3．宏观经济乘数加速数模型及经济波动周期分析
乘数、加速数模型为宏观经济学中的基本模型之一。它是讨论经济系统中的国民收入、消费、储蓄等变量之间关系及经济增长规律的模型。 社会总产出：所有产品的产值。是否等于GNP? GNP＝社会总产出－期间产品的耗费；
同时GNP 可用于消费和固定资产的投资。
――将上述这些宏观经济用以量化，构造出系统模型即为（标题） （1）建立模型
设 Y(t) ――为第t 年国民生产总值， C(t) ――为第t 年个人消费总额，
G(t) ――为第t 年公共消费（政府支出、政府购买） I(t) ――为第t 年投资总额。
Y(t) ――GNP
公共消费G(t) 企业与个人消费C(t) 公共投资 + 企业与个人投资= I(t) 则有统计规律：
Y(t)＝C(t)＋I(t)＋G(t) *
另外，设
◆ 第t 年个人消费总额C(t)与上一年国民生产总值Y(t－1) 有关。今年消费是去
年的GNP 的线性函数，设为：
C(t)＝a+bY(t-1) *
其中：a,b 为常数，b
∆C
∆Y
◆ 第t 年投资总额I(t)与人们消费需求及银行利率等有关。在市场经济下一个国
家和地区平衡增长时利率变换不大，所以近似认为投资I(t)主要受消费的增加而增加，关系如下：
I(t)＝q+k(C(t)- C(t-1)) *
其中：q,k 为常数。K >0，表明当消费量增加时将使得投资额也增加。比如，今．．．
年比去年消费提高，这样拉动了投资的增加，我们称----需求拉动。
综上，
Y(t)＝C(t)＋I(t)＋G(t)
C(t)＝a+bY(t-1) （*） I(t)＝q+k(C(t)- C(t-1))
称为宏观经济乘数加速数模型。
这是经济学上的革命，该模型以经有50年历史，我国现在还在使用。由凯恩斯提出来的。
（2）分析该模型：
1． 当上述变量都为常数时，称为系统的平衡解。 容易看出，Y 与G 的关系由方程组确定
⎧Y =C +I +G ⎪
⎨C =a +bY
⎪I =q +k (C -C ) =q ⎩
即 Y =
1a +q G + 1-b 1-b
∆Y 1
= ∆G 1-b
表明，当政府购买力为G 时，系统达到平衡后的国民生产总值为Y 。如果G 增加△G, 那么Y 变化，并最终达到Y+△Y. 那么称△Y 与△G 之比为乘数（放大倍数）。即
当b ＝0.5时，1/(1-0.5)=2,这就意味着购买力增加1万万万亿元，那么国民生产总值增加2万万万亿元，但如果这样，就会发生通货膨胀。这是因为我们这里说的变量，都是名义值，而不是实际值。这是因为我们模型中没有考虑价格变量。该模型仅考虑宏观经济变量名义值的变化规律。
实际的宏观经济调控政策设计中，我们让G 适当的上升，使得名义值Y 也相应上升，不至于产生通货膨胀。
Y的实际值应为物价指数P 乘以Y1,Y1由固定资产K 和人工确定（生产函数），即
Y=P*Y1
2．其因果关系（系统）图如下：
经济危机时，煤、面包、衣服、、、出现了恶性循环。这时，政府要出资投入（发债券等手段），刺激经济发展。这样加速了经济的发展――加速数。 但分析该模型有漏洞，如此不断的刺激，将会导致‘滞胀’：通货膨胀，GNP 的快速增长实质上是停滞。 ――经济增长理论。 我国使用‘刺激内需’如修公路，花钱。 该模型灵不灵？取决于外部的参量。b 、k
（3）分析模型的变化
下面直观了解模型的变化，设(a＝10 q=5 b=0.5 k=2) 并且，政府购买力G ＝5，系统处于平衡状态
⎧Y =C +I +G ⎪
⎨C =a +bY
⎪I =q +k (C -C ) =q ⎩
由此得Y=40, C=30.
当政府购买力从5变为10时，变动过程使用方程组，
⎧Y (t ) =C (t ) +I (t ) +G (t ) ⎪C (t ) =10+0. 5Y (t -1) ⎪⎪⎪I (t ) =5+2(C (t ) -C (t -1))
⎨
Y (-1) =40⎪
⎪C (-1) =30⎪⎪⎩I (-1) =5
其中，t ＝－1为平衡状态没有实际时间含义。t ＝0时，政府购买为10。依上式，有(t=-1
不使用原方程组，是使用平衡方程组)
⎧Y (0) =C (0) +I (0) +G (0) ⎪C (0) =10+0. 5Y (-1) ⎪⎧Y (0) =C (0) +I (0) +10⎪I (0) =5+2(C (0) -C (-1)) ⎪⎪
⇒⎨C (0) =10+0. 5⨯40=30 ⎨
⎪Y (-1) =40⎪I (0) =5+2(C (0) -30)
⎩⎪C (-1) =30
⎪⎪⎩I (-1) =5
即得：C(0)=30, I(0)=5 Y(0)=30+5+10=45
如下表：
+10 5+2(C(t)- C(t-1)) Y(t)G(0)=10 45G(1)=10 52.5
当G 由5到10时，立即拉动了国民生产总值，也增加了5。
进一步，再代入上式，当G ＝10不再上升时，可得Y(1)=52.5.这表明，虽然G 不再增加，但国民生产总值升到45后，引起了消费与投资的进一步增加，从而刺激了国民生产总值的进一步增加。
这种国民生产总值一轮又一轮的增加称为‘加速’过程。 再进一步将Y(1)=52.5代入，我们可以得到
Y(2)=58.57, Y(3)=60.625, Y(4)=57.19, Y(5)=50.16, ,,,,,
可以看出，Y(t)的发展是波动的，如此波动下去，最后趋于新的平衡状态：Y ＝50 （从
一个平衡点到另一个平衡点的过程称为‘过渡过程’――这是一门学科，继‘控制论’之后的一门课，研究的人不多）。
那么，波动的周期如何？ （4）周期（运动分析）
（我们说系统的特征根由系数阵的特征根确定，所以找到特征根即可――这个结论正确吗？）
将方程改写为：
⎧Y (t +1) =C (t +1) +I (t +1) +10⎪C (t +1) =10+0. 5Y (t ) ⎪
⎨
⎪I (t +1) =5+2(C (t +1) -C (t )) ⎪⎩Y (0) =45, C (0) =30, I (0) =5
变形为
⎧Y (t +1) -C (t +1) -I (t +1) =10⎪
C (t +1) =10+0. 5Y (t ) ⎨
⎪-2C (t +1) +I (t +1) =5-2C (t ) ⎩
矩阵方程：
00⎤⎡Y (t ) ⎤⎡10⎤⎡1-1-1⎤⎡Y (t +1) ⎤⎡0⎢01⎥⎢C (t +1) ⎥=⎢0. 500⎥⎢C (t ) ⎥+⎢10⎥
0⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎣1-21⎥⎦⎢⎣I (t +1) ⎥⎦⎢⎣0-20⎥⎦⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎢⎣5⎥⎦
可以整理为
⎡Y (t +1) ⎤⎡1. 5-20⎤⎡Y (t ) ⎤⎡65⎤
⎢C (t +1) ⎥=⎢0. 500⎥⎢C (t ) ⎥+⎢20⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣I (t +1) ⎥⎦⎢⎣1-20⎥⎦⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎢⎣45⎥⎦
简记为： x (t +1) =Ax (t ) +u
⎡Y (t ) ⎤⎢⎥其中： x (t ) =C (t ) , ⎢⎥⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎡1. 5-20⎤⎡65⎤
⎥, u =⎢20⎥
A =⎢0. 500⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎣1-20⎥⎦⎣45⎥⎦
z
z -1
Z 变换： zx (z ) -zx (0) =Ax (z ) +u ⨯
(zI -A ) *(zI -A ) *z
整理： x (z ) = zx (0) +u ⨯
zI -A zI -A z -1
⎛45z 2-60z ⎫ ⎪
* ⎪ ⎪*⎝⎭z -1. 5z +1
2
x (z ) =+
⎛65z 2-40z ⎫
⎪
* ⎪ ⎪*⎝⎭(z -1. 5z +1)(z -1)
2
45z 2-60z 65z 2-40z
于是 Y (z ) =2 +2
z -1. 5z +1(z -1. 5z +1)(z -1)
(45z 2-40z +20) z =2
(z -1. 5z +1)(z -1)
(45z 2-40z +20) z
=
z -0. 75-0. 6614j z -0. 75+0. 6614j z -1Az Bz 50z
=++
z -0. 75-0. 6614j z -0. 75+0. 6614j z -1
其中：A,B 为待定系数。且
z -0. 75-0. 6614j =z -(0. 75+0. 6614j ) =z -(cos(41. 41 ⨯t ) +j sin(41. 41 ⨯t )) z -0. 75+0. 6614j =z -(0. 75-0. 6614j ) =z -(cos(41. 41⨯t ) -j sin(41. 41⨯t ))
Z 变换：并由欧拉公式：
-1
Y (t ) =A [cos41. 41 +j sin 41. 41 ]t +B [cos41. 41 -j sin 41. 41 ]t +50
=αcos(41. 41⨯t ) -βsin(41. 41⨯t ) +50
{[A (cos41. 41 +j sin 41. 41 )]t =A t [cos41. 41 ⨯t +j sin 41. 41 ⨯t ]}
360
则：T =≈8. 69年
41. 41
以上，我们经过一系列复杂的计算讨论了国民生产总值的波动周期。如果我们掌握规律抓住特征，计算结果大为简化。
总结：
我们这节研究了
宏观经济模型
讨论了其波动周期。平均每8.69年达到一个平衡。
二、运动分析原理（系统的特征分析）
我们在前面的问题中已经提过，系统本身固有的特征根对系统起决定作用。如桥由于本身自有一个频率，当外界的输入频率等于自有的频率时，桥就会塌。对于经济系统来讲，如果出现了这样的共振现象，系统就会崩溃，所以我们有必要研究这个问题，寻找特征根的规律和求法。
1．标准系统：
Z变换： zx (z ) -zx (0) =Ax (z )
*
(zI -A )即： x (z ) =zx (0)
zI -A
若系统的特征根如下：
zI -=(z -λ1)(z -λ2) (z -λn )x i (t ) =?
无重根
其中，中间或许会有δ(t ) 。此根只与系统的自身A 有关，所以称为系统特征根。 m 为z 函数的分子的最高次数，n 为z 函数的分母的最高次数. 则m ≤n 且m
例如，上节的宏观经济乘数加速数模型中，由于只是求周期，不要求具体变化规律，所以我们可以直接采用上述结果。
直接找特征根，q=a=G(t)=0时（外部输入量）
⎧Y (t ) =C (t ) +I (t )
⎧Y (t ) =(1+k ) C (t ) -kC (t -1) ⎪
⇒⎨⎨C (t ) =bY (t -1)
⎪I (t ) =k (C (t ) -C (t -1)) ⎩C (t ) =bY (t -1) ⎩
⎧Y (t ) =b (1+k ) Y (t -1) -kC (t -1) ⇒⎨
⎩C (t ) =bY (t -1)
矩阵方程：⎢
⎡Y (t ) ⎤⎡b (1+k ) -k ⎤⎡Y (t -1) ⎤
=⎢⎥⎢⎥0⎥⎣C (t ) ⎦⎣b ⎦⎣C (t -1) ⎦⎡b (1+k ) -k ⎤
A =⎢⎥0⎦⎣b
z -b (1+k ) k
特征方程：zI -A ==z 2-b (1+k ) z +bk
-b z
当b=0.5, k=2时有
zI -A =z 2-b (1+k ) z +bk =z 2-1. 5z +1=0
z 1, 2=0. 75±0. 6614j =cos 41. 41±j sin 41. 41
360
所以周期为T ==8. 69年
41. 41
如没有外界输入，系统将无休止的波动。
亦即，对于一个宏观经济系统，如果是用线性方程组来描述，当输入为0时，一定可以写成差分方程组；同时，一定可以表示为标准形式（状态方程），则有状态矩阵、特征方程、特征根。
所有状态变量为特征根的t 次方的线性组合。
2. 前面我们假设输入为0，如果G 不为0 出现干扰项，则有：
⎡Y (t ) ⎤⎡b (1+k ) -k ⎤⎡Y (t -1) ⎤⎡a +q +ak 1⎤⎡1⎤
+⎢⎢C (t ) ⎥=⎢b ⎥⎢⎥⎥⎢⎥0⎦⎣C (t -1) ⎦⎣a 0⎦⎣G (t ) ⎦⎣⎦⎣
为状态矩阵 问题：x (t ) 的解与A 及u(z)的特征根都有什么关系？ 首先，常数a 的特征根为1。因为h (z ) =
az
z -1
其次，对于u (t ) 这一个干扰项（输入）可以证明：u (t +1) =Hu (t )
⎤⎡1⎤⎡10⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1
= 如⎢那么 =⎢⎢⎥⎢⎢⎥t ⎥t +1⎥t ⎥G (t ) ⎣⎦⎣10⨯1. 1⎦⎣10⨯1. 1⎦⎣01. 1⎦⎣10⨯1. 1⎦
最后，⎨
⎧x (t +1) =Ax (t ) +Bu (t ) ⎡x (t +1) ⎤⎛A B ⎫⎡x (t ) ⎤
⎪⇒⎢= ⎥⎢⎥ ⎪
⎩u (t +1) =Hu (t ) ⎣u (t +1) ⎦⎝0H ⎭⎣u (t ) ⎦
即将输入的干扰项转为系统内，变成一个新系统。
如果
⎛A 0⎝
⎛λ1
B ⎫ 0⎪=T 0H ⎪⎭
0⎝
t
0**h 10
t
λ2
00
t
*⎫⎪*⎪-1
T ⎪0⎪h 2⎪⎭
t
那么 x i (t ) =α1λ1+α2λ2+β1h 1+β2h 2
即系统内的任一变化规律为：固有根与外部根的叠加。
总结：
1）线性系统如果可以写成差分方程，则一定可以写成标准方程（状态方程） 2）有输入，一定有输出 3）设系统固有根λ1,
h 1=12 4）x i (t ) =α11. 1t +α20. 8t +β11. 2t +β21t 对其考察变化情况。
以上，求出了反映系统特征的规律，虽不是最终解，但可以反映系统的特征，可以讨论系统的其他特性（增长率、周期等），并可以简化计算。
λ2，输入干扰根h 1, h 2。
三、课后作业
1．生态平衡模型
自然界万物的运动变化的规律是很复杂的，如我们前面讲到的，兔口、人口模型，可以自然繁殖，在生存环境很好的情况下，就会成灾；但一些动物，如鱼类，人们的捕捞可以使自然繁殖速率下降，而过量的捕捞，则可造成渔业资源的枯竭。只有适当的捕捞才可以达到渔业资源的生态平衡。
而我国近几十年经常会发生对资源的过渡索取，如‘黄花鱼’。
对环境保护也有生态平衡问题。农药施肥、化工厂、汽车尾气、等对环境造成的污染，必须加以控制以维护环境的平衡。
对于生态环境的变化，用数学方程描述十分的复杂。一般使非线性差分方程或非线性微分方程。但也有一些情况，使用线性差分方程描述其运动规律也有一定的准确性，下面举例说明线性差分方程在研究生态平衡中的应用。
如，年轻人吸烟，会有尼古丁的吸入体内，故留在肺、血液中，由医学上的测定，我们可以知道，尼古丁经由肺、血液时的故留量和排放量的百分比如下： 1mg/天 21设：第t 天肺中的尼古丁含量为 x 1(t ) ， 第t 天血液中的尼古丁含量为 x 2(t ) ，
问：在肺和血液中如何分布，达到平衡时肺和血液中尼古丁的含量比为多少？（先看是否可以达到平衡，及比例lim
t →∞
x 1(t )
=? ） x 2(t )
（提示：此题建模后通过对特征根讨论来求解分布函数）
3．宏观经济乘数加速数模型及经济波动周期分析
乘数、加速数模型为宏观经济学中的基本模型之一。它是讨论经济系统中的国民收入、消费、储蓄等变量之间关系及经济增长规律的模型。 社会总产出：所有产品的产值。是否等于GNP? GNP＝社会总产出－期间产品的耗费；
同时GNP 可用于消费和固定资产的投资。
――将上述这些宏观经济用以量化，构造出系统模型即为（标题） （1）建立模型
设 Y(t) ――为第t 年国民生产总值， C(t) ――为第t 年个人消费总额，
G(t) ――为第t 年公共消费（政府支出、政府购买） I(t) ――为第t 年投资总额。
Y(t) ――GNP
公共消费G(t) 企业与个人消费C(t) 公共投资 + 企业与个人投资= I(t) 则有统计规律：
Y(t)＝C(t)＋I(t)＋G(t) *
另外，设
◆ 第t 年个人消费总额C(t)与上一年国民生产总值Y(t－1) 有关。今年消费是去
年的GNP 的线性函数，设为：
C(t)＝a+bY(t-1) *
其中：a,b 为常数，b
∆C
∆Y
◆ 第t 年投资总额I(t)与人们消费需求及银行利率等有关。在市场经济下一个国
家和地区平衡增长时利率变换不大，所以近似认为投资I(t)主要受消费的增加而增加，关系如下：
I(t)＝q+k(C(t)- C(t-1)) *
其中：q,k 为常数。K >0，表明当消费量增加时将使得投资额也增加。比如，今．．．
年比去年消费提高，这样拉动了投资的增加，我们称----需求拉动。
综上，
Y(t)＝C(t)＋I(t)＋G(t)
C(t)＝a+bY(t-1) （*） I(t)＝q+k(C(t)- C(t-1))
称为宏观经济乘数加速数模型。
这是经济学上的革命，该模型以经有50年历史，我国现在还在使用。由凯恩斯提出来的。
（2）分析该模型：
1． 当上述变量都为常数时，称为系统的平衡解。 容易看出，Y 与G 的关系由方程组确定
⎧Y =C +I +G ⎪
⎨C =a +bY
⎪I =q +k (C -C ) =q ⎩
即 Y =
1a +q G + 1-b 1-b
∆Y 1
= ∆G 1-b
表明，当政府购买力为G 时，系统达到平衡后的国民生产总值为Y 。如果G 增加△G, 那么Y 变化，并最终达到Y+△Y. 那么称△Y 与△G 之比为乘数（放大倍数）。即
当b ＝0.5时，1/(1-0.5)=2,这就意味着购买力增加1万万万亿元，那么国民生产总值增加2万万万亿元，但如果这样，就会发生通货膨胀。这是因为我们这里说的变量，都是名义值，而不是实际值。这是因为我们模型中没有考虑价格变量。该模型仅考虑宏观经济变量名义值的变化规律。
实际的宏观经济调控政策设计中，我们让G 适当的上升，使得名义值Y 也相应上升，不至于产生通货膨胀。
Y的实际值应为物价指数P 乘以Y1,Y1由固定资产K 和人工确定（生产函数），即
Y=P*Y1
2．其因果关系（系统）图如下：
经济危机时，煤、面包、衣服、、、出现了恶性循环。这时，政府要出资投入（发债券等手段），刺激经济发展。这样加速了经济的发展――加速数。 但分析该模型有漏洞，如此不断的刺激，将会导致‘滞胀’：通货膨胀，GNP 的快速增长实质上是停滞。 ――经济增长理论。 我国使用‘刺激内需’如修公路，花钱。 该模型灵不灵？取决于外部的参量。b 、k
（3）分析模型的变化
下面直观了解模型的变化，设(a＝10 q=5 b=0.5 k=2) 并且，政府购买力G ＝5，系统处于平衡状态
⎧Y =C +I +G ⎪
⎨C =a +bY
⎪I =q +k (C -C ) =q ⎩
由此得Y=40, C=30.
当政府购买力从5变为10时，变动过程使用方程组，
⎧Y (t ) =C (t ) +I (t ) +G (t ) ⎪C (t ) =10+0. 5Y (t -1) ⎪⎪⎪I (t ) =5+2(C (t ) -C (t -1))
⎨
Y (-1) =40⎪
⎪C (-1) =30⎪⎪⎩I (-1) =5
其中，t ＝－1为平衡状态没有实际时间含义。t ＝0时，政府购买为10。依上式，有(t=-1
不使用原方程组，是使用平衡方程组)
⎧Y (0) =C (0) +I (0) +G (0) ⎪C (0) =10+0. 5Y (-1) ⎪⎧Y (0) =C (0) +I (0) +10⎪I (0) =5+2(C (0) -C (-1)) ⎪⎪
⇒⎨C (0) =10+0. 5⨯40=30 ⎨
⎪Y (-1) =40⎪I (0) =5+2(C (0) -30)
⎩⎪C (-1) =30
⎪⎪⎩I (-1) =5
即得：C(0)=30, I(0)=5 Y(0)=30+5+10=45
如下表：
+10 5+2(C(t)- C(t-1)) Y(t)G(0)=10 45G(1)=10 52.5
当G 由5到10时，立即拉动了国民生产总值，也增加了5。
进一步，再代入上式，当G ＝10不再上升时，可得Y(1)=52.5.这表明，虽然G 不再增加，但国民生产总值升到45后，引起了消费与投资的进一步增加，从而刺激了国民生产总值的进一步增加。
这种国民生产总值一轮又一轮的增加称为‘加速’过程。 再进一步将Y(1)=52.5代入，我们可以得到
Y(2)=58.57, Y(3)=60.625, Y(4)=57.19, Y(5)=50.16, ,,,,,
可以看出，Y(t)的发展是波动的，如此波动下去，最后趋于新的平衡状态：Y ＝50 （从
一个平衡点到另一个平衡点的过程称为‘过渡过程’――这是一门学科，继‘控制论’之后的一门课，研究的人不多）。
那么，波动的周期如何？ （4）周期（运动分析）
（我们说系统的特征根由系数阵的特征根确定，所以找到特征根即可――这个结论正确吗？）
将方程改写为：
⎧Y (t +1) =C (t +1) +I (t +1) +10⎪C (t +1) =10+0. 5Y (t ) ⎪
⎨
⎪I (t +1) =5+2(C (t +1) -C (t )) ⎪⎩Y (0) =45, C (0) =30, I (0) =5
变形为
⎧Y (t +1) -C (t +1) -I (t +1) =10⎪
C (t +1) =10+0. 5Y (t ) ⎨
⎪-2C (t +1) +I (t +1) =5-2C (t ) ⎩
矩阵方程：
00⎤⎡Y (t ) ⎤⎡10⎤⎡1-1-1⎤⎡Y (t +1) ⎤⎡0⎢01⎥⎢C (t +1) ⎥=⎢0. 500⎥⎢C (t ) ⎥+⎢10⎥
0⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎣1-21⎥⎦⎢⎣I (t +1) ⎥⎦⎢⎣0-20⎥⎦⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎢⎣5⎥⎦
可以整理为
⎡Y (t +1) ⎤⎡1. 5-20⎤⎡Y (t ) ⎤⎡65⎤
⎢C (t +1) ⎥=⎢0. 500⎥⎢C (t ) ⎥+⎢20⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣I (t +1) ⎥⎦⎢⎣1-20⎥⎦⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎢⎣45⎥⎦
简记为： x (t +1) =Ax (t ) +u
⎡Y (t ) ⎤⎢⎥其中： x (t ) =C (t ) , ⎢⎥⎢⎣I (t ) ⎥⎦⎡1. 5-20⎤⎡65⎤
⎥, u =⎢20⎥
A =⎢0. 500⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎣1-20⎥⎦⎣45⎥⎦
z
z -1
Z 变换： zx (z ) -zx (0) =Ax (z ) +u ⨯
(zI -A ) *(zI -A ) *z
整理： x (z ) = zx (0) +u ⨯
zI -A zI -A z -1
⎛45z 2-60z ⎫ ⎪
* ⎪ ⎪*⎝⎭z -1. 5z +1
2
x (z ) =+
⎛65z 2-40z ⎫
⎪
* ⎪ ⎪*⎝⎭(z -1. 5z +1)(z -1)
2
45z 2-60z 65z 2-40z
于是 Y (z ) =2 +2
z -1. 5z +1(z -1. 5z +1)(z -1)
(45z 2-40z +20) z =2
(z -1. 5z +1)(z -1)
(45z 2-40z +20) z
=
z -0. 75-0. 6614j z -0. 75+0. 6614j z -1Az Bz 50z
=++
z -0. 75-0. 6614j z -0. 75+0. 6614j z -1
其中：A,B 为待定系数。且
z -0. 75-0. 6614j =z -(0. 75+0. 6614j ) =z -(cos(41. 41 ⨯t ) +j sin(41. 41 ⨯t )) z -0. 75+0. 6614j =z -(0. 75-0. 6614j ) =z -(cos(41. 41⨯t ) -j sin(41. 41⨯t ))
Z 变换：并由欧拉公式：
-1
Y (t ) =A [cos41. 41 +j sin 41. 41 ]t +B [cos41. 41 -j sin 41. 41 ]t +50
=αcos(41. 41⨯t ) -βsin(41. 41⨯t ) +50
{[A (cos41. 41 +j sin 41. 41 )]t =A t [cos41. 41 ⨯t +j sin 41. 41 ⨯t ]}
360
则：T =≈8. 69年
41. 41
以上，我们经过一系列复杂的计算讨论了国民生产总值的波动周期。如果我们掌握规律抓住特征，计算结果大为简化。
总结：
我们这节研究了
宏观经济模型
讨论了其波动周期。平均每8.69年达到一个平衡。
二、运动分析原理（系统的特征分析）
我们在前面的问题中已经提过，系统本身固有的特征根对系统起决定作用。如桥由于本身自有一个频率，当外界的输入频率等于自有的频率时，桥就会塌。对于经济系统来讲，如果出现了这样的共振现象，系统就会崩溃，所以我们有必要研究这个问题，寻找特征根的规律和求法。
1．标准系统：
Z变换： zx (z ) -zx (0) =Ax (z )
*
(zI -A )即： x (z ) =zx (0)
zI -A
若系统的特征根如下：
zI -=(z -λ1)(z -λ2) (z -λn )x i (t ) =?
无重根
其中，中间或许会有δ(t ) 。此根只与系统的自身A 有关，所以称为系统特征根。 m 为z 函数的分子的最高次数，n 为z 函数的分母的最高次数. 则m ≤n 且m
例如，上节的宏观经济乘数加速数模型中，由于只是求周期，不要求具体变化规律，所以我们可以直接采用上述结果。
直接找特征根，q=a=G(t)=0时（外部输入量）
⎧Y (t ) =C (t ) +I (t )
⎧Y (t ) =(1+k ) C (t ) -kC (t -1) ⎪
⇒⎨⎨C (t ) =bY (t -1)
⎪I (t ) =k (C (t ) -C (t -1)) ⎩C (t ) =bY (t -1) ⎩
⎧Y (t ) =b (1+k ) Y (t -1) -kC (t -1) ⇒⎨
⎩C (t ) =bY (t -1)
矩阵方程：⎢
⎡Y (t ) ⎤⎡b (1+k ) -k ⎤⎡Y (t -1) ⎤
=⎢⎥⎢⎥0⎥⎣C (t ) ⎦⎣b ⎦⎣C (t -1) ⎦⎡b (1+k ) -k ⎤
A =⎢⎥0⎦⎣b
z -b (1+k ) k
特征方程：zI -A ==z 2-b (1+k ) z +bk
-b z
当b=0.5, k=2时有
zI -A =z 2-b (1+k ) z +bk =z 2-1. 5z +1=0
z 1, 2=0. 75±0. 6614j =cos 41. 41±j sin 41. 41
360
所以周期为T ==8. 69年
41. 41
如没有外界输入，系统将无休止的波动。
亦即，对于一个宏观经济系统，如果是用线性方程组来描述，当输入为0时，一定可以写成差分方程组；同时，一定可以表示为标准形式（状态方程），则有状态矩阵、特征方程、特征根。
所有状态变量为特征根的t 次方的线性组合。
2. 前面我们假设输入为0，如果G 不为0 出现干扰项，则有：
⎡Y (t ) ⎤⎡b (1+k ) -k ⎤⎡Y (t -1) ⎤⎡a +q +ak 1⎤⎡1⎤
+⎢⎢C (t ) ⎥=⎢b ⎥⎢⎥⎥⎢⎥0⎦⎣C (t -1) ⎦⎣a 0⎦⎣G (t ) ⎦⎣⎦⎣
为状态矩阵 问题：x (t ) 的解与A 及u(z)的特征根都有什么关系？ 首先，常数a 的特征根为1。因为h (z ) =
az
z -1
其次，对于u (t ) 这一个干扰项（输入）可以证明：u (t +1) =Hu (t )
⎤⎡1⎤⎡10⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1
= 如⎢那么 =⎢⎢⎥⎢⎢⎥t ⎥t +1⎥t ⎥G (t ) ⎣⎦⎣10⨯1. 1⎦⎣10⨯1. 1⎦⎣01. 1⎦⎣10⨯1. 1⎦
最后，⎨
⎧x (t +1) =Ax (t ) +Bu (t ) ⎡x (t +1) ⎤⎛A B ⎫⎡x (t ) ⎤
⎪⇒⎢= ⎥⎢⎥ ⎪
⎩u (t +1) =Hu (t ) ⎣u (t +1) ⎦⎝0H ⎭⎣u (t ) ⎦
即将输入的干扰项转为系统内，变成一个新系统。
如果
⎛A 0⎝
⎛λ1
B ⎫ 0⎪=T 0H ⎪⎭
0⎝
t
0**h 10
t
λ2
00
t
*⎫⎪*⎪-1
T ⎪0⎪h 2⎪⎭
t
那么 x i (t ) =α1λ1+α2λ2+β1h 1+β2h 2
即系统内的任一变化规律为：固有根与外部根的叠加。
总结：
1）线性系统如果可以写成差分方程，则一定可以写成标准方程（状态方程） 2）有输入，一定有输出 3）设系统固有根λ1,
h 1=12 4）x i (t ) =α11. 1t +α20. 8t +β11. 2t +β21t 对其考察变化情况。
以上，求出了反映系统特征的规律，虽不是最终解，但可以反映系统的特征，可以讨论系统的其他特性（增长率、周期等），并可以简化计算。
λ2，输入干扰根h 1, h 2。
三、课后作业
1．生态平衡模型
自然界万物的运动变化的规律是很复杂的，如我们前面讲到的，兔口、人口模型，可以自然繁殖，在生存环境很好的情况下，就会成灾；但一些动物，如鱼类，人们的捕捞可以使自然繁殖速率下降，而过量的捕捞，则可造成渔业资源的枯竭。只有适当的捕捞才可以达到渔业资源的生态平衡。
而我国近几十年经常会发生对资源的过渡索取，如‘黄花鱼’。
对环境保护也有生态平衡问题。农药施肥、化工厂、汽车尾气、等对环境造成的污染，必须加以控制以维护环境的平衡。
对于生态环境的变化，用数学方程描述十分的复杂。一般使非线性差分方程或非线性微分方程。但也有一些情况，使用线性差分方程描述其运动规律也有一定的准确性，下面举例说明线性差分方程在研究生态平衡中的应用。
如，年轻人吸烟，会有尼古丁的吸入体内，故留在肺、血液中，由医学上的测定，我们可以知道，尼古丁经由肺、血液时的故留量和排放量的百分比如下： 1mg/天 21设：第t 天肺中的尼古丁含量为 x 1(t ) ， 第t 天血液中的尼古丁含量为 x 2(t ) ，
问：在肺和血液中如何分布，达到平衡时肺和血液中尼古丁的含量比为多少？（先看是否可以达到平衡，及比例lim
t →∞
x 1(t )
=? ） x 2(t )
（提示：此题建模后通过对特征根讨论来求解分布函数）