九年级数学学科标准答案2010.
一、选择题 (每小题3分，共36分)
二、填空题（每小题3分，共18分）
13． 33 15. 16．
三．解答题（本题有8小题，共66分）
19. （6分）计算： -2⋅+4sin 45⋅(3-22) -
2
o
47
17． 18．(4, 33) 25
12-1
解：原式=-4⋅22+4⨯
2
⋅3-22-2
()2+1
)
=-82+62-8-2-1 =-2-9
20．（本题6分）由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如
图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲
，AC = 求AB 的长”。这时小明去翻看了标准答案，显示AB =10。 你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？ 解：作CH ⊥AB 于H Rt△ACH 中CH =AC ·sin A
=sin 30°
=
H
AH= AC·cos A
=cos 30°
=6
∴BH =AB -AH =4 ∴tan B
=
CH
==
BH 42
21．（本题6分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）
求这个家庭至少有一个男孩的概率。
解：用B 和G 分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：
P 1=3/8 P 2=7/8
22．（本题8分）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax +bx +c =0的两个根．（2分）___x 1=1，x 2=3
2
（2）写出不等式ax +bx +c >0的解集．（2分）_____1
2
2
2
（4）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
（2分）x >2
P
23．（9分）如图，已知⊙O 和⊙O ' 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O ' 的切线交⊙O 于点
C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 、⊙O ' 于E 、F ，EF 与AC 相交于点P （1）求证：PA ∙PE =PC ∙PF ；（2）当⊙O 与⊙O ' 为等圆时，且PC :CE :EP =3:4:5
时，求∆PEC 与∆FAP 的面积的比值。
解：（1）证明：连结AB
CA 切⊙O ' 于A ∴∠C A B =∠F
∠C A B =∠E ∴∠E =∠F ∴AF //CE ∴
PE PC
= ∴PA ∙PE =PC ∙PF PF PA
（2）连结AE ，由（1）知∆PEC ∽∆PFA ，而PC :CE :EP =3:4:5 ∴PA :FA :PF =3:4:5
设PC =3x , CE =4x , EP =5x ; PA =3y , FA =4y , FP =5y ∴EP =PC +CE PF
2
2
2
2
=PA 2+FA 2 ∴∠C =∠CAF =900
∴AE 为⊙O 的直径，AF 为⊙O ' 的直径 ⊙O 与⊙O ' 等圆 ∴AE =AF =4y
AC +CE =AE ∴(3x +3y ) 2+(4x ) 2=(4y ) 2 即 25x 2+18xy -7y 2=0 即(25x -7y )(x +y ) =0
2
2
2
x 7x 249∴= ∴S ∆ECP :S ∆FAP =2= y 25625y
24．（本题9分）对于x 的二次三项式 ax 2+bx +c (a >0) （1）当c
k 22
（2）若不论k 为任何实数，直线y =k (x -1) -与抛物线y =ax +bx +c 有且只有
4
一个公共点，求a ，b ，c 的值。 解：（1）设y 1=ax 2+bx +c
2
∵a >0，c 0
∴|ax +bx +c |的最小值为0
∴y =-2|ax +bx +c |-1的最大值是-1。
2
2
k 2
（2）∵直线y =k (x -1) -与抛物线y =ax 2+bx +c 有且只有一个公共点
4
⎧k 2
k 2⎪y =k (x -1) -2
∴⎨4只有一组解 ∴ax +(b -k ) x ++k +c =0
4⎪y =ax 2+bx +c
⎩
∴∆=0 ∴(1-a ) k 2-2(2a +b ) k +b 2-4ac =0
∴a=1,b=-2,c=1
25．（本题10分）如图，四边形ABCD 为为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的
交点P ，分别交AB 、AD 于点F 、E 。 （1）求证：DE=AF；（2）若⊙O 的半径为
AE ，AB=2+1，求的值。
ED 2
25．提示：（1）连结EF 、EP 、FP ，可证明△DEP ≌△AFP （2）设：AE=x ，ED=AF=y 可得：x +y =
2+1
x 2+y 2=3
解得：x y =1
或x =1, y =所以：
AE 2AE
=2 或=
ED ED 2
26．（本题12分）如图，已知A （2，4），以A 为顶点的抛物线经过原点交x 轴于B
(1)求抛物线解析式。
(2)取OA 上一点D ，以OD 为直径作⊙C 交x 轴于E ，作 EF ⊥AB 于F ，求证EF 是⊙C 的切线。
(3)设⊙C 半径为r ，EF =m ，求m 与r 的函数关系式及自 变量r 的取值范围。
(4)当⊙C 与AB 相切时，求⊙C 半径r 的值。 解：(1) y= -(x-2)2+4
(2) 可得OA=AB=25 ∴∠AOB=∠ABO ∵CO=CE ∴∠COE=∠CEO ∴∠CEO=∠ABO ∴C E ∥AB 而EF ⊥AB ∴C E ⊥EF
∴EF 是⊙C 的切线
(3) m =-
4r + r ≤ 55
(4) 设⊙C 切AB 于G
连结CG ，则CG ⊥AB
∴∠CGF =∠EFG =∠CEF =90° ∴四边形CEFG 为矩形 又CE =CG
∴四边形CEFG 为正方形 ∴EF=r
显然S △OAB =8，作OH ⊥AB
1
O H ×AB= S△OAB =8 2
85 ∴OH=5
OH 4
= ∴Sin ∠OAH=
OA 5
∴
∴ A C ×Sin ∠OAH=CG 即(2-r ) ⨯ ∴EF=r=
48=r 解得r= 59
8
9
8
5) 9
(或当m=r时, 解方程得r=
九年级数学学科标准答案2010.
一、选择题 (每小题3分，共36分)
二、填空题（每小题3分，共18分）
13． 33 15. 16．
三．解答题（本题有8小题，共66分）
19. （6分）计算： -2⋅+4sin 45⋅(3-22) -
2
o
47
17． 18．(4, 33) 25
12-1
解：原式=-4⋅22+4⨯
2
⋅3-22-2
()2+1
)
=-82+62-8-2-1 =-2-9
20．（本题6分）由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如
图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲
，AC = 求AB 的长”。这时小明去翻看了标准答案，显示AB =10。 你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？ 解：作CH ⊥AB 于H Rt△ACH 中CH =AC ·sin A
=sin 30°
=
H
AH= AC·cos A
=cos 30°
=6
∴BH =AB -AH =4 ∴tan B
=
CH
==
BH 42
21．（本题6分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）
求这个家庭至少有一个男孩的概率。
解：用B 和G 分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：
P 1=3/8 P 2=7/8
22．（本题8分）二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax +bx +c =0的两个根．（2分）___x 1=1，x 2=3
2
（2）写出不等式ax +bx +c >0的解集．（2分）_____1
2
2
2
（4）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
（2分）x >2
P
23．（9分）如图，已知⊙O 和⊙O ' 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O ' 的切线交⊙O 于点
C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 、⊙O ' 于E 、F ，EF 与AC 相交于点P （1）求证：PA ∙PE =PC ∙PF ；（2）当⊙O 与⊙O ' 为等圆时，且PC :CE :EP =3:4:5
时，求∆PEC 与∆FAP 的面积的比值。
解：（1）证明：连结AB
CA 切⊙O ' 于A ∴∠C A B =∠F
∠C A B =∠E ∴∠E =∠F ∴AF //CE ∴
PE PC
= ∴PA ∙PE =PC ∙PF PF PA
（2）连结AE ，由（1）知∆PEC ∽∆PFA ，而PC :CE :EP =3:4:5 ∴PA :FA :PF =3:4:5
设PC =3x , CE =4x , EP =5x ; PA =3y , FA =4y , FP =5y ∴EP =PC +CE PF
2
2
2
2
=PA 2+FA 2 ∴∠C =∠CAF =900
∴AE 为⊙O 的直径，AF 为⊙O ' 的直径 ⊙O 与⊙O ' 等圆 ∴AE =AF =4y
AC +CE =AE ∴(3x +3y ) 2+(4x ) 2=(4y ) 2 即 25x 2+18xy -7y 2=0 即(25x -7y )(x +y ) =0
2
2
2
x 7x 249∴= ∴S ∆ECP :S ∆FAP =2= y 25625y
24．（本题9分）对于x 的二次三项式 ax 2+bx +c (a >0) （1）当c
k 22
（2）若不论k 为任何实数，直线y =k (x -1) -与抛物线y =ax +bx +c 有且只有
4
一个公共点，求a ，b ，c 的值。 解：（1）设y 1=ax 2+bx +c
2
∵a >0，c 0
∴|ax +bx +c |的最小值为0
∴y =-2|ax +bx +c |-1的最大值是-1。
2
2
k 2
（2）∵直线y =k (x -1) -与抛物线y =ax 2+bx +c 有且只有一个公共点
4
⎧k 2
k 2⎪y =k (x -1) -2
∴⎨4只有一组解 ∴ax +(b -k ) x ++k +c =0
4⎪y =ax 2+bx +c
⎩
∴∆=0 ∴(1-a ) k 2-2(2a +b ) k +b 2-4ac =0
∴a=1,b=-2,c=1
25．（本题10分）如图，四边形ABCD 为为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的
交点P ，分别交AB 、AD 于点F 、E 。 （1）求证：DE=AF；（2）若⊙O 的半径为
AE ，AB=2+1，求的值。
ED 2
25．提示：（1）连结EF 、EP 、FP ，可证明△DEP ≌△AFP （2）设：AE=x ，ED=AF=y 可得：x +y =
2+1
x 2+y 2=3
解得：x y =1
或x =1, y =所以：
AE 2AE
=2 或=
ED ED 2
26．（本题12分）如图，已知A （2，4），以A 为顶点的抛物线经过原点交x 轴于B
(1)求抛物线解析式。
(2)取OA 上一点D ，以OD 为直径作⊙C 交x 轴于E ，作 EF ⊥AB 于F ，求证EF 是⊙C 的切线。
(3)设⊙C 半径为r ，EF =m ，求m 与r 的函数关系式及自 变量r 的取值范围。
(4)当⊙C 与AB 相切时，求⊙C 半径r 的值。 解：(1) y= -(x-2)2+4
(2) 可得OA=AB=25 ∴∠AOB=∠ABO ∵CO=CE ∴∠COE=∠CEO ∴∠CEO=∠ABO ∴C E ∥AB 而EF ⊥AB ∴C E ⊥EF
∴EF 是⊙C 的切线
(3) m =-
4r + r ≤ 55
(4) 设⊙C 切AB 于G
连结CG ，则CG ⊥AB
∴∠CGF =∠EFG =∠CEF =90° ∴四边形CEFG 为矩形 又CE =CG
∴四边形CEFG 为正方形 ∴EF=r
显然S △OAB =8，作OH ⊥AB
1
O H ×AB= S△OAB =8 2
85 ∴OH=5
OH 4
= ∴Sin ∠OAH=
OA 5
∴
∴ A C ×Sin ∠OAH=CG 即(2-r ) ⨯ ∴EF=r=
48=r 解得r= 59
8
9
8
5) 9
(或当m=r时, 解方程得r=