3.三角函数与函数方程

高中数学难点3 三角函数与函数方程

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来. 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.

●难点磁场

1、(★★★★) 已知α、β为锐角，且x (α+β－都成立.

2. （★★★★★）关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为 . 3. （★★★★★）对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R, 使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x ) 的不动点. 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)

（1）若a =1,b =–2时，求f (x ) 的不动点；

（2）若对任意实数b ，函数f (x ) 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y =f (x ) 图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x ) 的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +对称，求b 的最小值.

●案例探究

［例1］设z 1=m +(2－m 2) i , z 2=cosθ+(λ+sinθ) i , 其中m , λ, θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围.

命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.

技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.

解法一：∵z 1=2z 2， ∴m +(2－m 2) i =2cosθ+(2λ+2sinθ) i , ∴⎨

) ＞0, 试证不等式f (x )=(

cos αx cos βx

) +() ＜2对一切非零实数sin βsin α

12a 2+1

⎧m =2cos θ⎩2-m =2λ+2sin θ

∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sinθ－当sin θ=

129

) －. 48

时λ取最小值－，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 48

m ⎧

cos θ=⎪θ⎧m =2c o s 2⎪

解法二：∵z 1=2z 2 ∴⎨ ∴⎨,

θ⎩2-m =2λ+2s i n ⎪sin θ=2-m -2λ

⎪2⎩

m 2(2-m 2-2λ) 2

+∴=1. ∴m 4－(3－4λ) m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2, 则0≤t ≤4, 44

9⎧⎧∆≥0λ≥-⎪8⎪3-4λ⎪

⎪≤43⎪5⎪0≤

令f (t )=t 2－(3－4λ) t +4λ2－8λ, 则⎨或f (0)·f (4)≤0 ∴⎨-≤λ≤或0≤λ≤2 2

4⎪4⎪f (0) ≥0

⎪λ≥2或λ≤0⎪

⎪f (4) ≥0⎪⎩⎩

∴－

≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－，2］. 88

［例2］如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力) ，在O 点保持速率v 0

不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？

命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力. 属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.

错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.

技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：

⎧S =L cos α=v 0t cos θ⎪⎨12 -h =-L sin α=v 4sin θ-gt 0⎪2⎩

由①②整理得：v 0cos θ=

① ②

L cos α-L sin α1

, v 0sin θ=

+gt . t t 2

122L 2122L 2

∴

v 0+gL sin α=g t +2≥2g t ⋅2=gL

4t 4t

v 02gh 122

=运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =mv 0, ∴v 0=2gh , ∴L ≤=200(m)

g (1-sin α) g (1-sin α) 2

2L 2L 122S 2+h 2L 2

=即L max =200(m),又g t =. ∴t =, S =L cos α=v t cos α=2gh ⋅cos θ 022

g g t t 4

得cos θ=cosα, ∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°. ［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b . (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.

命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则. 属★★★★级题目.

知识依托：依据图象正确写出解析式.

错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母. 技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式. 解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃) ；

(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象. ∴

12ππ11π

=14－6, 解得ω=, 由图示A =(30－10)=10，b =(30+10)=20，这时y =10sin(x +φ)+20,将x =6,y =10⋅

222ω88

3π3

代入上式可取φ=π. 综上所求的解析式为y =10sin(x +π)+20,x ∈［6,14］.

484

［例4］在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？

命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力. 知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系. 错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.

技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题. 解：(1)在Rt △PAB 中，∠APB =60° PA =1，∴AB =在Rt △PAC 中，∠APC =30°，∴AC =

3 (千米)

(千米) 3

∴BC =AC 2+AB 2=(

在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°

32) +() 2=33

301

÷=230(千米/时) 36

(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sinACB =

=BC

sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sinACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°=

. 10

13(33-1) AD AC -⋅-() 2=在△ACD 中，据正弦定理得， =221020sin DCA sin CDA

⋅

9+3AC ⋅sin DCA 9+3310∴AD = 答：此时船距岛A 为千米. ==

13sin CDA 13(3-1) 20

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：

1. 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.

2. 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.

3. 三角函数与实际问题的综合应用.

此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用. ●歼灭难点训练一、选择题

1.(★★★★) 函数y =－x ·cos x 的部分图象是(

)

2.(★★★★) 函数f (x )=cos2x +sin(A. 非奇非偶函数二、填空题

3.(★★★★) 函数f (x )=(

+x ) 是( )

B. 仅有最小值的奇函数

D. 既有最大值又有最小值的偶函数

C. 仅有最大值的偶函数

1｜cos x ｜

) 在［－π，π］上的单调减区间为_________. 3

4.(★★★★★) 设ω＞0，若函数f (x )=2sinωx 在［－三、解答题

ππ

］上单调递增，则ω的取值范围是_________. , ，

5.(★★★★) 设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b , c ∈R), 已知不论α、β为何实数恒有f (sinα) ≥0和f (2+cosβ) ≤0. (1)求证：b +c =－1； (2)求证c ≥3；

(3)若函数f (sinα) 的最大值为8，求b ，c 的值.

6.(★★★★★) 用一块长为a ，宽为b (a ＞b ) 的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.

7.(★★★★★) 有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.

8.(★★★★) 设－

9.(★★★★★) 是否存在实数a ，使得函数y =sin2x +a ·cos x +求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.

≤x ≤

，求函数y =log2(1+sinx )+log2(1－sin x ) 的最大值和最小值.

53π

a －在闭区间［0，］上的最大值是1？若存在，822

1.(★★★★★) 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1) 的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－是( )

ππ

22,

) ，则tan

α+β

的值

1 2

B. －2 C.

4 3

或－2 2

2.(★★★★★) 给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cosB ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin2B +sin2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形. 以上正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

3.(★★★★) 若f (x )=

+x -1

在点x =0处连续，则f (0)等于( )

3 2

2 3

C.1 D.0

4. （★★★★★）已知函数f (x )=loga ［A.(0,

x –(2a ) 2］对任意x ∈［

,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )

11] B.(0,44

) C. ［

,1) D.(

, 42

）

5. （★★★★★）函数f (x ) 的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x ) 的递减区间是( )

A. ［

，+∞) B.(1,

57] C. ［

,+∞) D.(1,

］

二、填空题

3π1

，α∈(，π) ，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________. 522

2.(★★★★) 在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－，sin B =，则cos2(B +C )=__________.

x 2-ln(2-x )

3.(★★★★) lim =_________.

x →14arctan x

1.(★★★★) 已知sin α=三、解答题

1. (★★★★) 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =试求∠A 、∠B 、∠C 的值.

，

(x ≤1) ⎧x

⎪

2.(★★★★) 求函数f (x )=⎨的不连续点和连续区间. 1

log (x -) (x >1) 2⎪2⎩

3. （★★★★）设集合A ={x ｜4x –2x +2+a =0,x ∈R}. （1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；

（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2–6x ＜a (x –2) 恒成立，求x 的取值范围.

4. （★★★★）已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a , b 为常数，且a ≠0) 满足条件:f (x –1)=f (3–x ) 且方程f (x )=2x 有等根. （1）求f (x ) 的解析式；

（2）是否存在实数m ，n (m ＜n ＝，使f (x ) 定义域和值域分别为［m , n ］和［4m ,4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.

ππππππ

∵α、β为锐角，∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜, ∴0＜sin(－α) ＜sin 222222

cos αcos βπ

β.0＜sin(－β) ＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α, ∴0＜＜1,0＜＜1, ∴f (x ) 在(0,+∞) 上单调递

sin βsin α2

ππππππ

减，∴f (x ) ＜f (0)=2.若x ＜0, α+β＜, ∵α、β为锐角，0＜β＜－α＜,0＜α＜－β＜,0＜sin β＜sin(－

222222

cos απcos β

α), ∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(－β), ∴sin α＜cos β, ∴＞1, ＞1,

sin β2sin α

1、证明：若x ＞0，则α+β＞

∵f (x ) 在(－∞,0）上单调递增，∴f (x ) ＜f (0)=2,∴结论成立.

2、解析：设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t , t ∈［1,3］.

等价于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值. 答案：(–∞, –1) ∪(2,+∞) 3、解：（1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1, x 2=3. 故当a =1,b =–2时，f (x ) 的两个不动点为–1,3.

（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0) 恒有两个不动点，

∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1) ，即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R) 恒成立. 于是Δ′=(4a ) 2–16a ＜0解得0＜a ＜1 故当b ∈R ，f (x ) 恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1. （3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1, x 1), B (x 2, x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +

12a +1

对称. ∴k =–1. 设AB 的中点为M (x ′, y ′)

∵x 1, x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根. ∴x ′=y ′=

x 1+x 2b 1

=-，又点M 在直线y =-x +上有 22a 2a 2+1

b b 1a

=+2，即b =-=-2a 2a 2a +12a 2+1

112a +

∵a ＞0，∴2a +歼灭难点训练

≥2

2当且仅当2a =

即a =

∈(0,1)时取等号，故b ≥–

122

，得b 的最小值–

一、1. 解析：函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0, 2. 解析：f (x )=cos2x +sin(

) 时，y ＜0. 答案：D 2

121π

) -］－1. 答案：D +x )=2cos2x －1+cosx =2［(cosx +

8222ππ

二、3. 解：在［－π, π］上，y =｜cos x ｜的单调递增区间是［－,0］及［, π］. 而f (x ) 依｜cos x ｜取值的递增而

ππ

递减, 故［－,0］及［, π］为f (x ) 的递减区间.

ππππ

4. 解：由－≤ωx ≤，得f (x ) 的递增区间为［－, ］，由题设得

2ω2ω22

π⎧π

-≤-⎪ππππ33⎪2ω3

[-, ]⊆[-, ],∴⎨ 解得:ω≤, ∴0

⎪⎩2ω4

三、5. 解：(1)∵－1≤sin α≤1且f (sinα) ≥0恒成立，∴f (1)≥0

∵1≤2+cosβ≤3, 且f (2+cosβ) ≤0恒成立. ∴f (1)≤0. 从而知f (1)=0∴b +c +1=0.

(2)由f (2+cosβ) ≤0, 知f (3)≤0, ∴9+3b +c ≤0. 又因为b +c =－1, ∴c ≥3. (3)∵f (sinα)=sin2α+(－1－c )sin α+c =(sinα－

1+c 21+c 2

) +c －(() ) ,

当sin α=－1时，［f (sinα) ］max =8,由⎨

⎧1-b +c =8

解得b =－4, c =3.

⎩1+b +c =0

6. 解：如图，矩形木板的长边AB 着地，并设OA =x ，OB =y ，则a 2=x 2+y 2－2xy cos α≥2xy －2xy cos α=2xy (1－cos α

a 2

∵0＜α＜π, ∴1－cos α＞0, ∴xy ≤ (当且仅当x =y 时取“=”号) ，故此时谷仓的容积的最大值

2(1-cos α) a 2b sin α1αα11

=a 2b cos . 同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V 的最大值V 2=ab 2cos , V 1=(xy sin α) b =

4(1-cos α) 42242

∵a ＞b , ∴V 1＞V 2

从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为

7. 解：如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP =R ，设∠AOP =θ，则 ∠QOP =45°－θ，NP =R sin θ, 在△PQO 中，

α12

a b cos . 42

PQ R

=，

sin(45︒-θ) sin 135︒

222R ·［cos(2θ－45°) －］≤22

2-122-12

R ，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为R . 22

∴PQ =

2R sin(45°－θ). S

矩形

MNPQ =QP ·NP =

2R 2sin θsin(45°－θ)=

工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =22.5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM ⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩

2-12

R . 2ππ

8. 解：∵在［－, ］上，1+sinx ＞0和1－sin x ＞0恒成立，∴原函数可化为y =log2(1－sin 2x )=log2cos 2x ，又cos x

2ππππ

＞0在［－, ］上恒成立，∴原函数即是y =2log2cos x , 在x ∈［－, ］上，≤cos x ≤1.

26464

2ππ

∴log 2≤log 2cos x ≤log 21，即－1≤y ≤0，也就是在x ∈［－, ］上，y max =0,y mi n =－1.

264

形，面积最大值为

53a 2a 251

9. 解:y =1-cos x +a cos x +a -=-(cosx -) ++a -.

822482

当0≤x ≤时, 0≤cos x ≤1.

2a 53若>1时, 即a >2, 则当cos x =1时, y max =a +a -=1282

320综合上述知，存在a =符合题设.

⇒a =

a a a 251若0≤≤1, 即0≤a ≤2, 则当cos x =时, y max =+a -=1

224823

⇒a =或a =-4

2a 5112

若(舍去). 2825

函数练习二答案

一、1. 解析：∵a ＞1，tan α+tanβ=－4a ＜0. tan α+tanβ=3a +1＞0, 又α、β∈(－

α+βππππ

, ) ∴α、β∈(－, θ), 则∈(－,0), 22222

2tan

α+β

tan α+tan β-4a 44==, 又tan(α+β) ==, 又tan(α+β)=

31-tan αtan β1-(3a +1) 31-tan 2

α+βα+β2+3tan -2=0.解得tan α+β=－2. 答案：B 整理得2tan

222

2. 解析：其中(3）(4）正确. 答案： B

3. 解析：

f (x ) =

(+x +1)(+x -1)[(1+x ) 2++x +1]

+x +1

1+1+13(+x +1)[(1+x ) 2++x +1][x +1-1]

f (0) ==

1+12

(+x ) 2++x +1

答案：A

4. 解析：考查函数y 1=

x 和y 2=(2a ) x 的图象，显然有0＜2a ＜1. 由题意

=(2a ) 2得a =

，再结合指数函数图

象性质可得答案. 答案：A

5. 解析：由题意可得f (–x +1)=–f (x +1).令t =–x +1，则x =1–t ，故f (t )=–f (2–t ) ，即f (x )=–f (2–x ). 当x ＞1,2–x ＜1，于是有f (x )=–f (2–x )=–2(x –二、1. 解析：∵sin α=

) 2–

，其递减区间为［

，+∞). 答案：C

34311π

, α∈(, π), ∴cos α=－则tan α=－, 又tan(π－β)=可得tan β=－, 554222

2⨯(-)

2tan β=-4. tan 2β==

31-tan 2β1-(-1) 2

34-(-)

tan α-tan β7tan(α-2β) ===1+tan α⋅tan 2β1+(-) ⨯(-) 24

答案：

43，∴sin(2A+C)=. 55

4343

∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =. 故cos B =. 即sin(A+C)=，cos(A +C )=－.

5555

52752724

∵cos(B+C)=－cos A =－cos ［(2A+C) －(A+C) ］=－，∴cos2(B+C)=2cos2(B+C) －1=. 答案：

62562525

2. 解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C=180°. ∵cos(2A +C )=－

x 2-sin(2-x ) 12-sin(2-1) 11

== 答案： 3. 解析：利用函数的连续性，即lim f (x ) =f (x 0) , ∴lim

x →14arctan 14arctan 1πx →x 0π

三、解答题

1. 解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac

) ［cos(A +C ) －cos(A －C ) ］ 2

331π

∵B =π－(A+C). ∴sin 2(A+C)=－［cos(A+C) －cos ］即1－cos 2(A+C)=－cos(A+C) ，解得cos(A+C)=－.

22222π7ππ

∵0＜A+C＜π，∴A+C=π. 又A －C =∴A =π，B =，C =.

3212312

∴sin 2B =3sinC ·sin A =3(－

2. 解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞) 3. 解：(1)令2x =t (t ＞0) ，设f (t )=t 2–4t +a .

由f (t )=0在(0,+∞) 有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f (t )=0有两等根时，Δ=0⇒16–4a =0⇒a =4 验证：t 2–4t +4=0⇒t =2∈(0,+∞) ，这时x =1 ②f (t )=0有一正根和一负根时, f (0)＜0⇒a ＜0

③若f (0)=0，则a =0，此时4x –4·2x =0⇒2x =0（舍去），或2x =4,∴x =2，即A 中只有一个元素综上所述，a ≤0或a =4，即B ={a ｜a ≤0或a =4}

（2）要使原不等式对任意a ∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立. 即g (a )=(x –2) a –(x 2–6x ) ＞0恒成立. 只须

⎧x -2≤0⎧x ≤2

⇒⎨2⇒5-＜x ≤2 ⎨

⎩g (4) >0⎩x -10x +8

4. 解：（1）∵方程ax 2+bx =2x 有等根，∴Δ=(b –2) 2=0,得b =2. 由f (x –1)=f (3–x ) 知此函数图象的对称轴方程为x =–（2）f (x )=–(x –1) 2+1≤1，∴4n ≤1，即n ≤而抛物线y =–x 2+2x 的对称轴为x =1 ∴n ≤

=1得a =–1，故f (x )=–x 2+2x . 2a

时，f (x ) 在［m , n ］上为增函数.

若满足题设条件的m , n 存在，则⎨

⎧f (m ) =4m

⎩f (n ) =4n

⎧⎪-m +2m =4m ⎧m =0或m =-2即⎨2⇒⎨

n =0或n =-2⎪⎩⎩-n +2n =4n

又m ＜n ≤

, ∴m =–2, n =0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.

由以上知满足条件的m 、n 存在，m =–2, n =0.

高中数学难点3 三角函数与函数方程

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来. 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.

●难点磁场

1、(★★★★) 已知α、β为锐角，且x (α+β－都成立.

（1）若a =1,b =–2时，求f (x ) 的不动点；

（2）若对任意实数b ，函数f (x ) 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y =f (x ) 图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x ) 的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +对称，求b 的最小值.

●案例探究

［例1］设z 1=m +(2－m 2) i , z 2=cosθ+(λ+sinθ) i , 其中m , λ, θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围.

命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.

解法一：∵z 1=2z 2， ∴m +(2－m 2) i =2cosθ+(2λ+2sinθ) i , ∴⎨

) ＞0, 试证不等式f (x )=(

cos αx cos βx

) +() ＜2对一切非零实数sin βsin α

12a 2+1

⎧m =2cos θ⎩2-m =2λ+2sin θ

∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sinθ－当sin θ=

129

) －. 48

时λ取最小值－，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 48

m ⎧

cos θ=⎪θ⎧m =2c o s 2⎪

解法二：∵z 1=2z 2 ∴⎨ ∴⎨,

θ⎩2-m =2λ+2s i n ⎪sin θ=2-m -2λ

⎪2⎩

m 2(2-m 2-2λ) 2

+∴=1. ∴m 4－(3－4λ) m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2, 则0≤t ≤4, 44

9⎧⎧∆≥0λ≥-⎪8⎪3-4λ⎪

⎪≤43⎪5⎪0≤

令f (t )=t 2－(3－4λ) t +4λ2－8λ, 则⎨或f (0)·f (4)≤0 ∴⎨-≤λ≤或0≤λ≤2 2

4⎪4⎪f (0) ≥0

⎪λ≥2或λ≤0⎪

⎪f (4) ≥0⎪⎩⎩

∴－

≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－，2］. 88

［例2］如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力) ，在O 点保持速率v 0

不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？

错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.

技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：

⎧S =L cos α=v 0t cos θ⎪⎨12 -h =-L sin α=v 4sin θ-gt 0⎪2⎩

由①②整理得：v 0cos θ=

① ②

L cos α-L sin α1

, v 0sin θ=

+gt . t t 2

122L 2122L 2

∴

v 0+gL sin α=g t +2≥2g t ⋅2=gL

4t 4t

v 02gh 122

=运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =mv 0, ∴v 0=2gh , ∴L ≤=200(m)

g (1-sin α) g (1-sin α) 2

2L 2L 122S 2+h 2L 2

=即L max =200(m),又g t =. ∴t =, S =L cos α=v t cos α=2gh ⋅cos θ 022

g g t t 4

知识依托：依据图象正确写出解析式.

(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象. ∴

12ππ11π

=14－6, 解得ω=, 由图示A =(30－10)=10，b =(30+10)=20，这时y =10sin(x +φ)+20,将x =6,y =10⋅

222ω88

3π3

代入上式可取φ=π. 综上所求的解析式为y =10sin(x +π)+20,x ∈［6,14］.

484

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？

技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题. 解：(1)在Rt △PAB 中，∠APB =60° PA =1，∴AB =在Rt △PAC 中，∠APC =30°，∴AC =

3 (千米)

(千米) 3

∴BC =AC 2+AB 2=(

在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°

32) +() 2=33

301

÷=230(千米/时) 36

(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sinACB =

=BC

sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sinACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°=

. 10

13(33-1) AD AC -⋅-() 2=在△ACD 中，据正弦定理得， =221020sin DCA sin CDA

⋅

9+3AC ⋅sin DCA 9+3310∴AD = 答：此时船距岛A 为千米. ==

13sin CDA 13(3-1) 20

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：

1. 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.

3. 三角函数与实际问题的综合应用.

此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用. ●歼灭难点训练一、选择题

1.(★★★★) 函数y =－x ·cos x 的部分图象是(

)

2.(★★★★) 函数f (x )=cos2x +sin(A. 非奇非偶函数二、填空题

3.(★★★★) 函数f (x )=(

+x ) 是( )

B. 仅有最小值的奇函数

D. 既有最大值又有最小值的偶函数

C. 仅有最大值的偶函数

1｜cos x ｜

) 在［－π，π］上的单调减区间为_________. 3

4.(★★★★★) 设ω＞0，若函数f (x )=2sinωx 在［－三、解答题

ππ

］上单调递增，则ω的取值范围是_________. , ，

5.(★★★★) 设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b , c ∈R), 已知不论α、β为何实数恒有f (sinα) ≥0和f (2+cosβ) ≤0. (1)求证：b +c =－1； (2)求证c ≥3；

(3)若函数f (sinα) 的最大值为8，求b ，c 的值.

8.(★★★★) 设－

9.(★★★★★) 是否存在实数a ，使得函数y =sin2x +a ·cos x +求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.

≤x ≤

，求函数y =log2(1+sinx )+log2(1－sin x ) 的最大值和最小值.

53π

a －在闭区间［0，］上的最大值是1？若存在，822

1.(★★★★★) 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1) 的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－是( )

ππ

22,

) ，则tan

α+β

的值

1 2

B. －2 C.

4 3

或－2 2

A.1

B.2

C.3

D.4

3.(★★★★) 若f (x )=

+x -1

在点x =0处连续，则f (0)等于( )

3 2

2 3

C.1 D.0

4. （★★★★★）已知函数f (x )=loga ［A.(0,

x –(2a ) 2］对任意x ∈［

,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )

11] B.(0,44

) C. ［

,1) D.(

, 42

）

5. （★★★★★）函数f (x ) 的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x ) 的递减区间是( )

A. ［

，+∞) B.(1,

57] C. ［

,+∞) D.(1,

］

二、填空题

3π1

，α∈(，π) ，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________. 522

2.(★★★★) 在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－，sin B =，则cos2(B +C )=__________.

x 2-ln(2-x )

3.(★★★★) lim =_________.

x →14arctan x

1.(★★★★) 已知sin α=三、解答题

1. (★★★★) 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =试求∠A 、∠B 、∠C 的值.

，

(x ≤1) ⎧x

⎪

2.(★★★★) 求函数f (x )=⎨的不连续点和连续区间. 1

log (x -) (x >1) 2⎪2⎩

3. （★★★★）设集合A ={x ｜4x –2x +2+a =0,x ∈R}. （1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；

（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2–6x ＜a (x –2) 恒成立，求x 的取值范围.

4. （★★★★）已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a , b 为常数，且a ≠0) 满足条件:f (x –1)=f (3–x ) 且方程f (x )=2x 有等根. （1）求f (x ) 的解析式；

（2）是否存在实数m ，n (m ＜n ＝，使f (x ) 定义域和值域分别为［m , n ］和［4m ,4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.

ππππππ

∵α、β为锐角，∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜, ∴0＜sin(－α) ＜sin 222222

cos αcos βπ

β.0＜sin(－β) ＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α, ∴0＜＜1,0＜＜1, ∴f (x ) 在(0,+∞) 上单调递

sin βsin α2

ππππππ

减，∴f (x ) ＜f (0)=2.若x ＜0, α+β＜, ∵α、β为锐角，0＜β＜－α＜,0＜α＜－β＜,0＜sin β＜sin(－

222222

cos απcos β

α), ∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(－β), ∴sin α＜cos β, ∴＞1, ＞1,

sin β2sin α

1、证明：若x ＞0，则α+β＞

∵f (x ) 在(－∞,0）上单调递增，∴f (x ) ＜f (0)=2,∴结论成立.

2、解析：设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t , t ∈［1,3］.

（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0) 恒有两个不动点，

12a +1

对称. ∴k =–1. 设AB 的中点为M (x ′, y ′)

∵x 1, x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根. ∴x ′=y ′=

x 1+x 2b 1

=-，又点M 在直线y =-x +上有 22a 2a 2+1

b b 1a

=+2，即b =-=-2a 2a 2a +12a 2+1

112a +

∵a ＞0，∴2a +歼灭难点训练

≥2

2当且仅当2a =

即a =

∈(0,1)时取等号，故b ≥–

122

，得b 的最小值–

一、1. 解析：函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0, 2. 解析：f (x )=cos2x +sin(

) 时，y ＜0. 答案：D 2

121π

) -］－1. 答案：D +x )=2cos2x －1+cosx =2［(cosx +

8222ππ

二、3. 解：在［－π, π］上，y =｜cos x ｜的单调递增区间是［－,0］及［, π］. 而f (x ) 依｜cos x ｜取值的递增而

ππ

递减, 故［－,0］及［, π］为f (x ) 的递减区间.

ππππ

4. 解：由－≤ωx ≤，得f (x ) 的递增区间为［－, ］，由题设得

2ω2ω22

π⎧π

-≤-⎪ππππ33⎪2ω3

[-, ]⊆[-, ],∴⎨ 解得:ω≤, ∴0

⎪⎩2ω4

三、5. 解：(1)∵－1≤sin α≤1且f (sinα) ≥0恒成立，∴f (1)≥0

∵1≤2+cosβ≤3, 且f (2+cosβ) ≤0恒成立. ∴f (1)≤0. 从而知f (1)=0∴b +c +1=0.

(2)由f (2+cosβ) ≤0, 知f (3)≤0, ∴9+3b +c ≤0. 又因为b +c =－1, ∴c ≥3. (3)∵f (sinα)=sin2α+(－1－c )sin α+c =(sinα－

1+c 21+c 2

) +c －(() ) ,

当sin α=－1时，［f (sinα) ］max =8,由⎨

⎧1-b +c =8

解得b =－4, c =3.

⎩1+b +c =0

6. 解：如图，矩形木板的长边AB 着地，并设OA =x ，OB =y ，则a 2=x 2+y 2－2xy cos α≥2xy －2xy cos α=2xy (1－cos α

a 2

∵0＜α＜π, ∴1－cos α＞0, ∴xy ≤ (当且仅当x =y 时取“=”号) ，故此时谷仓的容积的最大值

2(1-cos α) a 2b sin α1αα11

=a 2b cos . 同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V 的最大值V 2=ab 2cos , V 1=(xy sin α) b =

4(1-cos α) 42242

∵a ＞b , ∴V 1＞V 2

从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为

7. 解：如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP =R ，设∠AOP =θ，则 ∠QOP =45°－θ，NP =R sin θ, 在△PQO 中，

α12

a b cos . 42

PQ R

=，

sin(45︒-θ) sin 135︒

222R ·［cos(2θ－45°) －］≤22

2-122-12

R ，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为R . 22

∴PQ =

2R sin(45°－θ). S

矩形

MNPQ =QP ·NP =

2R 2sin θsin(45°－θ)=

2-12

R . 2ππ

8. 解：∵在［－, ］上，1+sinx ＞0和1－sin x ＞0恒成立，∴原函数可化为y =log2(1－sin 2x )=log2cos 2x ，又cos x

2ππππ

＞0在［－, ］上恒成立，∴原函数即是y =2log2cos x , 在x ∈［－, ］上，≤cos x ≤1.

26464

2ππ

∴log 2≤log 2cos x ≤log 21，即－1≤y ≤0，也就是在x ∈［－, ］上，y max =0,y mi n =－1.

264

形，面积最大值为

53a 2a 251

9. 解:y =1-cos x +a cos x +a -=-(cosx -) ++a -.

822482

当0≤x ≤时, 0≤cos x ≤1.

2a 53若>1时, 即a >2, 则当cos x =1时, y max =a +a -=1282

320综合上述知，存在a =符合题设.

⇒a =

a a a 251若0≤≤1, 即0≤a ≤2, 则当cos x =时, y max =+a -=1

224823

⇒a =或a =-4

2a 5112

若(舍去). 2825

函数练习二答案

一、1. 解析：∵a ＞1，tan α+tanβ=－4a ＜0. tan α+tanβ=3a +1＞0, 又α、β∈(－

α+βππππ

, ) ∴α、β∈(－, θ), 则∈(－,0), 22222

2tan

α+β

tan α+tan β-4a 44==, 又tan(α+β) ==, 又tan(α+β)=

31-tan αtan β1-(3a +1) 31-tan 2

α+βα+β2+3tan -2=0.解得tan α+β=－2. 答案：B 整理得2tan

222

2. 解析：其中(3）(4）正确. 答案： B

3. 解析：

f (x ) =

(+x +1)(+x -1)[(1+x ) 2++x +1]

+x +1

1+1+13(+x +1)[(1+x ) 2++x +1][x +1-1]

f (0) ==

1+12

(+x ) 2++x +1

答案：A

4. 解析：考查函数y 1=

x 和y 2=(2a ) x 的图象，显然有0＜2a ＜1. 由题意

=(2a ) 2得a =

，再结合指数函数图

象性质可得答案. 答案：A

) 2–

，其递减区间为［

，+∞). 答案：C

34311π

, α∈(, π), ∴cos α=－则tan α=－, 又tan(π－β)=可得tan β=－, 554222

2⨯(-)

2tan β=-4. tan 2β==

31-tan 2β1-(-1) 2

34-(-)

tan α-tan β7tan(α-2β) ===1+tan α⋅tan 2β1+(-) ⨯(-) 24

答案：

43，∴sin(2A+C)=. 55

4343

∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =. 故cos B =. 即sin(A+C)=，cos(A +C )=－.

5555

52752724

∵cos(B+C)=－cos A =－cos ［(2A+C) －(A+C) ］=－，∴cos2(B+C)=2cos2(B+C) －1=. 答案：

62562525

2. 解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C=180°. ∵cos(2A +C )=－

x 2-sin(2-x ) 12-sin(2-1) 11

== 答案： 3. 解析：利用函数的连续性，即lim f (x ) =f (x 0) , ∴lim

x →14arctan 14arctan 1πx →x 0π

三、解答题

1. 解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac

) ［cos(A +C ) －cos(A －C ) ］ 2

331π

∵B =π－(A+C). ∴sin 2(A+C)=－［cos(A+C) －cos ］即1－cos 2(A+C)=－cos(A+C) ，解得cos(A+C)=－.

22222π7ππ

∵0＜A+C＜π，∴A+C=π. 又A －C =∴A =π，B =，C =.

3212312

∴sin 2B =3sinC ·sin A =3(－

2. 解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞) 3. 解：(1)令2x =t (t ＞0) ，设f (t )=t 2–4t +a .

③若f (0)=0，则a =0，此时4x –4·2x =0⇒2x =0（舍去），或2x =4,∴x =2，即A 中只有一个元素综上所述，a ≤0或a =4，即B ={a ｜a ≤0或a =4}

（2）要使原不等式对任意a ∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立. 即g (a )=(x –2) a –(x 2–6x ) ＞0恒成立. 只须

⎧x -2≤0⎧x ≤2

⇒⎨2⇒5-＜x ≤2 ⎨

⎩g (4) >0⎩x -10x +8

=1得a =–1，故f (x )=–x 2+2x . 2a

时，f (x ) 在［m , n ］上为增函数.

若满足题设条件的m , n 存在，则⎨

⎧f (m ) =4m

⎩f (n ) =4n

⎧⎪-m +2m =4m ⎧m =0或m =-2即⎨2⇒⎨

n =0或n =-2⎪⎩⎩-n +2n =4n

又m ＜n ≤

, ∴m =–2, n =0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.

由以上知满足条件的m 、n 存在，m =–2, n =0.

3.三角函数与函数方程

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