基于小波变换的APF

基于小波变换的APF（用于三相不对称电路）

基于瞬时无功功率理论的电流检测方法被广泛应用于电力有源滤波器。仅适合对称的三相三线电路，不适合三相不对称，三相四线和单相电路。

小波理论分析

1.连续小波变换

小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图是一个Daubechies小波(db10)与正弦波的比较。

傅里叶变换与小波变换基元

正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形，它是傅里叶变换的基础。由图看出，小波是尖锐变化而且是无规则的波形，这是小波变化的基础。因此用小波能更好地刻画信号的局部特性。

在数学上，傅里叶变换的公式为F(w)



f(t)e

jwt

dt



积分是从到。图给出了傅里叶变换的示意图。由图看出，原始信号是由不同的频率成分构成的。

信号 不同频率分量的组成 信号傅里叶变换过程

连续小波变换（Continue Wavelet Transform）的数学表示式为

Wf(a,b)

f,a,b



R

f(t)(

tba

)



(t)a,b

(

tba

)

式中，(t)为小波；a为尺度因子；b为平移参数。图是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成的。

信号 不同尺度和不同位置小波的组成 信号小波变换示意图

小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下的“拉伸”或者“压缩”。图给出了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的位移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。

f(t)(t) a1

f(t)(2t)

a

12

不同尺度下小波形状 2.离散小波变换

f(t)(4t)

a

14

在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。

离散的目的是减少连续小波变换的信息冗余，同时又要保证反映出信号的特征信息。

通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作aa，bka

j0

j0

b0

j

，j,kZ，则相应的离散小

2

波函数为:

j

j,k(t)

a0

(

tka0b0

a0

j

j

)a0



(a0tkb0)

j

相应的离散小波变换为

:C其重构公式为f(t)CC







j,k







f(t)

j,k(t)

dtf,

j,k

j,k



j,k(t)

C是一个与信号无关的常数。 3. 二进制小波变换

上面是对尺度参数a和平移参数b进行离散化的要求。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即a

j

j

b01，2，

每个网格点对应的尺度为2，而平移为2k。由此得到的小波

j



j,k(t)

2

2

(2

j

tk)

j,kZ

二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数2，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一

j

步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小j值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大j值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。 二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量仍保持连续变化，因此，二进小波变换不破坏信号咋时间域上的平移不变量，这是它较之离散小波变换所具有的连续的独特优点。

时间域 频率域

短时傅里叶变换 小波变换

（1）小波变换示意图

4 . MALLAT算法滤波的基本原理

Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。

关于多分辨率分析的理解，以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图

三层多分辨率分析树结构图

从图可以明显看出，多分辨率分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频不予以考虑。分解具有关系：

SA3D3D2D1.这里只是以一个层分解进行说明，如果要进

行进一步的分解，则可以把低频部分A3分解成低频部分A4和

高频部分D4。以下再分解依次类推。 4.1康托尔（Cantor）间断集

设X

[0,1],则X0是一个长度等于

1的闭区间，现在将单

位长度等分，去掉中间长度为3的开区间(3,2)，剩下的是左、右各长度的闭区间，用X表示，则X

1

1

1

[0,][,1]

，

接着再把X中两个长度各为的区间三等分，去掉中间的3部分，其长度为

X2[0,3

2

33

2

的开区间，剩下的是

,73

2

X2

，则

][2

3

2

,3

3

2

][6

2

][3

2

,1]

，它是由2个长度等于

2

3

2

的闭区间所构成，如图所示。如此继续分割下去就得到

一个无穷嵌套序列X

3

k

X1X2X3

,其中X是由2个长度为

k

k

的闭区间所组成，这些集的交集用D表示，则

k0

DX0X1X2X3Xk

k

k

，这就是康托尔间断集。因为X是

k

由2个长度等于3的闭区间所组成，它的总长度等于2

2

k

k

3

k

。

所以D若是有长度的话，其长度等于如下极限：

lim

k

3

k



lim(2)

k

k

0

1

2

与闭区间同时存在的是开区间，记为W,W,.不难看出，康托尔间断集中任意两个不同的开区间即交集是空集，说明它们是相互正交的，即W

N

1

W2W3WN

W

k1

k

0

为了方便，称下标k为康托尔间断集的尺度。 4.2康托尔间断集与希尔伯特空间的对应关系

由图易将康托尔间断集与希尔伯特空间H联系起来，建立二者之间的对应关系。为此用H空间的子空间V表示康托

尔间断集中的X。每次去掉的部分用子空间W表示，而每次

k

剩余的部分用子空间V表示。显然，任意两个不同的开区间

k

Wi与W

j

的交集是，意味着它们彼此正交。同时V与V的交集

i

j

并不是，因此V与V并不正交，在尺度为1时，V分解为V与

i

j

01

W1的直和，即V0V1W1，W1就是V1在V0中的正交补空间，改变

尺度继续分割下去就有V

V1W1V2W2W1,可见，Wi就是

对V空间结构的细节补充。同时V就是在尺度i下对V的基本

i

特征的表现。

[V

0]

X0

[V1]

(W1)

[V1]

X1

[V2]

[V2]

(W

2)

[V2]

(W1)

[V

2]

X2

[V3]

(W

2)

[V3] [V3]

(W

2)

[V3] [V3]

(W1)

[V3]

(W

2)

[V3] [V

3]

X3

(W3)

(W3)

(W3)

(W3)

   

康托尔间断集与希尔伯特空间的关系 4.3康托尔间断集的性质

由图可以直观地看出，康托尔间断集有如下性质： 1.X

m

Xm1：即分辨率高的空间Xm1包含了分辨率低的空间Xm

全部信息。

2.

m

XmX0，Xm0，即limXm0。

m

m

00

3.如果f(t)X，则f(2t)X

m

m1

。

，即康托尔间断集对于函数f(t)的

4.若f(t)X，则f(tK2

m

m

)Xm

平移是不变的。 4.4 多分辨率分析

多分辨率分析的实质是满足一定条件L间，其定义如下： 在L

2

2

(R)

中的一系列子空

(R)空间中的多分辨率分析是指满足下列条件的一空间,jZ:

j

序列V

j

(1) 单调性：V

Vj1

，jZ;

j

(2) 渐进完全性：

VjL(R)，Vj0；

2

j



(3) 伸缩性：对任意jZ，f(x)V，则f(2x)V；

j

j1

(4) 平移不变性：f(x)V，则f(x2

j

j

k)Vj，kZ;

(5) 里兹（Riesz）基存在性：存在函数g(x)V，使得

g(xk),kZ构成V0的里兹基，即对任意的(x)V0，存在

唯一的序列a

4.4.1V

j

k

I

2

,使得(x)a

k

k

g(xk)。

(jZ)

空间的标准正交基（尺度函数的引入）

由里兹基得存在性，设(x)V，则

(x)

a

k

k

g(xk) (1)

其傅里叶变换为

(w)G(w)ake

kZ

jkw

G(w)M(w)

(2)

式中

M(w)

a

kZ

ek

jkw

在多分辨分析中，称(x)为尺度函数。由多分辨率分析的性质（3），可以得出V空间的标准正交基为2

j



j2

(2

j

xn)，

nZ

。尺度函数(x)与小波(x)在小波变换中起着重要作用，

尺度函数时构造小波的重要途径。 4.4.2V的正交补空间W的标准正交基

j

j

若(x)W，则(xn),nZ可构成W空间的标准正交基，

而由多分辨率分析的伸缩性，W空间的标准正交基为

j

2



j2

(2

j

xn)，nZ。

4.4.3尺度函数(x)的两尺度方程和H(w)的性质 尺度函数 当j0和1时有

0,n(xn)V0

2

j2

(2xn

j

，)j, nZ

但V

1

1,0

()V1 2

x

V0，所以可以用0,n展开，即

1,0

其中

hn

x

()2

x

h(xn) (3)

nn

(

R

2

)x(kdx)1,0,n

,

式(3)成为尺度函数的两尺度差分方程。将式(2.3)两边取傅里叶变换，

(2w)H(w)(w)

（4）

其中H(w)

he

nn

iwn

称为序列h的傅里叶变换。序列h或

n

n

者与之等价的H(w)完全决定了多分辨率分析。 4.4信号f(t)的多分辨率分析

将V空间与W空间结合起来，就相当于希尔伯特空间H

j

j

的正交分解，即

V0V1W1V2W2W1V3W3W2W1

实际测量的信号f(x)，只能得到有限的分辨率，假设对于尺度m，该尺度就对应着V，然后在W空间不断变换尺度

k

进行越来越细的分解，用公式表示如下：

N

V0V1W1V2W2W1V3W3W2W1VNW

k1

N

1

1

2

2

1

3

3

2

1

N

k

ffdfddfdddf

d

k1

4.5 滤波器脉冲系列h和y

k

k

设V为L

j

jZ

2

(R)的多分辨率逼近，由多分辨率理论有



VjWjVj1

VjVj1

WjVj1

j

（5）

j

(x)为尺度函数，令j(x)2(2

j

x)，则

j,n2

j

2

j(x2n)

j

j

nZ

j

（6）

j

是V的规范正交基。将正交基也可表示为

j

(x)2(2

x)代入式（6），Vj的规范

j,n2

(2

j

xn)

nZ

j

（7）

j

(x)为小波函数，令j(x)2(2x)，则

j



j,n

2

j(x2n)

j

j

nZ

j

（8）

j

是W的规范正交基。将

j

(x)2(2

x)代入式(8)，Wj的规范

正交基也可表示为 

j

j,n

2

j

2

(2

j

xn)

nZ

（9）

22(2jx)VjVj1

且 2j2(2jx)VjVj1 （10）





根据式（10），可以用 V空间的规范正交基表示 V空间的

j1

j

基函数，即

j

2

j(x2n)

j



k

j

2

j(x2n),2

j

j1

2

j1(x2

j1

j1

k)2

j1(x2

j1

k)

令j1，则由内积变成

2

2

1(x2n),0(xk)

n

（11）

k2n

这正是式(3)中定义的h，不过现在是h对任意j，上式均成立。所以有

j

。

2

j(x2n)

j

j

h

k

j1

2k2n

2

j1(x2

j1

k) （12）

将

j

(x)2(2

j

j

x)代入上式，就得到等价表示式 xn)

2

(2

j

h

k

j1

k2n

2

2

(2

(j1)

xk)

（13） （14）

j

hk2n2

2

(2

j

j1

xn),2

2

(2

(j1)

xk)

完全相似地可以得到小波函数的如下关系：

j2

2j(x2n)

j

g

k

j1

2k2n

2

j1(x2

j1

k) （15）

j

2

2

(2

j

xn)

g

k

j1

2k2n

2

(2

(j1)

xk)

（16） （17）

j

gk2n2

2

(2

j

j1

xn),2

(2

(j1)

xk)

脉冲系列h和y是马拉算法的基础。

k

k

4.6 二进正交小波分解的物理意义

由于

j,n

(x)

为规范的正交基，对不同的j，

j,n

(x)

是正交的。

所以由不同的j所确定的频带是相互独立的。随着j的变化，这些相互独立的频带覆盖了整个频率轴。从频谱分析角度看，二进正交小波变换DWT是 把信号分解到一系列相互独

j,n

立的频带上，分辨率j反映了频带的位置和带宽。 在多分辨率分析理论中，V标准正交基，正交投影D

j

j,n

j1

VjWj

，

j,n

(x)

是V空间的

jj

(x)

是W的标准正交基。信号f(x)在V空间的

j

f(x)

，称为f(x)在分辨率为j时的细节部分。显然，

，A

j1

Aj1f(x)Ajf(x)Djf(x)

f(x)

为在分辨率j1时的近似信号，

它是由分辨率为j时的近似部分与细节部分之和构成。 综上所述，对二进正交小波分解可表示为如下： （1）当分辨率为j时，W空间的标准正交基为2

j



j2

(2

j

xn)

，

nZ

，则



Djf(x)



n

f(u),2



j(2un)2

j



j2

(2

j

xn)

式中





n

dn

j

j,n

(x) （18）

j

dn

j

f(u),2



j(2un)

（19）



j,n

2



j(2

j

xn)

是带通的，所以D

j

f(x)

是由j所确定的带通频

带对信号f(x)的贡献，提供f(x)在分辨率为j时的细节部分，而正交展开系数d称为离散细节。

jn

(2) 当分辨率为j时，V空间的标准正交基为2

j



j(2

j

xn),

nZ

则



Ajf(x)



n



f(u),2



j2

(2un)2

j



j(2

j

xn)

式中

an

j





n

anj,n

j

（20）

j

f(u),2



j(2un)

（21）

它是相对

j,n

(x)

所确定带通频带的相邻低通频带对信号f(x)

的贡献，称为信号f(x)在分辨率为j时的近似部分，而是正交展开系数a称为离散近似。

jn

(3)

Aj1f(x)Ajf(x)Djf(x)

（22）

它是由j所确定的带通频带与比其低且相邻的低通频带之和的一段低通频带队信号f(x)的贡献，包含了信号的分辨率为j时的近似和细节。

下图说明了（22）的频带关系：

Aj1

和D分别是分辨率为j1时的近似部分和细节部分的频

j1j

j

j

带；而A和D分别是分辨率为j时的近似和细节部分频带。D是A中的高频部分，A是A中的低频部分。

j1

j

j1

式（2.22）的频带关系

4.7 MALLAT算法 4.7.1小波分解 根据V

2

jj1

VjWj



，V

2



j

Vj1

j

，W

j

Vj1

(j1)

，有

(j1)

(2

j

xn)



k

j2

(2un),2

2

(2

(j1)

uk)2

(2

(j1)

xk)

（23）

与

2

j

(2

j

xn)



k

2



j(j1)(j1)

(2un),2

j

(2

(j1)

uk)2

(2

(j1)

xk)

（24） 将式（14）和式（17）定义的h有

2

j2



(j1)

k2n

和g

k2n

代入式（23）和（24）

(2

j

xn)



k

hk2n2

2

(2

(j1)

xk) （25）

与

2

j2



(j1)

(2

j

xn)



k

gk2n2

2

(2

(j1)

xk) （26）

因此，由式（25）有

f(u),2

j2



(j1)

(2un)

j



kj1

hk2n

f(u),2

2

(2

(j1)

uk)

（27）

即



an

j



k

hk2nak

（28）

由式（26）有

f(u),2

j

(j1)

(2un)

j



k

gk2n

f(u),2

(2

(j1)

uk)

（29）

即 令



dn

j



k

gk2nak

j1

（30）

hnhn

，g

n

gn

则式（28）与式（30）



an

j



k

h

2nk

ak

j1

（31） （32）

dn

j



k

g

2nk

ak

j1

上面两式就是小波分解的马拉算法。图表示小波分解的马拉算法，2表示2抽样，即从a

j1k

到a和d，样点数减少一半。

j

j

k

k

小波分解的马拉算法

4.7.2小波重构 根据V

j1

VjWj

j1

，2

(j12

(2

(j1)

xn)Vj1，及Vj与Wj两个正交

基之和就是V的正交基，有

(j1)

2



2

(2

j2

(j1)

xn)

(j1)

j







k

22

j



(2uk),2

(j1)

j

2

(2

(j1)

un)2

j

(2

j

xk)

（33）

2



k

2

(2uk),2

j

(2

(j1)

un)2(2

j

xk)

与小波分解马拉算法推导相同，引入系数h和g，上式化简

n

n

为

f(u),2

(j1)

(2

(j1)

u

n)



j



j





k

hn2k

f(u),2

2

(2uk)

j



k

gn2k

f(u),2

2

(2uk)

j

（34）

即





an

j1





k

hn2kak

j



k

gn2kdk

j

（35）

上式即为小波重构的马拉算法。图为这种算法的示意图，

2表示内插，即有ak

j

和d到a

jk

j1k

，样点数增加一倍。

小波重构的马拉算法示意

如果从信号处理的观点来看，小波分解与重构算法，实质上是一种滤波处理过程。

根据信号处理理论，如果一个线性系统的脉冲响应为

h(t)，则该线性系统对信号x(t)的响应可由卷积运算来表示

y(t)h(t)*x(t)





h()x(t)dtd

（36）

式 （36）代表了系统对输入信号的滤波处理，由卷积定理得频域关系

Y(w)H(w)X(w)

（37）

这种滤波处理将包括三种情形：①低通滤波，即H(w)0，

ww0

；②高通滤波，即H(w)0，w

及

w1

；③带通滤波，即

2

H(w)0，ww0

ww1。将其用于离散信号xnnZl(Z)

处理

有

ykhk*xk

h

nZ

kn

xn

（38）

式（38）与式（31），（32）进行比较可由看出，近似部分a

j1k

分别与序列h和g作卷积运算，即作滤波处理，

2n

2n

不同的是它们的下标顺序与常规的顺序不同。在式（31），（32）中卷积的形式为

k

h

2nk

ak

j1

、

k



g

2nk

ak

j1

。卷积h

nZ

kn

xn是

k

对所有的n值作卷积运算，或者说对k而言是全滤波，而





k

h

2nk

ak

j1

、

k



g

2nk

ak

j1

则是k对2n作卷积运算，缺少了n的奇

数部分，换句话说，卷积运算或滤波处理之后它们的序列仅为全滤波的一半，即n得奇数部分被抽去而剩下偶数部分，因而

k

h

2nk

ak

j1

、

k



g

2nk

ak

j1

作的事“半滤波”过程。滤波器H(w)

对应一低通滤波器，滤波器G(w)对应一高通滤波器。

仿真三相不对称电路

没补偿前以a相为例

检测出的谐波

采样时间是0.1，采样间隔为0.000086，频率为11630 用db10.分解6层

波形分别为a相补偿前的电流，a6为基波，d6,d5,d4,d3,d2,d1依次为对应的高次谐波。最后为a相谐波

APF用的滞环控制

基于小波变换的APF（用于三相不对称电路）

基于瞬时无功功率理论的电流检测方法被广泛应用于电力有源滤波器。仅适合对称的三相三线电路，不适合三相不对称，三相四线和单相电路。

小波理论分析

1.连续小波变换

小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图是一个Daubechies小波(db10)与正弦波的比较。

傅里叶变换与小波变换基元

正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形，它是傅里叶变换的基础。由图看出，小波是尖锐变化而且是无规则的波形，这是小波变化的基础。因此用小波能更好地刻画信号的局部特性。

在数学上，傅里叶变换的公式为F(w)



f(t)e

jwt

dt



积分是从到。图给出了傅里叶变换的示意图。由图看出，原始信号是由不同的频率成分构成的。

信号 不同频率分量的组成 信号傅里叶变换过程

连续小波变换（Continue Wavelet Transform）的数学表示式为

Wf(a,b)

f,a,b



R

f(t)(

tba

)



(t)a,b

(

tba

)

式中，(t)为小波；a为尺度因子；b为平移参数。图是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成的。

信号 不同尺度和不同位置小波的组成 信号小波变换示意图

小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下的“拉伸”或者“压缩”。图给出了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的位移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。

f(t)(t) a1

f(t)(2t)

a

12

不同尺度下小波形状 2.离散小波变换

f(t)(4t)

a

14

在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。

离散的目的是减少连续小波变换的信息冗余，同时又要保证反映出信号的特征信息。

通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作aa，bka

j0

j0

b0

j

，j,kZ，则相应的离散小

2

波函数为:

j

j,k(t)

a0

(

tka0b0

a0

j

j

)a0



(a0tkb0)

j

相应的离散小波变换为

:C其重构公式为f(t)CC







j,k







f(t)

j,k(t)

dtf,

j,k

j,k



j,k(t)

C是一个与信号无关的常数。 3. 二进制小波变换

上面是对尺度参数a和平移参数b进行离散化的要求。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即a

j

j

b01，2，

每个网格点对应的尺度为2，而平移为2k。由此得到的小波

j



j,k(t)

2

2

(2

j

tk)

j,kZ

二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数2，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一

j

步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小j值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大j值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。 二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量仍保持连续变化，因此，二进小波变换不破坏信号咋时间域上的平移不变量，这是它较之离散小波变换所具有的连续的独特优点。

时间域 频率域

短时傅里叶变换 小波变换

（1）小波变换示意图

4 . MALLAT算法滤波的基本原理

Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。

关于多分辨率分析的理解，以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图

三层多分辨率分析树结构图

从图可以明显看出，多分辨率分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频不予以考虑。分解具有关系：

SA3D3D2D1.这里只是以一个层分解进行说明，如果要进

行进一步的分解，则可以把低频部分A3分解成低频部分A4和

高频部分D4。以下再分解依次类推。 4.1康托尔（Cantor）间断集

设X

[0,1],则X0是一个长度等于

1的闭区间，现在将单

位长度等分，去掉中间长度为3的开区间(3,2)，剩下的是左、右各长度的闭区间，用X表示，则X

1

1

1

[0,][,1]

，

接着再把X中两个长度各为的区间三等分，去掉中间的3部分，其长度为

X2[0,3

2

33

2

的开区间，剩下的是

,73

2

X2

，则

][2

3

2

,3

3

2

][6

2

][3

2

,1]

，它是由2个长度等于

2

3

2

的闭区间所构成，如图所示。如此继续分割下去就得到

一个无穷嵌套序列X

3

k

X1X2X3

,其中X是由2个长度为

k

k

的闭区间所组成，这些集的交集用D表示，则

k0

DX0X1X2X3Xk

k

k

，这就是康托尔间断集。因为X是

k

由2个长度等于3的闭区间所组成，它的总长度等于2

2

k

k

3

k

。

所以D若是有长度的话，其长度等于如下极限：

lim

k

3

k



lim(2)

k

k

0

1

2

与闭区间同时存在的是开区间，记为W,W,.不难看出，康托尔间断集中任意两个不同的开区间即交集是空集，说明它们是相互正交的，即W

N

1

W2W3WN

W

k1

k

0

为了方便，称下标k为康托尔间断集的尺度。 4.2康托尔间断集与希尔伯特空间的对应关系

由图易将康托尔间断集与希尔伯特空间H联系起来，建立二者之间的对应关系。为此用H空间的子空间V表示康托

尔间断集中的X。每次去掉的部分用子空间W表示，而每次

k

剩余的部分用子空间V表示。显然，任意两个不同的开区间

k

Wi与W

j

的交集是，意味着它们彼此正交。同时V与V的交集

i

j

并不是，因此V与V并不正交，在尺度为1时，V分解为V与

i

j

01

W1的直和，即V0V1W1，W1就是V1在V0中的正交补空间，改变

尺度继续分割下去就有V

V1W1V2W2W1,可见，Wi就是

对V空间结构的细节补充。同时V就是在尺度i下对V的基本

i

特征的表现。

[V

0]

X0

[V1]

(W1)

[V1]

X1

[V2]

[V2]

(W

2)

[V2]

(W1)

[V

2]

X2

[V3]

(W

2)

[V3] [V3]

(W

2)

[V3] [V3]

(W1)

[V3]

(W

2)

[V3] [V

3]

X3

(W3)

(W3)

(W3)

(W3)

   

康托尔间断集与希尔伯特空间的关系 4.3康托尔间断集的性质

由图可以直观地看出，康托尔间断集有如下性质： 1.X

m

Xm1：即分辨率高的空间Xm1包含了分辨率低的空间Xm

全部信息。

2.

m

XmX0，Xm0，即limXm0。

m

m

00

3.如果f(t)X，则f(2t)X

m

m1

。

，即康托尔间断集对于函数f(t)的

4.若f(t)X，则f(tK2

m

m

)Xm

平移是不变的。 4.4 多分辨率分析

多分辨率分析的实质是满足一定条件L间，其定义如下： 在L

2

2

(R)

中的一系列子空

(R)空间中的多分辨率分析是指满足下列条件的一空间,jZ:

j

序列V

j

(1) 单调性：V

Vj1

，jZ;

j

(2) 渐进完全性：

VjL(R)，Vj0；

2

j



(3) 伸缩性：对任意jZ，f(x)V，则f(2x)V；

j

j1

(4) 平移不变性：f(x)V，则f(x2

j

j

k)Vj，kZ;

(5) 里兹（Riesz）基存在性：存在函数g(x)V，使得

g(xk),kZ构成V0的里兹基，即对任意的(x)V0，存在

唯一的序列a

4.4.1V

j

k

I

2

,使得(x)a

k

k

g(xk)。

(jZ)

空间的标准正交基（尺度函数的引入）

由里兹基得存在性，设(x)V，则

(x)

a

k

k

g(xk) (1)

其傅里叶变换为

(w)G(w)ake

kZ

jkw

G(w)M(w)

(2)

式中

M(w)

a

kZ

ek

jkw

在多分辨分析中，称(x)为尺度函数。由多分辨率分析的性质（3），可以得出V空间的标准正交基为2

j



j2

(2

j

xn)，

nZ

。尺度函数(x)与小波(x)在小波变换中起着重要作用，

尺度函数时构造小波的重要途径。 4.4.2V的正交补空间W的标准正交基

j

j

若(x)W，则(xn),nZ可构成W空间的标准正交基，

而由多分辨率分析的伸缩性，W空间的标准正交基为

j

2



j2

(2

j

xn)，nZ。

4.4.3尺度函数(x)的两尺度方程和H(w)的性质 尺度函数 当j0和1时有

0,n(xn)V0

2

j2

(2xn

j

，)j, nZ

但V

1

1,0

()V1 2

x

V0，所以可以用0,n展开，即

1,0

其中

hn

x

()2

x

h(xn) (3)

nn

(

R

2

)x(kdx)1,0,n

,

式(3)成为尺度函数的两尺度差分方程。将式(2.3)两边取傅里叶变换，

(2w)H(w)(w)

（4）

其中H(w)

he

nn

iwn

称为序列h的傅里叶变换。序列h或

n

n

者与之等价的H(w)完全决定了多分辨率分析。 4.4信号f(t)的多分辨率分析

将V空间与W空间结合起来，就相当于希尔伯特空间H

j

j

的正交分解，即

V0V1W1V2W2W1V3W3W2W1

实际测量的信号f(x)，只能得到有限的分辨率，假设对于尺度m，该尺度就对应着V，然后在W空间不断变换尺度

k

进行越来越细的分解，用公式表示如下：

N

V0V1W1V2W2W1V3W3W2W1VNW

k1

N

1

1

2

2

1

3

3

2

1

N

k

ffdfddfdddf

d

k1

4.5 滤波器脉冲系列h和y

k

k

设V为L

j

jZ

2

(R)的多分辨率逼近，由多分辨率理论有



VjWjVj1

VjVj1

WjVj1

j

（5）

j

(x)为尺度函数，令j(x)2(2

j

x)，则

j,n2

j

2

j(x2n)

j

j

nZ

j

（6）

j

是V的规范正交基。将正交基也可表示为

j

(x)2(2

x)代入式（6），Vj的规范

j,n2

(2

j

xn)

nZ

j

（7）

j

(x)为小波函数，令j(x)2(2x)，则

j



j,n

2

j(x2n)

j

j

nZ

j

（8）

j

是W的规范正交基。将

j

(x)2(2

x)代入式(8)，Wj的规范

正交基也可表示为 

j

j,n

2

j

2

(2

j

xn)

nZ

（9）

22(2jx)VjVj1

且 2j2(2jx)VjVj1 （10）





根据式（10），可以用 V空间的规范正交基表示 V空间的

j1

j

基函数，即

j

2

j(x2n)

j



k

j

2

j(x2n),2

j

j1

2

j1(x2

j1

j1

k)2

j1(x2

j1

k)

令j1，则由内积变成

2

2

1(x2n),0(xk)

n

（11）

k2n

这正是式(3)中定义的h，不过现在是h对任意j，上式均成立。所以有

j

。

2

j(x2n)

j

j

h

k

j1

2k2n

2

j1(x2

j1

k) （12）

将

j

(x)2(2

j

j

x)代入上式，就得到等价表示式 xn)

2

(2

j

h

k

j1

k2n

2

2

(2

(j1)

xk)

（13） （14）

j

hk2n2

2

(2

j

j1

xn),2

2

(2

(j1)

xk)

完全相似地可以得到小波函数的如下关系：

j2

2j(x2n)

j

g

k

j1

2k2n

2

j1(x2

j1

k) （15）

j

2

2

(2

j

xn)

g

k

j1

2k2n

2

(2

(j1)

xk)

（16） （17）

j

gk2n2

2

(2

j

j1

xn),2

(2

(j1)

xk)

脉冲系列h和y是马拉算法的基础。

k

k

4.6 二进正交小波分解的物理意义

由于

j,n

(x)

为规范的正交基，对不同的j，

j,n

(x)

是正交的。

所以由不同的j所确定的频带是相互独立的。随着j的变化，这些相互独立的频带覆盖了整个频率轴。从频谱分析角度看，二进正交小波变换DWT是 把信号分解到一系列相互独

j,n

立的频带上，分辨率j反映了频带的位置和带宽。 在多分辨率分析理论中，V标准正交基，正交投影D

j

j,n

j1

VjWj

，

j,n

(x)

是V空间的

jj

(x)

是W的标准正交基。信号f(x)在V空间的

j

f(x)

，称为f(x)在分辨率为j时的细节部分。显然，

，A

j1

Aj1f(x)Ajf(x)Djf(x)

f(x)

为在分辨率j1时的近似信号，

它是由分辨率为j时的近似部分与细节部分之和构成。 综上所述，对二进正交小波分解可表示为如下： （1）当分辨率为j时，W空间的标准正交基为2

j



j2

(2

j

xn)

，

nZ

，则



Djf(x)



n

f(u),2



j(2un)2

j



j2

(2

j

xn)

式中





n

dn

j

j,n

(x) （18）

j

dn

j

f(u),2



j(2un)

（19）



j,n

2



j(2

j

xn)

是带通的，所以D

j

f(x)

是由j所确定的带通频

带对信号f(x)的贡献，提供f(x)在分辨率为j时的细节部分，而正交展开系数d称为离散细节。

jn

(2) 当分辨率为j时，V空间的标准正交基为2

j



j(2

j

xn),

nZ

则



Ajf(x)



n



f(u),2



j2

(2un)2

j



j(2

j

xn)

式中

an

j





n

anj,n

j

（20）

j

f(u),2



j(2un)

（21）

它是相对

j,n

(x)

所确定带通频带的相邻低通频带对信号f(x)

的贡献，称为信号f(x)在分辨率为j时的近似部分，而是正交展开系数a称为离散近似。

jn

(3)

Aj1f(x)Ajf(x)Djf(x)

（22）

它是由j所确定的带通频带与比其低且相邻的低通频带之和的一段低通频带队信号f(x)的贡献，包含了信号的分辨率为j时的近似和细节。

下图说明了（22）的频带关系：

Aj1

和D分别是分辨率为j1时的近似部分和细节部分的频

j1j

j

j

带；而A和D分别是分辨率为j时的近似和细节部分频带。D是A中的高频部分，A是A中的低频部分。

j1

j

j1

式（2.22）的频带关系

4.7 MALLAT算法 4.7.1小波分解 根据V

2

jj1

VjWj



，V

2



j

Vj1

j

，W

j

Vj1

(j1)

，有

(j1)

(2

j

xn)



k

j2

(2un),2

2

(2

(j1)

uk)2

(2

(j1)

xk)

（23）

与

2

j

(2

j

xn)



k

2



j(j1)(j1)

(2un),2

j

(2

(j1)

uk)2

(2

(j1)

xk)

（24） 将式（14）和式（17）定义的h有

2

j2



(j1)

k2n

和g

k2n

代入式（23）和（24）

(2

j

xn)



k

hk2n2

2

(2

(j1)

xk) （25）

与

2

j2



(j1)

(2

j

xn)



k

gk2n2

2

(2

(j1)

xk) （26）

因此，由式（25）有

f(u),2

j2



(j1)

(2un)

j



kj1

hk2n

f(u),2

2

(2

(j1)

uk)

（27）

即



an

j



k

hk2nak

（28）

由式（26）有

f(u),2

j

(j1)

(2un)

j



k

gk2n

f(u),2

(2

(j1)

uk)

（29）

即 令



dn

j



k

gk2nak

j1

（30）

hnhn

，g

n

gn

则式（28）与式（30）



an

j



k

h

2nk

ak

j1

（31） （32）

dn

j



k

g

2nk

ak

j1

上面两式就是小波分解的马拉算法。图表示小波分解的马拉算法，2表示2抽样，即从a

j1k

到a和d，样点数减少一半。

j

j

k

k

小波分解的马拉算法

4.7.2小波重构 根据V

j1

VjWj

j1

，2

(j12

(2

(j1)

xn)Vj1，及Vj与Wj两个正交

基之和就是V的正交基，有

(j1)

2



2

(2

j2

(j1)

xn)

(j1)

j







k

22

j



(2uk),2

(j1)

j

2

(2

(j1)

un)2

j

(2

j

xk)

（33）

2



k

2

(2uk),2

j

(2

(j1)

un)2(2

j

xk)

与小波分解马拉算法推导相同，引入系数h和g，上式化简

n

n

为

f(u),2

(j1)

(2

(j1)

u

n)



j



j





k

hn2k

f(u),2

2

(2uk)

j



k

gn2k

f(u),2

2

(2uk)

j

（34）

即





an

j1





k

hn2kak

j



k

gn2kdk

j

（35）

上式即为小波重构的马拉算法。图为这种算法的示意图，

2表示内插，即有ak

j

和d到a

jk

j1k

，样点数增加一倍。

小波重构的马拉算法示意

如果从信号处理的观点来看，小波分解与重构算法，实质上是一种滤波处理过程。

根据信号处理理论，如果一个线性系统的脉冲响应为

h(t)，则该线性系统对信号x(t)的响应可由卷积运算来表示

y(t)h(t)*x(t)





h()x(t)dtd

（36）

式 （36）代表了系统对输入信号的滤波处理，由卷积定理得频域关系

Y(w)H(w)X(w)

（37）

这种滤波处理将包括三种情形：①低通滤波，即H(w)0，

ww0

；②高通滤波，即H(w)0，w

及

w1

；③带通滤波，即

2

H(w)0，ww0

ww1。将其用于离散信号xnnZl(Z)

处理

有

ykhk*xk

h

nZ

kn

xn

（38）

式（38）与式（31），（32）进行比较可由看出，近似部分a

j1k

分别与序列h和g作卷积运算，即作滤波处理，

2n

2n

不同的是它们的下标顺序与常规的顺序不同。在式（31），（32）中卷积的形式为

k

h

2nk

ak

j1

、

k



g

2nk

ak

j1

。卷积h

nZ

kn

xn是

k

对所有的n值作卷积运算，或者说对k而言是全滤波，而





k

h

2nk

ak

j1

、

k



g

2nk

ak

j1

则是k对2n作卷积运算，缺少了n的奇

数部分，换句话说，卷积运算或滤波处理之后它们的序列仅为全滤波的一半，即n得奇数部分被抽去而剩下偶数部分，因而

k

h

2nk

ak

j1

、

k



g

2nk

ak

j1

作的事“半滤波”过程。滤波器H(w)

对应一低通滤波器，滤波器G(w)对应一高通滤波器。

仿真三相不对称电路

没补偿前以a相为例

检测出的谐波

采样时间是0.1，采样间隔为0.000086，频率为11630 用db10.分解6层

波形分别为a相补偿前的电流，a6为基波，d6,d5,d4,d3,d2,d1依次为对应的高次谐波。最后为a相谐波

APF用的滞环控制