等差.等比数列公式总结

一、等差数列

1. 定义：a n +1-a n =d (常数)

2. 通项公式：a n =a 1+(n -1) d

3. 变式：a n =a m +(n -m ) d d =a n -a m n -m

4. 前n 项和：S n =

5. 几何意义： (a 1+a n ) n n (n -1) 或 S n =a 1n +d 22

①a n =a 1+(n -1) d =a 1+dn -d 即a n =pn +q 类似 y =px +q ②S n =d 2d n +(a 1-) n 即 S n =An 2+Bn 类似 y =Ax 2+Bx 22

a n -1+a n +1⇔a n +1-a n =d 26. {a n }等差⇔a n =pn +q ⇔S n =An 2+Bn ⇔a n =

7. 性质

① m +n =p +q 则 a m +a n =a p +a q

② m +n =2p 则 a m +a n =2a p

③ a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=

④ S m 、S 2m -m 、S 3m -2m 等差

⑤ {a n }等差, 有2n +1项, 则

S 2n -1 2n -1S 奇S 偶=n +1 n ⑥ a n =

二、等比数列

1. 定义：a n +1=q (常数） a n

2. 通项公式：a n =a 1q n -1

3. 变式： a n =a m q n -m a n =q n -m a m

(q =1) ⎧na 1　　　⎪n 4. S n =⎨a 1(1-q ) 　　　 (q ≠1) ⎪1-q ⎩

a 1(1-q n )

前n 项和：S n =a 1n (q =1) 或 S n = (q ≠1) 1-q

S n 1-q n

=5. 变式： (q ≠1) m S m 1-q

6. 性质：

① m +n =p +r 则 a m ⋅a n =a p ⋅a r

② m +n =2p 则 a m ⋅a n =a 2

③ a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2=

④ S m 、S 2m -m 、S 3m -2m 等比

⑤ {a n }等比, 有2n +1项

S 奇=a 1+a 3+a 5+ +a 2n +1=a 1+q (a 2+a 4+ +a 2n ) =a 1+qS 偶

三、等差与等比的类比

{a n }等差

和

差

系数

“0”

四、数列求和

1. 分组求和 {b n }等差积商指数 “1”

通项虽不是等差或等比数列，但通项是由等差或等比数列的和的形式，则可进行拆分，分别利用基本数列的和公式求和．

如求{n (n +1)}前n 项的和：

n (n +1) =n 2+n ]

∴S n =(12+1) +(22+2) + +(n 2+n )

=(12+22+32+ n 2) +(1+2+3+ +n )

11 =n (n +1)(2n +1) +n (n +1) 621 =n (n +1)(n +2) 3

2．裂项相消法．

把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于通

11111项为的前n 项和，其中{a n }=(-). a n ⋅a n +1a n ⋅a n +1d a n a n +1

常见的拆项方法有：111=-；n (n +1) n n +1

1111(2) =(-) ；(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1

1111(3) =[-]；n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)

11 (4) =(a -) ；a -b a +m -1m m (5) C n =C n +1-C n ；

(6) n ⋅n ! =(n +1)! -n ! ；

(7) a n =S n -S n -1(n ≥2). (1)

3. 错位相减法．

利用等比数列求和公式的推导方法求解，一般可解决形如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和．

如：等比数列{a n }前n 项和公式的推导：

(q =1) ⎧na 1　　　⎪⎧S n =a 1+a 2+a 3+ +a n n . ⎨qS =a +a + +a +a ⇒(1-q ) S n =a 1-a n +1⇒⎨a 1(1-q ) =a 1-a n q 　　(q ≠1) 23n n +1⎩n ⎪1-q ⎩1-q