惩渴幂函数的图像＼性质及应用
■山东
谢高峰
我们知道，幂函数的基本形式是了＝ｚ。，其中ｚ是自变量，口是常数．在学习与研究幂函数时，同学们要重视幂函数图像的作用，借助幂函数网像，掌握幂
函数性质．
一、牢记常用幂函数图像
常用的幂函数有五个，即Ｙ＝ｚ，了一ｚ２，Ｙ＝ｚ３，ｙ＝ｚ专，Ｙ＝ｚ＿１．对于这五个常用幂函数的图像，同学
（２）当ａ＜Ｏ时，图像过定点（１，１）；在（０，＋ｏ。）上是减函数；在第一象限内，图像向上及向右都与坐标
轴无限接近．
３．借助图像掌握性质．从水平方向看，由图像上点的横坐标的变化范围，得出函数的定义域；从垂直
方向看，由图像上点的纵坐标的变化范围，得出函数
的值域；由图像的对称性得出奇偶性；由图像的上升与下降得出单调性．
三、幂函数图像分布规律
们不但要能在单个坐标系中单独作出，而且要能在同一个坐标系中全部作出．图像如下所示．
在第一象限内观察图像的分布规律，可以得出
二、借助图像掌握函数性质
｜｜弋赂ｙ＝Ｘ面、∥硷
３
Ｏ
ｌ
３
●
如下结论：幂甬数Ｙ一∥的图像。在第一象限内，在直线ｚ一１的右侧，图像由下至上，指数ａ由小到大；
在ｙ轴和直线ｚ＝１之间，图像由上至下，指数ａ由
小到大．要熟记这个分布规律。同学们可以通过两个
Ｊ
特例来巧记，如观察函数Ｙ＝ｚ２与Ｙ＝ｚ叫在第一象限的图像，很快就可以发现在ｚ一１的右侧，了＝工２的图像在ｙ—ｚ－１的图像的上方，而在ｙ轴和直线ｚ一１
之间时，ｙ＝ｚ２的图像在ｙ—ｚ叫的图像的下方．
同时，同学们还可以通过分析幂函数的指数特点，探讨指数口具有什么特征，图像分布在哪些象限，或者由指数特征探讨图像的对称性等，来掌握幂函数的性质，这里就不再细说了，同学们不妨自己探讨
一下．
四、图像基本特点与分布规律的应用
在高中阶段学习函数知识时，需要对函数图像
及其基本性质熟练掌握，而掌握函数基本性质的一个最基本、最有效的方法就是借助函数图像．
１．观察单个幂函数的图像，可以得到一个性质
表．
ｙ—ｚ
，一，
（一ｏ。．
ｖ２：一
（一ｏ。．
ｙ—ｚ丁
ｙ＝ｚ一１
应用一．利用幂函数的图像研究函数的性质倒，讨论函数Ｙ＝ｚ寺的定义域，奇偶性，并作出图像说明函数的增减性．
解：因为函数ｙ—ｚ寺一√≯，所以函数的定义域
为实数集Ｒ．
因为ｆ（一ｚ）＝
‘Ｊ，
定义域值域奇
（一。。．＋。。）（一。。．
（一。。。０）Ｕ
＋∞）［ｏ，＋。。）
＋∞）
（一。。．＋ｏ。）
＿
［ｏ，＋。。）Ｅ０，＋。。）
非奇非偶
（Ｏ．＋。。）（一ｃｏ．０）Ｕ
（０．＋ｃｏ）
—Ｌｏｏ）
偶
性
奇
（一ｏｏ，
偶
（一ｏ。，０］
奇奇
苴词性定点
（一ｏ。。（一。。。０）．
＋ｃｏ）上增
上减．［ｏ，
＋。。）上
ｒＯ．＋。。）
＋ｏ。）上增
上增
分别减
（１，１）
（Ｏ．七。。）上
（－－ｘ）号＝［（一ｚ）ｚ］｛＝
ｚ寺一厂（ｚ），所以函数ｙ＝ｚ詈为偶函数，其图像
八∥毒
一１
增
（Ｏ．Ｏ）。（１。１）
Ｄｌ
２．由性质表可以得出幂函数的共性，总结如下．（１）当ａ＞Ｏ时，图像过定点（０，０），（１，１）；在（０，
＋。。）上是增函数．
关于ｙ轴对称．可用列表法作出函数Ｙ—ｚ号在［ｏ，＋。。）上的图像，再由对称性画出Ｙ轴左侧的图像，由图像可以看出函数ｙ＝ｚ号在区间（一。。，Ｏ］上为减
别时轩昂仰首去，待到归来天下知．
万方数据
质）的图像在第一、二象限不过原点，则ｋ，铆，竹的奇
偶性为
．
图像，如图所示．由图可得：
①当ｚ＞１或ｚ＜一１时，，（ｚ）＞ｇ（ｚ）；②当ｚ一１或ｚ＝一１时，，（ｚ）一ｇ（ｚ）；③当一ｌ＜ｘ＜ｌ且ｚ≠
０时，厂（ｚ）＜ｇ（ｚ）．’
解：由幂函数图像在第一、二象限，则可知此函数为偶函数，于是ｍ是奇数，且，ｚ为偶数，又函数图像不经过原点，因此指数小于零，即ｋ为奇数．
娥兰竖雌塞警至蒙蓁军三蓍誓薹妻Ｑ馥竖像和耋嚣兹嚣嚣蓑喜釜曼
的图像，借助图像求出不等式和方程的解．也可用分
图像和性质就可以轻松获解．研究函数的性质，一定要抓住图像的特征，幂函数的图像特征与其幂指数
的取值密切相关．
应用二．利用幂函数的图像比较大小
类讨论的思想．当ｚ２＝专，即ｚ４—１，ｚ一士１时，以ｚ
＝ｌ，一１为分界点分ｚ＞１，～ｌ＜ｚ＜１，ｚ＜一１，ｚ；±Ｉ五种情况进行讨论，也能得到同样的结果．本题
侧了函数ｙ＝∥，Ｙ＝∥，ｙ＝∥的图像如图所示，则口，ｂ，ｃ的大小关系是（
Ａ．ｃ＜ｂ＜ａ
）．
中的ｇ（ｚ）的定义域是｛ｚｚ≠０｝，所以解题过程③中不包含ｘ＝－０这一元素，这一点在解题时容易忽略．
Ｂ．ａ＜ｂ＜ｃＣ．ｂ＜ｃ＜ａ
Ｄ．ｃ＜ａ＜ｂ
感悟与提高
１．已知幂函数ｙ＝ｘ”－６（ｍ∈ｚ）与ｙ＝ｚ”＿２（ｍ∈ｚ）的图像与ｚ，Ｙ轴都没有交点，且ｙ＝ｘ一２（聊∈ｚ）的图像关于Ｙ轴对称，求ｍ的值．
２．已知集合Ａ一｛ｙｌｙ＝ｌ０９２ｚ，ｚ＞，１｝，Ｂ一｛Ｙ＝（寺）。，ｚ＞１｝，则Ａｎ．Ｂ一（
Ａ．｛ｙＩＯ＜ｙ＜ｌ｝
）．
Ｙ
解：幂函数的图像在（Ｏ，１）之间的特点是“指数大图像低”。选Ａ．
他一中学生数理亿高一版
Ｑ进扎ｈ兰：篙谶曩三荤；兹喜
出：ｎ＞１，０＜ｂ＜ｌ，ｆ＜Ｏ．易得答案为Ａ．
应用三．利用幂函数的图像求函数的解析式侧簟点（√２，２）在幂函数，（ｚ）的图像上，点
Ｂ．｛ｙＩｏ＜ｙ＜丢）ｃ．｛ｙｌ虿１＜ｙ＜１）
Ｄ．ｇ
（一２，÷）在幂函数ｇ（ｚ）的图像上．
（１）求函数厂（ｚ），ｇ（ｚ）的解析式．
（２）问当工取何值时有：①厂（ｚ）＞ｇ（ｚ）；②，（ｚ）
＝ｇ（ｚ）；③厂（ｚ）＜ｇ（ｚ）．
基，黪’参考答案与提示
１．提示：因为幂匝数图像与ｚ，ｙ轴都没有交点，
劂
分析：利用待定系数法先求出幂函数的解析式，再利用图像求解不等式．
解：（１）设厂（ｚ）＝∥，因为点（√２，２）
在幂函数ｆ（ｘ）的图
．，酝）＝《
，
所以｛ｍ２一－－仇６≤≤０。，，胖得２≤ｍ≤６．
ｆ吣＝ｘａ
像上，将点（√虿，２）代入ｆ（ｚ）＝ｚ４中，可得ａ一２，即ｆ（ｚ）＝
＼＼｝｝／醇）；蹦一ｌ…柚）∥
；＼
／！
一ｌ
Ｄ
ｌ
ｘ
又因为ｙ＝ｘ一２（ｍ∈Ｚ）的图像关于Ｙ轴对称，
所以ｍ一２为偶数，即得ｍ＝２，４，６．
２．提示：Ａ中Ｙ—ｌ０９２ｚ＞ｌ０９２１＝０，Ｂ中Ｏ＜ｙ＜
（专）１＝虿１，故选Ｂ．
（责任编辑郭正华）
万方数据
唯有付出奇迹般的努力。奇迹才会出现在你身上．
——佚名
解读幂函数的图像、性质及应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
谢高峰
中学生数理化（高一版）
MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(MIDDLE SCHOOL EDITION)2010，""(7)0次
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-gyb201007005.aspx授权使用：华南师范大学(hnsfdx)，授权号：ae205a58-2bac-4539-9c18-9e3f01741829
下载时间：2010年12月1日
惩渴幂函数的图像＼性质及应用
■山东
谢高峰
我们知道，幂函数的基本形式是了＝ｚ。，其中ｚ是自变量，口是常数．在学习与研究幂函数时，同学们要重视幂函数图像的作用，借助幂函数网像，掌握幂
函数性质．
一、牢记常用幂函数图像
常用的幂函数有五个，即Ｙ＝ｚ，了一ｚ２，Ｙ＝ｚ３，ｙ＝ｚ专，Ｙ＝ｚ＿１．对于这五个常用幂函数的图像，同学
（２）当ａ＜Ｏ时，图像过定点（１，１）；在（０，＋ｏ。）上是减函数；在第一象限内，图像向上及向右都与坐标
轴无限接近．
３．借助图像掌握性质．从水平方向看，由图像上点的横坐标的变化范围，得出函数的定义域；从垂直
方向看，由图像上点的纵坐标的变化范围，得出函数
的值域；由图像的对称性得出奇偶性；由图像的上升与下降得出单调性．
三、幂函数图像分布规律
们不但要能在单个坐标系中单独作出，而且要能在同一个坐标系中全部作出．图像如下所示．
在第一象限内观察图像的分布规律，可以得出
二、借助图像掌握函数性质
｜｜弋赂ｙ＝Ｘ面、∥硷
３
Ｏ
ｌ
３
●
如下结论：幂甬数Ｙ一∥的图像。在第一象限内，在直线ｚ一１的右侧，图像由下至上，指数ａ由小到大；
在ｙ轴和直线ｚ＝１之间，图像由上至下，指数ａ由
小到大．要熟记这个分布规律。同学们可以通过两个
Ｊ
特例来巧记，如观察函数Ｙ＝ｚ２与Ｙ＝ｚ叫在第一象限的图像，很快就可以发现在ｚ一１的右侧，了＝工２的图像在ｙ—ｚ－１的图像的上方，而在ｙ轴和直线ｚ一１
之间时，ｙ＝ｚ２的图像在ｙ—ｚ叫的图像的下方．
同时，同学们还可以通过分析幂函数的指数特点，探讨指数口具有什么特征，图像分布在哪些象限，或者由指数特征探讨图像的对称性等，来掌握幂函数的性质，这里就不再细说了，同学们不妨自己探讨
一下．
四、图像基本特点与分布规律的应用
在高中阶段学习函数知识时，需要对函数图像
及其基本性质熟练掌握，而掌握函数基本性质的一个最基本、最有效的方法就是借助函数图像．
１．观察单个幂函数的图像，可以得到一个性质
表．
ｙ—ｚ
，一，
（一ｏ。．
ｖ２：一
（一ｏ。．
ｙ—ｚ丁
ｙ＝ｚ一１
应用一．利用幂函数的图像研究函数的性质倒，讨论函数Ｙ＝ｚ寺的定义域，奇偶性，并作出图像说明函数的增减性．
解：因为函数ｙ—ｚ寺一√≯，所以函数的定义域
为实数集Ｒ．
因为ｆ（一ｚ）＝
‘Ｊ，
定义域值域奇
（一。。．＋。。）（一。。．
（一。。。０）Ｕ
＋∞）［ｏ，＋。。）
＋∞）
（一。。．＋ｏ。）
＿
［ｏ，＋。。）Ｅ０，＋。。）
非奇非偶
（Ｏ．＋。。）（一ｃｏ．０）Ｕ
（０．＋ｃｏ）
—Ｌｏｏ）
偶
性
奇
（一ｏｏ，
偶
（一ｏ。，０］
奇奇
苴词性定点
（一ｏ。。（一。。。０）．
＋ｃｏ）上增
上减．［ｏ，
＋。。）上
ｒＯ．＋。。）
＋ｏ。）上增
上增
分别减
（１，１）
（Ｏ．七。。）上
（－－ｘ）号＝［（一ｚ）ｚ］｛＝
ｚ寺一厂（ｚ），所以函数ｙ＝ｚ詈为偶函数，其图像
八∥毒
一１
增
（Ｏ．Ｏ）。（１。１）
Ｄｌ
２．由性质表可以得出幂函数的共性，总结如下．（１）当ａ＞Ｏ时，图像过定点（０，０），（１，１）；在（０，
＋。。）上是增函数．
关于ｙ轴对称．可用列表法作出函数Ｙ—ｚ号在［ｏ，＋。。）上的图像，再由对称性画出Ｙ轴左侧的图像，由图像可以看出函数ｙ＝ｚ号在区间（一。。，Ｏ］上为减
别时轩昂仰首去，待到归来天下知．
万方数据
质）的图像在第一、二象限不过原点，则ｋ，铆，竹的奇
偶性为
．
图像，如图所示．由图可得：
①当ｚ＞１或ｚ＜一１时，，（ｚ）＞ｇ（ｚ）；②当ｚ一１或ｚ＝一１时，，（ｚ）一ｇ（ｚ）；③当一ｌ＜ｘ＜ｌ且ｚ≠
０时，厂（ｚ）＜ｇ（ｚ）．’
解：由幂函数图像在第一、二象限，则可知此函数为偶函数，于是ｍ是奇数，且，ｚ为偶数，又函数图像不经过原点，因此指数小于零，即ｋ为奇数．
娥兰竖雌塞警至蒙蓁军三蓍誓薹妻Ｑ馥竖像和耋嚣兹嚣嚣蓑喜釜曼
的图像，借助图像求出不等式和方程的解．也可用分
图像和性质就可以轻松获解．研究函数的性质，一定要抓住图像的特征，幂函数的图像特征与其幂指数
的取值密切相关．
应用二．利用幂函数的图像比较大小
类讨论的思想．当ｚ２＝专，即ｚ４—１，ｚ一士１时，以ｚ
＝ｌ，一１为分界点分ｚ＞１，～ｌ＜ｚ＜１，ｚ＜一１，ｚ；±Ｉ五种情况进行讨论，也能得到同样的结果．本题
侧了函数ｙ＝∥，Ｙ＝∥，ｙ＝∥的图像如图所示，则口，ｂ，ｃ的大小关系是（
Ａ．ｃ＜ｂ＜ａ
）．
中的ｇ（ｚ）的定义域是｛ｚｚ≠０｝，所以解题过程③中不包含ｘ＝－０这一元素，这一点在解题时容易忽略．
Ｂ．ａ＜ｂ＜ｃＣ．ｂ＜ｃ＜ａ
Ｄ．ｃ＜ａ＜ｂ
感悟与提高
１．已知幂函数ｙ＝ｘ”－６（ｍ∈ｚ）与ｙ＝ｚ”＿２（ｍ∈ｚ）的图像与ｚ，Ｙ轴都没有交点，且ｙ＝ｘ一２（聊∈ｚ）的图像关于Ｙ轴对称，求ｍ的值．
２．已知集合Ａ一｛ｙｌｙ＝ｌ０９２ｚ，ｚ＞，１｝，Ｂ一｛Ｙ＝（寺）。，ｚ＞１｝，则Ａｎ．Ｂ一（
Ａ．｛ｙＩＯ＜ｙ＜ｌ｝
）．
Ｙ
解：幂函数的图像在（Ｏ，１）之间的特点是“指数大图像低”。选Ａ．
他一中学生数理亿高一版
Ｑ进扎ｈ兰：篙谶曩三荤；兹喜
出：ｎ＞１，０＜ｂ＜ｌ，ｆ＜Ｏ．易得答案为Ａ．
应用三．利用幂函数的图像求函数的解析式侧簟点（√２，２）在幂函数，（ｚ）的图像上，点
Ｂ．｛ｙＩｏ＜ｙ＜丢）ｃ．｛ｙｌ虿１＜ｙ＜１）
Ｄ．ｇ
（一２，÷）在幂函数ｇ（ｚ）的图像上．
（１）求函数厂（ｚ），ｇ（ｚ）的解析式．
（２）问当工取何值时有：①厂（ｚ）＞ｇ（ｚ）；②，（ｚ）
＝ｇ（ｚ）；③厂（ｚ）＜ｇ（ｚ）．
基，黪’参考答案与提示
１．提示：因为幂匝数图像与ｚ，ｙ轴都没有交点，
劂
分析：利用待定系数法先求出幂函数的解析式，再利用图像求解不等式．
解：（１）设厂（ｚ）＝∥，因为点（√２，２）
在幂函数ｆ（ｘ）的图
．，酝）＝《
，
所以｛ｍ２一－－仇６≤≤０。，，胖得２≤ｍ≤６．
ｆ吣＝ｘａ
像上，将点（√虿，２）代入ｆ（ｚ）＝ｚ４中，可得ａ一２，即ｆ（ｚ）＝
＼＼｝｝／醇）；蹦一ｌ…柚）∥
；＼
／！
一ｌ
Ｄ
ｌ
ｘ
又因为ｙ＝ｘ一２（ｍ∈Ｚ）的图像关于Ｙ轴对称，
所以ｍ一２为偶数，即得ｍ＝２，４，６．
２．提示：Ａ中Ｙ—ｌ０９２ｚ＞ｌ０９２１＝０，Ｂ中Ｏ＜ｙ＜
（专）１＝虿１，故选Ｂ．
（责任编辑郭正华）
万方数据
唯有付出奇迹般的努力。奇迹才会出现在你身上．
——佚名
解读幂函数的图像、性质及应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
谢高峰
中学生数理化（高一版）
MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(MIDDLE SCHOOL EDITION)2010，""(7)0次
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-gyb201007005.aspx授权使用：华南师范大学(hnsfdx)，授权号：ae205a58-2bac-4539-9c18-9e3f01741829
下载时间：2010年12月1日