探索勾股定理

探索勾股定理（二）

学习目标：

(一)知识与技能

1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.

2.运用勾股解决一些实际问题.

(二)过程与方法

1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.

2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.

(三)情感、态度与价值观

利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献.借助对学生进行爱国主义教育.并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣.

教学重点

勾股定理的证明及其应用.

教学难点

勾股定理的证明.

教学方法

教师引导和学生自主探索相结合的方法.

在用拼图的方法验证勾股定理的过程中.教师要引导学生善于联想，将形的问题与数的问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题.

教具准备

1.每个学生准备一张硬纸板、投影片三张. 一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证。

下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学们交流。

在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P8图1—5）接着提问：

大正方形的面积可表示为什么？

1ab4c22同学们回答有两种可能：（1）(ab) （2）2

在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。

(ab)21ab4c2

2

请同学们对上式进行化简，得到：

a22abb22abc2即 a2b2c2

这就可以从理论上说明了勾股定理存在。

二、介绍与公股定理有关的历史：

1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思想体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．

［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？

［师］可以．如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．

［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．

［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．

［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表111

2示为2（a+b）·（a+b），又可以表示为2ab×2+c．对比两种表示方法可得2（a+b）·（a+b）1

2222= 2ab×2+c．化简，可得a+b=c．

［师］很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．

三、讲解例题

例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？

分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的

∠C＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就

要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ ABC的斜边

AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一

定要注意单位的换算。

222222BCABAC549(千米) 解：由勾股定理得

即 BC=3千米

飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：

3600354020（千米／时）

答：飞机每小时飞行 540千米。

例二、我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮助 小王计算敌方汽车的速度吗？

分析：根据题意：可以画出图如右图：

其中A点表示小王所在位置，C、B点表示两个时刻敌方 C B

汽车的位置，由于小王距离公路400米，因此∠C是直角，

那么就可以由勾股定理来解决这个问题了。

222解：由勾股定理，可以得到AB＝BC+AC，也就是：

222500＝BC+400，所以BC＝300

敌方汽车10秒行驶了300米，那么它1小时行驶

的距离为300×6×6＝10800米，即它行驶的速度为

108千米/时。

A

四、课时小结

这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题．

五、课后作业

1．课本P11，习题6．2．

2．收集关于勾股定理的证明方法．

六、活动与探究

如下图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木齐，问葛藤长多少？

过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系．但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边．

结果：根据题意，可得一条直角边（即高）长2丈即20尺，另一条直角边（即底边）

2222长7×3=21（尺），因此葛藤长设为x尺，则有x=20+21=841=29，所以x=29尺，即葛藤

长为29尺．

探索勾股定理（二）

学习目标：

(一)知识与技能

1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.

2.运用勾股解决一些实际问题.

(二)过程与方法

1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.

2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.

(三)情感、态度与价值观

利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献.借助对学生进行爱国主义教育.并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣.

教学重点

勾股定理的证明及其应用.

教学难点

勾股定理的证明.

教学方法

教师引导和学生自主探索相结合的方法.

在用拼图的方法验证勾股定理的过程中.教师要引导学生善于联想，将形的问题与数的问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题.

教具准备

1.每个学生准备一张硬纸板、投影片三张. 一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证。

下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学们交流。

在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P8图1—5）接着提问：

大正方形的面积可表示为什么？

1ab4c22同学们回答有两种可能：（1）(ab) （2）2

在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。

(ab)21ab4c2

2

请同学们对上式进行化简，得到：

a22abb22abc2即 a2b2c2

这就可以从理论上说明了勾股定理存在。

二、介绍与公股定理有关的历史：

1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思想体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．

［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？

［师］可以．如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．

［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．

［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．

［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表111

2示为2（a+b）·（a+b），又可以表示为2ab×2+c．对比两种表示方法可得2（a+b）·（a+b）1

2222= 2ab×2+c．化简，可得a+b=c．

［师］很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．

三、讲解例题

例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？

分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的

∠C＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就

要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ ABC的斜边

AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一

定要注意单位的换算。

222222BCABAC549(千米) 解：由勾股定理得

即 BC=3千米

飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：

3600354020（千米／时）

答：飞机每小时飞行 540千米。

例二、我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮助 小王计算敌方汽车的速度吗？

分析：根据题意：可以画出图如右图：

其中A点表示小王所在位置，C、B点表示两个时刻敌方 C B

汽车的位置，由于小王距离公路400米，因此∠C是直角，

那么就可以由勾股定理来解决这个问题了。

222解：由勾股定理，可以得到AB＝BC+AC，也就是：

222500＝BC+400，所以BC＝300

敌方汽车10秒行驶了300米，那么它1小时行驶

的距离为300×6×6＝10800米，即它行驶的速度为

108千米/时。

A

四、课时小结

这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题．

五、课后作业

1．课本P11，习题6．2．

2．收集关于勾股定理的证明方法．

六、活动与探究

如下图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木齐，问葛藤长多少？

过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系．但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边．

结果：根据题意，可得一条直角边（即高）长2丈即20尺，另一条直角边（即底边）

2222长7×3=21（尺），因此葛藤长设为x尺，则有x=20+21=841=29，所以x=29尺，即葛藤

长为29尺．