中考数学专题:阴影图形面积经典题解析
1. 如图,在半径为2 cm 的⊙O 中,点C 、点D 是AB 的三等分点,点E 是直径AB 的延长线上一点,连接CE 、DE ,则图中阴影部分的面积是( )
2π2π2πA. 222
3 cm B. 3 cm C. 33 cm D. 33 cm 2
︵
1. 【解】如图,连接OC 、OD 、CD ,∵点C 、点D 是AB 的三等分点, ∴∠DOB =∠COD =60°,又∵CO =OD ,∴CO =OD =CD , ∴∠DOB =∠CDO =60°,∴CD ∥AB ,∴S △CED =S △COD ,
60π×222π
∴S 阴影=S 扇形COD =3603cm 2.
2. 如图,正方形ABCD 的面积为12,点M 是AB 的中点,连接AC 、DM 、CM ,则图中阴影部分的面积是( ) A. 6 B. 4.8 C. 4 D. 3
2. 【解】如图,设DM 与AC 交于点E ,∵四边形ABCD 是正方形,
AM 1
∴AM ∥CD ,AB =CD ,∴△AME ∽△CDE ,∵点M 是AB 的中点,∴CD =2, AE EM AM 11
∴CE =DE CD 2S 正方形ABCD =12,∴S △ABC 2正方形ABCD =6,
112
∴S △ACM =2S △ABC =3,∴S △AEM =3△ACM =1,S △CEM =3△ACM =2, ∴S △AED =2S △AEM =2,∴S 阴影=S △CEM +S △AED =2+2=4,故选C. 3. 如图,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,OA =3,OB =2,将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ,将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ,分别以O ,E 为圆心,OA ,ED 长为半径画AF 和DF ,连接AD ,则图中阴影部分面
5
积是( ) A. π B. C. 3+π D. 8-π
4
︵
︵︵
3. 【解】如图,过点D 作DH ⊥AE 于点H ,
∵∠AOB =90°,OA =3,OB =2,∴AB =OA +OB =13, 由旋转的性质知,OF =OA =3,OE =OB =2,DE =EF =AB =13, ∴AE =OA +OE =5,易证△DHE ≌△BOA ,∴DH =OB =2, ∴S 阴影=S △ADE +S △EOF +S 扇形AOF -S 扇形
DEF
90π×OA 290π×DE 211
=2AE ·DH +2OE ·OF +-
36036090×π×3290×π13)211
=2×5×2+2×2×3+
360360=8-π. 故选D
4. 如图,平行四边形ABCD 中,AB =AC =4,AB ⊥AC ,O 是对角线的交点,若
⊙O 过A 、C 两点,则图中阴影部分的面积之和为________.
4. 【解】如图,设BD 与⊙O 交于点E 和F 两点.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD ,
∵⊙O 过A ,C 两点,∴扇形AOE 与扇形FOC 关于点O 成中心对称, ∴S 扇形AOE =S 扇形FOC ,
1111
∴S 阴影=S △AOB =22·AB =224×4=4.
5. 如图,半圆O 的直径AE =4,点B ,C ,D 均在半圆上,若AB =BC , CD =DE ,连接OB ,OD ,则图中阴影部分的面积为________.
5. 【解】如图,连接OC ,在半圆O 中,AB =BC ,CD =DE , ∴AB =BC ,CD =DE ,∴∠AOB =∠BOC ,∠COD =∠DOE ,
2
1111π
×2
∴S 阴影=S 扇形OAB +S 扇形ODE =2S 扇形AOC 2扇形COE =2半圆AOE =22=π, ∴阴影部分的面积为π.
︵︵︵︵
6. 如图,在△ABC 中,∠C =90°,将△ABC 沿直线MN 翻折后,顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处,已知MN ∥AB ,MC =6,NC =23,则图中阴影部分的面积为________.
6. 【解】∵MC =6,NC =23,∠C =90°,∴S △CMN =63,由折叠性质得△CMN ≌△DMN ,∴△CMN 与△DMN 对应高相等,∵MN ∥AB , ∴△CMN ∽△CAB 且相似比为1∶2,∴两者的面积比为1∶4,
从而得S △CMN ∶S 四边形MABN =1∶3,∴S 阴影=S 四边形MABN =3.
7. 如图,四边形ABCD 是菱形,∠A =60°,AB =2,扇形EBF 的半径为2, 圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是________.
7. 【解】:连接BD ,设BE 交 AD 于点G ,BF 交CD 于点H , ∵在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =2,∴BD =BC =2, 由题意知扇形圆心角为60°,∴∠DBG =∠CBH ,∠GDB =∠C , ∴△DGB ≌△CHB ,
60×π×2212π
∴S 阴影=S 扇形EBF - S △DBC =-×2×3=3.
36023
8. 如图,在▱ABCD 中,E 、F 分别是AB 、DC 边上的点,AF 与DE 相交于点P ,BF 与CE 相交于点Q ,若S △APD =16 cm2,S △BQC =25 cm2,则图中阴影部分的面积为________cm2.
8. 【解】:连接EF ,∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥CD ,∴S △EFC =S △BCF ,∴S △EFQ =S △BCQ , 同理,S △EFD =S △ADF ,∴S △EFP =S △ADP , ∵S △APD =16 cm2,S △BQC =25 cm2,
∴S 阴影=S △EFP +S △EFQ =16+25=41 cm2.
9. 如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠B =45°,AE 为BC 边上的高,将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB 1E ,则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积是________.
9. 【解】:设CD 与AB 1交于点O ,∵在边长为2的菱形ABCD 中,∠B =45°,AE 为BC 边上的高,∴AE =BE 2,由折叠性质得△ABB 1为等腰直角三角 1
∴S △ABB1=2BA ·AB 1=2,S △AB1E =1,CB 1=2BE -BC =
2-2,
∵AB ∥CD ,∴∠OCB 1=∠B =45°,又∵∠B 1=∠B =45°,∴CO =OB 1=2-
1
2,∴S △COB 1=2CO ·OB 1=3-22, ∴S 重叠=S △AB1E -S △COB 1=1-(3-22) =22-2.
10.已知:AB 是⊙O 的直径,直线CP 切⊙O 于点C ,过点B 作BD ⊥CP 于D . (1)求证:△ACB ∽△CDB ;
(2)若⊙O 的半径为1,∠B CP=30°,求图中阴影部分的面积.
10解答:(1)证明:∵直线CP 是⊙O 的切线, ∴∠BCD=∠BAC , ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, 又∵BD ⊥CP ∴∠CDB=90°,
∴∠ACB=∠CDB=90° ∴△ACB ∽△CDB ;
(2)解:如图,连接OC ,
∵直线CP 是⊙O 的切线,∠BCP=30°, ∴∠COB=2∠BCP=60°, ∴△OCB 是正三角形, ∵⊙O 的半径为1, ∴S △OCB =
,S 扇形OCB =
=π,
.
∴阴影部分的面积=S扇形OCB ﹣S △OCB =π﹣
11.如图,点B 、C 、D 都在⊙O 上,过C 点作CA ∥BD 交OD 的延长线于点A ,连接BC ,∠B=∠A=30°,
BD=2. (1)求证:AC 是⊙O 的切线;
(2)求由线段AC 、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
11. 解答:(1)证明:连接OC ,交BD 于E , ∵∠B=30°,∠
B=∠COD , ∴∠COD=60°, ∵∠A=30°, ∴∠OCA=90°, 即OC ⊥AC ,
∴AC 是⊙O 的切线;
(2)解:∵AC ∥BD ,∠OCA=90°, ∴∠OED=∠OCA=90°,
中考数学专题:阴影图形面积经典题解析
1. 如图,在半径为2 cm 的⊙O 中,点C 、点D 是AB 的三等分点,点E 是直径AB 的延长线上一点,连接CE 、DE ,则图中阴影部分的面积是( )
2π2π2πA. 222
3 cm B. 3 cm C. 33 cm D. 33 cm 2
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1. 【解】如图,连接OC 、OD 、CD ,∵点C 、点D 是AB 的三等分点, ∴∠DOB =∠COD =60°,又∵CO =OD ,∴CO =OD =CD , ∴∠DOB =∠CDO =60°,∴CD ∥AB ,∴S △CED =S △COD ,
60π×222π
∴S 阴影=S 扇形COD =3603cm 2.
2. 如图,正方形ABCD 的面积为12,点M 是AB 的中点,连接AC 、DM 、CM ,则图中阴影部分的面积是( ) A. 6 B. 4.8 C. 4 D. 3
2. 【解】如图,设DM 与AC 交于点E ,∵四边形ABCD 是正方形,
AM 1
∴AM ∥CD ,AB =CD ,∴△AME ∽△CDE ,∵点M 是AB 的中点,∴CD =2, AE EM AM 11
∴CE =DE CD 2S 正方形ABCD =12,∴S △ABC 2正方形ABCD =6,
112
∴S △ACM =2S △ABC =3,∴S △AEM =3△ACM =1,S △CEM =3△ACM =2, ∴S △AED =2S △AEM =2,∴S 阴影=S △CEM +S △AED =2+2=4,故选C. 3. 如图,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,OA =3,OB =2,将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ,将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ,分别以O ,E 为圆心,OA ,ED 长为半径画AF 和DF ,连接AD ,则图中阴影部分面
5
积是( ) A. π B. C. 3+π D. 8-π
4
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3. 【解】如图,过点D 作DH ⊥AE 于点H ,
∵∠AOB =90°,OA =3,OB =2,∴AB =OA +OB =13, 由旋转的性质知,OF =OA =3,OE =OB =2,DE =EF =AB =13, ∴AE =OA +OE =5,易证△DHE ≌△BOA ,∴DH =OB =2, ∴S 阴影=S △ADE +S △EOF +S 扇形AOF -S 扇形
DEF
90π×OA 290π×DE 211
=2AE ·DH +2OE ·OF +-
36036090×π×3290×π13)211
=2×5×2+2×2×3+
360360=8-π. 故选D
4. 如图,平行四边形ABCD 中,AB =AC =4,AB ⊥AC ,O 是对角线的交点,若
⊙O 过A 、C 两点,则图中阴影部分的面积之和为________.
4. 【解】如图,设BD 与⊙O 交于点E 和F 两点.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD ,
∵⊙O 过A ,C 两点,∴扇形AOE 与扇形FOC 关于点O 成中心对称, ∴S 扇形AOE =S 扇形FOC ,
1111
∴S 阴影=S △AOB =22·AB =224×4=4.
5. 如图,半圆O 的直径AE =4,点B ,C ,D 均在半圆上,若AB =BC , CD =DE ,连接OB ,OD ,则图中阴影部分的面积为________.
5. 【解】如图,连接OC ,在半圆O 中,AB =BC ,CD =DE , ∴AB =BC ,CD =DE ,∴∠AOB =∠BOC ,∠COD =∠DOE ,
2
1111π
×2
∴S 阴影=S 扇形OAB +S 扇形ODE =2S 扇形AOC 2扇形COE =2半圆AOE =22=π, ∴阴影部分的面积为π.
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6. 如图,在△ABC 中,∠C =90°,将△ABC 沿直线MN 翻折后,顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处,已知MN ∥AB ,MC =6,NC =23,则图中阴影部分的面积为________.
6. 【解】∵MC =6,NC =23,∠C =90°,∴S △CMN =63,由折叠性质得△CMN ≌△DMN ,∴△CMN 与△DMN 对应高相等,∵MN ∥AB , ∴△CMN ∽△CAB 且相似比为1∶2,∴两者的面积比为1∶4,
从而得S △CMN ∶S 四边形MABN =1∶3,∴S 阴影=S 四边形MABN =3.
7. 如图,四边形ABCD 是菱形,∠A =60°,AB =2,扇形EBF 的半径为2, 圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是________.
7. 【解】:连接BD ,设BE 交 AD 于点G ,BF 交CD 于点H , ∵在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =2,∴BD =BC =2, 由题意知扇形圆心角为60°,∴∠DBG =∠CBH ,∠GDB =∠C , ∴△DGB ≌△CHB ,
60×π×2212π
∴S 阴影=S 扇形EBF - S △DBC =-×2×3=3.
36023
8. 如图,在▱ABCD 中,E 、F 分别是AB 、DC 边上的点,AF 与DE 相交于点P ,BF 与CE 相交于点Q ,若S △APD =16 cm2,S △BQC =25 cm2,则图中阴影部分的面积为________cm2.
8. 【解】:连接EF ,∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥CD ,∴S △EFC =S △BCF ,∴S △EFQ =S △BCQ , 同理,S △EFD =S △ADF ,∴S △EFP =S △ADP , ∵S △APD =16 cm2,S △BQC =25 cm2,
∴S 阴影=S △EFP +S △EFQ =16+25=41 cm2.
9. 如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠B =45°,AE 为BC 边上的高,将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB 1E ,则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积是________.
9. 【解】:设CD 与AB 1交于点O ,∵在边长为2的菱形ABCD 中,∠B =45°,AE 为BC 边上的高,∴AE =BE 2,由折叠性质得△ABB 1为等腰直角三角 1
∴S △ABB1=2BA ·AB 1=2,S △AB1E =1,CB 1=2BE -BC =
2-2,
∵AB ∥CD ,∴∠OCB 1=∠B =45°,又∵∠B 1=∠B =45°,∴CO =OB 1=2-
1
2,∴S △COB 1=2CO ·OB 1=3-22, ∴S 重叠=S △AB1E -S △COB 1=1-(3-22) =22-2.
10.已知:AB 是⊙O 的直径,直线CP 切⊙O 于点C ,过点B 作BD ⊥CP 于D . (1)求证:△ACB ∽△CDB ;
(2)若⊙O 的半径为1,∠B CP=30°,求图中阴影部分的面积.
10解答:(1)证明:∵直线CP 是⊙O 的切线, ∴∠BCD=∠BAC , ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, 又∵BD ⊥CP ∴∠CDB=90°,
∴∠ACB=∠CDB=90° ∴△ACB ∽△CDB ;
(2)解:如图,连接OC ,
∵直线CP 是⊙O 的切线,∠BCP=30°, ∴∠COB=2∠BCP=60°, ∴△OCB 是正三角形, ∵⊙O 的半径为1, ∴S △OCB =
,S 扇形OCB =
=π,
.
∴阴影部分的面积=S扇形OCB ﹣S △OCB =π﹣
11.如图,点B 、C 、D 都在⊙O 上,过C 点作CA ∥BD 交OD 的延长线于点A ,连接BC ,∠B=∠A=30°,
BD=2. (1)求证:AC 是⊙O 的切线;
(2)求由线段AC 、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
11. 解答:(1)证明:连接OC ,交BD 于E , ∵∠B=30°,∠
B=∠COD , ∴∠COD=60°, ∵∠A=30°, ∴∠OCA=90°, 即OC ⊥AC ,
∴AC 是⊙O 的切线;
(2)解:∵AC ∥BD ,∠OCA=90°, ∴∠OED=∠OCA=90°,