函数图像与函数零点问题
函数图象是研究函数性质的直观工具，高考对函数图象的考查主要体现在以下几个方面： ①给出或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象； ②给出函数的图象求解析式；
③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围； ④考查函数图的平移、对称和翻折；
⑤和数形结合有关问题等，特别是讨论方程的解的个数及解不等式等．同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，体现了课改的方向.
函数零点问题可看作函数图像的衍生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程问题，解得问题直观的转化为两函数图像的交点问题，所以更要准确把握各类函数的性质特征，画出函数简图，准确找到交点所处的位置。
重难点突破：
一、研究一个函数图象可从如下几个方面来考查： （1）函数图象的范围，即定义域和值域； （2）函数图象的最高点、最低点和极点；
（3）函数图象的变化趋势，即单调性、对称性和周期性； （4）函数过定点或渐近线等关键特征． 熟练处理函数图象题的途径：
A ）平时要牢记一些基本初等函数如：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等图象； B ）对于一些简单的函数可通过列表、描点作图；
C ）对于一些复合函数可利用基本初等函数通过平移、对称和伸缩三大变换来作出我们所求的函数．
二．函数零点的理解
函数y =f (x ) 的零点、方程f (x ) =0的根、函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f (x ) =0根的个数就是函数y =f (x ) 的零点的个数，亦即函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的个数变号零点与不变号零点
x （1）若函数f (x ) 在零点0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f (x ) 的变号零点 x （2）若函数f (x ) 在零点0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f (x ) 的不变号零点
（3）若函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线，则f (a ) ⋅f (b )
有零点的充分不必要条件。
三．用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根
（2）求曲线y =f (x ) 和y =g (x ) 的交点的横坐标，实际上就是求函数y =f (x ) -g (x ) 的零点，即求方程f (x ) -g (x ) =0的根。
四．关于用二分法求函数y =f (x ) 的零点近似值的步骤须注意的问题： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②f (a ) 、f (b ) 的值比较容易计算且
f (a ) ⋅f (b )
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程
f (x ) =g (x ) 的根，可以构造函数F (x ) =f (x ) -g (x ) ，函数F (x ) 的零点即方程f (x ) =g (x ) 的根。
五．二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的根的分布有关的结论： ①方程f (x ) =0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔af (r )
2
⎧Δ=b 2-4ac >0,
⎪⎪b ⇔⎨->r ,
2a ⎪
⎪a ⋅f (r ) >0. ⎩
③二次方程f (x ) =0在区间（p ，q ）内有两根
⎧Δ=b 2-4ac >0, ⎪
b ⎪
⇔⎨2a ⎪a ⋅f (q ) >0, ⎪⎪⎩a ⋅f (p ) >0.
④二次方程f (x ) =0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f (p ) ⋅f (q )
⑤方程f (x ) =0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⇔⎨
⎧af (p )
⎩af (q ) >0
典例分析：
例1、下列函数中不能用二分法求零点的是（ C ）
A ．f (x )=3x -1 B ．f (x )=x 3 C ．f (x )=x D ．f (x )=ln x
1
111x
)(n ∈N *) ，则n = .2 例2、设函数f (x ) =() -x 3的零点x 0∈(
n +1n 2
变式：
若函数f (x ) =x 3-ax （a >0）的零点都在区间[-10,10]上，则使得方程f (x ) =1000有正整数解的实数a 的取值个数为 （ C ）x==11,x=12,x=13,
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
32
y =x -2x -x +2的零点. 例3： 求函数
变式：若函数f (x ) ＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x ) ＝bx 2－ax －1的零点是________．
例4： 求函数f (x ) =ln x +2x -6的零点个数.
⎧x 2+2x-3,x≤0
变式1：（福建）函数（的零点个数为 ( ) f x)=⎨
⎩-2+lnx,x>0
A.0 B.1 C.2 D.3
变式2：方程2
2
()f x =2ax +2x -3-a , 如果函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有零点，求例5：（广东）已知a 是实数, 函数
-x
+x 2=3的实数解的个数为 _______。
a 的取值范围。
变式1：若对于任意a ∈[-1, 1]，函数f (x ) =x 2+(a -4) x +4-2a 的值恒大于零, 则x 的取值范围
是 。
变式2：关于x 的方程 x 2-(2m -8) x +m 2-16=0的两个实根 x 1、x 2 满足 x 1
值范围 。
变式3：（浙江五校联考）函数
（ ） A ．
变式4：关于x 的方程4+2a +a +1=0有实数根，求a 的取值范围。
例6、设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x -2) =f (x +2), 且当x ∈[-2, 0]时，
x
x
3
f (x )=mx 2-2x +1
有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是
(-∞,1] B ．(-∞,0]{1} C ．(-∞,0)(0,1] D ．(-∞,1)
1
f (x ) =() x -1。若函数g (x ) =f (x ) -log a (x +2) (a >1) 在区间(-2,6]恰有3个不同的零点，则a 的取
2
值范围是
2)
2
变式1：若偶函数y =f (x ) (x ∈R ) 满足f (1+x ) =f (1-x ) ，且当x ∈[-1,0]时，f (x ) =x ，则函数
g (x ) =f (x ) -lg x 的零点个数为个．10
x
(x ≤0) ⎧⎪2
f (x ) =变式2：设函数 ，函数y =f [f (x ) ]-1的零点个数为 个． ⎨
(x >0) log x ⎪⎩2
【答案】2
变式3：设定义域为R 的函数f (x ) =⎨
⎧⎪lg x -1⎪⎩
x ≠1x =1
，则关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有7个不
同实数解的充要条件是（ ）
A 、b 0 B 、b >0, c
⎧1
(x ≠1) ⎪2
f (x ) =例7、设定义域为R 的函数，若关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0有三个不同⎨|x -1|
⎪(x =1) ⎩1
22
=__________． 的实数解x 1, x 2, x 3，则x 12+x 2+x 3
【答案】5
⎧|lg x |
变式1、已知函数f (x ) =⎨
⎩-x +12
010
，是否存在实数k 使得方程kf 2(x ) -(k +1) x +1=0有5
个实数根，若存在求出k 的取值范围；若不存在说明理由。
变式2、关于x 的方程(x -1) -x -1+k =0，给出下列4个命题：
2
2
2
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题是
⎧m (1-|x |),x ∈(-1, 1]x 变式3、已知以4为周期的函数f (x ) =⎪
⎨⎪⎩
-cos πx
2, x ∈(1, 3]5个实数解，则m 的取值范围为（ ）
(A ) (4
3, +∞)
(B ) [4
, +∞) (C ) ⎛ 4⎝3, 8⎫3
3⎪⎭
【答案】C
其中m >0，若方程f (x ) =3恰有(D ) [43, 83
]．
函数图像与函数零点问题
函数图象是研究函数性质的直观工具，高考对函数图象的考查主要体现在以下几个方面： ①给出或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象； ②给出函数的图象求解析式；
③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围； ④考查函数图的平移、对称和翻折；
⑤和数形结合有关问题等，特别是讨论方程的解的个数及解不等式等．同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，体现了课改的方向.
函数零点问题可看作函数图像的衍生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程问题，解得问题直观的转化为两函数图像的交点问题，所以更要准确把握各类函数的性质特征，画出函数简图，准确找到交点所处的位置。
重难点突破：
一、研究一个函数图象可从如下几个方面来考查： （1）函数图象的范围，即定义域和值域； （2）函数图象的最高点、最低点和极点；
（3）函数图象的变化趋势，即单调性、对称性和周期性； （4）函数过定点或渐近线等关键特征． 熟练处理函数图象题的途径：
A ）平时要牢记一些基本初等函数如：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等图象； B ）对于一些简单的函数可通过列表、描点作图；
C ）对于一些复合函数可利用基本初等函数通过平移、对称和伸缩三大变换来作出我们所求的函数．
二．函数零点的理解
函数y =f (x ) 的零点、方程f (x ) =0的根、函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f (x ) =0根的个数就是函数y =f (x ) 的零点的个数，亦即函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的个数变号零点与不变号零点
x （1）若函数f (x ) 在零点0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f (x ) 的变号零点 x （2）若函数f (x ) 在零点0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f (x ) 的不变号零点
（3）若函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线，则f (a ) ⋅f (b )
有零点的充分不必要条件。
三．用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根
（2）求曲线y =f (x ) 和y =g (x ) 的交点的横坐标，实际上就是求函数y =f (x ) -g (x ) 的零点，即求方程f (x ) -g (x ) =0的根。
四．关于用二分法求函数y =f (x ) 的零点近似值的步骤须注意的问题： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②f (a ) 、f (b ) 的值比较容易计算且
f (a ) ⋅f (b )
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程
f (x ) =g (x ) 的根，可以构造函数F (x ) =f (x ) -g (x ) ，函数F (x ) 的零点即方程f (x ) =g (x ) 的根。
五．二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的根的分布有关的结论： ①方程f (x ) =0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔af (r )
2
⎧Δ=b 2-4ac >0,
⎪⎪b ⇔⎨->r ,
2a ⎪
⎪a ⋅f (r ) >0. ⎩
③二次方程f (x ) =0在区间（p ，q ）内有两根
⎧Δ=b 2-4ac >0, ⎪
b ⎪
⇔⎨2a ⎪a ⋅f (q ) >0, ⎪⎪⎩a ⋅f (p ) >0.
④二次方程f (x ) =0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f (p ) ⋅f (q )
⑤方程f (x ) =0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⇔⎨
⎧af (p )
⎩af (q ) >0
典例分析：
例1、下列函数中不能用二分法求零点的是（ C ）
A ．f (x )=3x -1 B ．f (x )=x 3 C ．f (x )=x D ．f (x )=ln x
1
111x
)(n ∈N *) ，则n = .2 例2、设函数f (x ) =() -x 3的零点x 0∈(
n +1n 2
变式：
若函数f (x ) =x 3-ax （a >0）的零点都在区间[-10,10]上，则使得方程f (x ) =1000有正整数解的实数a 的取值个数为 （ C ）x==11,x=12,x=13,
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
32
y =x -2x -x +2的零点. 例3： 求函数
变式：若函数f (x ) ＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x ) ＝bx 2－ax －1的零点是________．
例4： 求函数f (x ) =ln x +2x -6的零点个数.
⎧x 2+2x-3,x≤0
变式1：（福建）函数（的零点个数为 ( ) f x)=⎨
⎩-2+lnx,x>0
A.0 B.1 C.2 D.3
变式2：方程2
2
()f x =2ax +2x -3-a , 如果函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有零点，求例5：（广东）已知a 是实数, 函数
-x
+x 2=3的实数解的个数为 _______。
a 的取值范围。
变式1：若对于任意a ∈[-1, 1]，函数f (x ) =x 2+(a -4) x +4-2a 的值恒大于零, 则x 的取值范围
是 。
变式2：关于x 的方程 x 2-(2m -8) x +m 2-16=0的两个实根 x 1、x 2 满足 x 1
值范围 。
变式3：（浙江五校联考）函数
（ ） A ．
变式4：关于x 的方程4+2a +a +1=0有实数根，求a 的取值范围。
例6、设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x -2) =f (x +2), 且当x ∈[-2, 0]时，
x
x
3
f (x )=mx 2-2x +1
有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是
(-∞,1] B ．(-∞,0]{1} C ．(-∞,0)(0,1] D ．(-∞,1)
1
f (x ) =() x -1。若函数g (x ) =f (x ) -log a (x +2) (a >1) 在区间(-2,6]恰有3个不同的零点，则a 的取
2
值范围是
2)
2
变式1：若偶函数y =f (x ) (x ∈R ) 满足f (1+x ) =f (1-x ) ，且当x ∈[-1,0]时，f (x ) =x ，则函数
g (x ) =f (x ) -lg x 的零点个数为个．10
x
(x ≤0) ⎧⎪2
f (x ) =变式2：设函数 ，函数y =f [f (x ) ]-1的零点个数为 个． ⎨
(x >0) log x ⎪⎩2
【答案】2
变式3：设定义域为R 的函数f (x ) =⎨
⎧⎪lg x -1⎪⎩
x ≠1x =1
，则关于x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有7个不
同实数解的充要条件是（ ）
A 、b 0 B 、b >0, c
⎧1
(x ≠1) ⎪2
f (x ) =例7、设定义域为R 的函数，若关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0有三个不同⎨|x -1|
⎪(x =1) ⎩1
22
=__________． 的实数解x 1, x 2, x 3，则x 12+x 2+x 3
【答案】5
⎧|lg x |
变式1、已知函数f (x ) =⎨
⎩-x +12
010
，是否存在实数k 使得方程kf 2(x ) -(k +1) x +1=0有5
个实数根，若存在求出k 的取值范围；若不存在说明理由。
变式2、关于x 的方程(x -1) -x -1+k =0，给出下列4个命题：
2
2
2
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题是
⎧m (1-|x |),x ∈(-1, 1]x 变式3、已知以4为周期的函数f (x ) =⎪
⎨⎪⎩
-cos πx
2, x ∈(1, 3]5个实数解，则m 的取值范围为（ ）
(A ) (4
3, +∞)
(B ) [4
, +∞) (C ) ⎛ 4⎝3, 8⎫3
3⎪⎭
【答案】C
其中m >0，若方程f (x ) =3恰有(D ) [43, 83
]．