估计大学城占地面积模型数学建模

估计大学城占地面积模型

摘要：本文在提供的少数记录的数据情况下进行多项插值和拟合，得到汽车行驶的速率v、方向角关于时间t的拟合曲线。在给出足够小的单位时间t，得到无数多个汽车行驶位置的点坐标，接着利用微元思想，把行走的曲线路程看成无数多个微小线段，建立了微元模型来求解汽车行驶总的路程，用数值逼近法求出最后点坐标及验证。

在估计大学城面积时，先通过计算机模拟得到汽车行驶的散点图，通过微元思想，把总面积分成无数个梯形的面积，并用matlab编程求解，还用变步长比较法对结果进行验证。根据问题中要求，利用最小二乘法进行多次线性拟合，先简单得到了直角坐标系下汽车行驶路程的参数函数表达式，对模型进一步改进，建立了阿基米德猜想模型，猜想得到的阿基米德曲线，通过VB编程比较汽车行驶的路程曲线和阿基米德曲线，发现非常相似，验证了猜想的正确性，并用VB编程编程求解出模拟的阿基米德曲线函数表达式，最后利用积分求其面积和微元思想求解决下的面积十分接近，进一步验证其结果。

关键字：多项插值和拟合；微元思想；数值逼近；计算机模拟；阿基米德曲线

1 问题的重述

领导视察大学城，坐车从大学城边界上某处出发，沿边界行驶了15分钟45秒，然后作90º左拐弯沿直线边界直奔起点。下表给出了汽车在前15分钟45秒行驶过程中每隔2分钟左右的记录数据。

时间 ti ( 分 )

0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 15.75

速率vi（公里/分） 0 0.67 0.85 0.97 1.07 1.15 1.22 1.29 1.34 方向角  ( 度 ) 0 91 144 189 229 266 300 333 360

i

请你根据提供的数据，

(1) 估计汽车绕大学城行驶的总的路程； (2) 估计大学城的占地面积；

(3) 确定该汽车的行驶路线的函数表达式。

2 问题的分析

针对问题一，首先对问题中所给的数据，用最小二乘法对其进行多次线性拟合，分析拟合图象的残差平方的大小，从而找到比较正确的拟合曲线和起对应的函数关系式。然后利用微元法，给出总够小的单位时间t，利用拟合所得到的函数关系式，得出对应的速率和方向角，计算出任意时刻的水平速度大小和垂直速度大小，然后计算单位时间t内汽车所行驶的水平位移和垂直位移，接着把所得到的无数个单位时间t内的汽车所行驶的距离累加，就得到汽车在15.75分之前行驶的路程s1。把前面i个单位时间t内所行驶的位移进行累加得到的位移就是任意点的坐标(sxi,syi)，也就可以得到15.75时刻所对应的点坐标，就可以计算出汽车在15.75分后所行驶的直线路程s2。那么汽车绕大学城行驶的总的路程为s1+s2。

针对问题二，首先给出单位时间t=0.1，根据问题一所建立的微元模型得到158个散点(sxi,syi)，然后利用计算机数值模拟，得到第i个单位时间t与第i1个单位时间t与y轴围成的梯形面积Mi，汽车行驶的轨迹与y轴围成的面积，即大学城的占地总面积M。更改单位时间t，同样计算到汽车行驶的轨迹与y轴围成的面积，即大学城的占地总面积M'，分析两者之间的误差百分比，从而来验证建立的模型的正确性、合理性，以及计算估计得到的大学城面积的正确性。

针对问题三，把汽车行驶任意位置分解为点坐标(sxi,syi)，通过多次线性拟合得到两条曲线，并求出sxi和syi关于t的函数表达式，建立参数线性模型，得出汽车行驶的路程参数函数表达式。分析sy关于sx的散点图象，看看有没有和一些特殊的曲线相吻合，从而求出更简单的汽车行驶的路程函数表达式。

3 模型的假设

1）假设每次所记录的数据都是准确的，不考虑记录数据误差； 2）假设测量速率和方向角的时候，不考虑环境因素；

3）假设整个测量过程都是连续的，没有断点，即没有任何意外事件发生； 4）假设汽车所行驶的路程是平面的，不考虑有斜坡的情况； 5）假设以汽车起始点为原点，建立直角坐标系。

4 符号说明

v  t f(t) g(t)

t v' ' vx vy

' vxi

汽车行驶的速率 汽车行驶的方向角 汽车行驶的时间

汽车行驶的速率与时间t之间的函数关系 汽车行驶的方向角与时间t之间的函数关系 很小的单位时间

单位时间t时刻的汽车行驶速率 单位时间t时刻的汽车行驶方向角 单位时间t时刻的汽车行驶的水平速度 单位时间t时刻的汽车行驶的垂直速度 第i个单位时间t时汽车行驶的水平速度 第i个单位时间t内汽车行驶的水平位移 第i个单位时间t时汽车行驶的垂直速度 第i个单位时间t内汽车行驶的垂直位移 第i个单位时间t汽车行驶路程 15.75分之内汽车行驶的曲线路程

第i个单位时间t时汽车所在位置的水平位移 第i个单位时间t时汽车所在位置的垂直位移 汽车行驶任意位置点的坐标

15.75分后汽车行驶的直线路程 汽车绕大学城行驶的总的路程

第i个单位时间t与第i1个单位时间t与y轴围成的面积 汽车行驶的轨迹与y轴围成的面积，即大学城的占地总面积 面积误差百分比

汽车行驶的轨迹在x轴上的分量与时间t的函数关系 汽车行驶的轨迹在y轴上的分量与时间t的函数关系 任意时刻下汽车所在位置到原点的距离 阿基米德曲线的参数 阿基米德曲线的修正参数

sxi

v'yi syi si s1 sxi

syi (sxi,syi) s2 s总 Mi

M

 x(t) y(t) r ai bi

5 模型的建立和求解

5.1问题一模型的建立和求解 5.1.1微元模型的建立

假设速率v和方向角关于时间t的函数关系为：

vf(t)



g(t)

利用微元法，为出多个连续的时间t，对应的有多个速率v'和时间'有：

v'f(ti)

'

g(ti)

建立直角坐标系，对该时刻的速度进行分解为：

'''

vvcos()x180



v'v'sin(')y

180

'

得出水平方向上每个单位t速度大小为vxi，每个单位t所对应的sx，其关系式为： ti1,2,3,....

2

'

得出垂直方向上每个单位t速度大小为vxi，每个单位t所对应的sy，其关系式为：

syi

(v'yiv'yi1)

2

t

i1,2,3,....

sxi

''

(vxv)xii1

单位时间t所总过的路程：

sii1,2,3,...

根据微分法，汽车在15.75时间内所走过的总路程为：

s1si

i1n

i1,2,3,...,n

时间ti时刻所对应的坐标(sxi,syi)：

i



sxisxik1

i

ss

yiyi

k1

记15.75时刻的坐标为(sxn,syn)。

那么从此点90º左拐弯沿直线到起始点(0,0)的距离为：

s2所以汽车绕大学城行驶的总的路程为：

s总s1s2 5.1.2微元模型的求解

利用多项插值和拟合对所测量的速率v和时间t进行多次拟合并比较，得出两者之间的函数关系式为了避免复杂性，在这里我们只考虑两者之间的线性关系，在分析是几次线性拟合的情况下，首先画出散点图，容易分析得到两者之间的函数关系为抛物线，然后用拟合工具箱cftool分别拟合出2次、3次、4次的线性拟合图象，经分析拟合的曲线的惨差平方，得到那次拟合为相对较佳拟合。通过matlab求得到v—t的函数关系式为：

f(t)=0.00001741t5-0.0008155t4 + 0.01439t3 -0.1196t2+ 0.5131t + 0.003557 拟合图象为：

同样的理论和方法，可以得到方向角—t的函数关系式：

g(t)=-0.009094t4+ 0.3605t3 -5.305t2 + 52.39t +1.136

拟合图象为：

给出单位时间t=0:0.05:15.75，在单位时间t0.05分=3秒，汽车行驶的速率变化大

小为v0.0289公里/分= 0.7225米/秒，汽车行驶的方向角的变化大小为3.7423度，根据上面给出的问题一的模型，通过matlab软件对其进行求解得：

s1si15.5294，

i1n

通过建立好的模型，可以得到在15.75这一时的点为(sxn,syn)(-0.2209,-5.1495)，那么从此点90º左拐弯沿直线到起始点(0,0)的距离为：

s25.1542

所以汽车绕大学城行驶的总的路程为：

s总s1s215.52945.154220.6836 5.1.3微元模型的检验

在15.75时刻，实际数据中：

')1.34、vy'v'sin(')0 v'1.34、'360、vx'v'cos(180180

通过多次线形拟合得到的f(t)、g(t)，得到的数据为：



')1.3295、vy'v'sin(')-0.0191 v'1.3297、'359.1755、vx'v'cos(180180

数据比较接近，拟合得到的曲线基本正确，这为模型的求解奠定了坚固的基础，微元模型求得的汽车行驶的总路程具有正确性。

给出的最后一个点(sxn,syn)(-0.2209,-5.1495)，分析得到的最后一点横坐标sxn0，计算机模拟总共有351个点，下面给出倒数8个点的坐标为：

i=1344 345 346 347 348 349 350 351 sxn  -0.6819 -0.6165 -0.5510 -0.4854 -0.4195 -0.3535 -0.2873 -0.2209



s -5.1262 -5.1316 -5.1363 -5.1403 -5.1437 -5.1463 -5.1482

-5.1495 运用数值逼近法，比较最后几个点的纵坐标，相隔在0.01~0.02之间，可以猜想最后一个为-5.145~-5.155之间，那么这样猜想得出来更加正确的坐标点为(0,15.5)，所以90º左拐弯沿直线到起始点(0,0)的距离：

s25.15

即汽车绕大学城行驶的总的路程为：

s总s1s215.52945.1520.6794

与模型中求解的数据基本吻合，误差在0.01之内，相对总路程，误差是微乎其微的。 5.2 问题2模型的建立和求解 5.2.1计算机数值模拟模型的建立

根据模型一中用matlab求得的任意点的坐标为(sxi,syi)，通过给出的t=0:0.05:15.75得到的315个(sx1,sy1),(sx2,sy2),...,(sx351,sy351)散点图，图形如下：

32

10-1

y

-2-3-4-5-6-5

-4-3

-2x

-101

容易得知，通过计算机模拟得到的汽车行驶轨迹图象是阿基米得的曲线的一部分。 同样利用微元法，在单位时间t内得到的n个点(sx1,sy1),(sx2,sy2),...,(sxn,syn)，因为每两个相邻的两个与y轴所构成的面积为Mi,如图所示：

说明：(xi,yi)(sxi,syi)

汽车所行驶的轨迹与y轴所围城的面积M即是大学城占地面积：

Mi

(sxisxi1)(syi1syi)

2

MMi

i1n

5.2.2计算机数值模拟模型的求解

给出t=0:0.1:15.75，根据问题一中所给出的模型得到158个点(sxi,syi)，利用matlab软件求得：

MMi

i1

i1

158158

(sxisxi1)(syi1syi)

2

 29.9814

5.2.3计算机数值模拟模型的检验

给出t=0:0.05:15.75，根据问题一中得到的315个点(sxi,syi)，利用matlab软件求得：

2

比较两次单位时间t为0.1和0.05两者情况下，所求得面积的误差百分比：

29.9855-29.9814100%0.01367%

29.9855

误差百分比为0.01367%，对所估计的大学城面积来讲影响很小，所以该模型所计算求得的大学城面积具有相对准确性。

i1

i1

MMi

351351

(sxisxi1)(syi1syi)

29.9855

5.3 问题3模型的建立和求解 5.3.1 线性模型的建立

通过直观上分析汽车行驶轨迹图象，不是一般的规则图象，很困难通过线性拟合或者非线形拟合得到其函数表达式。先拟合得到任意点(sxi,syi)，横坐标sxi和纵坐标syi关于时间t的散点图，图形如下：

y vs tx vs t

0246

8t

10121416

通过matlab中的拟合工具相对其进行拟合比较，得到一些提示如下，经过多次线性拟合出sxi和syi关于时t的函数关系x(t)、y(t)，得出汽车在15.75分内行驶的路程参数函数表达式为：

sxx(t)



sxy(t)

5.3.2线性模型的求解

横坐标

s关于时间t的散点图如下：

0t15.75

xi 横坐标

s关于时间t的散点图如下：

sx= -0.0007713t5 + 0.02327t4 -0.08742t3 -1.822t2 +6.88t -2.255

此时，横坐标syi关于时间t的函数关系式为：

sy= -0.00008732t5+0.004614t4 -0.07861t3 + 0.431 t2 -0.2715t +0.03684 i

得出汽车行驶路程的参数函数表达式为： x(t)-0.0007713t5+0.02327t4-0.08742t3-1.822t2+6.88t-2.2555432

y(t) -0.00008732t+0.004614t -0.07861t+ 0.431t-0.2715t +0.03684注：汽车在15.75分后汽车是沿着y轴行驶 5.3.3 阿基米德猜想模型

0t15.75

通过查阅资料，分析发现汽车路径曲线与阿基米德螺线十分相似，得到阿基米德曲线的极坐标函数表达式为：

r=a+b

前面已经知道点汽车行驶任意位置的点坐标(sxi,syi)，那么：

ry

arctan()

x

sxrcos()



srsin()y

的参数，同时引入修正参数b，因为通过计算机不断修正阿基米德螺线方程ra

riaiibi，给出无数多个点(sxi,syi)，即可以得到无数多个ri和i，再根据微分原理，单位时间内相邻两点的参数认为基本相同，得到：

riaiibir1a11b1r2a22b2

,,,

rabrabrab232ii1i21213i1

这样可以求得 a1,a2,,ai和b1,b2,,bi那么：

aaaia12

i

bbbib12

i

通过计算机VB编程得到：

a1.29b0.012

固汽车行驶路程的阿基米德函数表达式为：

3

r=1.29+0.0120

2

通过VB编程比较(sxi,syi)散点图和求得的阿基米德曲线比较，得到下图：

5.3.4 改进模型的验证

汽车行驶的行驶路线即求得到的阿基米德曲线r=1.29+0.012，通过求积分：

13dMr2d0 22

通过计算机VB编程，得到大学城的面积：M29.1958

11

问题二中，求解得到的M=29.9814，数据非常接近，即验证结果的可信度。

6 模型的评价与推广

6.1模型的评价

6.1.1模型的优点

1）在问题一中，首先对所给的少数个数据，进行多项插值和拟合得到汽车行驶速率v和方向角关于时间t的函数曲线，并通过计算机随机抽取多个数据，与实际记录数据进行比较，从而来验证拟合的正确性。

2）在求解模型一时，采取步长单位时间t0.05，得到了315个汽车行驶的位置点，通过微分思想，针对问题所给出的不同角度下对其随建立了微分模型，最后拟合得到的曲线与散点图十分吻合，采取的步长也在现实数据可以接受的范围之内。

3）在解模型二时，在问题一所求得的不同坐标点位置的基础上把所求的总面积进行计算机数值模拟，建立了计算机数值模拟模型，把所需要求的面积分个多个很小的梯形面积，最后累加得到的大学城总面积，并通过变步长误差法，来验证模型二结果的正确性。误差为0.01367%，模型二得到的结果给现实工程中提供的数据，参考价值很高。

4）在问题三的求解路程程函数表达式，我们把s分解为(sxi,syi)，且分别对sxi和syi求出关于t的表达式，建立了参数线性模型。在改进后的模型，通过把路径曲线与阿基米德螺线比较后出奇相识，用计算机修正、模拟代定参数，得到了与路径曲线比较一致的曲线，进而得到了更为简洁的路径函数表达式。

6.1.2模型缺点

1）在求解模型一时，第15.75分时刻行驶方向角为359.1755度，速率为1.3297，而实际方向角为360度，速率为1.34，虽然基本相近，但是还是存在一定的误差。

2）拟合曲线时都是进行多次线性拟合，没考虑非线性拟合。

3）在模型三中，猜想得到的轨迹曲线为阿基米德曲线，通过计算机修正得到的a的值有一定的误差，两个曲线相比较也有一定的出入。

6.2模型的推广

在估算大学城面积问题中通过计算机数值模拟，得到的结果与在第三问中建立的阿基米德螺线方程积分后的结果十分接近。因此建立的计算机数值模型可以在具有多数值计算的求解中比较准确地得到结果，例如计算机模拟火灾模型，模拟捕鱼模型等

对于问题三，我们分别对sxi和syi求出关于t的表达式，是通过复杂曲线转化为相对

简单的单一变量函数关系式，建立的参数线性模型为求解复杂函数表达式提供了新思路。在模型的改进分析中，通过计算机修正阿基米德参数方程，方程式积分计算后得到的结果不仅是结果相近，也验证了改进后的模型更为合理。因此在数学建模的建立中，应用猜想思想也同样重要，进而使模型更加简明，结果更加合理。

参考文献：

[1] 张立科，MATLAB7.0从入门到精通，北京：人民邮电出版社，2006.3，128-143。

[2] 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8，294-322。

[3] 宁正元，Visual Basic 程序设计教程，北京：清华大学出版社，2006.7，230-238。

[4] 陈纪修，数学分析（下册），北京：高等教育出版社，2004.2，128-216。

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估计大学城占地面积模型

摘要：本文在提供的少数记录的数据情况下进行多项插值和拟合，得到汽车行驶的速率v、方向角关于时间t的拟合曲线。在给出足够小的单位时间t，得到无数多个汽车行驶位置的点坐标，接着利用微元思想，把行走的曲线路程看成无数多个微小线段，建立了微元模型来求解汽车行驶总的路程，用数值逼近法求出最后点坐标及验证。

在估计大学城面积时，先通过计算机模拟得到汽车行驶的散点图，通过微元思想，把总面积分成无数个梯形的面积，并用matlab编程求解，还用变步长比较法对结果进行验证。根据问题中要求，利用最小二乘法进行多次线性拟合，先简单得到了直角坐标系下汽车行驶路程的参数函数表达式，对模型进一步改进，建立了阿基米德猜想模型，猜想得到的阿基米德曲线，通过VB编程比较汽车行驶的路程曲线和阿基米德曲线，发现非常相似，验证了猜想的正确性，并用VB编程编程求解出模拟的阿基米德曲线函数表达式，最后利用积分求其面积和微元思想求解决下的面积十分接近，进一步验证其结果。

关键字：多项插值和拟合；微元思想；数值逼近；计算机模拟；阿基米德曲线

1 问题的重述

领导视察大学城，坐车从大学城边界上某处出发，沿边界行驶了15分钟45秒，然后作90º左拐弯沿直线边界直奔起点。下表给出了汽车在前15分钟45秒行驶过程中每隔2分钟左右的记录数据。

时间 ti ( 分 )

0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 15.75

速率vi（公里/分） 0 0.67 0.85 0.97 1.07 1.15 1.22 1.29 1.34 方向角  ( 度 ) 0 91 144 189 229 266 300 333 360

i

请你根据提供的数据，

(1) 估计汽车绕大学城行驶的总的路程； (2) 估计大学城的占地面积；

(3) 确定该汽车的行驶路线的函数表达式。

2 问题的分析

针对问题一，首先对问题中所给的数据，用最小二乘法对其进行多次线性拟合，分析拟合图象的残差平方的大小，从而找到比较正确的拟合曲线和起对应的函数关系式。然后利用微元法，给出总够小的单位时间t，利用拟合所得到的函数关系式，得出对应的速率和方向角，计算出任意时刻的水平速度大小和垂直速度大小，然后计算单位时间t内汽车所行驶的水平位移和垂直位移，接着把所得到的无数个单位时间t内的汽车所行驶的距离累加，就得到汽车在15.75分之前行驶的路程s1。把前面i个单位时间t内所行驶的位移进行累加得到的位移就是任意点的坐标(sxi,syi)，也就可以得到15.75时刻所对应的点坐标，就可以计算出汽车在15.75分后所行驶的直线路程s2。那么汽车绕大学城行驶的总的路程为s1+s2。

针对问题二，首先给出单位时间t=0.1，根据问题一所建立的微元模型得到158个散点(sxi,syi)，然后利用计算机数值模拟，得到第i个单位时间t与第i1个单位时间t与y轴围成的梯形面积Mi，汽车行驶的轨迹与y轴围成的面积，即大学城的占地总面积M。更改单位时间t，同样计算到汽车行驶的轨迹与y轴围成的面积，即大学城的占地总面积M'，分析两者之间的误差百分比，从而来验证建立的模型的正确性、合理性，以及计算估计得到的大学城面积的正确性。

针对问题三，把汽车行驶任意位置分解为点坐标(sxi,syi)，通过多次线性拟合得到两条曲线，并求出sxi和syi关于t的函数表达式，建立参数线性模型，得出汽车行驶的路程参数函数表达式。分析sy关于sx的散点图象，看看有没有和一些特殊的曲线相吻合，从而求出更简单的汽车行驶的路程函数表达式。

3 模型的假设

1）假设每次所记录的数据都是准确的，不考虑记录数据误差； 2）假设测量速率和方向角的时候，不考虑环境因素；

3）假设整个测量过程都是连续的，没有断点，即没有任何意外事件发生； 4）假设汽车所行驶的路程是平面的，不考虑有斜坡的情况； 5）假设以汽车起始点为原点，建立直角坐标系。

4 符号说明

v  t f(t) g(t)

t v' ' vx vy

' vxi

汽车行驶的速率 汽车行驶的方向角 汽车行驶的时间

汽车行驶的速率与时间t之间的函数关系 汽车行驶的方向角与时间t之间的函数关系 很小的单位时间

单位时间t时刻的汽车行驶速率 单位时间t时刻的汽车行驶方向角 单位时间t时刻的汽车行驶的水平速度 单位时间t时刻的汽车行驶的垂直速度 第i个单位时间t时汽车行驶的水平速度 第i个单位时间t内汽车行驶的水平位移 第i个单位时间t时汽车行驶的垂直速度 第i个单位时间t内汽车行驶的垂直位移 第i个单位时间t汽车行驶路程 15.75分之内汽车行驶的曲线路程

第i个单位时间t时汽车所在位置的水平位移 第i个单位时间t时汽车所在位置的垂直位移 汽车行驶任意位置点的坐标

15.75分后汽车行驶的直线路程 汽车绕大学城行驶的总的路程

第i个单位时间t与第i1个单位时间t与y轴围成的面积 汽车行驶的轨迹与y轴围成的面积，即大学城的占地总面积 面积误差百分比

汽车行驶的轨迹在x轴上的分量与时间t的函数关系 汽车行驶的轨迹在y轴上的分量与时间t的函数关系 任意时刻下汽车所在位置到原点的距离 阿基米德曲线的参数 阿基米德曲线的修正参数

sxi

v'yi syi si s1 sxi

syi (sxi,syi) s2 s总 Mi

M

 x(t) y(t) r ai bi

5 模型的建立和求解

5.1问题一模型的建立和求解 5.1.1微元模型的建立

假设速率v和方向角关于时间t的函数关系为：

vf(t)



g(t)

利用微元法，为出多个连续的时间t，对应的有多个速率v'和时间'有：

v'f(ti)

'

g(ti)

建立直角坐标系，对该时刻的速度进行分解为：

'''

vvcos()x180



v'v'sin(')y

180

'

得出水平方向上每个单位t速度大小为vxi，每个单位t所对应的sx，其关系式为： ti1,2,3,....

2

'

得出垂直方向上每个单位t速度大小为vxi，每个单位t所对应的sy，其关系式为：

syi

(v'yiv'yi1)

2

t

i1,2,3,....

sxi

''

(vxv)xii1

单位时间t所总过的路程：

sii1,2,3,...

根据微分法，汽车在15.75时间内所走过的总路程为：

s1si

i1n

i1,2,3,...,n

时间ti时刻所对应的坐标(sxi,syi)：

i



sxisxik1

i

ss

yiyi

k1

记15.75时刻的坐标为(sxn,syn)。

那么从此点90º左拐弯沿直线到起始点(0,0)的距离为：

s2所以汽车绕大学城行驶的总的路程为：

s总s1s2 5.1.2微元模型的求解

利用多项插值和拟合对所测量的速率v和时间t进行多次拟合并比较，得出两者之间的函数关系式为了避免复杂性，在这里我们只考虑两者之间的线性关系，在分析是几次线性拟合的情况下，首先画出散点图，容易分析得到两者之间的函数关系为抛物线，然后用拟合工具箱cftool分别拟合出2次、3次、4次的线性拟合图象，经分析拟合的曲线的惨差平方，得到那次拟合为相对较佳拟合。通过matlab求得到v—t的函数关系式为：

f(t)=0.00001741t5-0.0008155t4 + 0.01439t3 -0.1196t2+ 0.5131t + 0.003557 拟合图象为：

同样的理论和方法，可以得到方向角—t的函数关系式：

g(t)=-0.009094t4+ 0.3605t3 -5.305t2 + 52.39t +1.136

拟合图象为：

给出单位时间t=0:0.05:15.75，在单位时间t0.05分=3秒，汽车行驶的速率变化大

小为v0.0289公里/分= 0.7225米/秒，汽车行驶的方向角的变化大小为3.7423度，根据上面给出的问题一的模型，通过matlab软件对其进行求解得：

s1si15.5294，

i1n

通过建立好的模型，可以得到在15.75这一时的点为(sxn,syn)(-0.2209,-5.1495)，那么从此点90º左拐弯沿直线到起始点(0,0)的距离为：

s25.1542

所以汽车绕大学城行驶的总的路程为：

s总s1s215.52945.154220.6836 5.1.3微元模型的检验

在15.75时刻，实际数据中：

')1.34、vy'v'sin(')0 v'1.34、'360、vx'v'cos(180180

通过多次线形拟合得到的f(t)、g(t)，得到的数据为：



')1.3295、vy'v'sin(')-0.0191 v'1.3297、'359.1755、vx'v'cos(180180

数据比较接近，拟合得到的曲线基本正确，这为模型的求解奠定了坚固的基础，微元模型求得的汽车行驶的总路程具有正确性。

给出的最后一个点(sxn,syn)(-0.2209,-5.1495)，分析得到的最后一点横坐标sxn0，计算机模拟总共有351个点，下面给出倒数8个点的坐标为：

i=1344 345 346 347 348 349 350 351 sxn  -0.6819 -0.6165 -0.5510 -0.4854 -0.4195 -0.3535 -0.2873 -0.2209



s -5.1262 -5.1316 -5.1363 -5.1403 -5.1437 -5.1463 -5.1482

-5.1495 运用数值逼近法，比较最后几个点的纵坐标，相隔在0.01~0.02之间，可以猜想最后一个为-5.145~-5.155之间，那么这样猜想得出来更加正确的坐标点为(0,15.5)，所以90º左拐弯沿直线到起始点(0,0)的距离：

s25.15

即汽车绕大学城行驶的总的路程为：

s总s1s215.52945.1520.6794

与模型中求解的数据基本吻合，误差在0.01之内，相对总路程，误差是微乎其微的。 5.2 问题2模型的建立和求解 5.2.1计算机数值模拟模型的建立

根据模型一中用matlab求得的任意点的坐标为(sxi,syi)，通过给出的t=0:0.05:15.75得到的315个(sx1,sy1),(sx2,sy2),...,(sx351,sy351)散点图，图形如下：

32

10-1

y

-2-3-4-5-6-5

-4-3

-2x

-101

容易得知，通过计算机模拟得到的汽车行驶轨迹图象是阿基米得的曲线的一部分。 同样利用微元法，在单位时间t内得到的n个点(sx1,sy1),(sx2,sy2),...,(sxn,syn)，因为每两个相邻的两个与y轴所构成的面积为Mi,如图所示：

说明：(xi,yi)(sxi,syi)

汽车所行驶的轨迹与y轴所围城的面积M即是大学城占地面积：

Mi

(sxisxi1)(syi1syi)

2

MMi

i1n

5.2.2计算机数值模拟模型的求解

给出t=0:0.1:15.75，根据问题一中所给出的模型得到158个点(sxi,syi)，利用matlab软件求得：

MMi

i1

i1

158158

(sxisxi1)(syi1syi)

2

 29.9814

5.2.3计算机数值模拟模型的检验

给出t=0:0.05:15.75，根据问题一中得到的315个点(sxi,syi)，利用matlab软件求得：

2

比较两次单位时间t为0.1和0.05两者情况下，所求得面积的误差百分比：

29.9855-29.9814100%0.01367%

29.9855

误差百分比为0.01367%，对所估计的大学城面积来讲影响很小，所以该模型所计算求得的大学城面积具有相对准确性。

i1

i1

MMi

351351

(sxisxi1)(syi1syi)

29.9855

5.3 问题3模型的建立和求解 5.3.1 线性模型的建立

通过直观上分析汽车行驶轨迹图象，不是一般的规则图象，很困难通过线性拟合或者非线形拟合得到其函数表达式。先拟合得到任意点(sxi,syi)，横坐标sxi和纵坐标syi关于时间t的散点图，图形如下：

y vs tx vs t

0246

8t

10121416

通过matlab中的拟合工具相对其进行拟合比较，得到一些提示如下，经过多次线性拟合出sxi和syi关于时t的函数关系x(t)、y(t)，得出汽车在15.75分内行驶的路程参数函数表达式为：

sxx(t)



sxy(t)

5.3.2线性模型的求解

横坐标

s关于时间t的散点图如下：

0t15.75

xi 横坐标

s关于时间t的散点图如下：

sx= -0.0007713t5 + 0.02327t4 -0.08742t3 -1.822t2 +6.88t -2.255

此时，横坐标syi关于时间t的函数关系式为：

sy= -0.00008732t5+0.004614t4 -0.07861t3 + 0.431 t2 -0.2715t +0.03684 i

得出汽车行驶路程的参数函数表达式为： x(t)-0.0007713t5+0.02327t4-0.08742t3-1.822t2+6.88t-2.2555432

y(t) -0.00008732t+0.004614t -0.07861t+ 0.431t-0.2715t +0.03684注：汽车在15.75分后汽车是沿着y轴行驶 5.3.3 阿基米德猜想模型

0t15.75

通过查阅资料，分析发现汽车路径曲线与阿基米德螺线十分相似，得到阿基米德曲线的极坐标函数表达式为：

r=a+b

前面已经知道点汽车行驶任意位置的点坐标(sxi,syi)，那么：

ry

arctan()

x

sxrcos()



srsin()y

的参数，同时引入修正参数b，因为通过计算机不断修正阿基米德螺线方程ra

riaiibi，给出无数多个点(sxi,syi)，即可以得到无数多个ri和i，再根据微分原理，单位时间内相邻两点的参数认为基本相同，得到：

riaiibir1a11b1r2a22b2

,,,

rabrabrab232ii1i21213i1

这样可以求得 a1,a2,,ai和b1,b2,,bi那么：

aaaia12

i

bbbib12

i

通过计算机VB编程得到：

a1.29b0.012

固汽车行驶路程的阿基米德函数表达式为：

3

r=1.29+0.0120

2

通过VB编程比较(sxi,syi)散点图和求得的阿基米德曲线比较，得到下图：

5.3.4 改进模型的验证

汽车行驶的行驶路线即求得到的阿基米德曲线r=1.29+0.012，通过求积分：

13dMr2d0 22

通过计算机VB编程，得到大学城的面积：M29.1958

11

问题二中，求解得到的M=29.9814，数据非常接近，即验证结果的可信度。

6 模型的评价与推广

6.1模型的评价

6.1.1模型的优点

1）在问题一中，首先对所给的少数个数据，进行多项插值和拟合得到汽车行驶速率v和方向角关于时间t的函数曲线，并通过计算机随机抽取多个数据，与实际记录数据进行比较，从而来验证拟合的正确性。

2）在求解模型一时，采取步长单位时间t0.05，得到了315个汽车行驶的位置点，通过微分思想，针对问题所给出的不同角度下对其随建立了微分模型，最后拟合得到的曲线与散点图十分吻合，采取的步长也在现实数据可以接受的范围之内。

3）在解模型二时，在问题一所求得的不同坐标点位置的基础上把所求的总面积进行计算机数值模拟，建立了计算机数值模拟模型，把所需要求的面积分个多个很小的梯形面积，最后累加得到的大学城总面积，并通过变步长误差法，来验证模型二结果的正确性。误差为0.01367%，模型二得到的结果给现实工程中提供的数据，参考价值很高。

4）在问题三的求解路程程函数表达式，我们把s分解为(sxi,syi)，且分别对sxi和syi求出关于t的表达式，建立了参数线性模型。在改进后的模型，通过把路径曲线与阿基米德螺线比较后出奇相识，用计算机修正、模拟代定参数，得到了与路径曲线比较一致的曲线，进而得到了更为简洁的路径函数表达式。

6.1.2模型缺点

1）在求解模型一时，第15.75分时刻行驶方向角为359.1755度，速率为1.3297，而实际方向角为360度，速率为1.34，虽然基本相近，但是还是存在一定的误差。

2）拟合曲线时都是进行多次线性拟合，没考虑非线性拟合。

3）在模型三中，猜想得到的轨迹曲线为阿基米德曲线，通过计算机修正得到的a的值有一定的误差，两个曲线相比较也有一定的出入。

6.2模型的推广

在估算大学城面积问题中通过计算机数值模拟，得到的结果与在第三问中建立的阿基米德螺线方程积分后的结果十分接近。因此建立的计算机数值模型可以在具有多数值计算的求解中比较准确地得到结果，例如计算机模拟火灾模型，模拟捕鱼模型等

对于问题三，我们分别对sxi和syi求出关于t的表达式，是通过复杂曲线转化为相对

简单的单一变量函数关系式，建立的参数线性模型为求解复杂函数表达式提供了新思路。在模型的改进分析中，通过计算机修正阿基米德参数方程，方程式积分计算后得到的结果不仅是结果相近，也验证了改进后的模型更为合理。因此在数学建模的建立中，应用猜想思想也同样重要，进而使模型更加简明，结果更加合理。

参考文献：

[1] 张立科，MATLAB7.0从入门到精通，北京：人民邮电出版社，2006.3，128-143。

[2] 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8，294-322。

[3] 宁正元，Visual Basic 程序设计教程，北京：清华大学出版社，2006.7，230-238。

[4] 陈纪修，数学分析（下册），北京：高等教育出版社，2004.2，128-216。

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