圆锥曲线的解题技巧
一、常规七大题型：
（1）中点弦问题
y 2
典型例题 给定双曲线x -=1。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，22
求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题
x 2y 2
典型例题 设P(x,y)为椭圆2+2=1上任一点，F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) 为焦点，a b
∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β。
（1）求证离心率e =sin(α+β) ； sin α+sin β
3（2）求|PF 1|+PF 2|的最值。 3
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
典型例题
抛物线方程y 2=p (x +1) (p >0) ，直线x +y =t 与x 轴的交点在抛物线准线的右边。
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题
典型例题
已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p
（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程。
x 2y 2
典型例题 已知椭圆C 的方程+=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线43
y =4x +m ，椭圆C 上有不同两点关于直线对称
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y2=1, 动
点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）,
求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
（6） 存在两点关于直线对称问题
x 2y 2
+=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线典型例题 已知椭圆C 的方程43y =4x +m ，椭圆C 上有不同两点关于直线对称
（7）两线段垂直问题
典型例题 已知直线l 的斜率为k ，且过点P (-2, 0) ，抛物线C :y =4(x +1) ，直线l 与抛物线C 有两个不同的交点（如图）。
（1）求k 的取值范围；
（2）直线l 的倾斜角θ为何值时，A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直。 2
四、解题的技巧方面：
（1）充分利用几何图形
典型例题 已知中心在原点O ，焦点在y 轴上的椭圆与直线y =x +1相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，|PQ |=，求此椭圆方程。
2
（2） 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
典型例题 设直线3x +4y +m =0与圆x +y +x -2y =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，求m 的值。 22
（3） 充分利用曲线系方程
典型例题 求经过两已知圆C 1：x +y -4x +2y =0和C 2：x +y -2y -4=0的交点，且圆心在直线l ：2x +4y -1=0上的圆的方程。 2222
（4）充分利用椭圆的参数方程
x 2y 2
典型例题 P 为椭圆2+2=1上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，求四a b
边形OAPB 面积的最大值及此时点P 的坐标。
（5）线段长的几种简便计算方法
例 求直线x -y +1=0被椭圆x +4y =16所截得的线段AB 的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 22
x 2y 2
+=1的两个焦点，AB 是经过F 1的弦，若|AB |=8，求值例 F 1、F 2是椭圆259
|F 2A |+|F 2B |
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y =4x 的焦点，点P 在抛物线y =4x 上移动，若|PA |+|PF |取得最小值，求点P 的坐标。
22
圆锥曲线的解题技巧
一、常规七大题型：
（1）中点弦问题
y 2
典型例题 给定双曲线x -=1。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，22
求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题
x 2y 2
典型例题 设P(x,y)为椭圆2+2=1上任一点，F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) 为焦点，a b
∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β。
（1）求证离心率e =sin(α+β) ； sin α+sin β
3（2）求|PF 1|+PF 2|的最值。 3
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
典型例题
抛物线方程y 2=p (x +1) (p >0) ，直线x +y =t 与x 轴的交点在抛物线准线的右边。
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题
典型例题
已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p
（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程。
x 2y 2
典型例题 已知椭圆C 的方程+=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线43
y =4x +m ，椭圆C 上有不同两点关于直线对称
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y2=1, 动
点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）,
求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
（6） 存在两点关于直线对称问题
x 2y 2
+=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线典型例题 已知椭圆C 的方程43y =4x +m ，椭圆C 上有不同两点关于直线对称
（7）两线段垂直问题
典型例题 已知直线l 的斜率为k ，且过点P (-2, 0) ，抛物线C :y =4(x +1) ，直线l 与抛物线C 有两个不同的交点（如图）。
（1）求k 的取值范围；
（2）直线l 的倾斜角θ为何值时，A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直。 2
四、解题的技巧方面：
（1）充分利用几何图形
典型例题 已知中心在原点O ，焦点在y 轴上的椭圆与直线y =x +1相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，|PQ |=，求此椭圆方程。
2
（2） 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
典型例题 设直线3x +4y +m =0与圆x +y +x -2y =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，求m 的值。 22
（3） 充分利用曲线系方程
典型例题 求经过两已知圆C 1：x +y -4x +2y =0和C 2：x +y -2y -4=0的交点，且圆心在直线l ：2x +4y -1=0上的圆的方程。 2222
（4）充分利用椭圆的参数方程
x 2y 2
典型例题 P 为椭圆2+2=1上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，求四a b
边形OAPB 面积的最大值及此时点P 的坐标。
（5）线段长的几种简便计算方法
例 求直线x -y +1=0被椭圆x +4y =16所截得的线段AB 的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 22
x 2y 2
+=1的两个焦点，AB 是经过F 1的弦，若|AB |=8，求值例 F 1、F 2是椭圆259
|F 2A |+|F 2B |
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y =4x 的焦点，点P 在抛物线y =4x 上移动，若|PA |+|PF |取得最小值，求点P 的坐标。
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