知识点归纳
1 sin(α±β) =_______________________；cos(α±β) =__________________________；
tan(α±β) =_________________________2 sin 2α=_____________________；tan 2α=____________________cos2α=_________________=__________________=__________________；
3 sin
α=_____________；cos α=22
4 tan
α
2
=
sin α =
1+cos α
x 5sin x +cos x =_________________ s i n
c o x =s ________________
注意：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如（3）注意倍角的相对性；（4）要时时注意α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，2α+β=(α+β)+α等；角的范围；（5）熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等题型讲解
例1 已知sin α+sin β=1（α+β）的值，cos α+cos β=0，求cos
tan β是方程x -5x +6=0的两个实根根，例2 已知tan α，求 2sin 2(α+β)-3sin (α+β)cos (α+β)+cos 2(α+β)的值
2
例3 化简下列各式
⎛1111⎛3π⎫⎫
-+cos 2α α∈，2π（1）， （2） ⎪⎪ ⎪2222⎝2⎭⎭⎝
cos 2α-sin 2α
⎛π⎫⎛π⎫2tan -α⎪cos 2 -α⎪
⎝4⎭⎝4⎭
7sin 2x +2cos 2x ⎛π⎫317
的值。例4 若cos +x ⎪=π
41-tan x ⎝4⎭512
a sin
例5 已知正实数a,b 满足
π
=tan 8π，求b 的值。
ππ15a a cos -b sin
55
+b cos
π
例6 试求cos 2730+cos2470+cos730cos470的值
例7是否存在锐角α和β，使(1)α+2β= α和β的值；若不存在，请说明理由。
2
(2)tan αtan β=2-，同时成立？若存在，求出π；32
1 1sin β)，b +c =(2cos β，0)，a ⋅b =，a ⋅c =，求证：cos α)，b =(cos β，例8已知a =(sin α，
23
cos 2(α+β)+
学生练习
tan αtan β35，sin B =, 则cos C 的值是（ ） 513
5656165616A B － － 或－
6565656565
1
2函数y=的最大值是（ ）
2+sin x +cos x
1设∆ABC 中，cos A =
A
2
-1 B 1+2
2 C 4 D 2
4 3
00
3求下列各式的值：（1）tan340+tan260+tan 34tan 26，（2）sin 501+3tan 100
()
4cos (α+β)=，cos (α-β)=-，且π
454532π2
sin 2x ，cos θ，成差数列，sin θ，sin x ，cos θ成等比数列，5sin θ，求cos2x 的值
6f (θ)=sin θ+sin (θ+α)+sin (θ+β)，其中α=
222
π2π
，求证：f(θ) 为与θ无关的定植。，β=
33
知识点归纳
1
2函数y =A sin(ωx +ϕ) +B （其中A >0，ω>0）
最大值是___________，最小值是________，周期是_________，频率是__________，相位是______，初相是_______；其图象的对称轴是直线_______________
3y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ) 的图象一般有两个途径。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 途径二：先周期变换(伸缩变换) 如：由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(2x ＋
4y =A sin （ωx +ϕ）的简图：
π
) 的图像。 3
五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、如：五点法作y ＝3sin(2x ＋
题型讲解
π3π、π、、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图 22
π
) 的简图 3
例1 把函数y =cos（x +
4π
）的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是 3
1π
例2 试述如何由y =sin （2x +）的图象得到y =sinx
33
例3 求函数y =sin4x +2sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间
例4 已知电流I 与时间t 的关系式为I =A sin(ωt +ϕ) ．
（１）右图是I =A sin(ωt +ϕ) （ω＞0，|ϕ|
（２）如果t 在任意一段
π
2
）在一个周期内的图象，
1
秒的时间内，电流I =A sin(ωt +ϕ) 都能取得150
最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
例5 （1）y =cosx +cos（x +
ππ）的最大值是__；（2）y =2sin（3x －）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是__ 34
例6求函数y =sin6x +cos6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值
例7 求下列函数的单调区间：（1）y =
1π2x πsin （－）；（2）y =－｜sin （x +）｜ 2434
6cos 4x -5cos 2x +1
例8已知函数f （x ）=，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域cos 2x
学生练习
1f （x ）=sin（πx +θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T ，且当x =2时取得最大值，那么
A =2，θ=
π 2
B =1，θ=π =2，θ=π =1，θ=
π 2
2函数y =sin（
π
－2x ）+sin2x 的最小正周期是（ ） A 2π 3
B
π
3y =2sin（
πππ7ππ5π5π－2x ）（x ∈［0, π］）为增函数的区间是A 0, ］B ，］C ，］D ，π］
121263366
4f （x ）=2cos2x +sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，
π
］上的最小值为－4，那么a 的值等于 2
sin 4x +cos 4x +sin 2x cos 2x
5f （x ）=的最小正周期、最大值和最小值
2-sin 2x
3π3π9
6x ∈［, ］，函数y =cos2x -sin x +b +1的最大值为, 试求其最小值
842
7y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数A π3π3π5π，）B π，2π）C ，）2π，3π） 2222
8y =sin4x +cos2x 的最小正周期为
π
9P （1，cos x ），Q （cos x ，1），x ∈［－
ππ
，］1）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数 44
f （x ）；（2）求cos θ
三角函数的最值及综合应用
知识点归纳
1y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y
=
sin （x +ϕ）
2y =a sin 2x +b sin x +c 型常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型：
3=
a sin x +b
型(1)常数分离（2）反解法
c sin x +d
4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现sin x ±cos x ,sin x ∙cos x ，求它们的范围，一般是令
t 2-1t 2-1
或sin x ∙cos x =-，转化为关于t sin x ±cos x =t ⇒sin x ∙cos x =22
5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：已知tan x =2，求sin 2x +2sin x ⋅cos x +cos 2x +4
的
6三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图． 7
① 函数y = sin (x ＋φ) 是奇函数⇔ϕ=__________(k ∈Z )．
② 函数y = sin (x ＋φ) 是偶函数⇔ϕ=__________③ 函数y =cos (x ＋φ) 是奇函数⇔ϕ=_________④ 函数y = cos (x ＋φ) 是偶函数⇔ϕ=________题型讲解
(k ∈Z )． (k ∈Z )． (k ∈Z )．
例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数）
+1≤y
，求b sin x +a cos x 的最大值
例2、已知函数f (x ) =2a sin x cos x +2b cos 2x , 且f (0) =8, f () =12
π6
（１）求实数a , b 的值； （２）求函数f (x ) 的最大值及取得最大值时x 的值
例3 已知函数f 的值．
例4设f (x ) =a sin ωx +b cos ωx (ω>0) 的周期T =π，最大值f (
(x )=-a cos 2x -2
⎡π⎤
3a sin x cos x +2a +b 的定义域为⎢0⎥，值域为 [ －5，1 ]，求常数a , b
2⎣⎦
π
12
) =4，
（1）求ω、a 、b 的值；（2）若α, β是方程f (x ) =0的两根，α, β的终边不共线，求tan(α+β) 的值
例5 已知函数y =
13cos 2x +sin x cos x +1(x ∈R ) (1)求函数y 的最大值，并求此时x 的值22
(2)该函数的图象可由y =sin x (x ∈R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
例6已知：定义在(-∞, 4]上的减函数f (x ) ，使得f (m -sin x
) ≤f 求实数m
学生练习
7
+cos 2x ) 对一切实数x 均成立，4
1若0＜α＜β＜
A a ＜b ＜1
π
，sin α+cosα=a ，sin β+cosβ=b ，则 4
＞b ＞1 ＜1 ＞1
2y =tan（2x +ϕ）的图象过点（
π
，0），则ϕ可以是 12
ππ 1263f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是 A x x x
A x
4函数f （x ）=cos2x +sinx 在区间［－ππ
，］上的最小值是
44
1+2 C 1
2π
5y =x －sin x 在［，π］上的最大值是
2
－1 2
2
ππ
，］时的值域为 64
A 1，0］ B 1，0］ 0，1） 0，1］ 70，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是 8ABC 中，a =sin（A +B ），b =sinA +sinB ，则a 与b 的大小关系为6y =log2（1+sinx ）+log2（1－sin x ），当x ∈［－
π
个单位，得到函数__________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原3
来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象
9y =sinx 的图象向左平移
y =
3sin x -1
的最大值是_______，最小值是_______
sin x +2
11a =（cos θ，sin θ），向量b =（，－1），则|2a －b |的最大值是_____
y =1+sinx +cosx +sinx cos x 的值域
x ，恒有y ≥sin 2x +4sin2x cos 2x ，求y 的最小值
14．已知3sin 2α+2sin2β=2sinα, 求cos 2α+cos2β的最大值和最小值
解三角形及应用举例
知识点归纳 1
2余弦定理：
3
4
5ABC 中sin(A+B)=_____
cos(A+B) =____t C a n =
tan(A+B) =____
sin
A +B A +B
_t a n A +t a B n +=_____ c o =____ _
22
_______
题型讲解
例1 在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．
例2 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B
例3 已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=
31
，sin （A －B ）=1）求证：tan A =2tanB ；（2）设AB =3，求AB 边上55
的高
例4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求
∠A 的大小及
b sin B
c
例5 在∆ABC 中，sin A +cos A =
，AC =2，AB =3，求tan A 的值和∆ABC 的面积． 2
π
例6 设函数f (x ) =a ⋅b ，
其中向量a =(2cosx ,1), b =(cosx 2x ) x ∈R 若f(x)=1－3且x ∈[－，
3
ππ
]，求x ；（２）若函数y=2sin2x 的图象按向量c =(m , n ) (|m|
n 的值
例7 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的面积为S 2．
（１）用a ，θ表示S 1和S 2；（２）当a 固定，θ变化时，求
S 1
取最小值时的角θ． S 2
学生练习
1在△ABC 中，若2cos B sin A =sinC ，则△ABC 的形状一定是
A B 直角三角形 C D 2ABC 是锐角三角形的是
A A +cosA =
1
B AB ·BC ＞0 C tan A +tanB +tanC ＞0 5
D =3，c =3，B =30°
3ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为
3，2
那么b 等于
B 3
D 2+3 4ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞
1
”的 2
A C 6ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A =20，A =45°，C =80° =30，c =28，B =60° C =14，b =16，A =45° =12，c =15，A =120° 7已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______8ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______D
9在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =
1
（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______4
ABC 中，若∠C =60°，则
a b
=_______ +
b +c a +c
11ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =
1+sin 2B
的取值范围
sin B +cos B
ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=
（a －b ）sin B （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值
13 在△ABC 中，sin A =
sin B +sin C
，判断这个三角形的形状
cos B +cos C
知识点归纳
1 sin(α±β) =_______________________；cos(α±β) =__________________________；
tan(α±β) =_________________________2 sin 2α=_____________________；tan 2α=____________________cos2α=_________________=__________________=__________________；
3 sin
α=_____________；cos α=22
4 tan
α
2
=
sin α =
1+cos α
x 5sin x +cos x =_________________ s i n
c o x =s ________________
注意：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如（3）注意倍角的相对性；（4）要时时注意α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，2α+β=(α+β)+α等；角的范围；（5）熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等题型讲解
例1 已知sin α+sin β=1（α+β）的值，cos α+cos β=0，求cos
tan β是方程x -5x +6=0的两个实根根，例2 已知tan α，求 2sin 2(α+β)-3sin (α+β)cos (α+β)+cos 2(α+β)的值
2
例3 化简下列各式
⎛1111⎛3π⎫⎫
-+cos 2α α∈，2π（1）， （2） ⎪⎪ ⎪2222⎝2⎭⎭⎝
cos 2α-sin 2α
⎛π⎫⎛π⎫2tan -α⎪cos 2 -α⎪
⎝4⎭⎝4⎭
7sin 2x +2cos 2x ⎛π⎫317
的值。例4 若cos +x ⎪=π
41-tan x ⎝4⎭512
a sin
例5 已知正实数a,b 满足
π
=tan 8π，求b 的值。
ππ15a a cos -b sin
55
+b cos
π
例6 试求cos 2730+cos2470+cos730cos470的值
例7是否存在锐角α和β，使(1)α+2β= α和β的值；若不存在，请说明理由。
2
(2)tan αtan β=2-，同时成立？若存在，求出π；32
1 1sin β)，b +c =(2cos β，0)，a ⋅b =，a ⋅c =，求证：cos α)，b =(cos β，例8已知a =(sin α，
23
cos 2(α+β)+
学生练习
tan αtan β35，sin B =, 则cos C 的值是（ ） 513
5656165616A B － － 或－
6565656565
1
2函数y=的最大值是（ ）
2+sin x +cos x
1设∆ABC 中，cos A =
A
2
-1 B 1+2
2 C 4 D 2
4 3
00
3求下列各式的值：（1）tan340+tan260+tan 34tan 26，（2）sin 501+3tan 100
()
4cos (α+β)=，cos (α-β)=-，且π
454532π2
sin 2x ，cos θ，成差数列，sin θ，sin x ，cos θ成等比数列，5sin θ，求cos2x 的值
6f (θ)=sin θ+sin (θ+α)+sin (θ+β)，其中α=
222
π2π
，求证：f(θ) 为与θ无关的定植。，β=
33
知识点归纳
1
2函数y =A sin(ωx +ϕ) +B （其中A >0，ω>0）
最大值是___________，最小值是________，周期是_________，频率是__________，相位是______，初相是_______；其图象的对称轴是直线_______________
3y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ) 的图象一般有两个途径。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 途径二：先周期变换(伸缩变换) 如：由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(2x ＋
4y =A sin （ωx +ϕ）的简图：
π
) 的图像。 3
五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、如：五点法作y ＝3sin(2x ＋
题型讲解
π3π、π、、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图 22
π
) 的简图 3
例1 把函数y =cos（x +
4π
）的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是 3
1π
例2 试述如何由y =sin （2x +）的图象得到y =sinx
33
例3 求函数y =sin4x +2sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间
例4 已知电流I 与时间t 的关系式为I =A sin(ωt +ϕ) ．
（１）右图是I =A sin(ωt +ϕ) （ω＞0，|ϕ|
（２）如果t 在任意一段
π
2
）在一个周期内的图象，
1
秒的时间内，电流I =A sin(ωt +ϕ) 都能取得150
最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
例5 （1）y =cosx +cos（x +
ππ）的最大值是__；（2）y =2sin（3x －）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是__ 34
例6求函数y =sin6x +cos6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值
例7 求下列函数的单调区间：（1）y =
1π2x πsin （－）；（2）y =－｜sin （x +）｜ 2434
6cos 4x -5cos 2x +1
例8已知函数f （x ）=，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域cos 2x
学生练习
1f （x ）=sin（πx +θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T ，且当x =2时取得最大值，那么
A =2，θ=
π 2
B =1，θ=π =2，θ=π =1，θ=
π 2
2函数y =sin（
π
－2x ）+sin2x 的最小正周期是（ ） A 2π 3
B
π
3y =2sin（
πππ7ππ5π5π－2x ）（x ∈［0, π］）为增函数的区间是A 0, ］B ，］C ，］D ，π］
121263366
4f （x ）=2cos2x +sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，
π
］上的最小值为－4，那么a 的值等于 2
sin 4x +cos 4x +sin 2x cos 2x
5f （x ）=的最小正周期、最大值和最小值
2-sin 2x
3π3π9
6x ∈［, ］，函数y =cos2x -sin x +b +1的最大值为, 试求其最小值
842
7y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数A π3π3π5π，）B π，2π）C ，）2π，3π） 2222
8y =sin4x +cos2x 的最小正周期为
π
9P （1，cos x ），Q （cos x ，1），x ∈［－
ππ
，］1）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数 44
f （x ）；（2）求cos θ
三角函数的最值及综合应用
知识点归纳
1y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y
=
sin （x +ϕ）
2y =a sin 2x +b sin x +c 型常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型：
3=
a sin x +b
型(1)常数分离（2）反解法
c sin x +d
4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现sin x ±cos x ,sin x ∙cos x ，求它们的范围，一般是令
t 2-1t 2-1
或sin x ∙cos x =-，转化为关于t sin x ±cos x =t ⇒sin x ∙cos x =22
5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：已知tan x =2，求sin 2x +2sin x ⋅cos x +cos 2x +4
的
6三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图． 7
① 函数y = sin (x ＋φ) 是奇函数⇔ϕ=__________(k ∈Z )．
② 函数y = sin (x ＋φ) 是偶函数⇔ϕ=__________③ 函数y =cos (x ＋φ) 是奇函数⇔ϕ=_________④ 函数y = cos (x ＋φ) 是偶函数⇔ϕ=________题型讲解
(k ∈Z )． (k ∈Z )． (k ∈Z )．
例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数）
+1≤y
，求b sin x +a cos x 的最大值
例2、已知函数f (x ) =2a sin x cos x +2b cos 2x , 且f (0) =8, f () =12
π6
（１）求实数a , b 的值； （２）求函数f (x ) 的最大值及取得最大值时x 的值
例3 已知函数f 的值．
例4设f (x ) =a sin ωx +b cos ωx (ω>0) 的周期T =π，最大值f (
(x )=-a cos 2x -2
⎡π⎤
3a sin x cos x +2a +b 的定义域为⎢0⎥，值域为 [ －5，1 ]，求常数a , b
2⎣⎦
π
12
) =4，
（1）求ω、a 、b 的值；（2）若α, β是方程f (x ) =0的两根，α, β的终边不共线，求tan(α+β) 的值
例5 已知函数y =
13cos 2x +sin x cos x +1(x ∈R ) (1)求函数y 的最大值，并求此时x 的值22
(2)该函数的图象可由y =sin x (x ∈R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
例6已知：定义在(-∞, 4]上的减函数f (x ) ，使得f (m -sin x
) ≤f 求实数m
学生练习
7
+cos 2x ) 对一切实数x 均成立，4
1若0＜α＜β＜
A a ＜b ＜1
π
，sin α+cosα=a ，sin β+cosβ=b ，则 4
＞b ＞1 ＜1 ＞1
2y =tan（2x +ϕ）的图象过点（
π
，0），则ϕ可以是 12
ππ 1263f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是 A x x x
A x
4函数f （x ）=cos2x +sinx 在区间［－ππ
，］上的最小值是
44
1+2 C 1
2π
5y =x －sin x 在［，π］上的最大值是
2
－1 2
2
ππ
，］时的值域为 64
A 1，0］ B 1，0］ 0，1） 0，1］ 70，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是 8ABC 中，a =sin（A +B ），b =sinA +sinB ，则a 与b 的大小关系为6y =log2（1+sinx ）+log2（1－sin x ），当x ∈［－
π
个单位，得到函数__________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原3
来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象
9y =sinx 的图象向左平移
y =
3sin x -1
的最大值是_______，最小值是_______
sin x +2
11a =（cos θ，sin θ），向量b =（，－1），则|2a －b |的最大值是_____
y =1+sinx +cosx +sinx cos x 的值域
x ，恒有y ≥sin 2x +4sin2x cos 2x ，求y 的最小值
14．已知3sin 2α+2sin2β=2sinα, 求cos 2α+cos2β的最大值和最小值
解三角形及应用举例
知识点归纳 1
2余弦定理：
3
4
5ABC 中sin(A+B)=_____
cos(A+B) =____t C a n =
tan(A+B) =____
sin
A +B A +B
_t a n A +t a B n +=_____ c o =____ _
22
_______
题型讲解
例1 在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．
例2 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B
例3 已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=
31
，sin （A －B ）=1）求证：tan A =2tanB ；（2）设AB =3，求AB 边上55
的高
例4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求
∠A 的大小及
b sin B
c
例5 在∆ABC 中，sin A +cos A =
，AC =2，AB =3，求tan A 的值和∆ABC 的面积． 2
π
例6 设函数f (x ) =a ⋅b ，
其中向量a =(2cosx ,1), b =(cosx 2x ) x ∈R 若f(x)=1－3且x ∈[－，
3
ππ
]，求x ；（２）若函数y=2sin2x 的图象按向量c =(m , n ) (|m|
n 的值
例7 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的面积为S 2．
（１）用a ，θ表示S 1和S 2；（２）当a 固定，θ变化时，求
S 1
取最小值时的角θ． S 2
学生练习
1在△ABC 中，若2cos B sin A =sinC ，则△ABC 的形状一定是
A B 直角三角形 C D 2ABC 是锐角三角形的是
A A +cosA =
1
B AB ·BC ＞0 C tan A +tanB +tanC ＞0 5
D =3，c =3，B =30°
3ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为
3，2
那么b 等于
B 3
D 2+3 4ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞
1
”的 2
A C 6ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A =20，A =45°，C =80° =30，c =28，B =60° C =14，b =16，A =45° =12，c =15，A =120° 7已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______8ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______D
9在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =
1
（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______4
ABC 中，若∠C =60°，则
a b
=_______ +
b +c a +c
11ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =
1+sin 2B
的取值范围
sin B +cos B
ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=
（a －b ）sin B （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值
13 在△ABC 中，sin A =
sin B +sin C
，判断这个三角形的形状
cos B +cos C