初等函数在定义域中连续
一. 连续的定义
二．常见的初等函数举例
三．以上所举初等函数是否在定义域中连续
并举例证明几个初等函数的连续性
四．以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）
是否有连续性并举例证明
五．我们从中得到的定理
一．连续的定义
（一）设函数f 在某U （X0）内有定义，若lim f(x)=f(x0)，则称f 在点X0连续 X X 0
（二）即函数在定义域中每一点满足
1． 左极限 和 右极限 存在
2． 左极限等于右极限
3． 左极限与右极限等于这一点的函数值
二．常见的初等函数举例
（一）概念
初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数
(logarithmic function) 、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function) 与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。
英文：elementary function
它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。初等函数在其定义区间内连续。
（二）实例介绍
1． 常数函数
对定义域中的一切x 对应的函 数值都取某个固定常数 的函数。
2． 指数函数 形如y ＝
a^x的函数，式中a 为不等于1的正常数。
3． 幂函数
形如y ＝x^a的函数，式中a 为实常数 。
4． 对数函数
X 指数函数的反函数，记作log a ，式中a 为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之
间成 立关系式，log aX
a =X。
5． 三角函数
即正弦函数y ＝sinx ，余弦函数y ＝cosx ，正切函数y ＝tanx ，余切函数y ＝cotx ，正割函数y ＝secx ，余割 函数y ＝cscx 。
6． 反三角函数
三角函数 的反函数 ——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反 余 弦函数 y ＝arc cosx （－
1≤x≤1，
初等函数
0≤y≤π） ，反 正 切 函数 y=arc tanx ， 反余切函数 y ＝ arc cotx（－∞ ＜x ＜＋∞ ，θ＜y ＜π ） 等 。 以上这些函数常统称为基本初等函数。
双曲正弦或超正弦sinh x =(e^x- e^（-x) ）/2
双曲余弦或超余弦cosh x =(e^x + e^(－x))/2
双曲正切tanh x =sinh x / cosh x
双曲余切coth x = 1 / tanh x
双曲正割sech x = 1 / cosh x
双曲余割csch x = 1 / sinh x
一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如 ，三角函数 y ＝sinx 可以用无穷级数表为 初等函数可以按照解析表达式分类为： 初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等
（三）基本初等函数的范围
包括代数函数和超越函数。基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。
实变量初等函数 定义域为实数域的初等函数。 有理函数 实系数多项式称为整有理函
数。其中最
初等函数
简单的是线性函数 y=α0+α1x，它的图形是过y 轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图形为抛物线。两个整有理函数之比 (1)称为分式有理函数。其中最简单的是其图形为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。 求有理函数的反函数则可产生代数函数。如y=xn的反函数为 三角函数和反三角函数 这是起源于几何学的最简单的超越函数。高等分析学中计量角度的方法是所谓弧度法, 即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。三角函数是sinx 、cosx 以及由它们导出的 和它们的定义如图1所示。sinx 和cosx 在 x=0处的泰勒展式为 (2) (3)它们的收敛半径为。sinx 、cosx 、tanx 、cotx 、secx 、cosecx 的反函数分别为 arcsinx 、 arccosx 、 arctanx 、
arccotx 、arcsecx 、arccosecx(或记为sin-1x 、 cos-1x 、tan-1x 、cot-1x 、sec-1x 、cosec-1x),
初等函数图形
并称为反三角函数。 指数函数和对数函数 设α为一正数，则y=αz表示以α为底的指数函数（图2）。其反函数y ＝logαx称为以α为底的对数函数(图3) 。特别当α=e时称y=ez（或expx ）和y=logαx=lnx（或logx ）为指数函数和对数函数。logx 能由下面的积分式定义它表示由双曲线 、下由t 轴、左右分别由t=1和t=x两直线所围的面积。由此可知当x 在正实轴上变化时，y=logx取值在实轴上，且log1=0。它是x 的增函数, 导数。此外logx 满足加法定理，即log(x1·x2)=logx1+logx2。初等函数 初等函数 对数函数的反函数指数函数ex 是定义在实轴上取值于正实数的增函数，且 e0＝1。 ex 的导数与它本身相同。此外ex 满
足乘法定理，即 。ex 在x=0处的泰勒展式为。 (4) 双曲函数和反双曲函数 由指数函数
经有理运算可导出双曲函
初等函数
数。其性质与三角函数很相似，并以 sinhx 、coshx 、tanhx 、cothx 、sechx 、cosechx 表示之，其定义如下：分别称为双曲正弦（图4）和双曲余弦（图5）。像三角函数一样，由它们导出的双曲正切（图6）tanhx=sinhx/coshx，双曲余切（图7）cothx ＝coshx/sinhx等都称为双曲函数。它们有如下的几何解释，即双曲线x2-y2=1(x>0)上取一点M, 又令O 为原点,N ＝(1,0)，将ON,OM 和双曲线上的弧所围面积记为θ/2，点M 的坐标视为θ的函数, 并记为coshθ和sinh θ，即有表示式(5)。初等函数 初等函数 初等函数 初等函数 复变量初等函数 定义域为复数域的初等函数。 有理函数、幂函数和根式函数 两个复系数的多项式之比为有理函数, 它实现扩充的复平面到自身的解析映射。分式线性函数 是一个特殊的有理函
数，它在复分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数w ＝zn ，n 是自然数,
初等函数
它在全平面是解析的, 且。因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现共形映射（保角映射）。它将圆周丨z 丨= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw ＝nθ。任何一个区域, 只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n,它就是w ＝zn 的单叶性区域。幂函数 w ＝zn 的反函数为根式函数, 它有n 个值,(k=0，1,…,n-1), 称为它的分支。它们在任何区域θ1z
实现共形映射。任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是ez 的单叶性区域。例如, 指数函数把直线x=x0变为圆周, 把直线y=y0变为射线argw ＝y0，因而把区域Sk 变为区域 0w
象实对数函数一样，它满足加法定理，即对任两个不为零的复数z1和z2，有。
初等函数
一般幂函数 对于复数α,幂函数zα定义为。一般来说, 它是多值函数。特别当α=n 是正整数时, 它就是幂函数w ＝zn ；当 ，n 为正整数，它就是根式函数 。 三角函数、反三角函数、双曲函数 这些函数是作为相应的实变量函数的解析开拓而得。例如将(2)和(3)式中变量x
换为复变量 z ，则得到sinz 和 cosz ，它们是整函数。
初等函数
tan z=sinz/cosz, cotz=cosz/sinz 等是z 的亚纯函数。它们具有实三角函数的很多类似性质：周期性、微商性质、三角恒等式等。但丨sinz 丨≤1,丨cosz 丨≤1不是对任何z 都成立。由于三角函数与指数函数密切联系, 因此应用时很方便。sin z的单叶性区域可取，，或。它将 Gk 单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段【-1，1】和负虚轴后得到的区域；它将Rk 单叶地并共形地映为全平面除去实轴上两条射线(-,-1】和【1,) 后得到的区域。类似地可以指出cosz 的单叶性区域。 w ＝Arcsinz,w ＝Arccosz,w ＝Arctanz 分别是 sinz,cosz 和tanz 的反函数，并称为反三角函数。它们能由对数函数合成，即可表为，，等，它们都是多值函数。在适当的区域中确定了单值解析分支后，就有,, 等。像实双曲函数一样，由指数函数能合成
双曲函数，, 等为双曲函数。由定义它们与三角函数有下面的关系：。并因此有。此外。 w ＝Arcsinhz,w ＝Arccoshz 分别是sinhz 和coshz 的反函数, 并称为反双曲函数。它们能由对数函数合成, 即可表为，。 一般初等函数的导数还是初等函数，但初等函数的不定积分不一定是初等函数。另外初等函数的反函数不一定是初等函数。
三．以上所举初等函数是否在定义域中连续
并证明几个初等函数的连续性
1．常数函数
显然，在其定义域中，常数函数是连续的。
在其定义域上每一点都满足连续函数的性质。
左极限与右极限相等且等于函数值。
2． 指数函数
举例：a x 的连续性证明。（a>1）
证明：由lim a x =1= a 0， x →0
这表明a 在x=0连续。现任取x 0∈R 。可以知道：
a =a x x 0+(x -x 0) x =a x 0∙a x -x 0
令t= x -x 0， 则当x →x 0时有t →0，从而有
lim a =lim a 0a x →x 0x →x 0x x x -x 0=a x 0lim a t =a x 0 t →0
这就证明了a 在任一点x 0连续。 x
3．幂函数
幂函数x a （a 为实数）可表为x a =e aInx ，它是函数e u 与u =aInx 的复合，故由指数函数与对数函数（下证）的连续性以及复合函数的连续性（下证），推得幂函数y =x 在其定义域（0，+ ∞）上连续。 a
4. 对数函数
由反函数的连续性得知，又指数函数是连续的，所以，作为指数函数的反函数，对数函数在其定义域上也连续。
5．三角函数
由三角函数图像可以组略得知其连续性。
6．反三角函数
由反函数的连续性可知，作为三角函数的反函数，反三角函数也是连续的。
四．以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）是否有连续性并举例证明 是具有连续性的。
举例：设lim u (x ) =a >0, lim v (x ) =b 。证明lim u (x ) v (x ) =a b x →x 0x →x 0x →x 0
证明：补充定义u (x 0) =a , v (x 0) =b , 则u(x),v(x)在点x 0连续，从而v(x) In u(x) 在x 0连续，
所以u (x ) v (x ) =e v (x ) Inu (x ) 在x 0连续。由此得：
x →x 0lim u (x ) v (x ) =lim e v (x ) Inu (x ) =e bIna =a b x →x 0
五．我们从中得到的定理
1．一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数
2．任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
初等函数在定义域中连续
一. 连续的定义
二．常见的初等函数举例
三．以上所举初等函数是否在定义域中连续
并举例证明几个初等函数的连续性
四．以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）
是否有连续性并举例证明
五．我们从中得到的定理
一．连续的定义
（一）设函数f 在某U （X0）内有定义，若lim f(x)=f(x0)，则称f 在点X0连续 X X 0
（二）即函数在定义域中每一点满足
1． 左极限 和 右极限 存在
2． 左极限等于右极限
3． 左极限与右极限等于这一点的函数值
二．常见的初等函数举例
（一）概念
初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数
(logarithmic function) 、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function) 与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。
英文：elementary function
它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。初等函数在其定义区间内连续。
（二）实例介绍
1． 常数函数
对定义域中的一切x 对应的函 数值都取某个固定常数 的函数。
2． 指数函数 形如y ＝
a^x的函数，式中a 为不等于1的正常数。
3． 幂函数
形如y ＝x^a的函数，式中a 为实常数 。
4． 对数函数
X 指数函数的反函数，记作log a ，式中a 为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之
间成 立关系式，log aX
a =X。
5． 三角函数
即正弦函数y ＝sinx ，余弦函数y ＝cosx ，正切函数y ＝tanx ，余切函数y ＝cotx ，正割函数y ＝secx ，余割 函数y ＝cscx 。
6． 反三角函数
三角函数 的反函数 ——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反 余 弦函数 y ＝arc cosx （－
1≤x≤1，
初等函数
0≤y≤π） ，反 正 切 函数 y=arc tanx ， 反余切函数 y ＝ arc cotx（－∞ ＜x ＜＋∞ ，θ＜y ＜π ） 等 。 以上这些函数常统称为基本初等函数。
双曲正弦或超正弦sinh x =(e^x- e^（-x) ）/2
双曲余弦或超余弦cosh x =(e^x + e^(－x))/2
双曲正切tanh x =sinh x / cosh x
双曲余切coth x = 1 / tanh x
双曲正割sech x = 1 / cosh x
双曲余割csch x = 1 / sinh x
一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如 ，三角函数 y ＝sinx 可以用无穷级数表为 初等函数可以按照解析表达式分类为： 初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等
（三）基本初等函数的范围
包括代数函数和超越函数。基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。
实变量初等函数 定义域为实数域的初等函数。 有理函数 实系数多项式称为整有理函
数。其中最
初等函数
简单的是线性函数 y=α0+α1x，它的图形是过y 轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图形为抛物线。两个整有理函数之比 (1)称为分式有理函数。其中最简单的是其图形为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。 求有理函数的反函数则可产生代数函数。如y=xn的反函数为 三角函数和反三角函数 这是起源于几何学的最简单的超越函数。高等分析学中计量角度的方法是所谓弧度法, 即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。三角函数是sinx 、cosx 以及由它们导出的 和它们的定义如图1所示。sinx 和cosx 在 x=0处的泰勒展式为 (2) (3)它们的收敛半径为。sinx 、cosx 、tanx 、cotx 、secx 、cosecx 的反函数分别为 arcsinx 、 arccosx 、 arctanx 、
arccotx 、arcsecx 、arccosecx(或记为sin-1x 、 cos-1x 、tan-1x 、cot-1x 、sec-1x 、cosec-1x),
初等函数图形
并称为反三角函数。 指数函数和对数函数 设α为一正数，则y=αz表示以α为底的指数函数（图2）。其反函数y ＝logαx称为以α为底的对数函数(图3) 。特别当α=e时称y=ez（或expx ）和y=logαx=lnx（或logx ）为指数函数和对数函数。logx 能由下面的积分式定义它表示由双曲线 、下由t 轴、左右分别由t=1和t=x两直线所围的面积。由此可知当x 在正实轴上变化时，y=logx取值在实轴上，且log1=0。它是x 的增函数, 导数。此外logx 满足加法定理，即log(x1·x2)=logx1+logx2。初等函数 初等函数 对数函数的反函数指数函数ex 是定义在实轴上取值于正实数的增函数，且 e0＝1。 ex 的导数与它本身相同。此外ex 满
足乘法定理，即 。ex 在x=0处的泰勒展式为。 (4) 双曲函数和反双曲函数 由指数函数
经有理运算可导出双曲函
初等函数
数。其性质与三角函数很相似，并以 sinhx 、coshx 、tanhx 、cothx 、sechx 、cosechx 表示之，其定义如下：分别称为双曲正弦（图4）和双曲余弦（图5）。像三角函数一样，由它们导出的双曲正切（图6）tanhx=sinhx/coshx，双曲余切（图7）cothx ＝coshx/sinhx等都称为双曲函数。它们有如下的几何解释，即双曲线x2-y2=1(x>0)上取一点M, 又令O 为原点,N ＝(1,0)，将ON,OM 和双曲线上的弧所围面积记为θ/2，点M 的坐标视为θ的函数, 并记为coshθ和sinh θ，即有表示式(5)。初等函数 初等函数 初等函数 初等函数 复变量初等函数 定义域为复数域的初等函数。 有理函数、幂函数和根式函数 两个复系数的多项式之比为有理函数, 它实现扩充的复平面到自身的解析映射。分式线性函数 是一个特殊的有理函
数，它在复分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数w ＝zn ，n 是自然数,
初等函数
它在全平面是解析的, 且。因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现共形映射（保角映射）。它将圆周丨z 丨= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw ＝nθ。任何一个区域, 只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n,它就是w ＝zn 的单叶性区域。幂函数 w ＝zn 的反函数为根式函数, 它有n 个值,(k=0，1,…,n-1), 称为它的分支。它们在任何区域θ1z
实现共形映射。任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是ez 的单叶性区域。例如, 指数函数把直线x=x0变为圆周, 把直线y=y0变为射线argw ＝y0，因而把区域Sk 变为区域 0w
象实对数函数一样，它满足加法定理，即对任两个不为零的复数z1和z2，有。
初等函数
一般幂函数 对于复数α,幂函数zα定义为。一般来说, 它是多值函数。特别当α=n 是正整数时, 它就是幂函数w ＝zn ；当 ，n 为正整数，它就是根式函数 。 三角函数、反三角函数、双曲函数 这些函数是作为相应的实变量函数的解析开拓而得。例如将(2)和(3)式中变量x
换为复变量 z ，则得到sinz 和 cosz ，它们是整函数。
初等函数
tan z=sinz/cosz, cotz=cosz/sinz 等是z 的亚纯函数。它们具有实三角函数的很多类似性质：周期性、微商性质、三角恒等式等。但丨sinz 丨≤1,丨cosz 丨≤1不是对任何z 都成立。由于三角函数与指数函数密切联系, 因此应用时很方便。sin z的单叶性区域可取，，或。它将 Gk 单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段【-1，1】和负虚轴后得到的区域；它将Rk 单叶地并共形地映为全平面除去实轴上两条射线(-,-1】和【1,) 后得到的区域。类似地可以指出cosz 的单叶性区域。 w ＝Arcsinz,w ＝Arccosz,w ＝Arctanz 分别是 sinz,cosz 和tanz 的反函数，并称为反三角函数。它们能由对数函数合成，即可表为，，等，它们都是多值函数。在适当的区域中确定了单值解析分支后，就有,, 等。像实双曲函数一样，由指数函数能合成
双曲函数，, 等为双曲函数。由定义它们与三角函数有下面的关系：。并因此有。此外。 w ＝Arcsinhz,w ＝Arccoshz 分别是sinhz 和coshz 的反函数, 并称为反双曲函数。它们能由对数函数合成, 即可表为，。 一般初等函数的导数还是初等函数，但初等函数的不定积分不一定是初等函数。另外初等函数的反函数不一定是初等函数。
三．以上所举初等函数是否在定义域中连续
并证明几个初等函数的连续性
1．常数函数
显然，在其定义域中，常数函数是连续的。
在其定义域上每一点都满足连续函数的性质。
左极限与右极限相等且等于函数值。
2． 指数函数
举例：a x 的连续性证明。（a>1）
证明：由lim a x =1= a 0， x →0
这表明a 在x=0连续。现任取x 0∈R 。可以知道：
a =a x x 0+(x -x 0) x =a x 0∙a x -x 0
令t= x -x 0， 则当x →x 0时有t →0，从而有
lim a =lim a 0a x →x 0x →x 0x x x -x 0=a x 0lim a t =a x 0 t →0
这就证明了a 在任一点x 0连续。 x
3．幂函数
幂函数x a （a 为实数）可表为x a =e aInx ，它是函数e u 与u =aInx 的复合，故由指数函数与对数函数（下证）的连续性以及复合函数的连续性（下证），推得幂函数y =x 在其定义域（0，+ ∞）上连续。 a
4. 对数函数
由反函数的连续性得知，又指数函数是连续的，所以，作为指数函数的反函数，对数函数在其定义域上也连续。
5．三角函数
由三角函数图像可以组略得知其连续性。
6．反三角函数
由反函数的连续性可知，作为三角函数的反函数，反三角函数也是连续的。
四．以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）是否有连续性并举例证明 是具有连续性的。
举例：设lim u (x ) =a >0, lim v (x ) =b 。证明lim u (x ) v (x ) =a b x →x 0x →x 0x →x 0
证明：补充定义u (x 0) =a , v (x 0) =b , 则u(x),v(x)在点x 0连续，从而v(x) In u(x) 在x 0连续，
所以u (x ) v (x ) =e v (x ) Inu (x ) 在x 0连续。由此得：
x →x 0lim u (x ) v (x ) =lim e v (x ) Inu (x ) =e bIna =a b x →x 0
五．我们从中得到的定理
1．一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数
2．任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数