分力之和应该等于F ，即
F = Fx u （θ）+Fy v（θ）= Fu2 + Fv2
亦即
22θ）θ） u （+ v（=1 （3）
这是正交分解的最本质的一项性质。当θ=0和π/2 ，显然有
u （0）= v（π/2）= 1 v （0）= u （π/2） = 0 （4a ）
当 θ=π/4，显然有
u （π/4）= v（π/4）= 1/2 （4b ）
还有一个重要的特例。三个大小相等，夹角互成2π/3 的共点力，力线在同一平
面内。从对称性考虑，合力显然为零。将其中二力按图3所示方向作正交分解，容易得出
u （π/3）= v（π/6）= 1/2 u （π/6）= v（π/3）=
3/2 （4c ）
众所周知，由实验确定的力的正交分解法则（与平行四边形定则等价）是
F x = Fcosθ , Fy = Fsinθ （5） 亦即
u （θ）= cosθ , v （θ）= sinθ （6）
它与（3）—（4c ）式是一致的。但由（3）—（4c ）式还不足以证明（6）式。
众所周知，对于任意角θ ，计算cos θ 和sin θ 的值，并不总是由它们的原始定 义直接计算，而是利用相当于（4a ）—（4c ）式的特殊角函数值，公式
cos 2 θ+ sin2θ = 1 （7） 以及和角公式
cos （α+β）= cosαcos β－sin αsin β sin（α+β）= sinαcos β+ cos αsin β （8） 与倍角公式（α=β）。以下证明，待定函数u ，v 也有类似的和角公式。对于
任意（α+β）=θ≤π/2，如图4，将F 先沿方向3、4作正交分解，有
F = F3 + F 4 ,
F 3 = F u（α） , F 4 = F v（α）
再将F 3 ，F 4 沿x ，y 方向作正交分解，即得F 沿x 、y 方向的正交分解
F x = F3 u （β）－F 4 v （β）
= F [ u（α）u （β）－v （α）v （β）]
F y = F4 u（β）+F3 v（β）
= F [ v（α）u （β）+u（α）v （β）]
与（2）式比较，即得
u （α+β）= u （α）u （β）－v （α）v （β）
v （α+β）= v（α）u （β）+ u（α）v （β） （9）
它与（8）式完全类似。利用（3）、（4）、（9）式（包括α=β时的倍角公式）就
可对任意θ 角求出u （θ）、v （θ）之值，结果必然与cos θ、sin θ 之值相同，由此可知， u （θ）即 cos θ，v （θ）即sin θ ，（5）式得证。
在正交分解法则（5）式的基础上，即可证明平行四边形定则。如图5，F 1
与F 2为共点力，设其合力为F ，在F 1－F 2 平面上将F 2 沿F 1方向（x 方向）及其垂直方向（y 方向）分解，F 2 的x 方向分力可与F 1 简单相加，于是合力F 的x ，y 分量为
F x = F1 + F2 cosθ , F y = F2 sin θ
按此画出F 的力线，显然与平行四边形定则给出的结果相同。
既有大小又有方向，可以互相合成与分解，并且遵守正交分解法则（5）式
的量就是矢量。如本文逻辑可以成立，则相当于证明了，三维欧几里得空间中任何有方向的物理量，如符合（A ）、（B ）两项前提（名词“力”可以换成别的）就必然是矢量。
y F
F 2x 图1
F 1
图2
4
3图3
图4
y 1x
2
图5
The rule of composition and resolution of concurrent forces
Qian bo-chu
(department of physics , Lanzhou University , Lanzhou Gansu ,730001 , China)
Abstract: The rule of composition and resolution of concurrent forces
(parallelogram rule) is discussed according to the symmetry of Euclid space . And the rule is deduced by logical reasoning.
Key words: resultant force , symmetry ,orthogonal decompositon