极限计算方法总结（无穷小就是0，无穷分之一也是0）
1、极限定义：（存在与不存在的判据，自己查书） 2、无穷大与无穷小，也是要注意定义，自己看书
3、运算法则
下面这个定理是我觉得最重要的定理， 已知 lim f (x ) ，lim g (x ) 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，
且有 （1）lim[f (x ) ±g (x )]=A ±B （2）lim f (x ) ⋅g (x ) =A ⋅B （3）lim
f (x ) A
=, (此时需B ≠0成立) g (x ) B
说明：当条件不满足时，即数列不收敛时，或者某部分函数极限不
存在时，不能用，要化成条件满足后才能用，例如lim
sin x
=0，该式中不能直
x →∞x
接用商的法则，要用积的法则。
还有一个也算比较重要的：复合函数的运算法则。这个法则看懂定义就好。
4、极限存在准则以及两个重要极限
①极限存在准则说的就是如何利用夹逼准则，夹逼准则有一个正式的有一个是推广出来的，相同点都是用两个已知极限的函数（极限相同函数不同）与要解的函数进行比较，例如知道a 、c 的极限，符合a ≤b ≤c ，那么b 的极限就出来了 ②两个重要极限，这两个极限都有推广式，记住本式就好
sin x 1
=1与lim (1+) x =e
x →0x →∞x x
1
推广式为：lim x sin =1
x →∞x
lim
1
lim (1+x ) =e lim (1-) -x =e lim (1-x ) x =e x →0x →0x →∞x 1
lim (1+) x =e x →-∞x
实题例如：lim (1+
x →∞
1
x
-1
1
lim (1+) x =e x →+∞x
) =e lim (1-2x )
、
x →0
x
31-2x
=e 、lim
sin 3x
=1
x →03x
另外：当x →∞时，lim
sin x 1
=0，为什么呢？因为lim 是无穷小函数，而lim sin x
x →∞x x
是有界函数，无穷小函数乘以有界函数的极限还是无穷小，而无穷小就是0，这题运用了极
限运算法则。
5、无穷小的比较（无穷小的和、差、积都是无穷小，而无穷小的商却有不同的情况） ①无穷小分高、低、同、k 阶无穷小，以及等价无穷小，一般考等价无穷小； ②等价无穷小中有两个定理，很重要，第一个定理是说明两函数等价无穷小的充分必要条件；第二个定理是表明：求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小代替，使计算简化。
等价无穷小公式（有一些我都不知道怎么证明出来的...... 郁闷）：
当x →0时，有sin x ~x ，tan x ~x ，arcsin x ~x ，1-cos x ~
复杂一点的公式有：ln[1+f (x )]~f (x ) ，e
f (x )
12
x ，唯独没有cos x 2
-1~f (x ) ，[1+f (x )]n -1=nf (x ) ，
其中f (x ) 也可以为x ，比较难记，习题上没遇到就算了。
送你一道例题：求lim
(1+x ) -1
。（如果不知道公式，那就十分复杂了。）
x →0cos x -1
1
23
123
解：当x →∞时，(1+x ) -1~
121
x ，cos x -1~-x 2，所以原式等于32
12
x
2
lim =- x →03-x 2
2
③等价无穷小有三大性质：自反性、对称性、传递性。
6、函数的连续性（分清楚跳跃间断点和可去间断点） 这一节的计算方法和前面几节差不多，我感觉最有可能是考间断点，九成会考分段函数，而可去间断点是可以通过补充或改变函数的定义使它变连续，注意，我们一般做题的时候是先假设题目极限存在。
x x ≠1
1x =1，这里x =1是函数的间断点，为什么呢？ 例一：函数
2
y =f (x ) {;
1
，所以lim f (x ) ≠f (1) ，即间断点是x =1，而
x →1x →1x →12
使它变连续的方法是：令f (1) =1，这是可去间断点，该函数的图像是一条在x =1处中断x =1但f (1) = 解：l i m f (x ) =l i m
的直线加一个点。
⎧x -1, x ＜0⎪
例二：f (x ) =⎨0, x =0，这里当x →0时，lim -f (x ) =lim -(x -1) =-1，
x →0x →0
⎪x +1, x ＞0⎩
x →0+
lim f (x ) =lim +(x +1) =1，该函数的图像是第一象限和第三象限各有一条射线，分别趋向
x →0
x →0
1和-1，虽然左右极限都存在，但不相等，所以lim f (x ) 不存在，所以，x =0是函数的间断点，根据图像也可以看出，函数在x =0处产生跳跃现象，所以该点被称为跳跃间断点。
另外，连续函数的运算和初等函数的连续性不知道你们学不学，反正也是几个定义，百度一下就有了。
7、洛比达法则
定理 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f (x ) 和g (x ) 满足： （1）f (x ) 和g (x ) 的极限都是0或都是无穷大； （2）f (x ) 和g (x ) 都可导，且g (x ) 的导数不为0；
f '(x )
存在（或是无穷大）； g '(x ) f (x ) f '(x ) f (x ) f '(x )
则极限lim 也一定存在，且等于lim ，即lim =lim 。
g (x ) g '(x ) g (x ) g '(x )
（3）lim
说明：该定理称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限
是否为“
0∞
”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕0∞
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注
意条件。
各种例题：
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
lim
x →1
x +1-2
x -1
(3x +1) 2-22(x -1)(3x +1+2)
=lim
3x -3(x -1)(3x +1+2)
=3 。 4
解：原式=lim
x →1x →1
注：本题也可以用洛比达法则。 例2
lim n (n +2-n -1)
n →∞
解：原式=lim
n →∞
n [(n +2) -(n -1)]分子分母同除以
=
n +2+n -1
n
lim
3+
21+-n n
n →∞
=
3
。 2
(-1) n +3n
例3 lim
n →∞2n +3n
上下同除以3n
解：原式
=
1n
(-) +1lim =1
。 n →∞n
() +13
x →x 0
2． 利用函数的连续性求极限，定理：一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如
果x 0是函数f (x ) 的定义去间内的一点，则有lim
1x
f (x ) =f (x 0)
例4
lim x e
x →2
2
12x
解：因为x 0=2是函数
f (x ) =x e
的一个连续点，
所以 原式=2
2
e =4e 。
12
3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim
1-cos x
x →03x 2
2sin 2
解：原式=lim
x →0
x x
2sin 2
=lim =1
。
x →0x 263x 2
12⋅()
2
2x
注：本题也可以用洛比达法则。 例6
lim (1-3sin x )
x →0
1-6sin x
⋅
1
-3sin x
-6sin x 解：原式=lim (1-3sin x )
x →0
=lim [(1-3sin x )
x →0
]
=e -6 。
例7
lim (
n →∞
n -2n
) n +1
n +1-3n
-3-3) 解：原式=lim (1+
n →∞n +1-3-3=lim [(1+) ]=e -3 。 n →∞n +1
n +1
-3n
4． 利用等价无穷小定理求极限 例8
1
lim x 2sin x →0x
x ln(1+3x )
arctan(x 2)
2
解：原式=0 （直接得出结果）。 例9
lim
x →0
解： x →0时，ln(1+3x ) ～3x ，arctan(x ) ～x ，
2
∴ 原式=lim
x →0
x ⋅3x
=3 。 2
x
e x -e sin x
例10 lim
x →0x -sin x
e sin x (e x -sin x -1) e sin x (x -sin x )
=lim =1 。 解：原式=lim x →0x →0x -sin x x -sin x
注：下面的解法是错误的：
(e x -1) -(e sin x -1) x -sin x
=lim =1 。 原式=lim
x →0x →0x -sin x x -sin x
正如下面例题解法错误一样： lim
x →0
tan x -sin x x -x
=lim =0 。 33x →0x x
例11
1
tan(x 2sin )
lim
x →0sin x
111
是无穷小，∴tan(x 2sin ) 与x 2sin 等价， x x x
解： 当x →0时，x 2sin
x 2sin
所以， 原式=lim
x →0
1
=lim x sin 1=0 。
（最后一步用到定理2）
x →0x x
5． 利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12
lim
1-cos x
（例4） 2x →03x
sin x 1= 。（最后一步用到了重要极限）
x →06x 6
解：原式=lim
cos
例13
πx
lim
x →1
x -1
-
解：原式=lim
x →1
π
sin
πx
=-π 。 12
例14 lim
x →0
x -sin x x 3
1-cos x sin x 1
lim = 。=（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 2x →0x →06x 63x
解：原式=lim
例15
lim
sin x -x cos x
x →0x 2sin x
解：
原式=lim
sin x -x cos x cos x -(cosx -x sin x )
=lim
x →0x →0x 2⋅x 3x 2
x sin x 1=lim =x →03x 23
例18
11lim [-] x →0x ln(1+x )
11
lim [-]=0 。 解：错误解法：原式=
x →0x x
正确解法：
原式=lim
ln(1+x ) -x ln(1+x ) -x
=lim
x →0x ln(1+x ) x ⋅x x →0
1
-1
x 1
=lim =lim =。x →0x →02x 2x (1+x ) 2x -2sin x
3x +cos x
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19
lim
x →∞
1-2cos x 0
lim 解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限 x →∞3-sin x 0
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
2sin x
原式=lim （分子、分母同时除以x ）
x →∞cos x
3+
x
1-
=
1
（利用定理1和定理2） 3
6． 利用极限存在准则求极限
例20 已知x 1
=2, x n +1=2+x n , (n =1, 2, ) ，求lim x n
n →∞
解：易证：数列{x n }单调递增，且有界（0
x n
n →∞
两边求极限，得：
lim x n =a 。对已知的递推公式 x n +1=2+x n n →∞
a =2+a ，解得：a =2或a =-1（不合题意，舍去）
所以
lim x n =2。
n →∞
例21 lim (
n →∞
1n +1n
2
+
1n +2
1
2
+ +
1
1n +n
2
)
1n +n
2
解： 易见：
n +n
2
n +1
2
+
n +2
2
+ +
n n +1
2
因为
lim
n n +n
2
n →∞
=1，lim
1
n n +1
+
1
2
n →∞2
=1
+ +
1n +n
2
所以由准则2得：lim (
n →∞
n +1
2
n +2
) =1 。
我就这水平了。
极限计算方法总结（无穷小就是0，无穷分之一也是0）
1、极限定义：（存在与不存在的判据，自己查书） 2、无穷大与无穷小，也是要注意定义，自己看书
3、运算法则
下面这个定理是我觉得最重要的定理， 已知 lim f (x ) ，lim g (x ) 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，
且有 （1）lim[f (x ) ±g (x )]=A ±B （2）lim f (x ) ⋅g (x ) =A ⋅B （3）lim
f (x ) A
=, (此时需B ≠0成立) g (x ) B
说明：当条件不满足时，即数列不收敛时，或者某部分函数极限不
存在时，不能用，要化成条件满足后才能用，例如lim
sin x
=0，该式中不能直
x →∞x
接用商的法则，要用积的法则。
还有一个也算比较重要的：复合函数的运算法则。这个法则看懂定义就好。
4、极限存在准则以及两个重要极限
①极限存在准则说的就是如何利用夹逼准则，夹逼准则有一个正式的有一个是推广出来的，相同点都是用两个已知极限的函数（极限相同函数不同）与要解的函数进行比较，例如知道a 、c 的极限，符合a ≤b ≤c ，那么b 的极限就出来了 ②两个重要极限，这两个极限都有推广式，记住本式就好
sin x 1
=1与lim (1+) x =e
x →0x →∞x x
1
推广式为：lim x sin =1
x →∞x
lim
1
lim (1+x ) =e lim (1-) -x =e lim (1-x ) x =e x →0x →0x →∞x 1
lim (1+) x =e x →-∞x
实题例如：lim (1+
x →∞
1
x
-1
1
lim (1+) x =e x →+∞x
) =e lim (1-2x )
、
x →0
x
31-2x
=e 、lim
sin 3x
=1
x →03x
另外：当x →∞时，lim
sin x 1
=0，为什么呢？因为lim 是无穷小函数，而lim sin x
x →∞x x
是有界函数，无穷小函数乘以有界函数的极限还是无穷小，而无穷小就是0，这题运用了极
限运算法则。
5、无穷小的比较（无穷小的和、差、积都是无穷小，而无穷小的商却有不同的情况） ①无穷小分高、低、同、k 阶无穷小，以及等价无穷小，一般考等价无穷小； ②等价无穷小中有两个定理，很重要，第一个定理是说明两函数等价无穷小的充分必要条件；第二个定理是表明：求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小代替，使计算简化。
等价无穷小公式（有一些我都不知道怎么证明出来的...... 郁闷）：
当x →0时，有sin x ~x ，tan x ~x ，arcsin x ~x ，1-cos x ~
复杂一点的公式有：ln[1+f (x )]~f (x ) ，e
f (x )
12
x ，唯独没有cos x 2
-1~f (x ) ，[1+f (x )]n -1=nf (x ) ，
其中f (x ) 也可以为x ，比较难记，习题上没遇到就算了。
送你一道例题：求lim
(1+x ) -1
。（如果不知道公式，那就十分复杂了。）
x →0cos x -1
1
23
123
解：当x →∞时，(1+x ) -1~
121
x ，cos x -1~-x 2，所以原式等于32
12
x
2
lim =- x →03-x 2
2
③等价无穷小有三大性质：自反性、对称性、传递性。
6、函数的连续性（分清楚跳跃间断点和可去间断点） 这一节的计算方法和前面几节差不多，我感觉最有可能是考间断点，九成会考分段函数，而可去间断点是可以通过补充或改变函数的定义使它变连续，注意，我们一般做题的时候是先假设题目极限存在。
x x ≠1
1x =1，这里x =1是函数的间断点，为什么呢？ 例一：函数
2
y =f (x ) {;
1
，所以lim f (x ) ≠f (1) ，即间断点是x =1，而
x →1x →1x →12
使它变连续的方法是：令f (1) =1，这是可去间断点，该函数的图像是一条在x =1处中断x =1但f (1) = 解：l i m f (x ) =l i m
的直线加一个点。
⎧x -1, x ＜0⎪
例二：f (x ) =⎨0, x =0，这里当x →0时，lim -f (x ) =lim -(x -1) =-1，
x →0x →0
⎪x +1, x ＞0⎩
x →0+
lim f (x ) =lim +(x +1) =1，该函数的图像是第一象限和第三象限各有一条射线，分别趋向
x →0
x →0
1和-1，虽然左右极限都存在，但不相等，所以lim f (x ) 不存在，所以，x =0是函数的间断点，根据图像也可以看出，函数在x =0处产生跳跃现象，所以该点被称为跳跃间断点。
另外，连续函数的运算和初等函数的连续性不知道你们学不学，反正也是几个定义，百度一下就有了。
7、洛比达法则
定理 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f (x ) 和g (x ) 满足： （1）f (x ) 和g (x ) 的极限都是0或都是无穷大； （2）f (x ) 和g (x ) 都可导，且g (x ) 的导数不为0；
f '(x )
存在（或是无穷大）； g '(x ) f (x ) f '(x ) f (x ) f '(x )
则极限lim 也一定存在，且等于lim ，即lim =lim 。
g (x ) g '(x ) g (x ) g '(x )
（3）lim
说明：该定理称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限
是否为“
0∞
”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕0∞
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注
意条件。
各种例题：
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
lim
x →1
x +1-2
x -1
(3x +1) 2-22(x -1)(3x +1+2)
=lim
3x -3(x -1)(3x +1+2)
=3 。 4
解：原式=lim
x →1x →1
注：本题也可以用洛比达法则。 例2
lim n (n +2-n -1)
n →∞
解：原式=lim
n →∞
n [(n +2) -(n -1)]分子分母同除以
=
n +2+n -1
n
lim
3+
21+-n n
n →∞
=
3
。 2
(-1) n +3n
例3 lim
n →∞2n +3n
上下同除以3n
解：原式
=
1n
(-) +1lim =1
。 n →∞n
() +13
x →x 0
2． 利用函数的连续性求极限，定理：一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如
果x 0是函数f (x ) 的定义去间内的一点，则有lim
1x
f (x ) =f (x 0)
例4
lim x e
x →2
2
12x
解：因为x 0=2是函数
f (x ) =x e
的一个连续点，
所以 原式=2
2
e =4e 。
12
3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim
1-cos x
x →03x 2
2sin 2
解：原式=lim
x →0
x x
2sin 2
=lim =1
。
x →0x 263x 2
12⋅()
2
2x
注：本题也可以用洛比达法则。 例6
lim (1-3sin x )
x →0
1-6sin x
⋅
1
-3sin x
-6sin x 解：原式=lim (1-3sin x )
x →0
=lim [(1-3sin x )
x →0
]
=e -6 。
例7
lim (
n →∞
n -2n
) n +1
n +1-3n
-3-3) 解：原式=lim (1+
n →∞n +1-3-3=lim [(1+) ]=e -3 。 n →∞n +1
n +1
-3n
4． 利用等价无穷小定理求极限 例8
1
lim x 2sin x →0x
x ln(1+3x )
arctan(x 2)
2
解：原式=0 （直接得出结果）。 例9
lim
x →0
解： x →0时，ln(1+3x ) ～3x ，arctan(x ) ～x ，
2
∴ 原式=lim
x →0
x ⋅3x
=3 。 2
x
e x -e sin x
例10 lim
x →0x -sin x
e sin x (e x -sin x -1) e sin x (x -sin x )
=lim =1 。 解：原式=lim x →0x →0x -sin x x -sin x
注：下面的解法是错误的：
(e x -1) -(e sin x -1) x -sin x
=lim =1 。 原式=lim
x →0x →0x -sin x x -sin x
正如下面例题解法错误一样： lim
x →0
tan x -sin x x -x
=lim =0 。 33x →0x x
例11
1
tan(x 2sin )
lim
x →0sin x
111
是无穷小，∴tan(x 2sin ) 与x 2sin 等价， x x x
解： 当x →0时，x 2sin
x 2sin
所以， 原式=lim
x →0
1
=lim x sin 1=0 。
（最后一步用到定理2）
x →0x x
5． 利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12
lim
1-cos x
（例4） 2x →03x
sin x 1= 。（最后一步用到了重要极限）
x →06x 6
解：原式=lim
cos
例13
πx
lim
x →1
x -1
-
解：原式=lim
x →1
π
sin
πx
=-π 。 12
例14 lim
x →0
x -sin x x 3
1-cos x sin x 1
lim = 。=（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 2x →0x →06x 63x
解：原式=lim
例15
lim
sin x -x cos x
x →0x 2sin x
解：
原式=lim
sin x -x cos x cos x -(cosx -x sin x )
=lim
x →0x →0x 2⋅x 3x 2
x sin x 1=lim =x →03x 23
例18
11lim [-] x →0x ln(1+x )
11
lim [-]=0 。 解：错误解法：原式=
x →0x x
正确解法：
原式=lim
ln(1+x ) -x ln(1+x ) -x
=lim
x →0x ln(1+x ) x ⋅x x →0
1
-1
x 1
=lim =lim =。x →0x →02x 2x (1+x ) 2x -2sin x
3x +cos x
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19
lim
x →∞
1-2cos x 0
lim 解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限 x →∞3-sin x 0
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
2sin x
原式=lim （分子、分母同时除以x ）
x →∞cos x
3+
x
1-
=
1
（利用定理1和定理2） 3
6． 利用极限存在准则求极限
例20 已知x 1
=2, x n +1=2+x n , (n =1, 2, ) ，求lim x n
n →∞
解：易证：数列{x n }单调递增，且有界（0
x n
n →∞
两边求极限，得：
lim x n =a 。对已知的递推公式 x n +1=2+x n n →∞
a =2+a ，解得：a =2或a =-1（不合题意，舍去）
所以
lim x n =2。
n →∞
例21 lim (
n →∞
1n +1n
2
+
1n +2
1
2
+ +
1
1n +n
2
)
1n +n
2
解： 易见：
n +n
2
n +1
2
+
n +2
2
+ +
n n +1
2
因为
lim
n n +n
2
n →∞
=1，lim
1
n n +1
+
1
2
n →∞2
=1
+ +
1n +n
2
所以由准则2得：lim (
n →∞
n +1
2
n +2
) =1 。
我就这水平了。