矩形、菱形与正方形 练习题
一、选择题
1. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm ，四边形ABCD 面积是11cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） F （A ）48cm
（B ）36cm （C ）24cm
（D ）18cm
2
2
A
⑤
G
H D
C
（第10
2. 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是
……
图1
图2
图
3
（A ）2n （B ）4n （C ）2n +1 （D ）2n +2
3. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为
A.17 B.17 C.18 D.19 4. 如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为 A.2 B.
3 C. 3 D.6 2
5. （2011浙江衢州，1,3新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡A F 、A G 分别架在墙体的点B 、点C 处，且A B =A C , 侧面四边形B D E C 为矩形，若测得
∠F A G =100︒，则∠FBD =( )
A. 35° B. 40° C. 55° D. 70°
6. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条
B ．4条
C ．5条
D ．6条
7. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，
延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C
8.. 如图2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A
和B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，21
‧‧
则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定‧
是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形
9.. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面A
积是（ ）
A ．12cm 2 B ． 24cm 2 C ． 48cm 2 D ． 96cm 2 10. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
B
图
2
D B
D
C
（第7题图）
11 如图, 四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD, 顺次连接四边形ABCD 各边中点, 得到四边形A 1B 1C 1D 1, 再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点, 得到四边形A 2B 2C 2D 2……, 如此进行下去, 得到四边形A n B n C n D n . 下列结论正确的有( )
①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长
a +b 4
C
C 1
D
; ④四边形A n B n C n D n 的面积是
ab 2
n +1
A. ①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 12. 在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）
A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 13. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，
BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∩A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF, 则四边形BCDE 的面积是（ ）
A ．23 B ．33 C ．4 D ．43 14. 下列关于矩形的说法中正确的是
A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形
第10题图
C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分 15．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．对角互补 二、填空题
1. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形。若∠CED ′=56°, 则∠
AED 的大小是_______.
2. 如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长
A
（第17题图）
D
D′
C
B
A D
B
第5题图
之和为_______
C
3. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
4. 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为
. 2
5. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L 1、L 2、L 3、L 4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L 1和L 4上，该正方形的面积是 平方单位．
11 121314
6已知长方形ABCD ，AB =3cm ，AD =4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交
AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.
7.. 如图, 菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足
为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．
8. 在四边形ABCD 中，AB=DC，AD=BC. 请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形. 你添加的条件
是 .(写出一种即可)
9. 如图，菱形ABCD 的连长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，
D
A
(第9题
)
则菱形ABCD 的面积为_________㎝2．
10. 如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm. 11. 如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的
周长之和为_______．
12. 如图6，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4
和1，则BC=__．
13已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是三、解答题
1 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF． (1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长 ．
C
D
第5题图
图6
2. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AGDB 交CB 的延
长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；
（2）若∠G ＝90，求证四边形DEBF 是菱形．
3. 已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P
点分别做直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F . （1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE +PF 的值； （2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求P E －PF 的值.
4. 已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转α角得到△F ' O E ' （如图2）. （1） 探究AE ′与BF' 的数量关系，并给予证明； （2） 当α＝30°时，求证：△AOE ′为直角三角形.
5. 如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上 的点，且AE=DF。求证：BE=CF
6. 如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F ．
（1）求证：△ADE ≌△BCE ；（5分） （2）求∠AFB 的度数．（5分）
7. 如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；
（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝ 140︒，求∠AFE 的度数．
8. 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形OCED 是菱形；
（2）若∠ACB ＝30︒，菱形OCED 的面积为83，求AC 的长．
B
B
图
E
C
9. 探究问题：
⑴方法感悟： 如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF ∴△GAF ≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
G
B
F
C
A 13
D E
（第25题）①
⑵方法迁移： 如图②，将Rt ∆ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=想． ⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满
∠EAF =
12∠DAB 12
∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜
A
E
B
C
F
（第25题）②
足
, 试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得
A
DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
D E
B
F
C
（第25题）③
矩形、菱形与正方形 练习题
一、选择题
1. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm ，四边形ABCD 面积是11cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） F （A ）48cm
（B ）36cm （C ）24cm
（D ）18cm
2
2
A
⑤
G
H D
C
（第10
2. 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是
……
图1
图2
图
3
（A ）2n （B ）4n （C ）2n +1 （D ）2n +2
3. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为
A.17 B.17 C.18 D.19 4. 如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为 A.2 B.
3 C. 3 D.6 2
5. （2011浙江衢州，1,3新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡A F 、A G 分别架在墙体的点B 、点C 处，且A B =A C , 侧面四边形B D E C 为矩形，若测得
∠F A G =100︒，则∠FBD =( )
A. 35° B. 40° C. 55° D. 70°
6. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条
B ．4条
C ．5条
D ．6条
7. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，
延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C
8.. 如图2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A
和B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，21
‧‧
则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定‧
是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形
9.. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面A
积是（ ）
A ．12cm 2 B ． 24cm 2 C ． 48cm 2 D ． 96cm 2 10. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
B
图
2
D B
D
C
（第7题图）
11 如图, 四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD, 顺次连接四边形ABCD 各边中点, 得到四边形A 1B 1C 1D 1, 再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点, 得到四边形A 2B 2C 2D 2……, 如此进行下去, 得到四边形A n B n C n D n . 下列结论正确的有( )
①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长
a +b 4
C
C 1
D
; ④四边形A n B n C n D n 的面积是
ab 2
n +1
A. ①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ 12. 在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）
A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 13. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，
BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∩A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF, 则四边形BCDE 的面积是（ ）
A ．23 B ．33 C ．4 D ．43 14. 下列关于矩形的说法中正确的是
A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形
第10题图
C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分 15．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．对角互补 二、填空题
1. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形。若∠CED ′=56°, 则∠
AED 的大小是_______.
2. 如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长
A
（第17题图）
D
D′
C
B
A D
B
第5题图
之和为_______
C
3. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
4. 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为
. 2
5. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L 1、L 2、L 3、L 4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L 1和L 4上，该正方形的面积是 平方单位．
11 121314
6已知长方形ABCD ，AB =3cm ，AD =4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交
AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.
7.. 如图, 菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足
为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．
8. 在四边形ABCD 中，AB=DC，AD=BC. 请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形. 你添加的条件
是 .(写出一种即可)
9. 如图，菱形ABCD 的连长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，
D
A
(第9题
)
则菱形ABCD 的面积为_________㎝2．
10. 如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm. 11. 如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的
周长之和为_______．
12. 如图6，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4
和1，则BC=__．
13已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是三、解答题
1 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF． (1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长 ．
C
D
第5题图
图6
2. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AGDB 交CB 的延
长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；
（2）若∠G ＝90，求证四边形DEBF 是菱形．
3. 已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P
点分别做直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F . （1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE +PF 的值； （2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求P E －PF 的值.
4. 已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转α角得到△F ' O E ' （如图2）. （1） 探究AE ′与BF' 的数量关系，并给予证明； （2） 当α＝30°时，求证：△AOE ′为直角三角形.
5. 如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上 的点，且AE=DF。求证：BE=CF
6. 如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F ．
（1）求证：△ADE ≌△BCE ；（5分） （2）求∠AFB 的度数．（5分）
7. 如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；
（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝ 140︒，求∠AFE 的度数．
8. 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形OCED 是菱形；
（2）若∠ACB ＝30︒，菱形OCED 的面积为83，求AC 的长．
B
B
图
E
C
9. 探究问题：
⑴方法感悟： 如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF ∴△GAF ≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
G
B
F
C
A 13
D E
（第25题）①
⑵方法迁移： 如图②，将Rt ∆ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=想． ⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满
∠EAF =
12∠DAB 12
∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜
A
E
B
C
F
（第25题）②
足
, 试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得
A
DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
D E
B
F
C
（第25题）③