构造等差数列解三角题
祁福元
在三角函数问题中，根据题中的信息，利用等差中项a +c =2b 的特征，构造相应的等差数列，可改变问题的原有结构，能沟通三角与代数的相互转化，往往会优化解题思路。
一、利用两个函数的和为定值构造数列
例1. 已知sin θ+cos θ=1
5θ=⎛
， π⎝2, π⎫⎪⎭，则cot θ=_____________________。
解：sin θ+cos θ=11
5=2⨯10
构造数列sin θ, 1
10, cos θ
设sin θ=1
10-d , cos θ=1
10+d
θ∈⎛
由 π⎫1
⎝2, π⎪⎭知10+d
即d
10
又由sin 2θ+cos 2θ=1
⎛22
得 1
⎝10-d ⎫⎪⎛1
⎭+ ⎫
⎝10+d ⎪⎭=1
解得d =-7
10
所以sin θ=863
10，cos θ=-10，cot θ=-4
例2. 已知A s 2i x +n B c 2o x =s C , a s x i +b n c x o =0s (a ≠0, b ≠0)
2a b +(b A 2-a 2) B +(a 2+b 2) C =0。
证明：a sin x +b cos x =2⨯0(a ≠0, b ≠0)
构造数列a sin x , 0, b cos x
设a sin x =d , b cos x =-d ，则
22
s i n 2x +c o s 2x =⎛d ⎫⎛-d ⎫
⎝a ⎪⎭+ ⎝b ⎪⎭=1
a 22
所以d 2=b
a 2+b 2
所以C =A sin 2x +B cos 2x =2A sin x cos x +B (cos 2x -sin 2x ) 求证，
-2Ad 2Bd 2(a 2-b 2) =+ab a 2b 2
B (a 2-b 2) -2Aab =a 2+b 2
2222 所以2abA +(b -a ) B +(a +b ) C =0
二、利用两角和为定值构造数列
例3. 在△ABC 中，a +c =2b ，
解：A -C =π3，sin B =____________________。 A +(-C ) =A -C =ππ=2⨯36
π-C , , A 6 构造数列
ππA =+d , -C =-d 66 设，则
πC =d -, A +C =2d 6
所以sin B =sin [π-(A +C ) ]=sin 2d
因为a +c =2b
所以2R sin A +2R sin C =2⋅2R sin B
所以sin A +sin C =2sin B
π⎫⎛π⎫⎛sin +d ⎪+sin d -⎪=2sin 2d 6⎭⎭⎝ 即⎝6
所以2sin d cos π
6
d c o s d =2⨯2s i n
cos d =4 所以
由
故sin d >0 -C =π5πππ-d
3=164 所以
所以sin B =sin 2d sin d =-
=2⋅⋅=448
112A -C +=-cos cos B ，求2的值。 例4. 在△ABC 中，A +C =2B ，且cos A cos C
解：因为A+C=2B
所以A+B+C=2B+B=180°
所以B=60°
所以A+C=120°=2×60°
构造数列60°+α，60°，60°－α，则
11+cos A cos C
11=+cos(60︒+α) cos(60︒-α)
2 化简，得4cos α+2cos α-3=0 =-2cos 60︒
⎧0︒
得-60︒
-2+2+4⨯4⨯32=2⨯42 所以
(60︒+α) -(60︒-α) A -C cos =cos 22 所以 cos α=
三、变量代换构造数列 =cos α=22
2sin A +2的最小值。 例5. 若A 为三角形的一个内角，试求sin A
2sin A t +=t =2⨯22 解：设sin A
因为A 为三角形内角，所以00
2t sin A , , 2 构造数列sin A 2
2t sin A t =+d , =-d 22 设sin A 2
t t 1+d ≥2, 0
t t 1d ≥2-, d ≥-222 即
3d ≥4 两式相加，得
⎛t ⎫=sin A =2 -d ⎪t ⎝2⎭+d 由2
t 2
-d 2=1 得4 2
255⎛3⎫t =4d +4≥4⨯ ⎪+4=, t ≥42 ⎝4⎭ 所以
53t =d =2、4时 因为当222
⎛5s i n A =2 -⎝4 3⎫⎪=14⎭
sin A ⎫5⎛2π+= ⎪A =2⎭最小2 2时，⎝sin A 当
例6. 求y =sin x cos x +sin x +cos x 的最大值。
解：设sin x +cos x =t =2⨯t
2
π⎫⎛sin x +cos x =2sin x +⎪4⎭ ⎝ 因为
所以t ∈-2, 2 []
t sin x , , cos x 2 构造数列
t t sin x =-d , cos x =+d 22 设
1y =t 2+t -d 2
4 于是，t ∈-2, 2
-b -1t 顶点===-2
1f (t ) =t 2+t 24 所以-2, 2为的增区间，且f (t ) 最大、d 最小时，y 有最大值。 []
所以当t =2、d =0、
即sin x =cos x =22 x =2k π+π(k ∈Z ) 4
2
y 最大
2)=4+2=1+22
构造等差数列解三角题
祁福元
在三角函数问题中，根据题中的信息，利用等差中项a +c =2b 的特征，构造相应的等差数列，可改变问题的原有结构，能沟通三角与代数的相互转化，往往会优化解题思路。
一、利用两个函数的和为定值构造数列
例1. 已知sin θ+cos θ=1
5θ=⎛
， π⎝2, π⎫⎪⎭，则cot θ=_____________________。
解：sin θ+cos θ=11
5=2⨯10
构造数列sin θ, 1
10, cos θ
设sin θ=1
10-d , cos θ=1
10+d
θ∈⎛
由 π⎫1
⎝2, π⎪⎭知10+d
即d
10
又由sin 2θ+cos 2θ=1
⎛22
得 1
⎝10-d ⎫⎪⎛1
⎭+ ⎫
⎝10+d ⎪⎭=1
解得d =-7
10
所以sin θ=863
10，cos θ=-10，cot θ=-4
例2. 已知A s 2i x +n B c 2o x =s C , a s x i +b n c x o =0s (a ≠0, b ≠0)
2a b +(b A 2-a 2) B +(a 2+b 2) C =0。
证明：a sin x +b cos x =2⨯0(a ≠0, b ≠0)
构造数列a sin x , 0, b cos x
设a sin x =d , b cos x =-d ，则
22
s i n 2x +c o s 2x =⎛d ⎫⎛-d ⎫
⎝a ⎪⎭+ ⎝b ⎪⎭=1
a 22
所以d 2=b
a 2+b 2
所以C =A sin 2x +B cos 2x =2A sin x cos x +B (cos 2x -sin 2x ) 求证，
-2Ad 2Bd 2(a 2-b 2) =+ab a 2b 2
B (a 2-b 2) -2Aab =a 2+b 2
2222 所以2abA +(b -a ) B +(a +b ) C =0
二、利用两角和为定值构造数列
例3. 在△ABC 中，a +c =2b ，
解：A -C =π3，sin B =____________________。 A +(-C ) =A -C =ππ=2⨯36
π-C , , A 6 构造数列
ππA =+d , -C =-d 66 设，则
πC =d -, A +C =2d 6
所以sin B =sin [π-(A +C ) ]=sin 2d
因为a +c =2b
所以2R sin A +2R sin C =2⋅2R sin B
所以sin A +sin C =2sin B
π⎫⎛π⎫⎛sin +d ⎪+sin d -⎪=2sin 2d 6⎭⎭⎝ 即⎝6
所以2sin d cos π
6
d c o s d =2⨯2s i n
cos d =4 所以
由
故sin d >0 -C =π5πππ-d
3=164 所以
所以sin B =sin 2d sin d =-
=2⋅⋅=448
112A -C +=-cos cos B ，求2的值。 例4. 在△ABC 中，A +C =2B ，且cos A cos C
解：因为A+C=2B
所以A+B+C=2B+B=180°
所以B=60°
所以A+C=120°=2×60°
构造数列60°+α，60°，60°－α，则
11+cos A cos C
11=+cos(60︒+α) cos(60︒-α)
2 化简，得4cos α+2cos α-3=0 =-2cos 60︒
⎧0︒
得-60︒
-2+2+4⨯4⨯32=2⨯42 所以
(60︒+α) -(60︒-α) A -C cos =cos 22 所以 cos α=
三、变量代换构造数列 =cos α=22
2sin A +2的最小值。 例5. 若A 为三角形的一个内角，试求sin A
2sin A t +=t =2⨯22 解：设sin A
因为A 为三角形内角，所以00
2t sin A , , 2 构造数列sin A 2
2t sin A t =+d , =-d 22 设sin A 2
t t 1+d ≥2, 0
t t 1d ≥2-, d ≥-222 即
3d ≥4 两式相加，得
⎛t ⎫=sin A =2 -d ⎪t ⎝2⎭+d 由2
t 2
-d 2=1 得4 2
255⎛3⎫t =4d +4≥4⨯ ⎪+4=, t ≥42 ⎝4⎭ 所以
53t =d =2、4时 因为当222
⎛5s i n A =2 -⎝4 3⎫⎪=14⎭
sin A ⎫5⎛2π+= ⎪A =2⎭最小2 2时，⎝sin A 当
例6. 求y =sin x cos x +sin x +cos x 的最大值。
解：设sin x +cos x =t =2⨯t
2
π⎫⎛sin x +cos x =2sin x +⎪4⎭ ⎝ 因为
所以t ∈-2, 2 []
t sin x , , cos x 2 构造数列
t t sin x =-d , cos x =+d 22 设
1y =t 2+t -d 2
4 于是，t ∈-2, 2
-b -1t 顶点===-2
1f (t ) =t 2+t 24 所以-2, 2为的增区间，且f (t ) 最大、d 最小时，y 有最大值。 []
所以当t =2、d =0、
即sin x =cos x =22 x =2k π+π(k ∈Z ) 4
2
y 最大
2)=4+2=1+22