一、 数据包络分析法
数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。
1.1数据包络分析法的主要思想
一个经济系统或者一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单元被称为“决策单元”（Decision Making Units，DMU ）。可以认为每个DMU 都代表一定的经济含义，它的基本特点是具有一定的输入和输出，并且在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策目标。
1.2数据包络分析法的基本模型
我们主要介绍DEA 中最基本的一个模型——C 2R 模型。
设有n 个决策单元（ j = 1，2，…，n ），每个决策单元有相同的 m 项投入（输入），输入向量为
x
j
=
(x
1j
, x , , x
2j
mj
)
T
>0, j =1, 2, , n
每个决策单元有相同的 s 项产出（输出），输出向量为
y
j
=
(y , y , , y
1j
2j
sj
)
T
>0, j =1, 2, , n
即每个决策单元有m 种类型的“输入”及s 种类型的“输出”。
x ij 表示第j 个决策单元对第i 种类型输入的投入量； y ij 表示第j 个决策单元对第i 种类型输出的产出量；
为了将所有的投入和所有的产出进行综合统一，即将这个生产过程看作是一个只有一个投入量和一个产出量的简单生产过程，我们需要对每一个输入和输出进行赋权，设输入和输出的权向量分别为：v =(v 1, v 2, , v m ), u =(u 1, u 2, , u s )。v i 为第i 类
T
T
型输入的权重，u r 为第r 类型输出的权重。
这时，则第j 个决策单元投入的综合值为∑v i x ij ，产出的综合值为∑u r y rj ，我
i =1
r =1
m s
们定义每个决策单元DMU j 的效率评价指数：
h
j
=
∑u y
r =1m
r
s
rj
∑v x
i =1
i
ij
模型中x ij ，y ij 为已知数（可由历史资料或预测数据得到），于是问题实际上是确定一组最佳的权向量v 和u ，使第j 个决策单元的效率值h j 最大。这个最大的效率评价值是该决策单元相对于其他决策单元来说不可能更高的相对效率评价值。我们限定所有的h j 值(j=1,2,„,n) 不超过1，即max h j ≤1。这意味着，若第k 个决策单元h k =1，则该决策单元相对于其他决策单元来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若h k
根据上述分析，第j 0个决策单元的相对效率优化评价模型为：
s
max h
j 0
=
∑u y
r =1
m
r
rj 0
∑v x
i =1
i
ij 0
⎧s
⎪∑u r y rj r =1⎪m ≤1, j =1, 2,..., n ⎪⎪v i x ij s .. t ⎨∑i =1
⎪T
⎪v =(v 1, v 2, , v m )≥0⎪T
u =u , u , , u ≥0()⎪12s ⎩
这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此令
t =
1
∑v x
i =1
i
m
，μr
ij 0
=tu r ，w i =tv i
则模型转化为：
max h
j 0
=∑μ
r =1
s
r
y
rj 0
m
⎧s
⎪∑μr y rj -∑w i x ij ≤0,
i =1
⎪r =1⎪m s .. t ⎨∑w i x ij 0=1⎪i =1⎪, ≥0, i =1, 2,.. m ; ⎪μr w i ⎩
j =1, 2,..., n
r =1, 2,..., s
写成向量形式有:
max h j 0=μT Y 0
⎧μT Y j -w T X j ≤0⎪⎪s .. t ⎨w T X 0=1⎪w ≥0, μ≥0⎪⎩
理论及经济意义上作深入分析，其对偶问题为：
j =1, 2,..., n
线性规划中一个十分重要，也十分有效的理论是对偶理论，通过建立对偶模型更易于从
min θ
⎧n
⎪∑λj x j ≤θx 0⎪j =1
n ⎪⎪ s .. t ⎨∑λj y j ≥y 0⎪j =1
⎪λj ≥0, j =1, 2, , n ⎪⎪⎩θ无约束
进一步引入松弛变量s 和剩余变量s ，将上面的不等式约束化为等式约束：
+
-
min θ
⎧n +
λx +s =θx 0∑j j ⎪⎪j =1
n ⎪-⎪ s .. t ⎨∑λj y j -s =y 0⎪j =1
⎪λj ≥0, j =1, 2, , n ⎪
+-
⎪⎩θ无约束 s ≥0, s ≥0
设上述问题的最优解为λ，s ，θ，则有如下结论与经济含义： （1）若θ*=1，且s
*
*
**-*
*+
=0, s *-=0，则决策单元DMU j 为DEA 有效，即在原线性规划
的解中存在w >0, μ>0，并且其最优值h =1。此时，决策单元DMU j 0的生产活动同时为技术有效和规模有效。
（2），但至少有某个输入或者输出松弛变量大于零。则此时原线性规划的最优值h *，j 0=1称DMU j 0为弱DEA 有效，它不是同时技术有效和规模有效。
（3）若θ*
（4）另外，我们可以用C 2R 模型中λj 的最优值来判别DMU 的规模收益情况。若存在为规模效益不变；若不存在=1成立，则D M U j 成立，则若∑λ*，那么DMU j 0为规模效益递增；若不λ* , n ), ，使∑λ*j
存在λ*成立，则若∑λ*，那么DMU j 为规模效益递减。 ,2, , n )，使∑λ*j (j =1j =1j >1
*
j 0
λ*,2, , n )，使j (j =1
∑λ
*
j
技术有效：输出相对输入而言已达最大，即该决策单元位于生产函数的曲线上。 规模有效：指投入量既不偏大，也不过小，是介于规模收入收益由递增到递减之间的状态，即处于规模收益不变的状态。
DMU1、 DMU2、 DMU3都处于技术有效状态；DMU1不为规模有效，实际上它处于规模收益递增状态； DMU3不为规模有效，实际上它处于规模收益递减状态； DMU2是规模有效的。如果用DEA 模型来判断DEA 有效性，只有DMU2对应的最优值θ0＝1。可见，在C 2R 模型下的DEA 有效，其经济含义 是：既为“技术有效”，也为“规模有效”。
例题: 下面是具有3个决策单元的单输入数据和单输出数据. 相应决策单元所对应的点以A,B,C 表示, 其中点A 、C 在生产曲线上, 点B 在生产曲线下方。由3个决策单元所确定的生产可能集T 也在图中标出来。
对于决策点A, 它是“技术有效”和“规模有效”, 它所对应的C 2R 模型为
min θ
⎧2λ1+4λ2+5λ3≤2θ
⎪
s . t ⎨2λ1+λ2+3. 5λ3≥2⎪λ, λ, λ≥0⎩123
其最优解为:
λ0=(1, 0, 0) T , θ0=1
对于决策点B, 它不是“技术有效”, 因为点B 不在生产函数曲线上, 也不是“规模有效”, 这是因为它的投资规模太大.
其对应的C 2R 模型如下:
min θ
⎧2λ1+4λ2+5λ3≤4θ
⎪
s . t ⎨2λ1+λ2+3. 5λ3≥1⎪λ, λ, λ≥0⎩123
其最优解为λ0=(1/2, 0, 0) T ,
θ0=1/4:
由于θ
∑λj 0=
j =1
3
1
对于决策点C,, 因为点C 是在生产函数曲线上, 它是“技术有效”, 但由于它的投资规模太大, 所以不是“规模有效”.
其对应的C 2R 模型如下:
min θ
⎧2λ1+4λ2+5λ3≤5θ
⎪
s . t ⎨2λ1+λ2+3. 5λ3≥3. 5⎪λ, λ, λ≥0⎩123
其最优解为λ0=(7/4, 0, 0) T ,
θ0=7/10
由于θ
∑λj 0=
j =1
3
7
>1 , 知该部门的规模收益是递减的. 4
一、 数据包络分析法
数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。
1.1数据包络分析法的主要思想
一个经济系统或者一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单元被称为“决策单元”（Decision Making Units，DMU ）。可以认为每个DMU 都代表一定的经济含义，它的基本特点是具有一定的输入和输出，并且在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策目标。
1.2数据包络分析法的基本模型
我们主要介绍DEA 中最基本的一个模型——C 2R 模型。
设有n 个决策单元（ j = 1，2，…，n ），每个决策单元有相同的 m 项投入（输入），输入向量为
x
j
=
(x
1j
, x , , x
2j
mj
)
T
>0, j =1, 2, , n
每个决策单元有相同的 s 项产出（输出），输出向量为
y
j
=
(y , y , , y
1j
2j
sj
)
T
>0, j =1, 2, , n
即每个决策单元有m 种类型的“输入”及s 种类型的“输出”。
x ij 表示第j 个决策单元对第i 种类型输入的投入量； y ij 表示第j 个决策单元对第i 种类型输出的产出量；
为了将所有的投入和所有的产出进行综合统一，即将这个生产过程看作是一个只有一个投入量和一个产出量的简单生产过程，我们需要对每一个输入和输出进行赋权，设输入和输出的权向量分别为：v =(v 1, v 2, , v m ), u =(u 1, u 2, , u s )。v i 为第i 类
T
T
型输入的权重，u r 为第r 类型输出的权重。
这时，则第j 个决策单元投入的综合值为∑v i x ij ，产出的综合值为∑u r y rj ，我
i =1
r =1
m s
们定义每个决策单元DMU j 的效率评价指数：
h
j
=
∑u y
r =1m
r
s
rj
∑v x
i =1
i
ij
模型中x ij ，y ij 为已知数（可由历史资料或预测数据得到），于是问题实际上是确定一组最佳的权向量v 和u ，使第j 个决策单元的效率值h j 最大。这个最大的效率评价值是该决策单元相对于其他决策单元来说不可能更高的相对效率评价值。我们限定所有的h j 值(j=1,2,„,n) 不超过1，即max h j ≤1。这意味着，若第k 个决策单元h k =1，则该决策单元相对于其他决策单元来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若h k
根据上述分析，第j 0个决策单元的相对效率优化评价模型为：
s
max h
j 0
=
∑u y
r =1
m
r
rj 0
∑v x
i =1
i
ij 0
⎧s
⎪∑u r y rj r =1⎪m ≤1, j =1, 2,..., n ⎪⎪v i x ij s .. t ⎨∑i =1
⎪T
⎪v =(v 1, v 2, , v m )≥0⎪T
u =u , u , , u ≥0()⎪12s ⎩
这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此令
t =
1
∑v x
i =1
i
m
，μr
ij 0
=tu r ，w i =tv i
则模型转化为：
max h
j 0
=∑μ
r =1
s
r
y
rj 0
m
⎧s
⎪∑μr y rj -∑w i x ij ≤0,
i =1
⎪r =1⎪m s .. t ⎨∑w i x ij 0=1⎪i =1⎪, ≥0, i =1, 2,.. m ; ⎪μr w i ⎩
j =1, 2,..., n
r =1, 2,..., s
写成向量形式有:
max h j 0=μT Y 0
⎧μT Y j -w T X j ≤0⎪⎪s .. t ⎨w T X 0=1⎪w ≥0, μ≥0⎪⎩
理论及经济意义上作深入分析，其对偶问题为：
j =1, 2,..., n
线性规划中一个十分重要，也十分有效的理论是对偶理论，通过建立对偶模型更易于从
min θ
⎧n
⎪∑λj x j ≤θx 0⎪j =1
n ⎪⎪ s .. t ⎨∑λj y j ≥y 0⎪j =1
⎪λj ≥0, j =1, 2, , n ⎪⎪⎩θ无约束
进一步引入松弛变量s 和剩余变量s ，将上面的不等式约束化为等式约束：
+
-
min θ
⎧n +
λx +s =θx 0∑j j ⎪⎪j =1
n ⎪-⎪ s .. t ⎨∑λj y j -s =y 0⎪j =1
⎪λj ≥0, j =1, 2, , n ⎪
+-
⎪⎩θ无约束 s ≥0, s ≥0
设上述问题的最优解为λ，s ，θ，则有如下结论与经济含义： （1）若θ*=1，且s
*
*
**-*
*+
=0, s *-=0，则决策单元DMU j 为DEA 有效，即在原线性规划
的解中存在w >0, μ>0，并且其最优值h =1。此时，决策单元DMU j 0的生产活动同时为技术有效和规模有效。
（2），但至少有某个输入或者输出松弛变量大于零。则此时原线性规划的最优值h *，j 0=1称DMU j 0为弱DEA 有效，它不是同时技术有效和规模有效。
（3）若θ*
（4）另外，我们可以用C 2R 模型中λj 的最优值来判别DMU 的规模收益情况。若存在为规模效益不变；若不存在=1成立，则D M U j 成立，则若∑λ*，那么DMU j 0为规模效益递增；若不λ* , n ), ，使∑λ*j
存在λ*成立，则若∑λ*，那么DMU j 为规模效益递减。 ,2, , n )，使∑λ*j (j =1j =1j >1
*
j 0
λ*,2, , n )，使j (j =1
∑λ
*
j
技术有效：输出相对输入而言已达最大，即该决策单元位于生产函数的曲线上。 规模有效：指投入量既不偏大，也不过小，是介于规模收入收益由递增到递减之间的状态，即处于规模收益不变的状态。
DMU1、 DMU2、 DMU3都处于技术有效状态；DMU1不为规模有效，实际上它处于规模收益递增状态； DMU3不为规模有效，实际上它处于规模收益递减状态； DMU2是规模有效的。如果用DEA 模型来判断DEA 有效性，只有DMU2对应的最优值θ0＝1。可见，在C 2R 模型下的DEA 有效，其经济含义 是：既为“技术有效”，也为“规模有效”。
例题: 下面是具有3个决策单元的单输入数据和单输出数据. 相应决策单元所对应的点以A,B,C 表示, 其中点A 、C 在生产曲线上, 点B 在生产曲线下方。由3个决策单元所确定的生产可能集T 也在图中标出来。
对于决策点A, 它是“技术有效”和“规模有效”, 它所对应的C 2R 模型为
min θ
⎧2λ1+4λ2+5λ3≤2θ
⎪
s . t ⎨2λ1+λ2+3. 5λ3≥2⎪λ, λ, λ≥0⎩123
其最优解为:
λ0=(1, 0, 0) T , θ0=1
对于决策点B, 它不是“技术有效”, 因为点B 不在生产函数曲线上, 也不是“规模有效”, 这是因为它的投资规模太大.
其对应的C 2R 模型如下:
min θ
⎧2λ1+4λ2+5λ3≤4θ
⎪
s . t ⎨2λ1+λ2+3. 5λ3≥1⎪λ, λ, λ≥0⎩123
其最优解为λ0=(1/2, 0, 0) T ,
θ0=1/4:
由于θ
∑λj 0=
j =1
3
1
对于决策点C,, 因为点C 是在生产函数曲线上, 它是“技术有效”, 但由于它的投资规模太大, 所以不是“规模有效”.
其对应的C 2R 模型如下:
min θ
⎧2λ1+4λ2+5λ3≤5θ
⎪
s . t ⎨2λ1+λ2+3. 5λ3≥3. 5⎪λ, λ, λ≥0⎩123
其最优解为λ0=(7/4, 0, 0) T ,
θ0=7/10
由于θ
∑λj 0=
j =1
3
7
>1 , 知该部门的规模收益是递减的. 4