第十五讲二次函数的综合题及应用
【重点考点例析】
考点一：确定二次函数关系式
2
例1（2015•牡丹江）如图，已知二次函数y=x+bx+c过点A （1，0），C （0，-3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．
考点二：二次函数与x 轴的交点问题
2
例2（2015•苏州）已知二次函数y=x-3x+m（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），
2
则关于x 的一元二次方程x -3x+m=0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=-1 B ．x 1=1，x 2=2 C ．x 1=1，x 2=0 D ．x 1=1，x 2=3 对应训练
2
2．（2013•株洲）二次函数y=2x+mx+8的图象如图所示，则m 的值是（ ） A ．-8 B ．8 C ．±8 D ．6 考点三：二次函数的实际应用
例3（2015•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
1
2
4．（2015•张家界）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，
2
3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ；
（4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
2．（2015•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm ．请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）． 3
．
（2015•日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x （元）与每月租出的车辆数（y ）有如下关系：
3
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y （辆）与每辆车的月租金x （元）之间的关系式．
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x （x≥3000）的代数式填表：
4
5
6
7
8
9
10
11. （
2015•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）
的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），
已知A 点坐标为（0，-5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心
的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有什么位置
关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直
角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
11
2点，过A 、B 两点的抛物线为y=-x+bx+c．点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD ⊥x 轴于点
C ，交抛物线于点E ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE=4时，求四边形CAEB 的面积．
（3）连接BE ，是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，
求此点D 坐标；若不存在，说明理由．
12
13
14
»的中点，4．（2015•泰安）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB
则下列结论不成立的是（ ）
A
．OC
∥
AE
B
．EC=BC C ．∠DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE
4．D
5．（2015•济宁）如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为（ ）
A ．4 B ．C ．6 D ．6．（2015•日照）如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 ．
7．（2015•滨州）如图，在△ABC 中，AB=AC，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，EF ⊥AC ，垂足为F ．求证：直线EF 是⊙O 的切线．
15
16
12．（2015•潍坊）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角
线BD 为直径作⊙O ，分别与BC ，AD 相交于点E ，F ．
（
1）求证：四边形BEDF 为矩形；
（2）BD 2=BE•BC，试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说
明理由．
19．（2015•巴中）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组⎨⎧r 1+2r 2=6的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．
⎩3r 1-5r 2=7
20．（2015•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A （1，1），B （-3，-1），C （-3，
1），D （-2，-2），E （0，-3）．
（1）画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系；
（2）若直线l 经过点D （-2，-2），E （0，-3），判断直线l 与⊙P 的位置关系． 17
21
．
（2015
•永州）如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心在AC 上，∠A=30°，D 为BC 的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD 是菱形．
22．（2015•株洲）已知AB 是⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，AD 的延长线交BC 于点C ．
（1）求∠BAC 的度数；
（2）求证：AD=CD．
18
19
26．（2015•莆田）如图，▱ABCD 中，AB=2，以点A 为圆心，AB 为半径的圆交边BC 于点E ，连接DE 、AC 、AE ．
（1）求证：△AED ≌△DCA ；
（2）若DE 平分∠ADC 且与⊙A 相切于点E ，求图中阴影部分（扇形）的面积．
28．（2015•泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线
上，且∠CDA=∠CBD ．
（1）求证：CD 2=CA•CB；
（2）求证：CD 是⊙O 的切线；
（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan
∠CDA=
20 2
，求
BE
的长．
23
．
（2013•兰州）如图1，在△OAB 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB 为边，在△OAB 外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．
34．（2015•扬州）如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P 为线段BC 上的一动点，且和B 、C 不重合，连接PA ，过P 作PE ⊥PA 交CD 所在直线于E ．设BP=x，CE=y．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，求m 的取值范围；
（3）如图2，若m=4，将△PEC 沿PE 翻折至△PEG 位置，∠BAG=90°，求BP 长．
（2015•青岛模拟）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E 从点C 出发，以1cm/s的速度沿CB 向点B 移动，点F 从点B 出发以2cm/s的速度沿 21
22
线段
PA 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，在直线BA 上取点F ，使BF=BP，且点F 与点E 在BC 同侧，连接EF ，CF ．
（1）如图 ，当点P 在CB 延长线上时，求证：四边形PCFE 是平行四边形；
（2）如图 ，当点P 在线段BC 上时，四边形PCFE 是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE 的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP 长；若没有，请说明理由．
23
第十五讲二次函数的综合题及应用
【重点考点例析】
考点一：确定二次函数关系式
2
例1（2015•牡丹江）如图，已知二次函数y=x+bx+c过点A （1，0），C （0，-3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．
考点二：二次函数与x 轴的交点问题
2
例2（2015•苏州）已知二次函数y=x-3x+m（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），
2
则关于x 的一元二次方程x -3x+m=0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=-1 B ．x 1=1，x 2=2 C ．x 1=1，x 2=0 D ．x 1=1，x 2=3 对应训练
2
2．（2013•株洲）二次函数y=2x+mx+8的图象如图所示，则m 的值是（ ） A ．-8 B ．8 C ．±8 D ．6 考点三：二次函数的实际应用
例3（2015•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
1
2
4．（2015•张家界）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，
2
3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ；
（4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
2．（2015•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm ．请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）． 3
．
（2015•日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x （元）与每月租出的车辆数（y ）有如下关系：
3
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y （辆）与每辆车的月租金x （元）之间的关系式．
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x （x≥3000）的代数式填表：
4
5
6
7
8
9
10
11. （
2015•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）
的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），
已知A 点坐标为（0，-5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心
的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有什么位置
关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直
角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
11
2点，过A 、B 两点的抛物线为y=-x+bx+c．点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD ⊥x 轴于点
C ，交抛物线于点E ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE=4时，求四边形CAEB 的面积．
（3）连接BE ，是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，
求此点D 坐标；若不存在，说明理由．
12
13
14
»的中点，4．（2015•泰安）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB
则下列结论不成立的是（ ）
A
．OC
∥
AE
B
．EC=BC C ．∠DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE
4．D
5．（2015•济宁）如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为（ ）
A ．4 B ．C ．6 D ．6．（2015•日照）如图（a ），有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=6cm，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图（b ）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 ．
7．（2015•滨州）如图，在△ABC 中，AB=AC，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，EF ⊥AC ，垂足为F ．求证：直线EF 是⊙O 的切线．
15
16
12．（2015•潍坊）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角
线BD 为直径作⊙O ，分别与BC ，AD 相交于点E ，F ．
（
1）求证：四边形BEDF 为矩形；
（2）BD 2=BE•BC，试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说
明理由．
19．（2015•巴中）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组⎨⎧r 1+2r 2=6的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．
⎩3r 1-5r 2=7
20．（2015•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A （1，1），B （-3，-1），C （-3，
1），D （-2，-2），E （0，-3）．
（1）画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系；
（2）若直线l 经过点D （-2，-2），E （0，-3），判断直线l 与⊙P 的位置关系． 17
21
．
（2015
•永州）如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心在AC 上，∠A=30°，D 为BC 的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD 是菱形．
22．（2015•株洲）已知AB 是⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，AD 的延长线交BC 于点C ．
（1）求∠BAC 的度数；
（2）求证：AD=CD．
18
19
26．（2015•莆田）如图，▱ABCD 中，AB=2，以点A 为圆心，AB 为半径的圆交边BC 于点E ，连接DE 、AC 、AE ．
（1）求证：△AED ≌△DCA ；
（2）若DE 平分∠ADC 且与⊙A 相切于点E ，求图中阴影部分（扇形）的面积．
28．（2015•泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线
上，且∠CDA=∠CBD ．
（1）求证：CD 2=CA•CB；
（2）求证：CD 是⊙O 的切线；
（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan
∠CDA=
20 2
，求
BE
的长．
23
．
（2013•兰州）如图1，在△OAB 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB 为边，在△OAB 外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．
34．（2015•扬州）如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P 为线段BC 上的一动点，且和B 、C 不重合，连接PA ，过P 作PE ⊥PA 交CD 所在直线于E ．设BP=x，CE=y．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，求m 的取值范围；
（3）如图2，若m=4，将△PEC 沿PE 翻折至△PEG 位置，∠BAG=90°，求BP 长．
（2015•青岛模拟）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E 从点C 出发，以1cm/s的速度沿CB 向点B 移动，点F 从点B 出发以2cm/s的速度沿 21
22
线段
PA 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，在直线BA 上取点F ，使BF=BP，且点F 与点E 在BC 同侧，连接EF ，CF ．
（1）如图 ，当点P 在CB 延长线上时，求证：四边形PCFE 是平行四边形；
（2）如图 ，当点P 在线段BC 上时，四边形PCFE 是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE 的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP 长；若没有，请说明理由．
23