质点平动与刚体定轴转动规律的比较
张晓丹
（北京印刷学院 机械二班）
摘要：在高中物理中，主要对质点平动的规律进行了学习，在大学物理中，相对于质点，有刚体的概念，相对于平动，有转动的概念，本文从公式形式的角度，对质点平动和刚体定轴转动的规律进行了比较，分析了两者的区别与联系，以便在今后的学习中更熟练的应用。 关键字：质点；平动；刚体；转动；比较
质点是指只考虑质量而不考虑其大小形状的一个理想物理模型，再加上平动的运动方式，这就构成了我们打高中物理学；大学我们接触了刚体，刚体是实际固体的理想模型，我们认为他在运动过程中，无论是否受到外力，其形状始终保持不变，物体内任意两点间的距离都不改变，显然这也是个理想物理模型，如果物体本身的形变不影响整个运动过程，那么该物体就可以当作刚体来处理。刚体力学是质点动力学在实际固体中的推广，是在实际生活中更具价值的研究方法。由于刚体可以看作是无数个质点的集合，因此刚体运动与质点运动的规律也非常相似：对于刚体平动，若不考虑外形，他的规律与质点的规律相同，因此不再赘述；而对于刚体定轴转动，他与质点平动就有了可比性，以下从三个方面来做两者间的对比。
一 运动学
表1. 质点平动与刚体定轴转动的运动学公式比较
物理量 位移 速度 加速度 ……
质点平动
物理量 角位移 角速度 角加速度 ……
刚体定轴转动
关系
r =r 0+ v t dt
dr
dv a =v =
……
θ=θ0+ ω(t) dt
ω=α=
dθ
dω s=Rθ v=Rω a=Rα
……
……
如表1所示，在质点平动规律中的位移、速度、加速度等物理量，放在刚体定轴转动中，变成了角位移、角速度、角加速度，相应的字母也换作θ、ω和α。除了名称的变化以外，由于刚体在定轴转动过程中，我们通常采用自然坐标系，所以θ、ω和α的方向只有两个，我们通过右手螺旋定则定义：刚体逆时针转动时，ω与z轴方向一致，符号为正，反之则为负，相比质点平动简化了许多，与高中所学的质点圆周运动的规律没有太大差别。
二 力学
在刚体定轴转动的学习之初，是由几个角量引入的，表1列出了运动学中的几个角量， =r ，视刚体为无数个质点的在力学中最先引入了力矩的概念，对于质点，定义力矩M ×F集合，那么对于刚体：
M= ri×Fi= ri×miriα= miri2α
定义一个新的物理量：转动惯量J= miri2= r2dm, 则原公式可化为M=Jα, 转动惯量可以看作刚体中每个质点的惯性质量m的集合，用来衡量刚体绕定轴转动起来时具有的惯性大小，他与刚体的形状、质量分布等有关。而公式M=Jα与牛顿第二定律F=ma是非常相似的，后者适用于质点平动，而前者适用于刚体定轴转动，可以理解为牛顿第二定律在刚体定轴转动中的扩展延伸。
力对应的角量是力矩，动量对应的角量则为动量矩，但我们通常把动量矩叫做角动量， =r这使我们在最初接触角量时有些迷惑。对应力矩的概念，角动量L ×p , 在刚体中，公式则变为L=Jω, 同样地，可以与质点平动中的p=mv类比。
由角量引出刚体定轴转动之后，我们可以将质点平动中的熟悉的力、动量、冲量等物理量移植到刚体定轴转动中，得到力矩、角动量、冲量矩，等新的物理量，他们之间的关系如表2所示：
表2. 质点平动与刚体定轴转动的力学公式比较
物理量
质点平动
物理量
刚体定轴转动
关系
力
=F
dp
力矩
=M
d(JωdL )
= =JαM
=r M ×F
=maF dt p = F
动量
角动量 （动量矩）
t2
= M dt L =JωL dt=L 2−L 1 M
t1
=r L ×F
p =mv
冲量 ……
= F dt=pI 2−p 1
t1
t2
冲量矩 ……
……
…… ……
与力、动量和冲量之间的关系类似，角动量是力矩在时间上的积累效应，是一个状态量，而冲量矩是角动量在一定时间内的增量，是一个过程量。在形式上，对力矩进行不定积分得到角动量的表达式，而在一段时间内的定积分则得到冲量矩。这一部分的内容与质点平动的内容也非常相似，但由于质点平动中的动量和冲量也是大学物理中的新内容，大部分的同学都表示这一部分的学习非常吃力。
三 功能关系
表3. 质点平动与刚体定轴转动的功能关系公式比较
名称 功 功率 动能 质点动量定
理 质点动能定
理 ……
质点平动
名称 功 能 动能
t2
刚体定轴转动
∙dsW= F
s1
s2
∙dθW= M
θ1
θ2
=F ∙vP 1
Ek=mv2
= F dt=mvI 2−mv 1
t1t2
=M ∙ωP 1
Ek=Jω2
dt=Jω M 2−Jω 1
t1
角动量定理
1122
W=mv2−mv1
……
刚体转动动能
定理
1212
W=Jω2−Jω1
……
功能关系这一部分相对比较简单，其中动量定理实际上就是表2中提到的冲量和冲量矩的表达式。除表中提到的功能关系以外，还有动量守恒定律和角动量守恒定律，表述为当系统（刚体）所受合外力F（合外力矩M）为零时，系统的总动量p（总角动量L）保持不变。
刚体定轴转动与质点平动的规律非常相似，只是因为刚体是无数质点的集合，而又是定轴转动，所以相关的物理量均要把每个质点与它到定轴的距离联系起来，然后取它们的集合。上文分的三个部分中，运动学公式中的圆周运动规律在高中物理中已经学习过，所以学习压力不大，高中时也学习过质点平动的功能关系，所以刚体绕定轴转动的功能关系学习也不会太吃力，但是第二个部分力学公式，对大部分同学来说，除了力在高中物理中学习过以外，其他物理量都是全新的，新多出五个物理量，而且他们之间的联系又很多，对于初学者来说非常容易弄混淆，而老师在课堂上又很少讲两套体系拿出来做系统的比较，我们很多同学都表示这一部分的内容太难了，很难在短时间内消化这么多的内容，希望老师在以后的学习中多关注些同学们的迷惑点，在课堂上多讲解，多给同学们总结归纳。
参考文献：
[1]陈柯. 质点直线运动与刚体定轴转动的对比学习[J]. 高师理科学刊，2013，33（4）：80-83.
质点平动与刚体定轴转动规律的比较
张晓丹
（北京印刷学院 机械二班）
摘要：在高中物理中，主要对质点平动的规律进行了学习，在大学物理中，相对于质点，有刚体的概念，相对于平动，有转动的概念，本文从公式形式的角度，对质点平动和刚体定轴转动的规律进行了比较，分析了两者的区别与联系，以便在今后的学习中更熟练的应用。 关键字：质点；平动；刚体；转动；比较
质点是指只考虑质量而不考虑其大小形状的一个理想物理模型，再加上平动的运动方式，这就构成了我们打高中物理学；大学我们接触了刚体，刚体是实际固体的理想模型，我们认为他在运动过程中，无论是否受到外力，其形状始终保持不变，物体内任意两点间的距离都不改变，显然这也是个理想物理模型，如果物体本身的形变不影响整个运动过程，那么该物体就可以当作刚体来处理。刚体力学是质点动力学在实际固体中的推广，是在实际生活中更具价值的研究方法。由于刚体可以看作是无数个质点的集合，因此刚体运动与质点运动的规律也非常相似：对于刚体平动，若不考虑外形，他的规律与质点的规律相同，因此不再赘述；而对于刚体定轴转动，他与质点平动就有了可比性，以下从三个方面来做两者间的对比。
一 运动学
表1. 质点平动与刚体定轴转动的运动学公式比较
物理量 位移 速度 加速度 ……
质点平动
物理量 角位移 角速度 角加速度 ……
刚体定轴转动
关系
r =r 0+ v t dt
dr
dv a =v =
……
θ=θ0+ ω(t) dt
ω=α=
dθ
dω s=Rθ v=Rω a=Rα
……
……
如表1所示，在质点平动规律中的位移、速度、加速度等物理量，放在刚体定轴转动中，变成了角位移、角速度、角加速度，相应的字母也换作θ、ω和α。除了名称的变化以外，由于刚体在定轴转动过程中，我们通常采用自然坐标系，所以θ、ω和α的方向只有两个，我们通过右手螺旋定则定义：刚体逆时针转动时，ω与z轴方向一致，符号为正，反之则为负，相比质点平动简化了许多，与高中所学的质点圆周运动的规律没有太大差别。
二 力学
在刚体定轴转动的学习之初，是由几个角量引入的，表1列出了运动学中的几个角量， =r ，视刚体为无数个质点的在力学中最先引入了力矩的概念，对于质点，定义力矩M ×F集合，那么对于刚体：
M= ri×Fi= ri×miriα= miri2α
定义一个新的物理量：转动惯量J= miri2= r2dm, 则原公式可化为M=Jα, 转动惯量可以看作刚体中每个质点的惯性质量m的集合，用来衡量刚体绕定轴转动起来时具有的惯性大小，他与刚体的形状、质量分布等有关。而公式M=Jα与牛顿第二定律F=ma是非常相似的，后者适用于质点平动，而前者适用于刚体定轴转动，可以理解为牛顿第二定律在刚体定轴转动中的扩展延伸。
力对应的角量是力矩，动量对应的角量则为动量矩，但我们通常把动量矩叫做角动量， =r这使我们在最初接触角量时有些迷惑。对应力矩的概念，角动量L ×p , 在刚体中，公式则变为L=Jω, 同样地，可以与质点平动中的p=mv类比。
由角量引出刚体定轴转动之后，我们可以将质点平动中的熟悉的力、动量、冲量等物理量移植到刚体定轴转动中，得到力矩、角动量、冲量矩，等新的物理量，他们之间的关系如表2所示：
表2. 质点平动与刚体定轴转动的力学公式比较
物理量
质点平动
物理量
刚体定轴转动
关系
力
=F
dp
力矩
=M
d(JωdL )
= =JαM
=r M ×F
=maF dt p = F
动量
角动量 （动量矩）
t2
= M dt L =JωL dt=L 2−L 1 M
t1
=r L ×F
p =mv
冲量 ……
= F dt=pI 2−p 1
t1
t2
冲量矩 ……
……
…… ……
与力、动量和冲量之间的关系类似，角动量是力矩在时间上的积累效应，是一个状态量，而冲量矩是角动量在一定时间内的增量，是一个过程量。在形式上，对力矩进行不定积分得到角动量的表达式，而在一段时间内的定积分则得到冲量矩。这一部分的内容与质点平动的内容也非常相似，但由于质点平动中的动量和冲量也是大学物理中的新内容，大部分的同学都表示这一部分的学习非常吃力。
三 功能关系
表3. 质点平动与刚体定轴转动的功能关系公式比较
名称 功 功率 动能 质点动量定
理 质点动能定
理 ……
质点平动
名称 功 能 动能
t2
刚体定轴转动
∙dsW= F
s1
s2
∙dθW= M
θ1
θ2
=F ∙vP 1
Ek=mv2
= F dt=mvI 2−mv 1
t1t2
=M ∙ωP 1
Ek=Jω2
dt=Jω M 2−Jω 1
t1
角动量定理
1122
W=mv2−mv1
……
刚体转动动能
定理
1212
W=Jω2−Jω1
……
功能关系这一部分相对比较简单，其中动量定理实际上就是表2中提到的冲量和冲量矩的表达式。除表中提到的功能关系以外，还有动量守恒定律和角动量守恒定律，表述为当系统（刚体）所受合外力F（合外力矩M）为零时，系统的总动量p（总角动量L）保持不变。
刚体定轴转动与质点平动的规律非常相似，只是因为刚体是无数质点的集合，而又是定轴转动，所以相关的物理量均要把每个质点与它到定轴的距离联系起来，然后取它们的集合。上文分的三个部分中，运动学公式中的圆周运动规律在高中物理中已经学习过，所以学习压力不大，高中时也学习过质点平动的功能关系，所以刚体绕定轴转动的功能关系学习也不会太吃力，但是第二个部分力学公式，对大部分同学来说，除了力在高中物理中学习过以外，其他物理量都是全新的，新多出五个物理量，而且他们之间的联系又很多，对于初学者来说非常容易弄混淆，而老师在课堂上又很少讲两套体系拿出来做系统的比较，我们很多同学都表示这一部分的内容太难了，很难在短时间内消化这么多的内容，希望老师在以后的学习中多关注些同学们的迷惑点，在课堂上多讲解，多给同学们总结归纳。
参考文献：
[1]陈柯. 质点直线运动与刚体定轴转动的对比学习[J]. 高师理科学刊，2013，33（4）：80-83.