归纳法证明不等式

由于lnx>0 则x>1

设f(x)=x-lnx f'(x)=1-1/x>0

则f(x)为增函数 f(x)>f(1)=1

则 x>lnx

则可知道等式成立。。。。。。。。。(运用的是定理，f(x),g(x)>0. 且连续又f(x)>=g(x).则在相同积分区间上的积分也是>=)

追问

请问这个“定理”是什么定理?

我是学数学分析的，书上能找到么?

回答

能你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。。。。

叫做积分不等式性

数学归纳法不等式的做题思路： 1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明

2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。(含分母的一般用放缩法，含根号的常用分母有理化。)

3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。这题大于号应该为小于号。当n=1,1<2显然假设n=k-1的时候成立即 1+ 1/√2 +1/√3 +... +1/√(k -1)<2√(k-1) 则当n=k时，

1+ 1/√2 +1/√3 +...... +1/√(k-1)+1/√k<2√(k-1)+1/√k如果有2√(k-1)+1/√k<2√k就可，只要1/√k<2√k-2√(k -1)=2(√k-√(k -1)=2/[(√k+√(k -1)]，即只要√(k -1<√k,而这显然。所以1+ 1/√2 +1/√3 +...... +1/√n >2√n

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n属于正整数),求证:当n>1时,f(2^n)>n+2/2

(1)n=2时代入成立

(2)假设n=a时候成立

则n=a+1时

f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>

f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))

后面相同项一共有2^a个

所以上面又= f(2^a)+2^a/(2^(a+1))= f(2^a)+1/2

因为f(2^a)>(a+2)/2 故上面大于<(a+1)+2>/2

因此n=a时上式成立的话 n=a+1也成立

1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈N+)

“1/2^2”指2的平方分之1

证明：数学归纳法：

1、∵当n=2时有1/2^2=1/4<1-1/2=1/2

∴符合原命题。

2、假设当n=k时1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k(k≥2，k∈N+)成立，

则当n=k+1时有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2<1-1/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/(k(k+1)^2)<(k^3+k^2)/(k(k+1)^2)=k/(k+1)=1-1/(k+1) ∴原命题成立

综上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈N+)成立!!。