初中数学专项训练：实际问题与二次函数
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题
例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗
圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的
函数关系式；
（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x）（米），
根据题意，得：y =x (18-x ) =-x 2+18x ； 又∵⎨
⎧x ＞0
, ∴0＜x＜18
⎩18-x ＞0
（2）∵y =x (18-x ) =-x 2+18x 中，a= -1＜0，∴y 有最大值，
b 184ac -b 20-182
=-=9时，y max =即当x =-==81 2a 2⨯(-1) 4a 4⨯(-1)
故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值
例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠
墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（（米），
根据题意，得：y =x (
50-x
）2
50-x 1
) =-x 2+25x ； 22
⎧x ＞0
⎪
又∵⎨50-x , ∴0＜x＜50
＞0⎪⎩2
∵y =x (
50-x 11
) =-x 2+25x 中，a=-＜0，∴y 有最大值， 222
b
即当x =-=-
2a
2512⨯(-)
2
=25时，y
max
4ac -b 20-252625===
14a 24⨯(-)
2
故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为
625
平方米。 2
点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
3、 围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm
由题意得： () +(
x 4
2
20-x 2
) =17 4
解得： x 1=16, x 2=4
当x 1=16时，20-x=4；当x 2=4时，20-x=16
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。 （2）不能
理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为面积为ycm ，
根据题意，得：y =x 2+(5-x ) 2=2x 2-10x +25，
∵y =x 2+(5-x ) 2=2x 2-10x +25中，a= 2＞0，∴y 有最小值，
2
20-4x
=(5-x ) cm ，围成两个正方形的4
b -1054ac -b 24⨯2⨯25-10225=-=时，y min ===即当x =-=12.5＞12, 故两个正2a 2⨯224a 4⨯22
方形面积的和不可能是12cm .
2
练习1、如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x，正方形EFGH 的面积为y.
(1)求出y 与x 之间的函数关系式；
(2)正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
图（1） 图（2）
y =-
12
x . 2
【解析】
2
试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：y=ax，利用待定系数法求解.
试题解析：设此函数解析式为：y =ax ，a ¹那么（2，-2）应在此函数解析式上． 则-2=4a
2
0；
1， 212
那么y =-x ．
2
即得a =-考点：根据实际问题列二次函数关系式.
练习1
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示. 图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关
2
系是y =-x +2x +
5
. 请回答下列问题： 4
(1)柱子OA 的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
2．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米. 要使高为3
米的船通过，则其宽度须不超过多少
米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件) 与销售单价x(元) 之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500. （1）设李明每月获得利润为w(元) ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分） （2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分） 答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600. 【解析】 试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．
试题解析：（1）由题意得出： W =(x -20)y =(x -20)(-10x +500)=-10x 2+700x -10000， ∵a =-10
b
=35， 2a
∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得：-10x 2+700x -10000=2000，
解这个方程得：x 1=30，x 2=40．
∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）∵a =-10
设成本为P （元），由题意，得：P =20(-10x +500)=-200x +10000，
∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小． ∴当x=32时，P 最小=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 考点：二次函数的应用．
练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y(只) 与销售价x(元／只) 之间的函数关系式为 ； （2）求该批发商平均每天的销售利润W(元) 与销售只x(元／只) 之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元
2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克) 与销售价x(元/千克) 有如下关系：y =-2x +80. 设这种产品每天的销售利润为w 元. （1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
3．某公司营销A , B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A 种产品所获利润y (万元) 与所售产品x (吨) 之间存在二次函数关系
y =ax 2+bx . 当x =1时，y =1.4 ；当x =3时，y =3.6．
信息2：销售B 种产品所获利润y (万元) 与所售产品x (吨) 之间存在正比例函数关系y =0.3x ． 根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；
(2)该公司准备购进A , B 两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A , B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y =-10x +500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x 元/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x 的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式； （3）当x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元) 与每月租出的车
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y （辆）与每辆车的月租金x （元）之间的关系式.
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x （x≥3000）的代数式填表:
租出的车辆数 未租出的车辆数
租出每辆车的月收 所有未租出的车辆每月的维护 益 费
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．
四、利用二次函数解决动点问题
例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .
(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；
(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm的速度
匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤
t
≤
2
10) ，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm .
① 求S 关于t 的函数关系式；
② 求S 的最大值.
解：(1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm，由∠A =60°，知AE =1，PE ∴ S Δ
APE =.
2
(2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，t t 3AF =，QF =t ，AP =t +2，AG =1+，PG =+t .
2222
3
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =. t +
22
当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则
t t 3
AQ =t ，AF =，DF =4-，QF =t ，BP =t-6，CP =10-t，PG =(10-t ) 3，
222
而BD =43，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =-
当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，
52
t +10t -34. 8
QF =(20-2t
CP =10-t ，PG =(10-t ) .
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =
32
t -t +3. 2
(0≤t ≤6) ⎪⎪⎪2
故S 关于t
的函数关系式为S =⎨+-(6≤t ≤8)
2
-+(8≤t ≤10) ⎪⎩
73
2
当6≤t ≤8时，S 的最大值为6
②当0≤t ≤6时，S 的最大值为
当8≤t ≤10时，S 的最大值为63 所以当t =8时，S 有最大值为6 .
初中数学专项训练：实际问题与二次函数
参考答案
一、1
22
（1）y=2x-2ax+a (2) 有. 当点E 是AB 的中点时，面积最大. 【解析】本题考查了二次函数的应用.
2
（1）先由AAS 证明△AEF ≌△DHE ，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x ）米，再根据勾股定理，求出EF ，即可得到S 与x 之间的函数关系式；
（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解． 解：∵四边形ABCD 是边长为a 米的正方形， ∴∠A=∠D=90°，AD= a米． ∵四边形EFGH 为正方形， ∴∠FEH=90°，EF=EH． 在△AEF 与△DHE 中，
∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH
∴△AEF ≌△DHE （AAS ），
∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x ）米，
2222222
∴y=EF=AE+AF=x+（a-x ）=2x-2ax+ a，
22
即y=2x-2ax+ a；
a 2a 2
（2）∵y=2x-2ax+ a=2（x-）+，
24
2
2
∴当x=
a
时，S 有最大值． 2
故当点E 是AB 的中点时，面积最大．
二、练习1 （1）
955
（2） （3） 442
【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y 的值，即可求出答案． （2）通过抛物线的顶点坐标求得
（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x 的值，即可求出答案． 解：（1）把x=0代入抛物线的解析式
55
，即柱子OA 的高度是 44
92
=1时，y=, 即水流距水平面的最大高度 （2）由题意得：当x=-
42⨯（-1）
得：y=
（3）把y=0代入抛物线
155
=0，解得，x 1=-(舍去，不合题意) ，x 2=
224
5
故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外
2
2
得：-x +2x +
2．（1）①y =-
12
x +4；②10；（2）①14.5
；②． 25
【解析】 试题分析：（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x 的值即可；
222
（2）①构造直角三角形利用BW =BC+CW，求出即可；
222
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF =WF﹣WG ，求出即可． 试题解析：（1）①设抛物线解析式为：y =ax 2+c ，∵桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，∴A （﹣
1⎧
⎧100a +c =012⎪a =-
10，0），B （10，0），D （0，4），∴⎨，解得：⎨ 25，∴抛物线解析式为：y =-x +4；
25⎩c =4⎪c =4⎩
②∵要使高为3米的船通过，∴y =3，则3=-
12
x +4，解得：x =±5，∴EF=10米； 25
（2）①设圆半径r 米，圆心为W ，∵BW =BC+CW，∴r 2=(r -4) 2+102，解得：r =14.5；
2
2
2
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF =WF﹣WG ，即GF =14.5﹣13.5=28，所以
GF=
EF=
2
22222
考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．
2
三、1．(1）y=-3x+240；(2)w=-3x+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 【解析】 试题分析：（1）根据题意知销售量y(只) 与销售价x(元／只) 之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；
2
(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600；
2
(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x+360x-9600的最大值. 试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；
2
（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600； (3)当x ≤60，y 随x 的增大而减小， 当x=55时，w 最大=1125
所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 考点：（1）一次函数；（2）二次函数． 2．（1）w =-2x 2+120x -1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 【解析】 试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：w =(x -20)⋅y =(x -20)(-2x +80)=-2x 2+120x -1600， ∴w 与x 的函数关系式为：w =-2x 2+120x -1600. （2）w =-2x 2+120x -1600=-2(x -30)+200，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 考点：1. 二次函数的应用；2. 由实际问题列函数关系式；3. 二次函数的最值. 3．见解析 【解析】
试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入y =ax +bx
2
2
得⎨⎧a +b =1.4⎧a =-0.12 解得⎨ ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x；
⎩9a +3b =3.6⎩b =1.5
（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，根据题意
222可列函数关系式为：W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，因为-0.1＜0，根据二
次函数的性质知当m=6时，W 有最大值6.6，
试题解析：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
∴⎨⎧a +b =1.4
⎩9a +3b =3.6
⎧a =-0.1 ， b =1.5⎩
2解得⎨所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x； 3分
（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，
222则W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，
∵-0.1＜0，
∴当m=6时，W 有最大值6.6，
∴购进A 产品6吨，购进B 产品4吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 考点：1. 待定系数法求解析式.2. 二次函数性质.
4．（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；
（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【解析】
试题分析：（1）根据每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价. （2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值. （3）w ≤3000同时满足x £25，根据函数图象的性质知道，k
试题解析：（1）当x =20时，y =-10x +500=-10⨯20+500=300，300? (1210) =300? 2600， ∴政府这个月为他承担的总差价为600元。
（2）依题意得，w=(x -10)⨯(-10x+500)=-10x 2+600x -5000=-10(x -30)+4000，
a =-10
∴当x =30时，w 有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：-10x 2+600x -5000=3000，
解得：x 1=20，x 2=40.
a =-10
∴结合图象可知：当20＃x 40时，w ³3000. 又x £25，∴当20＃x 25时，w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p 元，\p =(12-10)⋅(-10x +500)=-20x +1000.
k =-20
∴当x =25时，p 有最小值500.
∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【考点】1. 二次函数的性质；2. 二次函数的图象；3. 二次函数的综合应用.
5．（1）（220－10x ）；（2）w =-10x 2+320x -2200（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元．
【解析】
试题分析：用含x 的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x ）个，列出函数关系式w =(220-10x )(x -10) ，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知10≤x ≤14所以x=1４时，W 最大为320.
试题解析：（1）（220－10x ）；
（2）w =(220-10x )(x -10) 3分
=-10x 2+320x -2200 5分
w =-10x 2+320x -2200
=-10(x -16) 2+360 6分
2∵抛物线w =-10x +320x -2200的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，w 随x 的增大而增大.8分
由题意可知10≤x ≤14， 9分
∴当x=14时，w 最大为320.
∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.
考点：１．根据实际问题列函数关系式． ２．二次函数的性质．
6．解：（1）由表格数据可知y 与x 是一次函数关系，设其解析式为y =kx +b ，
1⎧⎧3000k +b =100⎪k =-将（3000，100），（3200，96）代入得⎨，解得：⎨50 。 3200k +b =96⎩⎪⎩b =160
∴y =-1x +160。 50
将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。
∴y 与x 间的函数关系是y =-
（2）填表如下：
租出的车辆数
租出每辆车的月收益 1x +160。 50未租出的车辆数 -1x +160 501x -60 50x -3000 所有未租出的车辆每月的维护
费
（3）设租赁公司获得的月收益为W 元，依题意可得： x -150
W =(-150x +160)(x -150)-(x -3000)=（-150x 2+163x -24000）-（x -3000）
=-150x 2+162x -21000=-150(x -4050)+30705
当x=4050时，Wmax=307050，
∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元
【解析】
试题分析：（1）判断出y 与x 的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。
（2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。
（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。
2
初中数学专项训练：实际问题与二次函数
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题
例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗
圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的
函数关系式；
（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x）（米），
根据题意，得：y =x (18-x ) =-x 2+18x ； 又∵⎨
⎧x ＞0
, ∴0＜x＜18
⎩18-x ＞0
（2）∵y =x (18-x ) =-x 2+18x 中，a= -1＜0，∴y 有最大值，
b 184ac -b 20-182
=-=9时，y max =即当x =-==81 2a 2⨯(-1) 4a 4⨯(-1)
故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值
例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠
墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（（米），
根据题意，得：y =x (
50-x
）2
50-x 1
) =-x 2+25x ； 22
⎧x ＞0
⎪
又∵⎨50-x , ∴0＜x＜50
＞0⎪⎩2
∵y =x (
50-x 11
) =-x 2+25x 中，a=-＜0，∴y 有最大值， 222
b
即当x =-=-
2a
2512⨯(-)
2
=25时，y
max
4ac -b 20-252625===
14a 24⨯(-)
2
故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为
625
平方米。 2
点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
3、 围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm
由题意得： () +(
x 4
2
20-x 2
) =17 4
解得： x 1=16, x 2=4
当x 1=16时，20-x=4；当x 2=4时，20-x=16
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。 （2）不能
理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为面积为ycm ，
根据题意，得：y =x 2+(5-x ) 2=2x 2-10x +25，
∵y =x 2+(5-x ) 2=2x 2-10x +25中，a= 2＞0，∴y 有最小值，
2
20-4x
=(5-x ) cm ，围成两个正方形的4
b -1054ac -b 24⨯2⨯25-10225=-=时，y min ===即当x =-=12.5＞12, 故两个正2a 2⨯224a 4⨯22
方形面积的和不可能是12cm .
2
练习1、如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x，正方形EFGH 的面积为y.
(1)求出y 与x 之间的函数关系式；
(2)正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
图（1） 图（2）
y =-
12
x . 2
【解析】
2
试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：y=ax，利用待定系数法求解.
试题解析：设此函数解析式为：y =ax ，a ¹那么（2，-2）应在此函数解析式上． 则-2=4a
2
0；
1， 212
那么y =-x ．
2
即得a =-考点：根据实际问题列二次函数关系式.
练习1
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示. 图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关
2
系是y =-x +2x +
5
. 请回答下列问题： 4
(1)柱子OA 的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
2．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米. 要使高为3
米的船通过，则其宽度须不超过多少
米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件) 与销售单价x(元) 之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500. （1）设李明每月获得利润为w(元) ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分） （2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分） 答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600. 【解析】 试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．
试题解析：（1）由题意得出： W =(x -20)y =(x -20)(-10x +500)=-10x 2+700x -10000， ∵a =-10
b
=35， 2a
∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得：-10x 2+700x -10000=2000，
解这个方程得：x 1=30，x 2=40．
∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）∵a =-10
设成本为P （元），由题意，得：P =20(-10x +500)=-200x +10000，
∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小． ∴当x=32时，P 最小=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 考点：二次函数的应用．
练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y(只) 与销售价x(元／只) 之间的函数关系式为 ； （2）求该批发商平均每天的销售利润W(元) 与销售只x(元／只) 之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元
2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克) 与销售价x(元/千克) 有如下关系：y =-2x +80. 设这种产品每天的销售利润为w 元. （1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
3．某公司营销A , B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A 种产品所获利润y (万元) 与所售产品x (吨) 之间存在二次函数关系
y =ax 2+bx . 当x =1时，y =1.4 ；当x =3时，y =3.6．
信息2：销售B 种产品所获利润y (万元) 与所售产品x (吨) 之间存在正比例函数关系y =0.3x ． 根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；
(2)该公司准备购进A , B 两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A , B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y =-10x +500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x 元/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x 的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式； （3）当x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元) 与每月租出的车
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y （辆）与每辆车的月租金x （元）之间的关系式.
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x （x≥3000）的代数式填表:
租出的车辆数 未租出的车辆数
租出每辆车的月收 所有未租出的车辆每月的维护 益 费
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．
四、利用二次函数解决动点问题
例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .
(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；
(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm的速度
匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤
t
≤
2
10) ，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm .
① 求S 关于t 的函数关系式；
② 求S 的最大值.
解：(1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm，由∠A =60°，知AE =1，PE ∴ S Δ
APE =.
2
(2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，t t 3AF =，QF =t ，AP =t +2，AG =1+，PG =+t .
2222
3
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =. t +
22
当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则
t t 3
AQ =t ，AF =，DF =4-，QF =t ，BP =t-6，CP =10-t，PG =(10-t ) 3，
222
而BD =43，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =-
当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，
52
t +10t -34. 8
QF =(20-2t
CP =10-t ，PG =(10-t ) .
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =
32
t -t +3. 2
(0≤t ≤6) ⎪⎪⎪2
故S 关于t
的函数关系式为S =⎨+-(6≤t ≤8)
2
-+(8≤t ≤10) ⎪⎩
73
2
当6≤t ≤8时，S 的最大值为6
②当0≤t ≤6时，S 的最大值为
当8≤t ≤10时，S 的最大值为63 所以当t =8时，S 有最大值为6 .
初中数学专项训练：实际问题与二次函数
参考答案
一、1
22
（1）y=2x-2ax+a (2) 有. 当点E 是AB 的中点时，面积最大. 【解析】本题考查了二次函数的应用.
2
（1）先由AAS 证明△AEF ≌△DHE ，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x ）米，再根据勾股定理，求出EF ，即可得到S 与x 之间的函数关系式；
（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解． 解：∵四边形ABCD 是边长为a 米的正方形， ∴∠A=∠D=90°，AD= a米． ∵四边形EFGH 为正方形， ∴∠FEH=90°，EF=EH． 在△AEF 与△DHE 中，
∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH
∴△AEF ≌△DHE （AAS ），
∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x ）米，
2222222
∴y=EF=AE+AF=x+（a-x ）=2x-2ax+ a，
22
即y=2x-2ax+ a；
a 2a 2
（2）∵y=2x-2ax+ a=2（x-）+，
24
2
2
∴当x=
a
时，S 有最大值． 2
故当点E 是AB 的中点时，面积最大．
二、练习1 （1）
955
（2） （3） 442
【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y 的值，即可求出答案． （2）通过抛物线的顶点坐标求得
（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x 的值，即可求出答案． 解：（1）把x=0代入抛物线的解析式
55
，即柱子OA 的高度是 44
92
=1时，y=, 即水流距水平面的最大高度 （2）由题意得：当x=-
42⨯（-1）
得：y=
（3）把y=0代入抛物线
155
=0，解得，x 1=-(舍去，不合题意) ，x 2=
224
5
故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外
2
2
得：-x +2x +
2．（1）①y =-
12
x +4；②10；（2）①14.5
；②． 25
【解析】 试题分析：（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x 的值即可；
222
（2）①构造直角三角形利用BW =BC+CW，求出即可；
222
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF =WF﹣WG ，求出即可． 试题解析：（1）①设抛物线解析式为：y =ax 2+c ，∵桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，∴A （﹣
1⎧
⎧100a +c =012⎪a =-
10，0），B （10，0），D （0，4），∴⎨，解得：⎨ 25，∴抛物线解析式为：y =-x +4；
25⎩c =4⎪c =4⎩
②∵要使高为3米的船通过，∴y =3，则3=-
12
x +4，解得：x =±5，∴EF=10米； 25
（2）①设圆半径r 米，圆心为W ，∵BW =BC+CW，∴r 2=(r -4) 2+102，解得：r =14.5；
2
2
2
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF =WF﹣WG ，即GF =14.5﹣13.5=28，所以
GF=
EF=
2
22222
考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．
2
三、1．(1）y=-3x+240；(2)w=-3x+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 【解析】 试题分析：（1）根据题意知销售量y(只) 与销售价x(元／只) 之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；
2
(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600；
2
(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x+360x-9600的最大值. 试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；
2
（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600； (3)当x ≤60，y 随x 的增大而减小， 当x=55时，w 最大=1125
所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 考点：（1）一次函数；（2）二次函数． 2．（1）w =-2x 2+120x -1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 【解析】 试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：w =(x -20)⋅y =(x -20)(-2x +80)=-2x 2+120x -1600， ∴w 与x 的函数关系式为：w =-2x 2+120x -1600. （2）w =-2x 2+120x -1600=-2(x -30)+200，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 考点：1. 二次函数的应用；2. 由实际问题列函数关系式；3. 二次函数的最值. 3．见解析 【解析】
试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入y =ax +bx
2
2
得⎨⎧a +b =1.4⎧a =-0.12 解得⎨ ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x；
⎩9a +3b =3.6⎩b =1.5
（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，根据题意
222可列函数关系式为：W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，因为-0.1＜0，根据二
次函数的性质知当m=6时，W 有最大值6.6，
试题解析：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
∴⎨⎧a +b =1.4
⎩9a +3b =3.6
⎧a =-0.1 ， b =1.5⎩
2解得⎨所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x； 3分
（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，
222则W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，
∵-0.1＜0，
∴当m=6时，W 有最大值6.6，
∴购进A 产品6吨，购进B 产品4吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 考点：1. 待定系数法求解析式.2. 二次函数性质.
4．（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；
（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【解析】
试题分析：（1）根据每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价. （2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值. （3）w ≤3000同时满足x £25，根据函数图象的性质知道，k
试题解析：（1）当x =20时，y =-10x +500=-10⨯20+500=300，300? (1210) =300? 2600， ∴政府这个月为他承担的总差价为600元。
（2）依题意得，w=(x -10)⨯(-10x+500)=-10x 2+600x -5000=-10(x -30)+4000，
a =-10
∴当x =30时，w 有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：-10x 2+600x -5000=3000，
解得：x 1=20，x 2=40.
a =-10
∴结合图象可知：当20＃x 40时，w ³3000. 又x £25，∴当20＃x 25时，w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p 元，\p =(12-10)⋅(-10x +500)=-20x +1000.
k =-20
∴当x =25时，p 有最小值500.
∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【考点】1. 二次函数的性质；2. 二次函数的图象；3. 二次函数的综合应用.
5．（1）（220－10x ）；（2）w =-10x 2+320x -2200（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元．
【解析】
试题分析：用含x 的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x ）个，列出函数关系式w =(220-10x )(x -10) ，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知10≤x ≤14所以x=1４时，W 最大为320.
试题解析：（1）（220－10x ）；
（2）w =(220-10x )(x -10) 3分
=-10x 2+320x -2200 5分
w =-10x 2+320x -2200
=-10(x -16) 2+360 6分
2∵抛物线w =-10x +320x -2200的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，w 随x 的增大而增大.8分
由题意可知10≤x ≤14， 9分
∴当x=14时，w 最大为320.
∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.
考点：１．根据实际问题列函数关系式． ２．二次函数的性质．
6．解：（1）由表格数据可知y 与x 是一次函数关系，设其解析式为y =kx +b ，
1⎧⎧3000k +b =100⎪k =-将（3000，100），（3200，96）代入得⎨，解得：⎨50 。 3200k +b =96⎩⎪⎩b =160
∴y =-1x +160。 50
将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。
∴y 与x 间的函数关系是y =-
（2）填表如下：
租出的车辆数
租出每辆车的月收益 1x +160。 50未租出的车辆数 -1x +160 501x -60 50x -3000 所有未租出的车辆每月的维护
费
（3）设租赁公司获得的月收益为W 元，依题意可得： x -150
W =(-150x +160)(x -150)-(x -3000)=（-150x 2+163x -24000）-（x -3000）
=-150x 2+162x -21000=-150(x -4050)+30705
当x=4050时，Wmax=307050，
∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元
【解析】
试题分析：（1）判断出y 与x 的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。
（2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。
（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。
2