也谈数学公式
——关于丢番图年纪的思考
“代数学之父”丢番图的墓志铭如是写道：“他生命的1/6是幸福的童年。再活了寿命的1/12，胡须长上了脸。又过去一生的1/7，丢番图结了婚。再过5年，儿子降临人世，他幸福无比。可是这孩子的生命只有父亲的一半。儿子死后，老头儿在悲痛中度过4年，终于了却尘缘„„”
于是就有人提出来了：丢番图究竟活了多大年纪？很多时候，多数人对于此问题的思考是由一个一元一次方程开始的。不知道大家是否会考虑到人的寿命必然为一个正整数，那么丢番图的年纪岂不是6、7和12的最小公倍数的整数倍。而6、7和12的最小公倍数为84，试问会有哪个人的寿命会达到168，然则丢番图的年纪仅84而已。
一. 数学公式的意义
应该说，数学的本身是没有多大的意义的。然而“存在即合理”，数学的存在自有它存在的道理，人类自学会结绳计数之后，直到古巴比伦时期（公元前2000年-公元前600年），才学会运用“最笨的”线性方程。当然，那个时候方程式的出现并不是为了应付考试，而是为了造福人类，帮助人们处理日常问题。
在古巴比伦时代的楔形文字泥板上，记载着许多关于土地分割的问题，比如“1/4的宽加长等于7手，长加宽等于10手，那么长和宽是多少？”从文字记载来看，古巴比伦人已经学会把长和宽设为两个未知数，列出一个二元一次方程组求解。但是这种解法并不能真正解决土地分割问题，因为其中包含了古代人常犯的一种错误——认为一个图形的面积完全取决于它的周长。
在古希腊，许多人不相信一个围墙为48视距的斯巴达，其容量可能是周长为50视距的麦加罗城的两倍。因此直到公元5世纪，某些城邦的官员仍习惯于欺骗他们的公民。他们所用的方法就是把周长较大而面积较小的土地换给别人，获利的同时还赢得慷慨的美名。
一些历史学家推测，或许是为了保护民众不受这些骗子的伤害，尽责的古代数学家将二次方程及其解法公之于众。比如在一块楔形文字泥板上就有这样的问题，“我从我的正方形面积中减去边长得870”。即二次方程X 2-X=870。在泥板上，数学家们列出了详细的解法。
想必，这些就是数学出现的最根本的意义：为了保护某些利益，无论是从愚
昧方还是被愚昧方来讲，数学总是对自己有利的——愚昧方可以通过数字游戏来欺骗别人；而被愚昧方确是用数学来武装自己，使自己不被欺骗。
在现代来讲，数学应该是自然科学的基础理论之一。很多时候，数学公式是用来提炼并抽象自然科学中的一些现象的工具。对自然科学家而言，数学公式应该是他们的最高追求。当然，爱因斯坦在看到原子弹爆炸带来的灾难时，想起了自己提出的质能方程。他痛心疾首地写道：“我们的思想创造应该是人类的福祉而非灾祸，在你的方程式中永远不要忘记这一点。”
二. 研究数学的方法
对于丢番图年纪问题的两种思维方法往大了讲代表了对数学研究的两种态度：模式与思维。“事物的标准样式”谓为模式；“在表象、概念的基础上进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程”谓为思维，并且思维是人类特有的一种精神活动。哲学家帕斯卡尔也曾经讲过：“人类是会思考的芦苇”。
从发展的角度来看：模式是人类在进行了合理且经由时间验证过的思维后得出的，故而模式是源于思维且高于思维的；尽管如此，思维是获得模式的不可或缺的关键一步。
我们知道，数学是以现实世界中量的关系为研究对象的，所以它是从量的概念开始，进而讨论全部量的关系。从局部到全部，必然要对所研究的问题有所提炼，在数学中就产生了所谓的公理、定理及推论等概念。
所谓公理，“数学上的公理，是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定”（《自然辩证法》第235页，恩格斯）。数学理论又常常以演绎系统的形式来叙述这些量的概念和量的关系。但是如何用逻辑的方法形成严格的演绎系统呢？亚里士多德早在他的《后分析篇》中就用公理方法解决了这个问题。按照亚里士多德的观点，一门演绎证明的科学（数学），是关于某一个确定的领域的全部真命题。他把这些命题区分为两类：一类是基本命题（公理），再一类是从基本命题中引伸出来的命题，即运用逻辑推理从基本命题推演出来的定理。亚里士多德指出，公理是不加证明的命题，因为一门演绎证明的科学，是由许多相互有逻辑联系的命题组成的，这样当要推出命题A 时，就必须有命题B 作为根据；要推出命题B 时就必须有命题C 作为依据，如此这般，必然要得到一个最后的命题T 。而最后的命题T 是不能再加以证明的。亚里士多德指出，如果不承认有一个最后的、不加证明的命题T ，就必然会陷入两种错误之中：第一种错误就是一个无穷倒退的过程；第二种错误就是循环论证，这两种错误都不能解决证明的实质问题。所以在探索各个命题之间的逻辑联系时，必然有一个最后的、不加证
明的命题T 。
其实，从不加证明的命题（公理/基本概念）出发，我们所能得到的信息很多很多，只是在很多时候，学习者不能很好的理解这些公理的足够内涵和外延。当然，早在古希腊时代，学者欧几里德已是用公理建立演绎体系的典范。他从少数的定义、公设、公理出发，运用逻辑推理的规则把当时已知的几何学知识全部推导出来，建立了一个逻辑上严谨的几何学体系，写成了《几何原本》一书。应该说，在中国古代《原本》译本中很好的体现了欧几里德的这些思想。《原本》开篇：“凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体。是为三度。”（《几何原本》徐光启、利玛窦译本）。
三. 结论
无论是1+1=2还是E=mc2，亦或是从结绳计数到电子计算机，数学公式或者说数学总是在其中发挥着无可替代的作用。即便是自然界的连续，我们似乎都是可以从数学中发现些许信息。
这样说吧，只要坚持“数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借来的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明”（《自然辩证法》第249页 恩格斯），那么一切数学与现实中的迷雾必将一扫而空。
最后再次重复爱因斯坦的话：“我们的思想创造应该是人类的福祉而非灾祸，在你的方程式中永远不要忘记这一点。”作为结语„„
也谈数学公式
——关于丢番图年纪的思考
“代数学之父”丢番图的墓志铭如是写道：“他生命的1/6是幸福的童年。再活了寿命的1/12，胡须长上了脸。又过去一生的1/7，丢番图结了婚。再过5年，儿子降临人世，他幸福无比。可是这孩子的生命只有父亲的一半。儿子死后，老头儿在悲痛中度过4年，终于了却尘缘„„”
于是就有人提出来了：丢番图究竟活了多大年纪？很多时候，多数人对于此问题的思考是由一个一元一次方程开始的。不知道大家是否会考虑到人的寿命必然为一个正整数，那么丢番图的年纪岂不是6、7和12的最小公倍数的整数倍。而6、7和12的最小公倍数为84，试问会有哪个人的寿命会达到168，然则丢番图的年纪仅84而已。
一. 数学公式的意义
应该说，数学的本身是没有多大的意义的。然而“存在即合理”，数学的存在自有它存在的道理，人类自学会结绳计数之后，直到古巴比伦时期（公元前2000年-公元前600年），才学会运用“最笨的”线性方程。当然，那个时候方程式的出现并不是为了应付考试，而是为了造福人类，帮助人们处理日常问题。
在古巴比伦时代的楔形文字泥板上，记载着许多关于土地分割的问题，比如“1/4的宽加长等于7手，长加宽等于10手，那么长和宽是多少？”从文字记载来看，古巴比伦人已经学会把长和宽设为两个未知数，列出一个二元一次方程组求解。但是这种解法并不能真正解决土地分割问题，因为其中包含了古代人常犯的一种错误——认为一个图形的面积完全取决于它的周长。
在古希腊，许多人不相信一个围墙为48视距的斯巴达，其容量可能是周长为50视距的麦加罗城的两倍。因此直到公元5世纪，某些城邦的官员仍习惯于欺骗他们的公民。他们所用的方法就是把周长较大而面积较小的土地换给别人，获利的同时还赢得慷慨的美名。
一些历史学家推测，或许是为了保护民众不受这些骗子的伤害，尽责的古代数学家将二次方程及其解法公之于众。比如在一块楔形文字泥板上就有这样的问题，“我从我的正方形面积中减去边长得870”。即二次方程X 2-X=870。在泥板上，数学家们列出了详细的解法。
想必，这些就是数学出现的最根本的意义：为了保护某些利益，无论是从愚
昧方还是被愚昧方来讲，数学总是对自己有利的——愚昧方可以通过数字游戏来欺骗别人；而被愚昧方确是用数学来武装自己，使自己不被欺骗。
在现代来讲，数学应该是自然科学的基础理论之一。很多时候，数学公式是用来提炼并抽象自然科学中的一些现象的工具。对自然科学家而言，数学公式应该是他们的最高追求。当然，爱因斯坦在看到原子弹爆炸带来的灾难时，想起了自己提出的质能方程。他痛心疾首地写道：“我们的思想创造应该是人类的福祉而非灾祸，在你的方程式中永远不要忘记这一点。”
二. 研究数学的方法
对于丢番图年纪问题的两种思维方法往大了讲代表了对数学研究的两种态度：模式与思维。“事物的标准样式”谓为模式；“在表象、概念的基础上进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程”谓为思维，并且思维是人类特有的一种精神活动。哲学家帕斯卡尔也曾经讲过：“人类是会思考的芦苇”。
从发展的角度来看：模式是人类在进行了合理且经由时间验证过的思维后得出的，故而模式是源于思维且高于思维的；尽管如此，思维是获得模式的不可或缺的关键一步。
我们知道，数学是以现实世界中量的关系为研究对象的，所以它是从量的概念开始，进而讨论全部量的关系。从局部到全部，必然要对所研究的问题有所提炼，在数学中就产生了所谓的公理、定理及推论等概念。
所谓公理，“数学上的公理，是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定”（《自然辩证法》第235页，恩格斯）。数学理论又常常以演绎系统的形式来叙述这些量的概念和量的关系。但是如何用逻辑的方法形成严格的演绎系统呢？亚里士多德早在他的《后分析篇》中就用公理方法解决了这个问题。按照亚里士多德的观点，一门演绎证明的科学（数学），是关于某一个确定的领域的全部真命题。他把这些命题区分为两类：一类是基本命题（公理），再一类是从基本命题中引伸出来的命题，即运用逻辑推理从基本命题推演出来的定理。亚里士多德指出，公理是不加证明的命题，因为一门演绎证明的科学，是由许多相互有逻辑联系的命题组成的，这样当要推出命题A 时，就必须有命题B 作为根据；要推出命题B 时就必须有命题C 作为依据，如此这般，必然要得到一个最后的命题T 。而最后的命题T 是不能再加以证明的。亚里士多德指出，如果不承认有一个最后的、不加证明的命题T ，就必然会陷入两种错误之中：第一种错误就是一个无穷倒退的过程；第二种错误就是循环论证，这两种错误都不能解决证明的实质问题。所以在探索各个命题之间的逻辑联系时，必然有一个最后的、不加证
明的命题T 。
其实，从不加证明的命题（公理/基本概念）出发，我们所能得到的信息很多很多，只是在很多时候，学习者不能很好的理解这些公理的足够内涵和外延。当然，早在古希腊时代，学者欧几里德已是用公理建立演绎体系的典范。他从少数的定义、公设、公理出发，运用逻辑推理的规则把当时已知的几何学知识全部推导出来，建立了一个逻辑上严谨的几何学体系，写成了《几何原本》一书。应该说，在中国古代《原本》译本中很好的体现了欧几里德的这些思想。《原本》开篇：“凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体。是为三度。”（《几何原本》徐光启、利玛窦译本）。
三. 结论
无论是1+1=2还是E=mc2，亦或是从结绳计数到电子计算机，数学公式或者说数学总是在其中发挥着无可替代的作用。即便是自然界的连续，我们似乎都是可以从数学中发现些许信息。
这样说吧，只要坚持“数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借来的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明”（《自然辩证法》第249页 恩格斯），那么一切数学与现实中的迷雾必将一扫而空。
最后再次重复爱因斯坦的话：“我们的思想创造应该是人类的福祉而非灾祸，在你的方程式中永远不要忘记这一点。”作为结语„„