绝对值专题
绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：
⎧a(a>0)⎪
l．去绝对值的符号法则：a=⎨0(a=0)
⎪-a(a
2．绝对值基本性质 ①非负性：②
a≥0；
；
=a⋅b
③
aa
=(b≠0)； bb
a=a2=a2；
2
④⑤⑥
a+b≤a+b
；
．
a-b≤a-b≤a+b
3．绝对值的几何意义
从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；a-b表示数a、数b的两点间的距离．
例题讲解
【例1】(1)已知a=1，b=2，c=3，且a>b>c，那么a+b-c＝ ． (2)已知a、b、c、d是有理数，a-b≤9，c-d≤16，且a-b-c+d=25，那么
b-a-d-c=．
（3）已知x=5，y=1，那么x-y-x+y=_________．
（4）非零整数m、n满足m+n-5=0，所有这样的整数组(m,n)共有______组．
思路点拨 (1)由已知条件求出a、b、c的值，注意条件a>b>c的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对x，y的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手． 【例2】 如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么
abcabc
+++的所有abc
可能的值为( )．
A．0 B． 1或-1 C．2或-2 D．0或-2
思路点拨 根据a、b的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． 【例3】已知ab-2与b-互为相反数，试求代数式：
1111
的值． +++L+
ab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)(a+2015)(b+2015)
思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a、b的值．
【例4】化简
(1)2x-1； (2)x-+x-3； (3)x-1-2+x+1．
2x-1
轴上表示出来，就x
【例5】已知a为有理数，那么代数式a-+a-2+a-3+a-4 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．
思路点拨 a在有理数范围变化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．
链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段常用性质： (1)
a、a2n是非负数的两种重要形式，非负数有如下
a≥0，即非负数有最小值为0；
(2)若
a+b+ +h=0，则a=b= =h=0
②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．
【例6】已知(x++x-2)(y-2+y+)(z-+z+)=36，求x+2y+3z的最大值和最小值．
思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．
基础训练 1．若有理数x、y满足2015(x-1)+x-12y+=0，则x+y= 2．已知a=5，b=3，且a-b=b-a，那么a+b= ．
2
22
3．已知有理数a、b、c在数轴上的对应位置如图所示：
则c-+a-c+a-b化简后的结果是 ．
4．若a、b为有理数，那么，下列判断中：(1)若a=b，则一定有a=b； (2)若a>b，则一定有a>b； (3)若a>b，则一定有a>b；(4)若a=b，则一定有
a2=(-b)2．正确的是填序号) ．
5．已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，1，-1，那么a+表示( )． A．A、B两点的距离 B．A、C两点的距离
C．A、B两点到原点的距离之和 D． A、C两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知a是任意有理数，则-a-a的值是( )．
A．必大于零 B．必小于零 C必不大于零 D．必不小于零
7．若a+b+与(a-b+1)2互为相反数，则a与b的大小关系是( )． A．a>b B．a=b C．a
8．如图，有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，b-2a，b-a，a-b，
a+2，-b-4中，负数共有（ ） A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．化简：(1)3x-2+2x+3； (2)x-1-3+3x+． 10．求满足a-b+ab=1的非负整数对(a,b)的值．
11．若x
4a-ab+b，那么2＝ ． 5a+ab+1
14．设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a≤b≤c，则
a-b+b-c+c-a可能取得的最大值是 ．
15．使代数式
3x-x4x
的值为正整数的x值是( )．A．正数 B．负数 C．零 D．不存在的
16．如果2a+b=0，则
aa
-1+-2等于（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 bb
17．如果0
0，则
b+cc+aa+b
的值是（ ）． ++
abc
A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1 19．有理数a、b、c均不为零，且a+b+c=0，设x=
ab+c
+
bc+a
+
ca+b
，
试求代数式x
19
-99x+2002的值．
20．若a、b、c为整数，且a-b
19
+c-a
99
=1，求c-a+a-b+b-c的值．
21．已知x≤1,y≤1，设M=x+y+y++2y-x-4，求M 的最大值与最小值．
22．已知x1-+x2-2+x3-3+ +x2002-+x2003-=0， 求代数式21-2
x
x2
- -2x2002+2x2003的值．
答案： 1.
37
2.-2或-8 3.1-2c+b 4.(4) 5.D 6.D 7.C 8.A 36
⎧-4x-3⎪3⎧⎪-2x+1
⎪-5x-1(x
9.(1)原式=⎨-x+5(-≤x
23⎪⎪
⎪2x+52⎪
5x+1(x≥)⎪⎪3⎩⎪4x-3
⎪⎩
(x
(-2≤x
3
1
(-≤x
(1≤x
⎧|a-b|=1⎧|a-b|=0
10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得⎨ 或⎨
ab=0ab=1⎩⎩
11.-2-x、-1 12.x
4422
提示:ab=-b=-│b│=- 14.16 15.D
2525
16.B 提示:原式=
|a-2|a||+||a|+4a|
17.C 18.B
2|a|
19.提示:a、b、c中不能全同号,必一正二负或二正一负,
得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),
abc=-1, =-1, =-1, b+cc+aa+b|a||b||c|所以,, 中必有两个同号,另一个符号与其相反,•
b+cc+aa+b
即
即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a、b、c都为整数,则a-b、c-a均为整数,
则│a-b│、│c-a•│为两个非负整数,│a-b│19+│c-a│99=1, 只能│a-b│19=0且│c-a│99=1…………① 或│a-b│19=1且│c-•a│99=0……………②, 由①得a=b,且│c-a│=1,│b-c│=│c-a│=1; 由②得c=a,且│a-b│=1,•│b-c│=│a-b│=1, 无论①或②,都有│a-b│+│c-a│=1,且│b-c│=1, 故│c-a│+•│a-b│+│b-c│=2.
21.提示:-1≤x≤1,-1≤y≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,
当x+y≤0时,•M=5-2y,得3≤M≤7; 当x+y≥0时,M=2x+5,得3≤M≤7;
又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7, 故M的最大值为7,最小值为3. 22.由题意得:x1=1,x2=2,… ,x2003=2003,
原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2
提高训练
1．计算：
111111
-+---=______． 324342
2．代数式x++x-12+x+的最小值为______．
3．已知a
4．若a、b、c、d为互不相等的有理数，且a-c=b-c=d-b=1那么a-d=___． 5．设a是有理数，则a-a的值（ ）．
A．可以是负数 B．不可能是负数 C．必是正数 D．可以是正数，也可以是负数 6．已知m=-m，化简m--m-2所得的结果是________． 7．若a=3，b=5，那么a+b-a-b的绝对值等于________． 8．有理数a、b、c的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（ ）． A．a+b+c>0 B．a+bc-a
9．已知x=
aa
bb
cc
abc
+++，且a、b、c都不等于0，求x的所有可能值．
10．已知a、b、c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc
值为______．
11．若有理数m、n、p满足
abc++的abc
mm
+
nn
+
pp
=1，则
2mnp
=______．
3m12．设a、b、c是不为零的有理数，那么x=
abc
． +-的值有（ ）
abc
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
13．如图，已知数轴上的点A、B、C所对应的数a、b、c都不为零，且C是AB的中点．如
果a+b-a-2c+b-2c-a+b-2c=0，那么原点O的位置在（ ）． A．线段AC上 B．线段CA的延长线上 C．线段BC上 D．线段CB的延长线上
14．若x
15．已知a、b、c、d是有理数，a-b≤9，c-d≤16，且a-b-c+d=25，求
b-a-d-c的值．
16．在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006
次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由．
绝对值专题
绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：
⎧a(a>0)⎪
l．去绝对值的符号法则：a=⎨0(a=0)
⎪-a(a
2．绝对值基本性质 ①非负性：②
a≥0；
；
=a⋅b
③
aa
=(b≠0)； bb
a=a2=a2；
2
④⑤⑥
a+b≤a+b
；
．
a-b≤a-b≤a+b
3．绝对值的几何意义
从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；a-b表示数a、数b的两点间的距离．
例题讲解
【例1】(1)已知a=1，b=2，c=3，且a>b>c，那么a+b-c＝ ． (2)已知a、b、c、d是有理数，a-b≤9，c-d≤16，且a-b-c+d=25，那么
b-a-d-c=．
（3）已知x=5，y=1，那么x-y-x+y=_________．
（4）非零整数m、n满足m+n-5=0，所有这样的整数组(m,n)共有______组．
思路点拨 (1)由已知条件求出a、b、c的值，注意条件a>b>c的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对x，y的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手． 【例2】 如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么
abcabc
+++的所有abc
可能的值为( )．
A．0 B． 1或-1 C．2或-2 D．0或-2
思路点拨 根据a、b的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． 【例3】已知ab-2与b-互为相反数，试求代数式：
1111
的值． +++L+
ab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)(a+2015)(b+2015)
思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a、b的值．
【例4】化简
(1)2x-1； (2)x-+x-3； (3)x-1-2+x+1．
2x-1
轴上表示出来，就x
【例5】已知a为有理数，那么代数式a-+a-2+a-3+a-4 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．
思路点拨 a在有理数范围变化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．
链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段常用性质： (1)
a、a2n是非负数的两种重要形式，非负数有如下
a≥0，即非负数有最小值为0；
(2)若
a+b+ +h=0，则a=b= =h=0
②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．
【例6】已知(x++x-2)(y-2+y+)(z-+z+)=36，求x+2y+3z的最大值和最小值．
思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．
基础训练 1．若有理数x、y满足2015(x-1)+x-12y+=0，则x+y= 2．已知a=5，b=3，且a-b=b-a，那么a+b= ．
2
22
3．已知有理数a、b、c在数轴上的对应位置如图所示：
则c-+a-c+a-b化简后的结果是 ．
4．若a、b为有理数，那么，下列判断中：(1)若a=b，则一定有a=b； (2)若a>b，则一定有a>b； (3)若a>b，则一定有a>b；(4)若a=b，则一定有
a2=(-b)2．正确的是填序号) ．
5．已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，1，-1，那么a+表示( )． A．A、B两点的距离 B．A、C两点的距离
C．A、B两点到原点的距离之和 D． A、C两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知a是任意有理数，则-a-a的值是( )．
A．必大于零 B．必小于零 C必不大于零 D．必不小于零
7．若a+b+与(a-b+1)2互为相反数，则a与b的大小关系是( )． A．a>b B．a=b C．a
8．如图，有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，b-2a，b-a，a-b，
a+2，-b-4中，负数共有（ ） A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．化简：(1)3x-2+2x+3； (2)x-1-3+3x+． 10．求满足a-b+ab=1的非负整数对(a,b)的值．
11．若x
4a-ab+b，那么2＝ ． 5a+ab+1
14．设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a≤b≤c，则
a-b+b-c+c-a可能取得的最大值是 ．
15．使代数式
3x-x4x
的值为正整数的x值是( )．A．正数 B．负数 C．零 D．不存在的
16．如果2a+b=0，则
aa
-1+-2等于（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 bb
17．如果0
0，则
b+cc+aa+b
的值是（ ）． ++
abc
A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1 19．有理数a、b、c均不为零，且a+b+c=0，设x=
ab+c
+
bc+a
+
ca+b
，
试求代数式x
19
-99x+2002的值．
20．若a、b、c为整数，且a-b
19
+c-a
99
=1，求c-a+a-b+b-c的值．
21．已知x≤1,y≤1，设M=x+y+y++2y-x-4，求M 的最大值与最小值．
22．已知x1-+x2-2+x3-3+ +x2002-+x2003-=0， 求代数式21-2
x
x2
- -2x2002+2x2003的值．
答案： 1.
37
2.-2或-8 3.1-2c+b 4.(4) 5.D 6.D 7.C 8.A 36
⎧-4x-3⎪3⎧⎪-2x+1
⎪-5x-1(x
9.(1)原式=⎨-x+5(-≤x
23⎪⎪
⎪2x+52⎪
5x+1(x≥)⎪⎪3⎩⎪4x-3
⎪⎩
(x
(-2≤x
3
1
(-≤x
(1≤x
⎧|a-b|=1⎧|a-b|=0
10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得⎨ 或⎨
ab=0ab=1⎩⎩
11.-2-x、-1 12.x
4422
提示:ab=-b=-│b│=- 14.16 15.D
2525
16.B 提示:原式=
|a-2|a||+||a|+4a|
17.C 18.B
2|a|
19.提示:a、b、c中不能全同号,必一正二负或二正一负,
得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),
abc=-1, =-1, =-1, b+cc+aa+b|a||b||c|所以,, 中必有两个同号,另一个符号与其相反,•
b+cc+aa+b
即
即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a、b、c都为整数,则a-b、c-a均为整数,
则│a-b│、│c-a•│为两个非负整数,│a-b│19+│c-a│99=1, 只能│a-b│19=0且│c-a│99=1…………① 或│a-b│19=1且│c-•a│99=0……………②, 由①得a=b,且│c-a│=1,│b-c│=│c-a│=1; 由②得c=a,且│a-b│=1,•│b-c│=│a-b│=1, 无论①或②,都有│a-b│+│c-a│=1,且│b-c│=1, 故│c-a│+•│a-b│+│b-c│=2.
21.提示:-1≤x≤1,-1≤y≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,
当x+y≤0时,•M=5-2y,得3≤M≤7; 当x+y≥0时,M=2x+5,得3≤M≤7;
又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7, 故M的最大值为7,最小值为3. 22.由题意得:x1=1,x2=2,… ,x2003=2003,
原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2
提高训练
1．计算：
111111
-+---=______． 324342
2．代数式x++x-12+x+的最小值为______．
3．已知a
4．若a、b、c、d为互不相等的有理数，且a-c=b-c=d-b=1那么a-d=___． 5．设a是有理数，则a-a的值（ ）．
A．可以是负数 B．不可能是负数 C．必是正数 D．可以是正数，也可以是负数 6．已知m=-m，化简m--m-2所得的结果是________． 7．若a=3，b=5，那么a+b-a-b的绝对值等于________． 8．有理数a、b、c的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（ ）． A．a+b+c>0 B．a+bc-a
9．已知x=
aa
bb
cc
abc
+++，且a、b、c都不等于0，求x的所有可能值．
10．已知a、b、c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc
值为______．
11．若有理数m、n、p满足
abc++的abc
mm
+
nn
+
pp
=1，则
2mnp
=______．
3m12．设a、b、c是不为零的有理数，那么x=
abc
． +-的值有（ ）
abc
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
13．如图，已知数轴上的点A、B、C所对应的数a、b、c都不为零，且C是AB的中点．如
果a+b-a-2c+b-2c-a+b-2c=0，那么原点O的位置在（ ）． A．线段AC上 B．线段CA的延长线上 C．线段BC上 D．线段CB的延长线上
14．若x
15．已知a、b、c、d是有理数，a-b≤9，c-d≤16，且a-b-c+d=25，求
b-a-d-c的值．
16．在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006
次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由．