第四单元圆·教材分析
一、教学内容
本单元教材主要内容有：认识圆、圆的周长和圆的面积等。
本单元是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行教学的。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识到研究曲
二、教学目标
1．认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系；学会用圆规画圆。
2．理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆的周长与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。
三、具体编排
（一）认识圆
1．主题图。
编排思想：
主题图呈现了城市广场的生活场景，里面包含了很多圆形的物体，如喷水池、花坛、车轮等等，从而说明圆在生活中随处可见，应用非常广泛。
教学建议：
教学时，可以把主题图作为认识圆的起点来讲授，如可把主题图制成多媒体课件，然后点击凸现其中的圆形物体，让学生利用圆的基本特性（如易滚动、外形美观等）来理解这些物体设计成圆形的道理；也可结合后面圆的周长和面积的计算穿插进行教学，如车轮、花坛的周长，喷水池的面积等，都可以作为后面相关教学内容的素材。
2．例1（用一般物体画圆）。
编排思想：
（1）让学生想办法在纸上画圆，直观感受圆的曲线特征，同时为后面探究圆的基本性质做好准备。
（2）教材共呈现了用3个学生用不同的实物来描摹画圆的方法，这种方法简单，且学生以前有基础，但因受实物所限，画出的圆大小是固定的，不能随意变化，从而为用后面教学圆规画圆做了铺垫。
教学建议：
教学时，教师应在课前备好相应的学具，如茶杯盖、圆柱等用来画圆的物品，以便于学生活动。实际教学中，学生也可能会提出用圆规画圆的方法，教师不用回避，说明这种方法将在后面学习。
3．例2（认识圆和用圆规画圆）。
编排思想：
（1）主要认识圆的各部分名称及特征。
（2）首先让学生将画好的圆反复对折，发现折痕相交于一点，引出圆心的概念。
（3）认识半径和直径，并让学生探索出在同一个圆内，半径和直径都有无数条。
（4）通过测量比较，让学生认识到同一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都相等，并且半径的长度是直径的1。 2
（5）用圆规画圆，先让学生自主探索，然后小组交流，最后由教师归纳总结出画圆的基本方法。
教学建议：
（1）应放手让学生活动，通过折、画、量等方式来寻找规律。
（2）最后，教师应在学生探究和交流的基础上，对圆的有关概念和基本特征进行归纳和整理，以使学生形成系统、科学的认识。
（3）教学用圆规画圆时，应先让学生自己在纸上画一画，然后小组交流画
法。
（4）在此基础上，教师可归纳总结出画圆的基本步骤和方法，主要应说明两点：一是圆的位置和大小分别是由圆心和半径决定的，故画圆时应先确定圆心，然后按照指定的长度为半径来画圆；二是圆的大小取决于半径的长短，与圆心的位置无关。然后再让学生按照要求画几个圆，逐步掌握用圆规画圆的方法。
4．做一做。
（1）第3题让学生找出圆的圆心和直径，由于这两个圆都是画在纸上的无法通过折叠的方法来确定，所以较难。可以引导学生借助正方形的对称性来找圆心，只要连接正方形的对角线即可。
（2）第4题主要说明圆形物体具有易滚动这一特性，故车轮常做成圆形的，而车轴之所以装在圆心的位置，则是因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，故只有把车轴装在圆心处，当车轮滚动时方可使行进的车辆保持平稳状态。
5．例3（认识圆是轴对称图形）。
编排思想：
在结合前面所学的成轴对称的平面图形的基础上，教学认识圆的对称性。使学生认识到圆是轴对称图形，且对称轴有无数条。
教学建议：
（1）让学生回顾以前学过的对称图形，复习对称特点及明确对称轴，然后说明以前学过的长方形、正方形等都是对称图形，都有对称轴，这些图形都是轴对称图形。
（2）引导学生认识到圆也是轴对称图形，并且每条直径所在的直线都是圆的对称轴。这部分内容应让学生动手画一画，折一折，在实际操作中联系直径的含义来体会圆的对称轴有无数条这一特性。
6．练习十四。
（1）第3题，使学生知道两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。
（2）第4题，这两种方法都是利用第3题的结论，通过移动尺子或是用两个三角板同时夹住圆并垂直于刻度尺来测量出圆内“最长的线段”，也就是直径。
1．圆的周长。
编排思想：
（1）从实际情境引入，帮助学生理解圆的周长的概念。
（2）引出“如何求圆的周长”的问题。放手让学生测量圆的周长，引出探
索圆的周长的一般性规律（公式）的必要性。
（3）教材为学生直接指明了研究的方向，即通过测量不同大小的圆的周长和直径，计算出周长和直径的比值，发现规律。
（4）教材通过直接介绍的方式说明一个圆的周长与直径的比值是一个固定的数，通常叫做圆周率，用字母“π”来表示。并给出圆的周长的计算公式：C ＝πd 或C ＝2πr 。
（5）教材通过“你知道吗”介绍了圆周率的一些历史材料，特别指出了我国古代数学家祖冲之在这方面的伟大成就。
教学建议：
（1）教学圆的周长之前，可以先复习一下一般封闭图形和长方形、正方形周长的计算。
（2）教学圆的周长概念时，教师可以从教材上的实际情境引入，让学生说一说绕圆形花坛骑一圈形成的轨迹是什么图形，这一圈的长度指的是什么。再说明，如果把这一圈近似地看成圆形花坛的边界，要求绕花坛骑一圈大约是多少米，也就是求圆形花坛的周长。
（3）在测量圆的周长时，教师可以鼓励学生用不同的方式进行测量。学生用测量的方法量出了这些圆的周长以后，教师可以进一步提出问题：“要是有一个很大的圆，怎么测量它的周长呢？”引导学生去寻求更为一般化的方法。
（4）学生在前面的测量过程中已经发现，大小不同的圆的周长是不同的，而圆的大小是由直径（或半径）唯一决定的，因此，圆的周长与直径（或半径）之间一定存在着某种关系。但如果完全放手，让学生自己去探究这种关系，有一定的困难。因此，教师可以直接告诉学生去计算不同圆的周长和直径的比值，并把结果填在书上的表中。然后让学生观察、比较实验的结果，引导学生得出：圆的周长是直径的三倍多一些（或3.14左右的一个数）。教师进一步指出，由于测量时存在一定的误差，也许不同的圆计算出的周长的值不完全相同，但实际直径
上，这个比值是一个固定不变的数，通常叫做圆周率，用希腊字母“π”来表示。教师要说明π是一个无限不循环小数。提到圆周率“π”是无限不循环小数时，也可把学到的小数归纳如下：
（5）结合“你知道吗？”向学生介绍这方面的情况，进行爱国主义教育。
（6）可以引导学生自行归纳、总结圆的周长的计算公式。
2．例1（圆的周长计算）。
编排思想：
（1）教材结合主题图进行圆的周长计算的教学。
（2）既计算了圆形花坛的周长，又计算了自行车轮子的周长。
（3）在解决“绕花坛一周车轮大约转动多少周”这个问题时，体现了解决问题策略的多样化，培养学生具体问题具体分析的意识和能力。
教学建议：
（1）可让学生自主完成，教师说明以下两点：①不必写出公式，只要直接计算就行；②π取两位小数3.14，已作为一般数值处理，计算结果不必再用“≈”表示。但在判断“周长是直径的多少倍”时仍应说“π倍”而不是“3.14倍”。
（2）在解决“绕花坛一周车轮大约转动多少周”的问题时，方法可以多样。在此基础上，可以引导学生发现：花坛周长与车轮周长的比值就是花坛直径与车轮直径的比值。
（3）在计算圆的周长时，要根据“圆的周长是直径的3倍多一些”，鼓励学生通过估算，来检验计算的结果是否合理。
3．练习十五。
（1）第4题，可以让学生想：30分钟、45分钟分别是60分钟的几分之几，就表示针尖所走的路程是一周的几分之几。
（2）第5题，在计算要装多少根木桩时，要联系以前所学的“植树问题”使学生明白，在一个封闭的圆上分段，分隔点的数目与分成的段数是相等的。
（3）第10*题，可引导学生思考：为什么大半圆的长度与两个小半圆的长度和相等？
使学生发现：由于圆的周长等于直径乘π，当比较圆的周长时，可只考虑直径之间的关系。因为大圆的直径等于两个小圆的直径之和，所以有上述结论。
（三）圆的面积
1．探索圆的面积公式。
编排思想：
（1）创设在圆形草坪上铺草皮的实际情境，一方面使学生了解圆的面积的含义，另一方面，使学生体会在实际生活中计算圆面积的必要性。
（2）直接提出问题“怎样计算一个圆的面积呢？”引导学生思考能否把圆转化成已学的图形来计算面积。教材采用实验的方法，指导学生把圆分割成若干等份（偶数份，如16等份、32等份），再拼成一个近似的长方形。使学生看到分的份数越多，拼得的图形就越接近于长方形。
（3）引导学生对长方形的长与宽跟原来的圆的周长、半径之间的关系进行比较，并自行完成圆面积计算公式的推导过程。这里涉及了数学中的逐步逼近的方法，就是采取某种方法，使一个近似的图形逐步逼近精确的图形。
教学建议：
（1）在出示教材中铺草皮的实际情境之后，可以让学生再举一些实例，说明在实际生活中计算圆面积的必要性。
（2）让学生预先准备一些圆形学具。在教师指导下，让学生按照教材上的图，将圆16等分，剪开后想办法拼成一个近似的长方形。再让学生通过小组合作的方式，自由地分一分、剪一剪、拼一拼。
（3）把拼成的图形加以比较，使学生看到，分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越近似于长方形。由于在剪和拼的过程中，图形的大小没有发生变化，也就是圆的面积等于这个拼成的近似长方形的面积。
（4）如果有条件，教师可以利用多媒体课件把圆不断细分，使学生看到，如果分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
（5）通过引导学生分析、比较长方形的长与宽跟原来圆的周长与半径之间的关系，自行完成圆的面积计算公式的推导。
2．例1（圆的面积计算）。
编排思想：
与圆的周长编排类似，本例也是结合主题图，计算圆开花坛的面积。 教学建议：
（1）教学此例前，可以安排一些求一个数的平方的口算练习。例如，可以补充一些10以内数、整十数、几十五的平方练习，如352是35×35＝1225，而不是35×2＝70。掌握常用的平方计算，对提高计算圆面积的速度有帮助。
（2）此例可以充分发挥学生主动性，让学生自行完成。进行订正时，要向学生指出，要先算平方，后算乘法。
3．例2（圆环面积的计算）。
编排思想：
（1）创设求光盘圆形部分面积的情境，使学生理解求圆环的面积是用外圆面积减去内圆面积。
(2)教材给出了两种算法。实际上通过乘法分配律，学生能够发现这两种算法的一致性。
教学建议:
(1)教学时，教师可以准备实物或教具，通过演示，使学生明确:求圆环的面积就是用外圆面积减去内圆面积。
(2)放手让学生独立计算，最后让学生说一说两种解法有什么不同，两者之间可以通过什么运算定律互相转化，引导学生在计算圆环的面积时，尽量使用简便算法，可以减少计算量。
4．练习十六。
（1）第4题，第二个图中圆的直径是内接正方形的对角线，但在小学阶段，根据题中给出的条件无法求出正方形的边长，因此，要将正方形看成两个相同的三角形，这两个三角形的底是圆的直径，高是圆的半径。
（2）第6题，是计算组合图形的周长和面积，其中，长方形的宽和圆的直径相等。在计算这个运动场的周长时，注意不要把长方形的两条宽计算在内。
（3）第8*题，是讨论当周长一定时，围成什么图形的面积最大。可以假设用这根绳子围成三角形、正方形、正方形、平行四边形、梯形、圆，分别计算出它们的面积，就会发现围出的图形中圆的面积最大。
（4）第9*题，是通过计算，观察正方形与它内部最大的圆（内切圆）的面积关系。教材通过几个特殊的正方形和内切圆的面积之比，发现这个比是一个固定值，再让学生任意设定正方形的边长，发现这个规律的一般性。实际上，也可以引导学生用抽象的方法加以证明，如果设正方形的边长是2a ，那么其内切圆的半径就是a ，正方形的面积是（2a ）2＝4a 2，圆的面积就是πa 2，两者面积之比是4。
（5）第10*题，是第8*题结论的实际应用。当周长一定时，所有图形中圆的面积最大，这个性质在实际生活中有着广泛的应用。例如，教材上提到的蒙古包做成圆形的是因为可以最大化地利用居住面积，植物根茎的横截面是圆形的，也是因为可以最大化地吸收水分。练习时，除了让学生说一说上述实例的理由以外，还可以让学生再举出其他的一些例子，如装菜的盘子为什么要做成圆形的，杯子的横截面为什么是圆形的，等等。
五、练习十七。
（1）第3题，这是一道开放性的题目。从理论上说，喷灌装置是呈正方形点阵排列的，横排和竖排每相邻两个喷灌的距离就是射程。但在实际应用中，受条件的限制，可能又要大于这个距离，也就是说喷灌的数量少于理论上的数量。因此，关于这个问题，只有理论上的答案，实际的答案可以是开放性的。
（2）第4*题，本题蕴含着一个数学规律，即在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。已知长方形和正方形的面积是1225cm 2，通过分解质因数，可得正方形的边长是35m ，则周长是140 m。长方形的长若是1225 m，宽是1 m，则周长是2452 m；而长若是49 m，宽是25 m，则周长是148 m，可见，在面积一定的情况下，长方形的长和宽的长度越接近，则周长越短，但都大于正方形的周长。本题中圆的面积为1256 cm 2>1225cm 2, 但计算出圆的周长是125.6 m
四、教学建议
1．加强动手操作，培养学生自主探索能力。
教材里安排了很多活动让学生探究圆的基本特征，故实际教学时，教师应注意让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式，帮助学生认识圆的基本特征，探讨圆的周长和面积计算公式。
比如在探索圆的面积时，教师可利用书中的附页或备好的学具，引导学生动手剪切、拼贴，从而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。
实际教学时，教师不应把学生的动手操作简单地作为活动目的，而应合理引导学生在操作的基础上，自主探索和发现圆的有关特性。
2．注重知识的前后联系，体现“化曲为直”“化圆为方”的转化思想。 圆是一种曲线图形，和以前学的直线图形在性质上有很大的不同，但在研究方法上，联系又很紧密，故教学时应注意引导学生合理应用转化思想，将圆转化成以前学过的直线图形来研究。如在研究圆的面积时，教师可先让学生回顾以前在研究多边形的面积时，主要采用了割补、拼组等方法，将多边形的面积转化成更熟悉和更简单的图形来解决，那么，这里是否也可以仿此思路把圆的面积采用割补等方式转化成熟悉的图形来计算呢？
让学生认识到转化是一种很重要的数学思想方法，在解决日常问题以及在科
学研究中，人们常常就是把复杂转化为简单、未知转化为已知、抽象转化为具体等方式来处理的。
综合应用―确定起跑线
编排思想：
综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过该活动一方面让学生了解半圆式田径场跑道的结构，学会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。
“确定起跑线”活动由以下四个部分组成。
1． 提出研究的问题。
教材开门见山地提出问题，引起学生对起跑线位置的关注和思考。经过小组同学共同讨论，达成共识。在此认知基础上，教材紧接着引申出进一步研究的问题，即如何确定每条跑道的起跑线。
2．收集数据。
教材第75页第二幅图中呈现了小组同学测量有关数据的场景，旨在帮助学生了解400m 跑道的结构以及各部分的数据。
3．分析数据。
学生对已获得的数据进行整理，通过讨论明确以下信息：（1）两个半圆形跑道合在一起就是一个圆。（2）各条跑道直道长度相同。（3）每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。
4．得出结论。
在学生明确解决问题的思路和方法后，教材在第四幅图中给出了一张表格，通过让学生分别计算各条跑道的半圆形跑道的直径、两个半圆形跑道的周长以及跑道的全长，从而计算出相邻跑道长度之差，确定每条跑道的起跑线。最后，为了巩固对该类问题的认识，请学生进一步确定200m 赛跑中跑道起跑线的位置。
教学建议：
1. 六年级的学生对起跑线并不陌生，但可能很少从数学的角度去思考200米、400米等起跑线位置为什么不同，相差多少。因而在活动开始，老师可以以图片、投影片或多媒体课件等形式呈现田径场上的400m 跑道，并直接提出问题“为什么运动员要站在不同的起跑线上？”引发学生的思考和讨论，学生凭借日常的体育活动和观看体育比赛的经验应该能够很快地理清思路，回答出问题。老
师可根据学生的回答适时地引出进一步研究的问题：“各跑道的起跑线应该相差多少米呢？”显然这很难通过经验和观察得到，需要学生收集相关数据，具体分析起跑线的位置与什么有关。
2. 收集数据部分，教材中给出了小组合作实地测量的情境，但由于不同田径场的规格可能有所不同，而且进行实地测量需要花费较多的时间，同时测量还可能会产生误差，因而实际教学时不必带领学生去田径场实际测量跑道各部分的数据。只要通过该图让学生明确相关的数据是通过测量获得的即可，具体的数据则可以配合前面的图片、投影片等相应形式给出。老师还可就半圆形跑道的直径在此是如何规定的，以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题向学生作一具体说明。
3. 在具体分析数据时，教师可引导学生充分讨论并认识到：由于每条跑道宽
1.25m ，所以相邻两条跑道，外圈跑道圆的直径等于里圈跑道圆的直径加2.5m 。在探讨具体的解决方法时，老师也要引导学生灵活思考，而不仅仅局限于计算出各条跑道总长度这种思路。在学生明确各条跑道的直道长度相同时，老师可适时启发学生：“既然直道长度相同，我们只要计算什么就可以找出相邻跑道长度之差呢？”
4. 让学生具体说一说表格中各项目的含义并计算出相应的结果。在此，需要特别说明的是，在结果中，两条相邻跑道的差实际是(72.6+2.5n)π-
［72.6+2.5(n-1)］π=2.5π, 由于π的取值（π≈3.14159）导致结果中有的相邻跑道之间的差是7.85m ，有的是7.86m ，0.01水平上的差别较小，对结果影响不大，在这里可以不予考虑。如果有学生能够直接得出2.5π，也应予以肯定。
5. 教材最后提出确定200m 跑道的起跑线问题，如课堂时间不够，可让学生课后解决。
第四单元圆·教材分析
一、教学内容
本单元教材主要内容有：认识圆、圆的周长和圆的面积等。
本单元是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行教学的。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识到研究曲
二、教学目标
1．认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系；学会用圆规画圆。
2．理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆的周长与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。
三、具体编排
（一）认识圆
1．主题图。
编排思想：
主题图呈现了城市广场的生活场景，里面包含了很多圆形的物体，如喷水池、花坛、车轮等等，从而说明圆在生活中随处可见，应用非常广泛。
教学建议：
教学时，可以把主题图作为认识圆的起点来讲授，如可把主题图制成多媒体课件，然后点击凸现其中的圆形物体，让学生利用圆的基本特性（如易滚动、外形美观等）来理解这些物体设计成圆形的道理；也可结合后面圆的周长和面积的计算穿插进行教学，如车轮、花坛的周长，喷水池的面积等，都可以作为后面相关教学内容的素材。
2．例1（用一般物体画圆）。
编排思想：
（1）让学生想办法在纸上画圆，直观感受圆的曲线特征，同时为后面探究圆的基本性质做好准备。
（2）教材共呈现了用3个学生用不同的实物来描摹画圆的方法，这种方法简单，且学生以前有基础，但因受实物所限，画出的圆大小是固定的，不能随意变化，从而为用后面教学圆规画圆做了铺垫。
教学建议：
教学时，教师应在课前备好相应的学具，如茶杯盖、圆柱等用来画圆的物品，以便于学生活动。实际教学中，学生也可能会提出用圆规画圆的方法，教师不用回避，说明这种方法将在后面学习。
3．例2（认识圆和用圆规画圆）。
编排思想：
（1）主要认识圆的各部分名称及特征。
（2）首先让学生将画好的圆反复对折，发现折痕相交于一点，引出圆心的概念。
（3）认识半径和直径，并让学生探索出在同一个圆内，半径和直径都有无数条。
（4）通过测量比较，让学生认识到同一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都相等，并且半径的长度是直径的1。 2
（5）用圆规画圆，先让学生自主探索，然后小组交流，最后由教师归纳总结出画圆的基本方法。
教学建议：
（1）应放手让学生活动，通过折、画、量等方式来寻找规律。
（2）最后，教师应在学生探究和交流的基础上，对圆的有关概念和基本特征进行归纳和整理，以使学生形成系统、科学的认识。
（3）教学用圆规画圆时，应先让学生自己在纸上画一画，然后小组交流画
法。
（4）在此基础上，教师可归纳总结出画圆的基本步骤和方法，主要应说明两点：一是圆的位置和大小分别是由圆心和半径决定的，故画圆时应先确定圆心，然后按照指定的长度为半径来画圆；二是圆的大小取决于半径的长短，与圆心的位置无关。然后再让学生按照要求画几个圆，逐步掌握用圆规画圆的方法。
4．做一做。
（1）第3题让学生找出圆的圆心和直径，由于这两个圆都是画在纸上的无法通过折叠的方法来确定，所以较难。可以引导学生借助正方形的对称性来找圆心，只要连接正方形的对角线即可。
（2）第4题主要说明圆形物体具有易滚动这一特性，故车轮常做成圆形的，而车轴之所以装在圆心的位置，则是因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，故只有把车轴装在圆心处，当车轮滚动时方可使行进的车辆保持平稳状态。
5．例3（认识圆是轴对称图形）。
编排思想：
在结合前面所学的成轴对称的平面图形的基础上，教学认识圆的对称性。使学生认识到圆是轴对称图形，且对称轴有无数条。
教学建议：
（1）让学生回顾以前学过的对称图形，复习对称特点及明确对称轴，然后说明以前学过的长方形、正方形等都是对称图形，都有对称轴，这些图形都是轴对称图形。
（2）引导学生认识到圆也是轴对称图形，并且每条直径所在的直线都是圆的对称轴。这部分内容应让学生动手画一画，折一折，在实际操作中联系直径的含义来体会圆的对称轴有无数条这一特性。
6．练习十四。
（1）第3题，使学生知道两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。
（2）第4题，这两种方法都是利用第3题的结论，通过移动尺子或是用两个三角板同时夹住圆并垂直于刻度尺来测量出圆内“最长的线段”，也就是直径。
1．圆的周长。
编排思想：
（1）从实际情境引入，帮助学生理解圆的周长的概念。
（2）引出“如何求圆的周长”的问题。放手让学生测量圆的周长，引出探
索圆的周长的一般性规律（公式）的必要性。
（3）教材为学生直接指明了研究的方向，即通过测量不同大小的圆的周长和直径，计算出周长和直径的比值，发现规律。
（4）教材通过直接介绍的方式说明一个圆的周长与直径的比值是一个固定的数，通常叫做圆周率，用字母“π”来表示。并给出圆的周长的计算公式：C ＝πd 或C ＝2πr 。
（5）教材通过“你知道吗”介绍了圆周率的一些历史材料，特别指出了我国古代数学家祖冲之在这方面的伟大成就。
教学建议：
（1）教学圆的周长之前，可以先复习一下一般封闭图形和长方形、正方形周长的计算。
（2）教学圆的周长概念时，教师可以从教材上的实际情境引入，让学生说一说绕圆形花坛骑一圈形成的轨迹是什么图形，这一圈的长度指的是什么。再说明，如果把这一圈近似地看成圆形花坛的边界，要求绕花坛骑一圈大约是多少米，也就是求圆形花坛的周长。
（3）在测量圆的周长时，教师可以鼓励学生用不同的方式进行测量。学生用测量的方法量出了这些圆的周长以后，教师可以进一步提出问题：“要是有一个很大的圆，怎么测量它的周长呢？”引导学生去寻求更为一般化的方法。
（4）学生在前面的测量过程中已经发现，大小不同的圆的周长是不同的，而圆的大小是由直径（或半径）唯一决定的，因此，圆的周长与直径（或半径）之间一定存在着某种关系。但如果完全放手，让学生自己去探究这种关系，有一定的困难。因此，教师可以直接告诉学生去计算不同圆的周长和直径的比值，并把结果填在书上的表中。然后让学生观察、比较实验的结果，引导学生得出：圆的周长是直径的三倍多一些（或3.14左右的一个数）。教师进一步指出，由于测量时存在一定的误差，也许不同的圆计算出的周长的值不完全相同，但实际直径
上，这个比值是一个固定不变的数，通常叫做圆周率，用希腊字母“π”来表示。教师要说明π是一个无限不循环小数。提到圆周率“π”是无限不循环小数时，也可把学到的小数归纳如下：
（5）结合“你知道吗？”向学生介绍这方面的情况，进行爱国主义教育。
（6）可以引导学生自行归纳、总结圆的周长的计算公式。
2．例1（圆的周长计算）。
编排思想：
（1）教材结合主题图进行圆的周长计算的教学。
（2）既计算了圆形花坛的周长，又计算了自行车轮子的周长。
（3）在解决“绕花坛一周车轮大约转动多少周”这个问题时，体现了解决问题策略的多样化，培养学生具体问题具体分析的意识和能力。
教学建议：
（1）可让学生自主完成，教师说明以下两点：①不必写出公式，只要直接计算就行；②π取两位小数3.14，已作为一般数值处理，计算结果不必再用“≈”表示。但在判断“周长是直径的多少倍”时仍应说“π倍”而不是“3.14倍”。
（2）在解决“绕花坛一周车轮大约转动多少周”的问题时，方法可以多样。在此基础上，可以引导学生发现：花坛周长与车轮周长的比值就是花坛直径与车轮直径的比值。
（3）在计算圆的周长时，要根据“圆的周长是直径的3倍多一些”，鼓励学生通过估算，来检验计算的结果是否合理。
3．练习十五。
（1）第4题，可以让学生想：30分钟、45分钟分别是60分钟的几分之几，就表示针尖所走的路程是一周的几分之几。
（2）第5题，在计算要装多少根木桩时，要联系以前所学的“植树问题”使学生明白，在一个封闭的圆上分段，分隔点的数目与分成的段数是相等的。
（3）第10*题，可引导学生思考：为什么大半圆的长度与两个小半圆的长度和相等？
使学生发现：由于圆的周长等于直径乘π，当比较圆的周长时，可只考虑直径之间的关系。因为大圆的直径等于两个小圆的直径之和，所以有上述结论。
（三）圆的面积
1．探索圆的面积公式。
编排思想：
（1）创设在圆形草坪上铺草皮的实际情境，一方面使学生了解圆的面积的含义，另一方面，使学生体会在实际生活中计算圆面积的必要性。
（2）直接提出问题“怎样计算一个圆的面积呢？”引导学生思考能否把圆转化成已学的图形来计算面积。教材采用实验的方法，指导学生把圆分割成若干等份（偶数份，如16等份、32等份），再拼成一个近似的长方形。使学生看到分的份数越多，拼得的图形就越接近于长方形。
（3）引导学生对长方形的长与宽跟原来的圆的周长、半径之间的关系进行比较，并自行完成圆面积计算公式的推导过程。这里涉及了数学中的逐步逼近的方法，就是采取某种方法，使一个近似的图形逐步逼近精确的图形。
教学建议：
（1）在出示教材中铺草皮的实际情境之后，可以让学生再举一些实例，说明在实际生活中计算圆面积的必要性。
（2）让学生预先准备一些圆形学具。在教师指导下，让学生按照教材上的图，将圆16等分，剪开后想办法拼成一个近似的长方形。再让学生通过小组合作的方式，自由地分一分、剪一剪、拼一拼。
（3）把拼成的图形加以比较，使学生看到，分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越近似于长方形。由于在剪和拼的过程中，图形的大小没有发生变化，也就是圆的面积等于这个拼成的近似长方形的面积。
（4）如果有条件，教师可以利用多媒体课件把圆不断细分，使学生看到，如果分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
（5）通过引导学生分析、比较长方形的长与宽跟原来圆的周长与半径之间的关系，自行完成圆的面积计算公式的推导。
2．例1（圆的面积计算）。
编排思想：
与圆的周长编排类似，本例也是结合主题图，计算圆开花坛的面积。 教学建议：
（1）教学此例前，可以安排一些求一个数的平方的口算练习。例如，可以补充一些10以内数、整十数、几十五的平方练习，如352是35×35＝1225，而不是35×2＝70。掌握常用的平方计算，对提高计算圆面积的速度有帮助。
（2）此例可以充分发挥学生主动性，让学生自行完成。进行订正时，要向学生指出，要先算平方，后算乘法。
3．例2（圆环面积的计算）。
编排思想：
（1）创设求光盘圆形部分面积的情境，使学生理解求圆环的面积是用外圆面积减去内圆面积。
(2)教材给出了两种算法。实际上通过乘法分配律，学生能够发现这两种算法的一致性。
教学建议:
(1)教学时，教师可以准备实物或教具，通过演示，使学生明确:求圆环的面积就是用外圆面积减去内圆面积。
(2)放手让学生独立计算，最后让学生说一说两种解法有什么不同，两者之间可以通过什么运算定律互相转化，引导学生在计算圆环的面积时，尽量使用简便算法，可以减少计算量。
4．练习十六。
（1）第4题，第二个图中圆的直径是内接正方形的对角线，但在小学阶段，根据题中给出的条件无法求出正方形的边长，因此，要将正方形看成两个相同的三角形，这两个三角形的底是圆的直径，高是圆的半径。
（2）第6题，是计算组合图形的周长和面积，其中，长方形的宽和圆的直径相等。在计算这个运动场的周长时，注意不要把长方形的两条宽计算在内。
（3）第8*题，是讨论当周长一定时，围成什么图形的面积最大。可以假设用这根绳子围成三角形、正方形、正方形、平行四边形、梯形、圆，分别计算出它们的面积，就会发现围出的图形中圆的面积最大。
（4）第9*题，是通过计算，观察正方形与它内部最大的圆（内切圆）的面积关系。教材通过几个特殊的正方形和内切圆的面积之比，发现这个比是一个固定值，再让学生任意设定正方形的边长，发现这个规律的一般性。实际上，也可以引导学生用抽象的方法加以证明，如果设正方形的边长是2a ，那么其内切圆的半径就是a ，正方形的面积是（2a ）2＝4a 2，圆的面积就是πa 2，两者面积之比是4。
（5）第10*题，是第8*题结论的实际应用。当周长一定时，所有图形中圆的面积最大，这个性质在实际生活中有着广泛的应用。例如，教材上提到的蒙古包做成圆形的是因为可以最大化地利用居住面积，植物根茎的横截面是圆形的，也是因为可以最大化地吸收水分。练习时，除了让学生说一说上述实例的理由以外，还可以让学生再举出其他的一些例子，如装菜的盘子为什么要做成圆形的，杯子的横截面为什么是圆形的，等等。
五、练习十七。
（1）第3题，这是一道开放性的题目。从理论上说，喷灌装置是呈正方形点阵排列的，横排和竖排每相邻两个喷灌的距离就是射程。但在实际应用中，受条件的限制，可能又要大于这个距离，也就是说喷灌的数量少于理论上的数量。因此，关于这个问题，只有理论上的答案，实际的答案可以是开放性的。
（2）第4*题，本题蕴含着一个数学规律，即在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。已知长方形和正方形的面积是1225cm 2，通过分解质因数，可得正方形的边长是35m ，则周长是140 m。长方形的长若是1225 m，宽是1 m，则周长是2452 m；而长若是49 m，宽是25 m，则周长是148 m，可见，在面积一定的情况下，长方形的长和宽的长度越接近，则周长越短，但都大于正方形的周长。本题中圆的面积为1256 cm 2>1225cm 2, 但计算出圆的周长是125.6 m
四、教学建议
1．加强动手操作，培养学生自主探索能力。
教材里安排了很多活动让学生探究圆的基本特征，故实际教学时，教师应注意让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式，帮助学生认识圆的基本特征，探讨圆的周长和面积计算公式。
比如在探索圆的面积时，教师可利用书中的附页或备好的学具，引导学生动手剪切、拼贴，从而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。
实际教学时，教师不应把学生的动手操作简单地作为活动目的，而应合理引导学生在操作的基础上，自主探索和发现圆的有关特性。
2．注重知识的前后联系，体现“化曲为直”“化圆为方”的转化思想。 圆是一种曲线图形，和以前学的直线图形在性质上有很大的不同，但在研究方法上，联系又很紧密，故教学时应注意引导学生合理应用转化思想，将圆转化成以前学过的直线图形来研究。如在研究圆的面积时，教师可先让学生回顾以前在研究多边形的面积时，主要采用了割补、拼组等方法，将多边形的面积转化成更熟悉和更简单的图形来解决，那么，这里是否也可以仿此思路把圆的面积采用割补等方式转化成熟悉的图形来计算呢？
让学生认识到转化是一种很重要的数学思想方法，在解决日常问题以及在科
学研究中，人们常常就是把复杂转化为简单、未知转化为已知、抽象转化为具体等方式来处理的。
综合应用―确定起跑线
编排思想：
综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过该活动一方面让学生了解半圆式田径场跑道的结构，学会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。
“确定起跑线”活动由以下四个部分组成。
1． 提出研究的问题。
教材开门见山地提出问题，引起学生对起跑线位置的关注和思考。经过小组同学共同讨论，达成共识。在此认知基础上，教材紧接着引申出进一步研究的问题，即如何确定每条跑道的起跑线。
2．收集数据。
教材第75页第二幅图中呈现了小组同学测量有关数据的场景，旨在帮助学生了解400m 跑道的结构以及各部分的数据。
3．分析数据。
学生对已获得的数据进行整理，通过讨论明确以下信息：（1）两个半圆形跑道合在一起就是一个圆。（2）各条跑道直道长度相同。（3）每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。
4．得出结论。
在学生明确解决问题的思路和方法后，教材在第四幅图中给出了一张表格，通过让学生分别计算各条跑道的半圆形跑道的直径、两个半圆形跑道的周长以及跑道的全长，从而计算出相邻跑道长度之差，确定每条跑道的起跑线。最后，为了巩固对该类问题的认识，请学生进一步确定200m 赛跑中跑道起跑线的位置。
教学建议：
1. 六年级的学生对起跑线并不陌生，但可能很少从数学的角度去思考200米、400米等起跑线位置为什么不同，相差多少。因而在活动开始，老师可以以图片、投影片或多媒体课件等形式呈现田径场上的400m 跑道，并直接提出问题“为什么运动员要站在不同的起跑线上？”引发学生的思考和讨论，学生凭借日常的体育活动和观看体育比赛的经验应该能够很快地理清思路，回答出问题。老
师可根据学生的回答适时地引出进一步研究的问题：“各跑道的起跑线应该相差多少米呢？”显然这很难通过经验和观察得到，需要学生收集相关数据，具体分析起跑线的位置与什么有关。
2. 收集数据部分，教材中给出了小组合作实地测量的情境，但由于不同田径场的规格可能有所不同，而且进行实地测量需要花费较多的时间，同时测量还可能会产生误差，因而实际教学时不必带领学生去田径场实际测量跑道各部分的数据。只要通过该图让学生明确相关的数据是通过测量获得的即可，具体的数据则可以配合前面的图片、投影片等相应形式给出。老师还可就半圆形跑道的直径在此是如何规定的，以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题向学生作一具体说明。
3. 在具体分析数据时，教师可引导学生充分讨论并认识到：由于每条跑道宽
1.25m ，所以相邻两条跑道，外圈跑道圆的直径等于里圈跑道圆的直径加2.5m 。在探讨具体的解决方法时，老师也要引导学生灵活思考，而不仅仅局限于计算出各条跑道总长度这种思路。在学生明确各条跑道的直道长度相同时，老师可适时启发学生：“既然直道长度相同，我们只要计算什么就可以找出相邻跑道长度之差呢？”
4. 让学生具体说一说表格中各项目的含义并计算出相应的结果。在此，需要特别说明的是，在结果中，两条相邻跑道的差实际是(72.6+2.5n)π-
［72.6+2.5(n-1)］π=2.5π, 由于π的取值（π≈3.14159）导致结果中有的相邻跑道之间的差是7.85m ，有的是7.86m ，0.01水平上的差别较小，对结果影响不大，在这里可以不予考虑。如果有学生能够直接得出2.5π，也应予以肯定。
5. 教材最后提出确定200m 跑道的起跑线问题，如课堂时间不够，可让学生课后解决。