几种常见的数列递推关系式
高俊玲
数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。
下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。
一. 定义法
常见形式：
已知： ①
或 ②
（其中，d 常数，为常数）
定义法即高中所学的两大基本数列��等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。
二. 迭代法
常见形式：已知
③
或不恒为零 ④
（这里的是关于n 的关系式）。
这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③
……
将以上个式子叠加，可得
这里，我们只须已知数列的首项
列的通项公式来。 利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数
如：④的具体例子：
例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列，是数列的前n 项和，。求。
解：因为
所以
即
经验证，也适合上式。
所以，
三. 构造法
常见形式：已知
1. 利用递推式构造法 （p ，q 为常数，） ⑤
构造新数列，转化到常用形式①或②，即基本数列定义式。
两式相减，得
其实，
比数列不正是一个数列的前后两项吗？所以，构造一个新的等，这个数列的首项是，公比是p 。因为各项是差的形式，利用等比数列求和公式，即可求出通项公式。
2. 利用不动点构造法
利用函数不动点的方法。
是一个函数关系（p ，q 为常数，。利用函数不动点的特点，解方程，即）其实，解得，通过这个不动点，易构造新的等比数列：
3. 利用待定系数构造法
若通过观察，对常数q 适当的拆分，即可以构造新数列，那么也可以用先猜想后待定的办法确定出新数列来。
设递推关系式可化为：可解出。
以上三种构造法，可以用来解决很多问题。
如：常见形式：（p ，q 为常数，） ⑥ 可以用方法三（1），两边同时除以，得
即转化到常见形式⑤来处理。
或者利用待定系数法，但对适当的拆分不能当成常数进行拆分，须要考虑到与项数的关系：，然后同样的方法，解出系数。
（当然，递推关系的证明题是可以用数学归纳法来证明的）
又如：常见形式： ⑦
这是连续三项的递推关系，利用
待定系数法。 的前后关联性，进行构造新数列，不妨采用
即
这时，我们只须令
不难解出α，β构成新数列
再如：例2. 已知：数列，这道题目，不方便观察与待定系数，我们仍可以用函数不动点思想来解决。设函数，解方程
，解得或，所以原数列递推关系，可化为：
解：通过原式，解出
进而，可构造出等比数列，公比为。
进而，可构造出等比数列，公比为。
四. 换元法
例3. 已知数列
公式。
解：通过计算等，观察出数列的极限是2 ，求数列的通项
所以用不动点方法解
解得均不合题意。
用数学归纳法不难证出刚才的猜想：
根据三角函数的有界性，不妨设代入原递推关系
得到，另一组递推关系：
所以，是一个以为首项，以为公比的等比数列， 故
五. 周期性
有些数列是具有周期性的，通过研究周期性，即可确定通项公式。 例4. 已知数列，，则（ ）
A. -3 B. 3 C. -6 D. 6
解：由递推关系，得
这时应观察数列的周期性，以6为周期，得a 2006=6。 ，由于，
几种常见的数列递推关系式
高俊玲
数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。
下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。
一. 定义法
常见形式：
已知： ①
或 ②
（其中，d 常数，为常数）
定义法即高中所学的两大基本数列��等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。
二. 迭代法
常见形式：已知
③
或不恒为零 ④
（这里的是关于n 的关系式）。
这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③
……
将以上个式子叠加，可得
这里，我们只须已知数列的首项
列的通项公式来。 利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数
如：④的具体例子：
例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列，是数列的前n 项和，。求。
解：因为
所以
即
经验证，也适合上式。
所以，
三. 构造法
常见形式：已知
1. 利用递推式构造法 （p ，q 为常数，） ⑤
构造新数列，转化到常用形式①或②，即基本数列定义式。
两式相减，得
其实，
比数列不正是一个数列的前后两项吗？所以，构造一个新的等，这个数列的首项是，公比是p 。因为各项是差的形式，利用等比数列求和公式，即可求出通项公式。
2. 利用不动点构造法
利用函数不动点的方法。
是一个函数关系（p ，q 为常数，。利用函数不动点的特点，解方程，即）其实，解得，通过这个不动点，易构造新的等比数列：
3. 利用待定系数构造法
若通过观察，对常数q 适当的拆分，即可以构造新数列，那么也可以用先猜想后待定的办法确定出新数列来。
设递推关系式可化为：可解出。
以上三种构造法，可以用来解决很多问题。
如：常见形式：（p ，q 为常数，） ⑥ 可以用方法三（1），两边同时除以，得
即转化到常见形式⑤来处理。
或者利用待定系数法，但对适当的拆分不能当成常数进行拆分，须要考虑到与项数的关系：，然后同样的方法，解出系数。
（当然，递推关系的证明题是可以用数学归纳法来证明的）
又如：常见形式： ⑦
这是连续三项的递推关系，利用
待定系数法。 的前后关联性，进行构造新数列，不妨采用
即
这时，我们只须令
不难解出α，β构成新数列
再如：例2. 已知：数列，这道题目，不方便观察与待定系数，我们仍可以用函数不动点思想来解决。设函数，解方程
，解得或，所以原数列递推关系，可化为：
解：通过原式，解出
进而，可构造出等比数列，公比为。
进而，可构造出等比数列，公比为。
四. 换元法
例3. 已知数列
公式。
解：通过计算等，观察出数列的极限是2 ，求数列的通项
所以用不动点方法解
解得均不合题意。
用数学归纳法不难证出刚才的猜想：
根据三角函数的有界性，不妨设代入原递推关系
得到，另一组递推关系：
所以，是一个以为首项，以为公比的等比数列， 故
五. 周期性
有些数列是具有周期性的，通过研究周期性，即可确定通项公式。 例4. 已知数列，，则（ ）
A. -3 B. 3 C. -6 D. 6
解：由递推关系，得
这时应观察数列的周期性，以6为周期，得a 2006=6。 ，由于，