课次教学计划（教案）
分式考点
一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
A
B
叫做分式。 1. 下列各式a
π，1x +1，15x+y，a 2-b 2
例a -b
，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】
x 取何值时有意义。（1）2x +13+x 2
例2. 下列分式，当3x +2； （2）2x -3
。
例3. 下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
1x 3x +1x 2
A ．2x +1 B．2x +1 C．x 2 D．2x 2+1
2x +1x 2例4．当x______时，分式3x -4无意义。当x_______时，分式-1x 2+x -2
的值为零。
例5. 已知
1x -15x +3xy -5y
y =3，求x -2xy -y
的值。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。（C ≠0）A A ⋅C A A ÷C
B =B ⋅C B =
B ÷C
四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
1x -1
例6. 不改变分式的值，使分式y
的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。 3x +9
y 例7. 不改变分式2-3x 2+x
-5x 3+2x -3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
4y +3x x 2-1x 2-xy +y 2例8. 分式4a ，a 2+2ab
x 4-1，x +y
，ab -2b 2中是最简分式的有（ ）。
x 2+6x +9m 2例9. 约分：（1）x 2-9； （2）-3m +2
m 2-m
例10. 通分：（1）
例11. 已知x 2+3x+1=0，求x 2+
1x 2
例12. 已知x+=3，求4的值．
x x +x 2+1
x y 6a -1
，； （2）， 2222
6ab 9a bc a +2a +1a -1
1
的值． x 2
五、分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
a c ac a c a d ad ⋅=; ÷=⋅=b d bd b d b c bc
a n a n () =n b b
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
a b a ±b a c ad bc ad ±bc
±=, ±=±= c c c b d bd bd bd
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
121
例13. 当分式2--的值等于零时，则x=_________。
x -1x +1x -1
a b
例14．已知a+b=3，ab=1，则+的值等于_______。
b a
x +2x -1
例15. 计算：2-2。
x -2x x -4x +4
x 2
例16. 计算：-x-1
x -1
例17. 先化简，再求值:
0a 1、任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即=1(a ≠0) ；
a a +633
-2+，其中a=。 a -3a -3a a 2
-n
当n 为正整数时，a =
1
（a ≠0) a n
七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：a ⋅a =a （2）幂的乘方：(a ) =a （3）积的乘方：(ab )
n m n
mn
m
n
m +n
；
;
=a n b n ；
m n m -n
（4）同底数的幂的除法：a ÷a =a ( a≠0) ；
a n a n
（5）商的乘方：() =n (b≠0)
b b
八、科学记数法：把一个数表示成a ⨯10n 的形式（其中1≤a
学记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是n -1。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时, 其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 。
例18. 若102x =25, 则10-x 等于( )。
1111
A. - B. C. D.
5550625
例19. 若a +a -1=3, 则a 2+a -2等于( )。 A. 9 B. 1 C. 7 D. 11
2⎛3⎫
例20. 计算:(1)4-1-3⋅(-6) 0⋅ ⎪ (2)2a -3b -1xy -2
3⎝2⎭
-1
()
-3
例21. 人类的遗传物质就是DNA, 人类的DNA 是很长的链, 最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸, 这个数用科学记数法表示是___________。
例22. 计算3⨯10-5÷3⨯10-1
()(
2)
2
=___________。
例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米, 用科学记数法表示这个数为_________。 例24．计算
3x x +y 7y
+-得（ ） x -4y 4y -x x -4y
A ．-
2x +6y 2x +6y
B． C．-2 D．2 x -4y x -4y
2b 2
例25. 计算a-b+得（ ）
a +b
a -b +2b 2a 2+b 2
A． B．a+b C． D．a-b
a +b a +b
九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 3、解分式方程的步骤：
（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）、解这个整式方程。
（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）、写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例26. 解方程。 322362164x -7
+=2-=0 （4）=1-(1)= （2） （3）
x x -6x +1x -1x -15+x 1+x 3x -88-3x
2x +912
--的值等于2？ 例27. X为何值时，代数式
x +3x -3x
32
-=12x +4x +2例28. 若方程 有增根，则增根应是（ ）
十、列方程应用题
（一）、步骤(1)审：分析题意, 找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数, 注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。
（二） 应用题的几种类型：
1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 例29. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
例30. 一项工程要在限期内完成. 如果第一组单独做, 恰好按规定日期完成; 如果第二组单独做, 需要超过规定日期4天才能完成, 如果两组合作3天后, 剩下的工程由第二组单独做, 正好在规定日期内完成, 问规定日期是多少天?
3、顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水-v 水。
例31. 已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
课后练习
一、填空（每题4分，共24分）
x 2-9
1. 对于分式，当x__________时，分式无意义；当x__________时，分式的值为0；
x +3x y z
--=_________； m -n n -m m -n a +2b 9
=，则a ：b =__________； 3. 若
2a -b 5
2. 计算
4. 某种微粒的直径约为4280纳米，用科学记数法表示为______________________米； 5. 已知a -
11
=3 ，那么a 2+2=_________ ； a a
x 2
6. 若分式3x -7的值为负数，则x 的取值范围为_______________；
二、选择题：（每题4分，共24分）
x 2-1x +y x 2-x -216x 2-4
222
x +1x +4，其中最简分式有（ ）个。 7. 下面各分式：x +x x -y
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
8. 下面各式，正确的是（ ）
x 63
=x 2
A. x a +b
=1
C. a +b
a +c a
=b +c b B.
a -b
=0
D. a -b
9. 如果m 为整数，那么使分式
m +3
的值为整数的m 的值有（ ） m +1
（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
1⎫⎛1⎫⎛
a -⎪ b +⎪
a ⎭⎝b ⎭的值为（ ） 10. 已知ab =1，则⎝
2
A. 2a
2
B. 2b
22
C. b -a
22
D. a -b
11. “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增
加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x 人，则所列方程为 A ．
）
B ．
（
180180
-=3 x +2x 180180
-=3 D ．
x -2x
113
12. 在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝+，根据这个规则x ☆(x +1) =的解为（
a b 2
222
A ．x = B ．x =1 C ．x =-或1 D ．x =或-1
333
三、解答题（52分）
13. 计算：(每小题10分，共20分)
180180-=3 x x +2180180
-=3 C ．x x -2
）
111+2+
（1）x +1x -11-x ；
2x -6x 2+x -6
÷(x +3) ⋅2
12-4x ； （2）x -4x +4
14. 解方程：（共10分）
236
-=2
1+x 1-x x -1 ；
15. 化简或求值：（共10分） 若1
16. 应用题：（共12分） 阅读下面对话：
小红妈：“售货员，请帮我买些梨。”
售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高。”
x -2x -2
-
x -11-x
+
x x
；
小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱。”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克。
试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价。
课次教学计划（教案）
分式考点
一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
A
B
叫做分式。 1. 下列各式a
π，1x +1，15x+y，a 2-b 2
例a -b
，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】
x 取何值时有意义。（1）2x +13+x 2
例2. 下列分式，当3x +2； （2）2x -3
。
例3. 下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
1x 3x +1x 2
A ．2x +1 B．2x +1 C．x 2 D．2x 2+1
2x +1x 2例4．当x______时，分式3x -4无意义。当x_______时，分式-1x 2+x -2
的值为零。
例5. 已知
1x -15x +3xy -5y
y =3，求x -2xy -y
的值。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。（C ≠0）A A ⋅C A A ÷C
B =B ⋅C B =
B ÷C
四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
1x -1
例6. 不改变分式的值，使分式y
的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。 3x +9
y 例7. 不改变分式2-3x 2+x
-5x 3+2x -3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
4y +3x x 2-1x 2-xy +y 2例8. 分式4a ，a 2+2ab
x 4-1，x +y
，ab -2b 2中是最简分式的有（ ）。
x 2+6x +9m 2例9. 约分：（1）x 2-9； （2）-3m +2
m 2-m
例10. 通分：（1）
例11. 已知x 2+3x+1=0，求x 2+
1x 2
例12. 已知x+=3，求4的值．
x x +x 2+1
x y 6a -1
，； （2）， 2222
6ab 9a bc a +2a +1a -1
1
的值． x 2
五、分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
a c ac a c a d ad ⋅=; ÷=⋅=b d bd b d b c bc
a n a n () =n b b
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
a b a ±b a c ad bc ad ±bc
±=, ±=±= c c c b d bd bd bd
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
121
例13. 当分式2--的值等于零时，则x=_________。
x -1x +1x -1
a b
例14．已知a+b=3，ab=1，则+的值等于_______。
b a
x +2x -1
例15. 计算：2-2。
x -2x x -4x +4
x 2
例16. 计算：-x-1
x -1
例17. 先化简，再求值:
0a 1、任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即=1(a ≠0) ；
a a +633
-2+，其中a=。 a -3a -3a a 2
-n
当n 为正整数时，a =
1
（a ≠0) a n
七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：a ⋅a =a （2）幂的乘方：(a ) =a （3）积的乘方：(ab )
n m n
mn
m
n
m +n
；
;
=a n b n ；
m n m -n
（4）同底数的幂的除法：a ÷a =a ( a≠0) ；
a n a n
（5）商的乘方：() =n (b≠0)
b b
八、科学记数法：把一个数表示成a ⨯10n 的形式（其中1≤a
学记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是n -1。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时, 其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 。
例18. 若102x =25, 则10-x 等于( )。
1111
A. - B. C. D.
5550625
例19. 若a +a -1=3, 则a 2+a -2等于( )。 A. 9 B. 1 C. 7 D. 11
2⎛3⎫
例20. 计算:(1)4-1-3⋅(-6) 0⋅ ⎪ (2)2a -3b -1xy -2
3⎝2⎭
-1
()
-3
例21. 人类的遗传物质就是DNA, 人类的DNA 是很长的链, 最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸, 这个数用科学记数法表示是___________。
例22. 计算3⨯10-5÷3⨯10-1
()(
2)
2
=___________。
例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米, 用科学记数法表示这个数为_________。 例24．计算
3x x +y 7y
+-得（ ） x -4y 4y -x x -4y
A ．-
2x +6y 2x +6y
B． C．-2 D．2 x -4y x -4y
2b 2
例25. 计算a-b+得（ ）
a +b
a -b +2b 2a 2+b 2
A． B．a+b C． D．a-b
a +b a +b
九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 3、解分式方程的步骤：
（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）、解这个整式方程。
（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）、写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例26. 解方程。 322362164x -7
+=2-=0 （4）=1-(1)= （2） （3）
x x -6x +1x -1x -15+x 1+x 3x -88-3x
2x +912
--的值等于2？ 例27. X为何值时，代数式
x +3x -3x
32
-=12x +4x +2例28. 若方程 有增根，则增根应是（ ）
十、列方程应用题
（一）、步骤(1)审：分析题意, 找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数, 注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。
（二） 应用题的几种类型：
1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 例29. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
例30. 一项工程要在限期内完成. 如果第一组单独做, 恰好按规定日期完成; 如果第二组单独做, 需要超过规定日期4天才能完成, 如果两组合作3天后, 剩下的工程由第二组单独做, 正好在规定日期内完成, 问规定日期是多少天?
3、顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水-v 水。
例31. 已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
课后练习
一、填空（每题4分，共24分）
x 2-9
1. 对于分式，当x__________时，分式无意义；当x__________时，分式的值为0；
x +3x y z
--=_________； m -n n -m m -n a +2b 9
=，则a ：b =__________； 3. 若
2a -b 5
2. 计算
4. 某种微粒的直径约为4280纳米，用科学记数法表示为______________________米； 5. 已知a -
11
=3 ，那么a 2+2=_________ ； a a
x 2
6. 若分式3x -7的值为负数，则x 的取值范围为_______________；
二、选择题：（每题4分，共24分）
x 2-1x +y x 2-x -216x 2-4
222
x +1x +4，其中最简分式有（ ）个。 7. 下面各分式：x +x x -y
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
8. 下面各式，正确的是（ ）
x 63
=x 2
A. x a +b
=1
C. a +b
a +c a
=b +c b B.
a -b
=0
D. a -b
9. 如果m 为整数，那么使分式
m +3
的值为整数的m 的值有（ ） m +1
（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
1⎫⎛1⎫⎛
a -⎪ b +⎪
a ⎭⎝b ⎭的值为（ ） 10. 已知ab =1，则⎝
2
A. 2a
2
B. 2b
22
C. b -a
22
D. a -b
11. “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增
加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x 人，则所列方程为 A ．
）
B ．
（
180180
-=3 x +2x 180180
-=3 D ．
x -2x
113
12. 在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝+，根据这个规则x ☆(x +1) =的解为（
a b 2
222
A ．x = B ．x =1 C ．x =-或1 D ．x =或-1
333
三、解答题（52分）
13. 计算：(每小题10分，共20分)
180180-=3 x x +2180180
-=3 C ．x x -2
）
111+2+
（1）x +1x -11-x ；
2x -6x 2+x -6
÷(x +3) ⋅2
12-4x ； （2）x -4x +4
14. 解方程：（共10分）
236
-=2
1+x 1-x x -1 ；
15. 化简或求值：（共10分） 若1
16. 应用题：（共12分） 阅读下面对话：
小红妈：“售货员，请帮我买些梨。”
售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高。”
x -2x -2
-
x -11-x
+
x x
；
小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱。”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克。
试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价。