评课本中一道习题

评课本中一道习题

原题出处和背景

题目：《必修5》P34习题2.1 B组1

下图中是三个正方形中，着色正方形的个数依次构成一个数列前3项，请写出这个数列的前5项和数列的一个通项公式。

背景：这是第二章第一节《数列的概念与简单表示法》课后习题，学生刚刚接触数列、通项公式、递推公式概念，还没有涉及等差数列、等比数列概念，更没有掌握求通项公式、递推公式的一般方法，要独立完整解决这道题，难度很大。 教参解答：前5项是 1，9，73，585， 4681，

该数列递推公式是an118an, a11.通项公式是 8n1an7

教参注解：此题是观察图形特征，给出数列通项公式的题目。教学中要注意引导学生对图形表示数字规律的认识和发现，要培养学生从整体上去认识图形规律的意识和能力。本题中第一个正方形块中着色正方形个数是1，第二个着色正方形个数是第一个着色正方形个数的8倍加1，第三个着色正方形个数是第二个着色正方形个数的8倍加1，依此类推，可以得到第n个正方形块中着色正方形个数的递推公式进而推导出数列的通项公式，也可鼓励学生用其他方法发现该数列通项公式。 如何实现教学目标，发挥习题功效？本人谈一点教学体会：

分阶段分层次实施解题目标

1

第一个层次：观察图形特征，达到能正确“数”出数列前几项

第二个层次：引导学生发现图形表示数字的规律，进而找到数列递推关系和递推公式

第三个层次：把握数列内在规律，通过递推公式导出数列通项公式（后期完成目标） 建立两种典型模型求解：

方法一：该数列递推公式是 an18an1, a11，通过配项转化为an1118(an)，运用等比数列知识可求解。一般地，数列{an}满足77

B， 通过配项得 an1A(an)，其中 AanB（A,B为常数）A1an1

（B0,A1），运用等比数列知识可求解其通项公式。我们把满足关系式

的{an}称之为λ数列，它既包含了等差数列（A1时）, an1AanB（A,B为常数）

又包含了等比数列（B0,A0时），是包含等差，等比数列在内的更广的一类数列。

方法二：该数列递推公式还可以表示为an1an8n，a11，可以看出，数列{an}中后一项与前一项的差成等比数列，我们把{an}称之为差等比数列。一般地，数列{an}满足an1anq(q0常数,n2)即an1anb1qn1 (其中b1a2a1) anan1

称{an}为差等比数列。差等比数列可用累加法求其通项公式。

一点引申和探讨

两种模型内在关系

任何一个λ数列都可以转化为一个差等比数列。若{an}是一个λ数列，则an1AanB，可得anAan1B (n2)，作差得an1anA(A0,n2) anan1

2

所以{an}为差等比数列。

同样任何一个差等比数列都可以转化为一个λ数列。若{an}是一个差等比数列， 则an1anq(q0,n2)，由等比数列通项公式得 anan1

n1an1anb1q(其中b1a2a1)，再用累加法得an11qn， a1b11q

1qn1

，设an1AanB（A,B为常数），利用待定系数法可得 ana1b11q

Aq,Ba2a1q，所以{an}为λ数列。

λ数列的应用

λ数列是一类包含范围很广且很实用的数列，若某一个变量在变化一个固定值基础上再增长（或降低）同一比例，就可以看作一个λ数列。如某城市住房在每年拆除一定数量旧住房基础上仍以10%的住房增长率建设新住房，可建立λ数列模型求解。另外某片森林覆盖面积，某城市汽车保有量等都可以建立λ数列模型。 几类数列的推广

二阶λ数列an2Aan1BanC的几个实用结论（略）

差等差数列——二阶等差数列

差等比数列——等价于一个λ数列

比等比数列——二阶等比数列

比等差数列——性质有待进一步探讨。

3

评课本中一道习题

原题出处和背景

题目：《必修5》P34习题2.1 B组1

下图中是三个正方形中，着色正方形的个数依次构成一个数列前3项，请写出这个数列的前5项和数列的一个通项公式。

背景：这是第二章第一节《数列的概念与简单表示法》课后习题，学生刚刚接触数列、通项公式、递推公式概念，还没有涉及等差数列、等比数列概念，更没有掌握求通项公式、递推公式的一般方法，要独立完整解决这道题，难度很大。 教参解答：前5项是 1，9，73，585， 4681，

该数列递推公式是an118an, a11.通项公式是 8n1an7

教参注解：此题是观察图形特征，给出数列通项公式的题目。教学中要注意引导学生对图形表示数字规律的认识和发现，要培养学生从整体上去认识图形规律的意识和能力。本题中第一个正方形块中着色正方形个数是1，第二个着色正方形个数是第一个着色正方形个数的8倍加1，第三个着色正方形个数是第二个着色正方形个数的8倍加1，依此类推，可以得到第n个正方形块中着色正方形个数的递推公式进而推导出数列的通项公式，也可鼓励学生用其他方法发现该数列通项公式。 如何实现教学目标，发挥习题功效？本人谈一点教学体会：

分阶段分层次实施解题目标

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第一个层次：观察图形特征，达到能正确“数”出数列前几项

第二个层次：引导学生发现图形表示数字的规律，进而找到数列递推关系和递推公式

第三个层次：把握数列内在规律，通过递推公式导出数列通项公式（后期完成目标） 建立两种典型模型求解：

方法一：该数列递推公式是 an18an1, a11，通过配项转化为an1118(an)，运用等比数列知识可求解。一般地，数列{an}满足77

B， 通过配项得 an1A(an)，其中 AanB（A,B为常数）A1an1

（B0,A1），运用等比数列知识可求解其通项公式。我们把满足关系式

的{an}称之为λ数列，它既包含了等差数列（A1时）, an1AanB（A,B为常数）

又包含了等比数列（B0,A0时），是包含等差，等比数列在内的更广的一类数列。

方法二：该数列递推公式还可以表示为an1an8n，a11，可以看出，数列{an}中后一项与前一项的差成等比数列，我们把{an}称之为差等比数列。一般地，数列{an}满足an1anq(q0常数,n2)即an1anb1qn1 (其中b1a2a1) anan1

称{an}为差等比数列。差等比数列可用累加法求其通项公式。

一点引申和探讨

两种模型内在关系

任何一个λ数列都可以转化为一个差等比数列。若{an}是一个λ数列，则an1AanB，可得anAan1B (n2)，作差得an1anA(A0,n2) anan1

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所以{an}为差等比数列。

同样任何一个差等比数列都可以转化为一个λ数列。若{an}是一个差等比数列， 则an1anq(q0,n2)，由等比数列通项公式得 anan1

n1an1anb1q(其中b1a2a1)，再用累加法得an11qn， a1b11q

1qn1

，设an1AanB（A,B为常数），利用待定系数法可得 ana1b11q

Aq,Ba2a1q，所以{an}为λ数列。

λ数列的应用

λ数列是一类包含范围很广且很实用的数列，若某一个变量在变化一个固定值基础上再增长（或降低）同一比例，就可以看作一个λ数列。如某城市住房在每年拆除一定数量旧住房基础上仍以10%的住房增长率建设新住房，可建立λ数列模型求解。另外某片森林覆盖面积，某城市汽车保有量等都可以建立λ数列模型。 几类数列的推广

二阶λ数列an2Aan1BanC的几个实用结论（略）

差等差数列——二阶等差数列

差等比数列——等价于一个λ数列

比等比数列——二阶等比数列

比等差数列——性质有待进一步探讨。

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