2运动的的合成与分解

第二节 运动的合成与分解

【知能准备】

1．在物理必修1的学习中，我们是如何定量描述物体的运动情况的？

2．如果物体的运动轨迹不是直线，或不知道物体的运动是不是直线？应该建立怎样的坐标系？

3．_____________叫做运动的合成，_____________叫做运动的分解。

4．运动的合成和分解，是指________________的合成与分解，必须遵循______________。

5．初速度为v0，加速度为a的匀加速直线运动可看作哪两个分运动的合运动？从该角度推导其速度公式和位移公式。

6．曲线运动的轨迹夹在___________和____________之间且总是朝着_____________方向弯曲。

【同步导学】

1．关于运动的合成与分解

⑴ 合运动与分运动

定义：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动。那几个运动叫做这个实际运动的分运动．

特征：① 等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等

② 独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响。

注意：在一个具体的问题中，判断哪个是合运动、哪个是分运动的依据是：物体的实际运动是哪个，那个实际运动就叫做合运动，即直接观察到的运动是合运动。

⑵ 运动的合成与分解

定义：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，运动的合成与分解包括位移、速度和加速度的合成，

意义：运动的合成与分解是解决复杂运动的一种基本方法，它的目的在于将复杂的运动化为简单的运动，将曲线运动化为直线运动，这样就可以应用已经掌握的简单运动或直线运动的规律来研究一些复杂的曲线运动，运动的合成或分解是认识和解决复杂运动问题的方法和手段。

方法：运动的合成和分解遵循平行四边形定则，如果各分运动都在同一直线上，我们可以选取沿该直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的矢量取正值，与正方向相反的矢量取负值，这时就可以把矢量运算简化为代数运算。如果各分运动互成角度，那就要作平行四边形，运用作图法、解直角三角形等方法求解。

例1 关于运动的合成与分解，以下说法正确的是（ ）

A．由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的

B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法

C．物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动

D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替

解析 从运动合成或分解的法则——平行四边形法则出发思考，明确运动分解的意义、方法，可做出正确的判断，答案为ABD

例2 在一无风的雨天，雨滴竖直下落至地表的速度v1=8 m/s，一辆汽车以v2=6 m/s的速度匀速行驶，求车上的人看到雨滴的速度大小与方向。

解析 如图所示，当观察者处于汽车上时，观察到雨滴同时参与两个分运动，一是竖直下落运动，二是朝向汽车的运动，此运动的速度v2′与v2大小相等、方向相反，所以雨滴相对汽车的速度v为v1、v2′的合速度

=8262m/s=10 m/s v=v1v2

设v与竖直方向的夹角为α 22

v23 所以α≈37° 则tanα=v14

（例2）

速度方向与竖直方向夹角为37°偏向后

例3 玻璃板生产线上，宽9m的成型玻璃板以4m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？

解析 要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v，如图设v刀与v玻方向夹角为θ，

22v玻cosθ=v玻/v刀=4/8，则θ=300。v=v刀=6448=4m/s ，时间为t=s/v=9/4=2.25s

2．决定合运动的性质和轨迹的因素 （例3）

物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运

动）。

两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？

决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图1所示）。

常见的类型有：

⑴ a=0：匀速直线运动或静止。

⑵ a恒定：性质为匀变速运动，分为：① v、a同向，匀加速直线运动；②v、a反向，匀减速直线运动；③ v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）

⑶ a变化：性质为变加速运动，加速度大小、方向都随时间变化。

例4 如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊

着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，

吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以dH2t (SI)(SI表示国际单位制，

式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做（ ）

2图1 （例4）

A．速度大小不变的曲线运动．

B．速度大小增加的曲线运动．

C．加速度大小方向均不变的曲线运动．

D．加速度大小方向均变化的曲线运动．

解析 根据dH2t2可知，物体在竖直方向上做匀加速直线运动，水平方向为匀速直线运动，合加速度方向与合初速度的方向必不共线，物体做曲线运动，且加速度恒定为匀变速曲线运动，加速度方向与速度方向夹锐角，速度不断增大，所以答案为 B C。

3．小船渡河问题

一条宽度为L的河，水流速度为Vs，已知船在静水中的航速为Vc，船过河时，船的实际运动（即相对于河岸的运动）可以看成是随水以速度Vs漂流的运动和以Vc相对于静水的划行运动的合运动。随水漂流和划行这两个分运动互不干扰而具有等时性。

（1）怎样渡河时间最短？

如图2-甲所示，设船头斜向上游与河岸成

任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分图2

乙

L量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：t Vcsin2 甲

可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1，所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，tminL. Vc

（2）若Vs＜Vc，怎样渡河位移最小？

如图2-乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：Vccosθ─Vs=0.

所以θ=arccos（Vs/Vc），因为0≤cosθ≤1，所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。

（3）若Vs＞Vc，怎样渡河位移最短？

如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使船的位移最短呢？如图2-丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船的位移越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs，船头与河岸的夹角应为：θ=arccos（Vc/Vs） 此时渡河的最短位移为：sVLsL cosVc

思考：过河的最短时间和最短位移分别决定于什么？

例5 河宽d=100m ，水流速度为v1=4m/s，船在静水中的速度是v2=3m/s，求：

⑴ 欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移是多大？

⑵ 欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？

解析： 设想水不流动，则船将以v1速度做匀速直线运动，设想船不开行，则船将以v2

速度顺水飘流，

可见实际渡河时，渡船同时参与两个分运动，其合运动沿v1与 v2矢量和的方向做匀速直线运动，由于分运动与合运动的等时性，船渡河时间等于v1分运动的时间。

⑴ 不论v1与v2的大小如何，船头v1的方向垂直指向河岸时，

时间最短， tS1/v1d/v1(100/4)s25s ⑵ 因船速小于水速，故小船不能垂直过河，但有无最短航程呢？

虽然不能垂直过河，但有最短的路程，用画圆的方法可找出最短船程时夹角θ，并可找到这时速度之间关系满足的特征，如图。 则sinθ=v1/v2 S=d/sinθ ， t=s/v合=d/(sinθv2v2) 21点评 ⑴ 不论v1与v2的大小如何，当船头v1的方向垂直指向河岸时，

时间最短，且最短时间为 td/v1。

⑵ 当v1v2 时，合速度垂直过岸，航程最短为d ，当v1v2 时不能垂直过岸，但仍有最短路程，此时船的实际航向与下游夹θ角，且sinθ=v1/v2 。

4．连带运动问题

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

例6 如图所示，车甲以速度v1拉车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2 解法1 甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以

有v1∶v2=cosα∶1

解法2 取OB=OC，Δt→0 则∠CBA=900 AC=AB/cosα

ACAB1

t

tcosv1= v2cosα 评析 本题关键在于分清乙车运动速度v2是合运动的速度，沿绳方向是分运动速度。

例7 光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连，如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比va∶vb？

解析 a、b沿杆的分速度分别为vacosα和vbsinα

∵vacosα= vbsinα ∴va∶vb= tanα∶1 b

【同步检测】

1．一人游泳渡河以垂直河岸不变的速度(相对水)向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是 ( )

A．河水流动速度对人渡河无任何影响

B．游泳渡河的路线与河岸垂直

C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同

D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置，向下游方向偏移

2．如果两个不在同一直线上的分运动都是匀速直线运动，对其合运动的描述中，正确的是 ( )

A．合运动一定是曲线运动

B．合运动一定是直线运动

C．合运动是曲线运动或直线运动

D．当两个分运动的速度数值相等时，合运动才为直线运动

3．一船以恒定的速率渡河，水流速度恒定(小于船速)，要使船垂直到达对岸，则( )

A．船应垂直河岸航行

B．船的航行方向应偏向上游一侧

C．船不可能沿直线到达对岸

D．河的宽度一定时，船到对岸的时间是任意的

4．一个物体的运动由水平的匀加速度a1=4m/s2和竖直的匀加速度a2=3m/s2两个分运动组成，关于这个物体的运动加速度说法正确的是（ ）

A．加速度的数值在1－7m/s2之间 B．加速度的值为5m/s2

C．加速度数值为7m/s2 D．加速度数值为lm/s2

5．一人站在匀速运动的自动扶梯上，经时间20s到楼上，若自动扶梯不动，人沿扶梯匀速上楼需要时间30s，当自动扶梯匀速运动的同时，人沿扶梯匀速(相对扶梯的速度不变)上楼，则人到达楼上所需的时间为________s

6．两个相互垂直的运动，一个是匀速，另一个是初速度为零的匀加速运动，其合运动一定是________(填“直线运动”或“曲线运动”)

7．如图所示，某船在河中向东匀速直线航行，船上的人正相对于船以0.4m/s

的速度匀速地竖直向上升起一面旗帜，当他用20s升旗完毕时，船行驶了9m，那么

旗相对于岸的速度大小是多少?

（第7题）

8．飞机以恒定的速度俯冲飞行，已知方向与水平面夹角为300，水平分速度的大小为200km/h，求：

(1) 飞机的飞行速度；

(2) 飞机在1min内下降的高度

9．竖直放置两端封闭的玻璃管内注满清水和一个用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速上浮，现将玻璃管倒置，在圆柱体匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速运动，已知圆柱体运动的速度是0.05m/s，θ＝600，如图所示，则玻璃水平运动的速度是多大？

10．河宽300m，水流速度为3m/s，小船在静水中的速度为5m/s，问

(1) 以最短时间渡河，时间为多少?可达对岸的什么位置?

(2) 以最短航程渡河，船头应向何处?渡河时间又为多少?

【综合评价】

1．关于互成角度的两个初速度不为0的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是( )

A．一定是直线运动 B．一定是曲线运动

C．可能是直线运动，也可能是曲线运动 D．以上说法都不对

2．关于运动的合成与分解，下列说法正确的是( )

A．两个直线运动的合运动一定是直线运动

B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动

C．两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动

D．两个初速度为0的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动

3．关于两个运动的合成，下列说法正确的是（ ）

A．两个直线运动的合运动一定是直线运动

B．初速度为零的两个匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动

C．一个匀加速直线运动与一个匀速直线运动的合运动一定不是直线运动

D．两个匀速直线运动的合运动也可能是曲线运动

4．下列有关运动的合成说法正确的是（ ）

A．合运动速度一定大于分运动的速度

B．合运动的时间与两个分运动的时间是相等的

C．合速度的方向就是物体实际运动方向

D．由两个分速度的大小和方向就可以确定合速度的大小和方向

5． 如图所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在 A点匀速上升的

同时，使玻璃管水平向右作匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的 （ ）

A．直线p

C．曲线R B．曲线Q D．无法确定

（第9题）

6．当船速大于水速时，下列关于渡船的说法中正确的是( )

A．船头方向斜向上游，渡河时间最短 B．船头方向垂直河岸，渡河时间最短

C．当水速变大时，渡河的最短时间变长 D．当水速变大时，渡河的最短时间变短

7．下列说法中正确的是( )

A．初速度为v0，加速度为a的匀加速直线运动，可以看作是速度为v0的匀速直线运动和初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动的合成

B．竖直下抛运动可看作竖直向下的匀速直线运动和自由落体运动的合成

C．竖直上抛运动可看作竖直向上的匀速直线运动和自由落体运动的合成

D．以上说法都不对

8．民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驶的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2 ，跑道离固定目标的最近距离为d。要想在最短的时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应该为（ ）

A．dv2

2v2v12 B．2dv12v2v2 C． dv1dv D．2 v1v2

9．如图，在离水面面高度为H的岸边，有人收绳子，使船靠岸，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（ ）

A．加速 B．减速

C．匀速 D．先加速后减速

10．雨点以8m／s的速度竖直下落，雨中步行的人感到雨点与竖直方向成30°迎面打来，那么人行走的速度大小是________m／s．

11．如图，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时绳子与水平方向夹角

为θ，此时物体的速度大小为 。

（第11题） 12．划速为v1的船在水速为v2的河中顺流行驶，某时刻船上一只气袋落水．若船又行驶了t s后才发现且立即返回寻找(略去调转船头所用的时间)，需再经多少时间才能找到气袋?

13．船以大小为4m/s垂直河岸的速度渡河，水流的速度为5m/s ，若河的宽度为100m，试分析和计算：

(1) 船能否垂直达到对岸；

(2) 船需要多少时间才能达到对岸；

(3) 船登陆的地点离船S发点的距离是多少。

14．小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后的10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，在出发后12.5min时到达正对岸，求：

(1) 水流的速度；

(2) 船在静水中的速度；

(3) 河的宽度；

(4) 船头与河岸的夹角α。

15．有一小船正在横渡一条宽为30m的河流，在正对岸下游40m处有一危险水域，假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船相对于静水的最小速度是多少?

第二节 运动的合成与分解知能准备答案

1．在参考系中建立一维直线坐标系，用坐标和坐标的变化来研究 2．平面直角坐标系 3．已知分运动求合运动，求一个已知运动的分运动 4．速度、位移、加速度，平行四边形定则 5．可看作速度为v0的匀速直线运动和初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动的合运动；某时刻t两分运动的速度分别为v0和at，且方向相同，故合速度为vt＝v0＋at，运动一段时间t两分运动的位移分别为v0t和1at2，且方向相同，2

故合位移为 s＝v0t＋1at2 6．力、初速度；力 2

第二节 运动的合成与分解同步检测答案

1．D 2．B 3．B 4．B 5．12 6．曲线运动 7．0.6m/s 8．400km/h ， 10km 9．0.025m/s 39

10．(1)当船头对准对岸行驶时(并不是到达正对岸)，时间最短，最短时间60s ，到达对岸，在出发点下游180m (2)由于v1＞v2，所以船可以垂直到正对岸，船头与河岸上游夹角为 α＝arccos(3/5)，渡河时间75s

第二节 运动的合成与分解综合评价答案

1．C 2．B D 3．B 4．BCD 5．B 6．B 7．ABC 8．B 9．B 10

．3m/s 11．vcosθ

12．t s 13．不能，25s ， 约160m 14．(1)0.2m/s (2)0.33m/s (3)200m (4)53° 15．3m/s(点拨：根据题意，船实际航行方向至少满足与河岸成37°夹角，则根据速度的矢量合成，船的速度为矢量三角形中图示的v船时，既能保证沿虚线移动，而不进入危险区，又满足速度值最小，因此vminvm3s/) 水sin37

（第15题答图）

第二节 运动的合成与分解

【知能准备】

1．在物理必修1的学习中，我们是如何定量描述物体的运动情况的？

2．如果物体的运动轨迹不是直线，或不知道物体的运动是不是直线？应该建立怎样的坐标系？

3．_____________叫做运动的合成，_____________叫做运动的分解。

4．运动的合成和分解，是指________________的合成与分解，必须遵循______________。

5．初速度为v0，加速度为a的匀加速直线运动可看作哪两个分运动的合运动？从该角度推导其速度公式和位移公式。

6．曲线运动的轨迹夹在___________和____________之间且总是朝着_____________方向弯曲。

【同步导学】

1．关于运动的合成与分解

⑴ 合运动与分运动

定义：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动。那几个运动叫做这个实际运动的分运动．

特征：① 等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等

② 独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响。

注意：在一个具体的问题中，判断哪个是合运动、哪个是分运动的依据是：物体的实际运动是哪个，那个实际运动就叫做合运动，即直接观察到的运动是合运动。

⑵ 运动的合成与分解

定义：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，运动的合成与分解包括位移、速度和加速度的合成，

意义：运动的合成与分解是解决复杂运动的一种基本方法，它的目的在于将复杂的运动化为简单的运动，将曲线运动化为直线运动，这样就可以应用已经掌握的简单运动或直线运动的规律来研究一些复杂的曲线运动，运动的合成或分解是认识和解决复杂运动问题的方法和手段。

方法：运动的合成和分解遵循平行四边形定则，如果各分运动都在同一直线上，我们可以选取沿该直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的矢量取正值，与正方向相反的矢量取负值，这时就可以把矢量运算简化为代数运算。如果各分运动互成角度，那就要作平行四边形，运用作图法、解直角三角形等方法求解。

例1 关于运动的合成与分解，以下说法正确的是（ ）

A．由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的

B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法

C．物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动

D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替

解析 从运动合成或分解的法则——平行四边形法则出发思考，明确运动分解的意义、方法，可做出正确的判断，答案为ABD

例2 在一无风的雨天，雨滴竖直下落至地表的速度v1=8 m/s，一辆汽车以v2=6 m/s的速度匀速行驶，求车上的人看到雨滴的速度大小与方向。

解析 如图所示，当观察者处于汽车上时，观察到雨滴同时参与两个分运动，一是竖直下落运动，二是朝向汽车的运动，此运动的速度v2′与v2大小相等、方向相反，所以雨滴相对汽车的速度v为v1、v2′的合速度

=8262m/s=10 m/s v=v1v2

设v与竖直方向的夹角为α 22

v23 所以α≈37° 则tanα=v14

（例2）

速度方向与竖直方向夹角为37°偏向后

例3 玻璃板生产线上，宽9m的成型玻璃板以4m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？

解析 要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v，如图设v刀与v玻方向夹角为θ，

22v玻cosθ=v玻/v刀=4/8，则θ=300。v=v刀=6448=4m/s ，时间为t=s/v=9/4=2.25s

2．决定合运动的性质和轨迹的因素 （例3）

物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运

动）。

两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？

决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图1所示）。

常见的类型有：

⑴ a=0：匀速直线运动或静止。

⑵ a恒定：性质为匀变速运动，分为：① v、a同向，匀加速直线运动；②v、a反向，匀减速直线运动；③ v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）

⑶ a变化：性质为变加速运动，加速度大小、方向都随时间变化。

例4 如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊

着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，

吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以dH2t (SI)(SI表示国际单位制，

式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做（ ）

2图1 （例4）

A．速度大小不变的曲线运动．

B．速度大小增加的曲线运动．

C．加速度大小方向均不变的曲线运动．

D．加速度大小方向均变化的曲线运动．

解析 根据dH2t2可知，物体在竖直方向上做匀加速直线运动，水平方向为匀速直线运动，合加速度方向与合初速度的方向必不共线，物体做曲线运动，且加速度恒定为匀变速曲线运动，加速度方向与速度方向夹锐角，速度不断增大，所以答案为 B C。

3．小船渡河问题

一条宽度为L的河，水流速度为Vs，已知船在静水中的航速为Vc，船过河时，船的实际运动（即相对于河岸的运动）可以看成是随水以速度Vs漂流的运动和以Vc相对于静水的划行运动的合运动。随水漂流和划行这两个分运动互不干扰而具有等时性。

（1）怎样渡河时间最短？

如图2-甲所示，设船头斜向上游与河岸成

任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分图2

乙

L量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：t Vcsin2 甲

可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1，所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，tminL. Vc

（2）若Vs＜Vc，怎样渡河位移最小？

如图2-乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：Vccosθ─Vs=0.

所以θ=arccos（Vs/Vc），因为0≤cosθ≤1，所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。

（3）若Vs＞Vc，怎样渡河位移最短？

如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使船的位移最短呢？如图2-丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船的位移越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs，船头与河岸的夹角应为：θ=arccos（Vc/Vs） 此时渡河的最短位移为：sVLsL cosVc

思考：过河的最短时间和最短位移分别决定于什么？

例5 河宽d=100m ，水流速度为v1=4m/s，船在静水中的速度是v2=3m/s，求：

⑴ 欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移是多大？

⑵ 欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？

解析： 设想水不流动，则船将以v1速度做匀速直线运动，设想船不开行，则船将以v2

速度顺水飘流，

可见实际渡河时，渡船同时参与两个分运动，其合运动沿v1与 v2矢量和的方向做匀速直线运动，由于分运动与合运动的等时性，船渡河时间等于v1分运动的时间。

⑴ 不论v1与v2的大小如何，船头v1的方向垂直指向河岸时，

时间最短， tS1/v1d/v1(100/4)s25s ⑵ 因船速小于水速，故小船不能垂直过河，但有无最短航程呢？

虽然不能垂直过河，但有最短的路程，用画圆的方法可找出最短船程时夹角θ，并可找到这时速度之间关系满足的特征，如图。 则sinθ=v1/v2 S=d/sinθ ， t=s/v合=d/(sinθv2v2) 21点评 ⑴ 不论v1与v2的大小如何，当船头v1的方向垂直指向河岸时，

时间最短，且最短时间为 td/v1。

⑵ 当v1v2 时，合速度垂直过岸，航程最短为d ，当v1v2 时不能垂直过岸，但仍有最短路程，此时船的实际航向与下游夹θ角，且sinθ=v1/v2 。

4．连带运动问题

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

例6 如图所示，车甲以速度v1拉车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2 解法1 甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以

有v1∶v2=cosα∶1

解法2 取OB=OC，Δt→0 则∠CBA=900 AC=AB/cosα

ACAB1

t

tcosv1= v2cosα 评析 本题关键在于分清乙车运动速度v2是合运动的速度，沿绳方向是分运动速度。

例7 光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连，如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比va∶vb？

解析 a、b沿杆的分速度分别为vacosα和vbsinα

∵vacosα= vbsinα ∴va∶vb= tanα∶1 b

【同步检测】

1．一人游泳渡河以垂直河岸不变的速度(相对水)向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是 ( )

A．河水流动速度对人渡河无任何影响

B．游泳渡河的路线与河岸垂直

C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同

D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置，向下游方向偏移

2．如果两个不在同一直线上的分运动都是匀速直线运动，对其合运动的描述中，正确的是 ( )

A．合运动一定是曲线运动

B．合运动一定是直线运动

C．合运动是曲线运动或直线运动

D．当两个分运动的速度数值相等时，合运动才为直线运动

3．一船以恒定的速率渡河，水流速度恒定(小于船速)，要使船垂直到达对岸，则( )

A．船应垂直河岸航行

B．船的航行方向应偏向上游一侧

C．船不可能沿直线到达对岸

D．河的宽度一定时，船到对岸的时间是任意的

4．一个物体的运动由水平的匀加速度a1=4m/s2和竖直的匀加速度a2=3m/s2两个分运动组成，关于这个物体的运动加速度说法正确的是（ ）

A．加速度的数值在1－7m/s2之间 B．加速度的值为5m/s2

C．加速度数值为7m/s2 D．加速度数值为lm/s2

5．一人站在匀速运动的自动扶梯上，经时间20s到楼上，若自动扶梯不动，人沿扶梯匀速上楼需要时间30s，当自动扶梯匀速运动的同时，人沿扶梯匀速(相对扶梯的速度不变)上楼，则人到达楼上所需的时间为________s

6．两个相互垂直的运动，一个是匀速，另一个是初速度为零的匀加速运动，其合运动一定是________(填“直线运动”或“曲线运动”)

7．如图所示，某船在河中向东匀速直线航行，船上的人正相对于船以0.4m/s

的速度匀速地竖直向上升起一面旗帜，当他用20s升旗完毕时，船行驶了9m，那么

旗相对于岸的速度大小是多少?

（第7题）

8．飞机以恒定的速度俯冲飞行，已知方向与水平面夹角为300，水平分速度的大小为200km/h，求：

(1) 飞机的飞行速度；

(2) 飞机在1min内下降的高度

9．竖直放置两端封闭的玻璃管内注满清水和一个用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速上浮，现将玻璃管倒置，在圆柱体匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速运动，已知圆柱体运动的速度是0.05m/s，θ＝600，如图所示，则玻璃水平运动的速度是多大？

10．河宽300m，水流速度为3m/s，小船在静水中的速度为5m/s，问

(1) 以最短时间渡河，时间为多少?可达对岸的什么位置?

(2) 以最短航程渡河，船头应向何处?渡河时间又为多少?

【综合评价】

1．关于互成角度的两个初速度不为0的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是( )

A．一定是直线运动 B．一定是曲线运动

C．可能是直线运动，也可能是曲线运动 D．以上说法都不对

2．关于运动的合成与分解，下列说法正确的是( )

A．两个直线运动的合运动一定是直线运动

B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动

C．两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动

D．两个初速度为0的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动

3．关于两个运动的合成，下列说法正确的是（ ）

A．两个直线运动的合运动一定是直线运动

B．初速度为零的两个匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动

C．一个匀加速直线运动与一个匀速直线运动的合运动一定不是直线运动

D．两个匀速直线运动的合运动也可能是曲线运动

4．下列有关运动的合成说法正确的是（ ）

A．合运动速度一定大于分运动的速度

B．合运动的时间与两个分运动的时间是相等的

C．合速度的方向就是物体实际运动方向

D．由两个分速度的大小和方向就可以确定合速度的大小和方向

5． 如图所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在 A点匀速上升的

同时，使玻璃管水平向右作匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的 （ ）

A．直线p

C．曲线R B．曲线Q D．无法确定

（第9题）

6．当船速大于水速时，下列关于渡船的说法中正确的是( )

A．船头方向斜向上游，渡河时间最短 B．船头方向垂直河岸，渡河时间最短

C．当水速变大时，渡河的最短时间变长 D．当水速变大时，渡河的最短时间变短

7．下列说法中正确的是( )

A．初速度为v0，加速度为a的匀加速直线运动，可以看作是速度为v0的匀速直线运动和初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动的合成

B．竖直下抛运动可看作竖直向下的匀速直线运动和自由落体运动的合成

C．竖直上抛运动可看作竖直向上的匀速直线运动和自由落体运动的合成

D．以上说法都不对

8．民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驶的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2 ，跑道离固定目标的最近距离为d。要想在最短的时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应该为（ ）

A．dv2

2v2v12 B．2dv12v2v2 C． dv1dv D．2 v1v2

9．如图，在离水面面高度为H的岸边，有人收绳子，使船靠岸，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（ ）

A．加速 B．减速

C．匀速 D．先加速后减速

10．雨点以8m／s的速度竖直下落，雨中步行的人感到雨点与竖直方向成30°迎面打来，那么人行走的速度大小是________m／s．

11．如图，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时绳子与水平方向夹角

为θ，此时物体的速度大小为 。

（第11题） 12．划速为v1的船在水速为v2的河中顺流行驶，某时刻船上一只气袋落水．若船又行驶了t s后才发现且立即返回寻找(略去调转船头所用的时间)，需再经多少时间才能找到气袋?

13．船以大小为4m/s垂直河岸的速度渡河，水流的速度为5m/s ，若河的宽度为100m，试分析和计算：

(1) 船能否垂直达到对岸；

(2) 船需要多少时间才能达到对岸；

(3) 船登陆的地点离船S发点的距离是多少。

14．小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后的10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，在出发后12.5min时到达正对岸，求：

(1) 水流的速度；

(2) 船在静水中的速度；

(3) 河的宽度；

(4) 船头与河岸的夹角α。

15．有一小船正在横渡一条宽为30m的河流，在正对岸下游40m处有一危险水域，假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船相对于静水的最小速度是多少?

第二节 运动的合成与分解知能准备答案

1．在参考系中建立一维直线坐标系，用坐标和坐标的变化来研究 2．平面直角坐标系 3．已知分运动求合运动，求一个已知运动的分运动 4．速度、位移、加速度，平行四边形定则 5．可看作速度为v0的匀速直线运动和初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动的合运动；某时刻t两分运动的速度分别为v0和at，且方向相同，故合速度为vt＝v0＋at，运动一段时间t两分运动的位移分别为v0t和1at2，且方向相同，2

故合位移为 s＝v0t＋1at2 6．力、初速度；力 2

第二节 运动的合成与分解同步检测答案

1．D 2．B 3．B 4．B 5．12 6．曲线运动 7．0.6m/s 8．400km/h ， 10km 9．0.025m/s 39

10．(1)当船头对准对岸行驶时(并不是到达正对岸)，时间最短，最短时间60s ，到达对岸，在出发点下游180m (2)由于v1＞v2，所以船可以垂直到正对岸，船头与河岸上游夹角为 α＝arccos(3/5)，渡河时间75s

第二节 运动的合成与分解综合评价答案

1．C 2．B D 3．B 4．BCD 5．B 6．B 7．ABC 8．B 9．B 10

．3m/s 11．vcosθ

12．t s 13．不能，25s ， 约160m 14．(1)0.2m/s (2)0.33m/s (3)200m (4)53° 15．3m/s(点拨：根据题意，船实际航行方向至少满足与河岸成37°夹角，则根据速度的矢量合成，船的速度为矢量三角形中图示的v船时，既能保证沿虚线移动，而不进入危险区，又满足速度值最小，因此vminvm3s/) 水sin37

（第15题答图）