九年级数学圆的有关性质教案

【课标要求】

1、理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系以及其有关概念。 2、掌握弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，会根据具体条件确定这四者之间的关系； 3、探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。灵活运用圆周角

的知识进行有关的推理论证及计算。

4、熟练掌握垂径定理的应用及逆定理的应用，尤其是会添加与之相关的辅助线； 5、会用圆与三角形和圆内接四边形的知识，尤其是有关外角的知识沟通图形间的关系。【知识网络】

【知识要点】

1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆。 2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

3、垂径定理及其推论：

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、圆心角、弧、弦心距之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 5、有关圆周角的定理：

（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

（3）直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 6、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。【典型例题选讲】例1．（2006绵阳）如图，AB是的⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（）

0000

A．100 B.110 C.120 D.135 析解：∵AB是的⊙O的直径

∴ ACB度数是180

∵BC=CD=DA

=CD =DA ∴BC

∵∠BCD=

(1800+600)=1200 2

故：填C

例2．（2006贵港市）如图，在 O中，弦AD平行于弦BC，若∠AOC=80 ，则∠DAB=____度．

析解：∵∠B=

∠AOC，∠AOC=80 2

∴∠B=40

∵AD∥BC

∴∠DAB=∠B =40

故填：40

例3：已知：AB和CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm,AB=8cm,CD=6cm,求AB、CD间的距离是7㎝或1㎝。

析解:由于圆内的的两条弦均小于圆的直径,因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种:一是位于圆心的同侧;二是位于圆心的异侧,如图:

过O作EF⊥AB，分别交AB、CD于E、F，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝。故当AB、CD在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝。 (B)

例4：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． B

．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

析解：这是一道作图与解答相结合的中考题，着重考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力。

解（1）正确作出图形，并做答．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3′ （2）解：过O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，

∵OC⊥AB ， ∴BD＝

AB＝×16＝8cm． 22

由题意可知，CD＝4cm．„„„„„„„„„„„„4′

设半径为x cm，则OD＝（x－4）cm．在Rt△BOD 中，由勾股定理得： 222222

OD＋BD＝OB， ∴( x－4)＋8＝x．„„„„„„„„„„„„5′ ∴x＝10．

即这个圆形截面的半径为10cm．„„„„„„„„„„„„„„„„6′

例5（2005常州）（本小题满分6分）

如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．

理由是：

解：画图正确 4分

①

②③

方法一：如图①，画TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点。

依据是垂径定理。 5分

方法二：如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F画直线L交HT于点D，则点D就是HT的中点。

由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT

所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD 6分方法三：如图③，（原理同方法二） 6分注：其它解法，按以上标准相应给分

例6. (2005宜昌).如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点F.

（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?

（2）按角的大小分类, 请你判断△ABC属于哪一类三角形， O

并说明理由。解：（1）（方法1）连接DO.„„„1分 ∵OD是△ABC的中位线， ∴DO∥CA .∵∠ODB＝∠C， ∴OD＝BO„„2分

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠OBD＝∠ACB，„3分 ∴AB＝AC„4分

（方法2）连接AD，„1分 ∵AB是⊙O的直径，∴AO⊥BC，„3分 ∵BD＝CD，∴AB＝AC.„„„4分

（方法3）连接DO.„„„1分∵OD是△ABC的中位线，∴OD=OB=OD=

（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

∴∠B＜∠ACB＝90°.∠C＜∠ACB＝90°.∴∠B、∠C为锐角. .„6分 ∵AC和⊙O交于点F，连接BF，

∴∠A＜∠BFC＝90°.∴△ABC为锐角三角形„7分例7．（2005湖北恩施）在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示： ∵∠AOC是⊿ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

又∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO 即∠ABC=

AB 3分∴AB=AC 4分 2

AC 2分 2

∠AOC 2

如果∠ABC的两边都不经过圆心，

(1)

如图(2)、（3）,那么结论会怎样?

解：如果∠ABC的两边都不经过圆心,

结论∠ABC=

∠AOC仍然成立 ( 2分) 2

(1)对图2的情况

连接BO并延长交圆O于点D ( 3分) 由图1知: ∠ABD=

∠AOD 21

∠CBD=∠COD ( 5分)

∴∠ABD+∠CBD=∠AOD+∠COD

221

即∠ABC=∠AOC ( 8分)

(2) 对图3的情况仿图2的情况可证 ( 10分)

例8. （2005资阳）如图6，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.

(1) 求证：AH.AB=AC；

(2) 若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE.AF=AC；

(3) 若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP.AQ=AC是否成立(不必证明).

解．(1) 连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ········· 1分

而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC . ··············· 2分 ∴

图 6

ACAH2

，即AH.AB=AC . ················ 3分

ABAC

(2) 连结FB，易证△AHE∽△AFB， ··············· 4分 ∴ AE.AF=AH.AB， ······················· 5分 ∴ AE.AF=AC . ························ 6分 (也可连结CF，证△AEC∽△ACF)

(3) 结论AP.AQ=AC成立 . ··················· 7分

【历届试题精选】一、选择题

1. （2005安徽）如图, ⊙O的半径OA=6, 以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点, 则BC= ( )

A. 63 B. 62 C. 33 D. 3

2．（2005佛山）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若AC︰BC＝4︰3，AB＝10cm，OD⊥BC于点D，则BD的长为( ).

3、（2005河南）用一把带有刻度的直尺，①可以画出两条平行的直线a与b

，如图⑪；②可以画出∠AOB的平分线OP，如图⑫所示；③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑬所示；④可以量出一个圆的半径，如图⑭所示。这四种说法正确的是( )

cm 2

B.3cm C.5cm D.6cm

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4．（2006泰安）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．

Ｄ．

5、（2005福州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B＝50°，则∠A等于（） A、80° B、60° C、 50° D、40°

6．（2005泉州）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠OBC的度数为（）

A．20°； B．40°； C．50°； D．70°.

7.（2005资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为

b(a>b)，则此圆的半径为

a+b

a-b

a+ba-b

或 22

D. a+b或a-b

8、（2005茂名）如图，梯形ABCD内接于◎○，AB//CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则

∠DAO的度数是

0000

A、90， B、80， C、70， D、60；

9、（2005茂名）下列三个命题：

①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等；其中是真命题的是

A、①② ， B、②③ ， C、①③ ，D、①②③； 10．（2006陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径

，AC=2，则cosB的值是【】 2

3255 B． C． D． 2332

A．

第4题图

11．如图， △ABC 内接于 ⊙O ， ∠C = 45º, AB =4 ，则⊙O的半径为 A . 2 B . 4 C . 2 D . 5

12．（2006云南）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D , 交⊙O于点C，且CD = 2，那么AB的长为（） A.4 B.6 C.8 D.10

13．（2006武汉）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）. (A) 30° (B)45° (C) 50° (D)60°

14．（2006四川泸州）如图3，C是⊙O上一点，若圆周角∠ACB=40°，则圆心角 ∠AOB的度数是（）

(A)50° (B)60° (C)80° (D)90°

图3

15．（2005大连）如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC＝40°，则∠ABC的度数是（） A、10° B、20° C、40° D、80° B

16．（2006湖州）如图，在⊙O 中,AB是弦，OC⊥AB，垂足为C，若AB=16，OC=6，则⊙O的

半径OA等于（） A、16 B、12 C、10 D、8

17．（2005云南玉溪）观察图3－图6及相应推理，其中正确的是（）

D O

（图3）

（图4）

（图5）

（图6）

∵∠AOB＝∠A'OB' ∴

AB= A'B'

＝BC ∵AD

∴AB＝CD.

的度数为40°， ∵MN垂直平分AD， ∵AB

∴∠AOB＝80°.

＝ME . ∴AM

AB 'B'

18．(2006福州)如图2, AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是．．．

A.CM=DM B.⌒ = ⌒ C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC

AC AD

19、（2006遂宁市）如图，已知AB是⊙O的直径， ⌒ = ⌒ = ⌒

BC CD

∠BOC=40，那么∠AOE =

_ E

0 0

A、40 B、 60

C、60 D、120

_ D

_ C

_ O

_ B

20．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，则∠CPB等于（）Ａ．30

_ A

Ｂ．45

Ｃ．60

Ｄ．90

21、（2005济南）如图，把一个量角器放置在∠BAC

BAC的度数是( )。

0000

A、30 B、60 C、15 D、20

22．如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）Ａ．2dm

Ｂ．3dm Ｃ．2dm或3dm

（11题图）

二、填空题：

1、（2005河北）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有

圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”。根据题意可得CD的长为。

2．（2005泉州）如图，⊙O为△ABC的外接圆，直径AB=10，弦AC= .

3．（2006

点时，同伴乙已经助攻冲到B点。有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门，仅从射门角度考虑，应选择种射门方式。

4．（2006山西）在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连接ED并延长到点F.使DF＝DE，连接FC，若∠B＝70°，则∠F＝度

5．（2006年福建省泉州）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB是直径，∠A=20°，则∠B= 度.

弦BC=8，则

(第5题图)

6．（2006山东青岛）如图，⊙O的直径 AB ＝8cm，C 为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，则BC＝______cm． 7．（2006吉林）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠B＝50°，点P在CA上移动(点P不

与点A、C重合)，则α的变化范围是。

8．（2006鸡西）右图是一单位拟建的

10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB=3.7米，BC=6米，则 AD的中点到BC的距离是

9．（2006漳州）如图，已知⊙O中，MN是直径，AB是弦，MN⊥BC，垂足为C，由这些条件可推出结论（不添加辅助线，只写出1个结论）．

，B，C是⊙O上的三点，AB=2，∠ACB=30，那么10．（2006鄂尔多斯）如图10，A

⊙O的半径等于

．

图10

第9题

11．（2006年福建三明）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，E为垂足，AB=8，则AE=______

12．（2006山西临汾）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠ABC=50，则∠D的度数为________．

三、解答题： 1．（2005广东佛山）如图8，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板D 离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长(精确到0.1米)？

F B

地面

图8 2．（2005广东佛山）已知∆ABC内接于⊙O.

(1) 当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角.

(2) 在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD.

请画出符合(1)、(2)题意的两个图形后再作答.

A B

3.（2006广东）如图所示,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明。 3．线段OE与OF的数量关系是：OE=OF

4（2005四川内江）如图⊙O半径为2，弦BD＝23，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。

求：四边形ABCD的面积。

B 5．（2006漳州）如图，已知AB是

OAC于D，连结BC．（1）求证：OD=

BC； 2

（2）若∠BAC=40，求 ABC的度数．

C（第5题）

⌒ 于D. 6．（2006江西）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC

（1）请写出四个不同类型的正确结论；．．．．（2）若BC = 8，ED = 2，求⊙O的半径.

7．（2006新疆）如图⊙O，的半径长为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心到弦AB的距离．

（2）考生注意：本小题为超量给分题，超量分2分如果弦AB的两端点在圆周上滑动（AB弦长不变），那么弦AB的中点形成什么样的图形？

8. ( 2006年福建三明)已知:如图,AD是△ABC的外接圆直径,∠C=62,BD=4,求AD的长(精确到0.01)

9.(2005宜昌)小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：

①反向延长射线OM；

②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点Ａ、B，交射线OM的反向延长线于点C； ③连接CB；

④以O为顶点，OA为一边作∠AOP＝∠OCB．

（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．

（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当

∠MON＝60°、OF＝10时，求AE的长．

EBA

NFM

P （第9题）

10．（2006（贵港市）如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3 50m，5根支柱A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，A5B5之间的距离均为15m，B1B5∥A1A5，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点B1，B3，B5的坐标；（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱A2B2，A4B4的长度．

图(2) 图(1)

11.（2005枣庄）如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，AB=CD．

(1)求证：△AEC≌△DEB；

(2)点B与点C关于直线OE对称吗?试说明理由． 12．（2006山东德州）半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC:CA=4:3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．

（1）当点P运动到与点C关于直径AB对称时，求CQ的长；

（第12题图）

（2）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值，并求出此时CQ的长．

（备用图）

13．（2006漳州）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作OD⊥AC于D，连结BC．

C（第13题）

（1）求证：OD=

BC； 2

（2）若∠BAC=40，求∠ABC的度数．

AB所对的圆心角为120 ，已知圆的半径为2cm，14．（2006张掖）（12分）如图，在 M中，

并建立如图所示的直角坐标系．

（1）求圆心M的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积；（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15、（2006年芜湖市）如图，在平面直角坐标系中，以点M（0

M交x轴

于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结AM并延长交⊙M于P点，连结PC交x轴于E。（1）求出CP所在直线的解析式；（1）连结AC，求ACP的面积。

答案：一、选择题： 1．A 2．

3.D 4：B 5．D 6：C 7：C 8：D 9、A， 10.B 11.A 12．C 13．C 14．C 15．B 16．C 17．B 18.C 19.B 20.C 21.C 22：D

二、填空题： 1：26 2：6 3：第二 4.40 5．70 6．4 7．0~100 8．4．7米 9．如AC BC； 10．2 11.4 12：40

三、解答题：

1.解：如图，AD垂直地面于D并交圆弧于C，BE垂直地面于E. 根据题设，知BE=2，AC＝3，CD＝0.5(单位：米). ------------------2

分 G F

作BG⊥AC于G，地面则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝

E---------------------------------------4分图8

由于AB＝3，

所以在直角三角形ABG中，∠BAG＝60°. -------------------------------5分根据对称性，知∠BAF＝120°. ----------------------------------------------------6分

所以，秋千所荡过的圆弧长是

120

⨯2π⨯3=2π≈6.3(米). 360

答：(略). ---------------------------------------------------------------------------------------------8分 2．解：画图(如右图). ---------------------------------------------------------3分

(1) 当点O在AB上时，∠ACB是直角. -----------------------------------------5分

(2) 当CD与AB垂直相交于D时，△ABC∽△CBD∽△ACD. ------9分 C

A B 3.

O D

4.解：连结OA、OB，OA交BD于F。

A为弧BD的中点⇒OF⊥BD,BF=FD=3⎫

⎬

OB=2⎭⇒OF=1⇒AF=1

⇒S∆ABD=BD⋅AF=

AE=CE⇒S∆ADE=S∆CDE，S∆ABE=S∆CBE

⇒S四边形ABCD=2S∆ABD=2

5（1）（6分）

证法一： AB是⊙O的直径 ∴OA=OB ······················· （2分）又 OD⊥AC

∴AD=CD ······················ （4分） ∴OD=

BC ······················ （6分） 2

证法二： AB是⊙O的直径 ∴∠C=90，OA=

AB ················ （2分） 2

OD⊥AC 即∠ADO=90

∴∠C=∠ADO

又 ∠A=∠A ····················· （3分） ∴△ADO∽△ACB ··················· （4分）

ODOA1

== ···················· （5分） BCAB2

∴OD=BC ······················ （6分）

∴（2）（6分）

解法一： AB是⊙O的直径，∠A=40

∴∠C=90 ······················ （3分） ∴的度数为：2(90+40)=260 ·········· （6分）解法二： AB是⊙O的直径，∠A=40

∴∠C=90 ······················ （3分） ∴∠B=50 ······················· （4分） 100 ···················· （5分）的度数为260 ··················· （6分）

6.（2006江西）（1）不同类型的正确结论有：

⌒ = ⌒ ① BE = CE；② BDCD ；③ ∠BED = 90°；④ ∠BOD =∠A；⑤ AC∥OD；

⑥ AC⊥BC；⑦ OE2+BE2=OB2；⑧ S△ABC = BC·OE；⑨ △BOD是等腰三角形；⑩

△BOE ∽ △BAC；等等

说明：1. 每写对一条给1分，但最多只给4分；

2. 结论与辅助线有关且正确的，也相应给分. （2）解：∵ OD⊥BC， ∴ BE=CE=

BC=4 „„„„„„„„„„„5′ 2

设⊙O的半径为R，则OE = OD – DE = R – 2. „„„„„„„„6′ 在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2+BE2=OB2，

即 (R-2)2+42=R2. „„„„„„„„„„„„„„„„„„7′

解得 R = 5.

∴ ⊙O的半径为5. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8′7．（8分）（1）（6分）解：作OC⊥AB，垂足为C连接AO，„„1分则AC=8．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

在Rt△AOC中，OC=

==或OC=8．944)．„„„„„„„„„„„„6分（2）（2分）形成一个以O

为圆心，

（答“以O为圆心，OC长为半径的圆”亦可，如果只答“是一个圆”得1分） 8.

9. 解：（1）（方法一）∵∠AOF＝∠OCB，„1分又∵∠BOA＝2∠OCB， „ 2分

∴∠AOF＝∠BOF„3分∴OP为∠BOA的角平分线..„„„4分

（方法二）∵∠AOF＝∠OCB，„1分∴PO∥BC ，∴∠POB＝∠OBC， 2分又∵OB=OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠AOF＝∠POB， 3分∴OE为∠BOD的角平分线.. 4分（2）（方法一）

∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AO， ∵∠MON＝60°，∴∠AOF＝1

∠MON＝30°， ∴AF＝

OF＝5，由勾股定理得：AO＝53. „5分 ∵AO＝BO，∴△AOB是等腰三角形，∵OP平分∠AOB，∴PO⊥AB，„„„6分在Rt△AOF中，S1⊿AOF＝

2AO×AF＝1

FO×AE，即：5×5＝10×AE， ∴AE＝

10＝

.„„„7分 10．（1）B1(-30，0)，B3(0，30)，B5(30，0)； ················ （2）设抛物线的表达式为y=a(x-30)(x+30)， ·············分分

3 4

把B3(0，30)代入得y=a(0-30)(0+30)=30．

． ····························· 6分 30

(x-30)(x+30)． ··········· 7分 ∵所求抛物线的表达式为：y=-30

∴a=-

（3）∵B4点的横坐标为15， ∴B4的纵坐标y4=-

145(15-30)(15+30)=． ············· 8分 302

∵A3B3=50，拱高为30，

4585

=(m)． ···················· 9分 22

(m)． ·················· 由对称性知：A2B2=A4B4=10分 2

∴立柱A4B4=20+

． 11．解：(1)∵AB=CD， ∴ AB＝CD

- ∴ AB - AD=CDAD．

=CA ． ∴BD=CA. „„„„„3分 ∴BD

在△AEC与△DEB中，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，

∴△AEC≌△DEB „„„„„„„„„„„„„„5分 (2)点B与点C关于直线OE对称. „„„„„„„„7分理由如下：

由(1)得BE＝CE， ∴点E在直线BC的中垂线上. 连结BO，CO．

∵BO＝CO， ∴点O在线段BC的中垂线上. ∴直线EO是线段BC的中垂线.

∴点B与点C关于直线OE对称． „„„„10分 12．（本小题满分12分）解：（1）当点P运动到与点C关于直径AB对称时，如图所示，此时CP⊥AB于D，

又 AB为 O的直径， ∴∠ACB=90︒．

=5，B∶C=C∶4A，3 AB

∴BC=4，AC=3．

CD，又 AC BC=AB

∴CD=

1224

，PC=．„„„„„„„4分 55

在Rt△ACB和Rt△PCQ中， ∠ACB=∠PCQ=90︒，

（第12题图）

B∠ ∠CA=tAC∽B ∴R△

∴

C，P R△t

P．C Q························ 6分

ACBCBC PC432

． ················ 8分 =，∴CQ==PC=

PCCQAC35

BC PC4

=PC， AC3

（2）因为点P在弧AB上运动过程中，有CQ=

所以PC最大时，CQ取到最大值． ····················· 10分 ∴当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大，最大为

． ········ 12分 313．（12分）

（1）（6分）

证法一： AB是⊙O的直径 ∴OA=OB （

Ｄ又 OD⊥AC

Ｂ（4Ｃ ∴AD=CD 分）

（第13题图） 1

∴OD=BC ······················ （6分）

证法二： AB是⊙O的直径 ∴∠C=90，OA=

AB ················ （2分） 2

OD⊥AC 即∠ADO=90

∴∠C=∠ADO 又 ∠A=∠A

∴△ADO∽△ACB ······················· （4分）

ODOA1

== ···················· （5分） BCAB2

∴OD=BC ······················ （6分）

∴（2）（6分）

解法一： AB是⊙O的直径，∠A=40

∴∠C=90 ······················ （3分） ∠ABC的度数为：2(90+40)=260 ··········· （6分） 14．本小题满分12分解：（1）如图（1），连结MA，MB．则∠AMB=120，

∴∠CMB=60 ，∠OBM=30 ． ······················· 2分

1)． ························ 3分 ∴OM=MB=1，∴M(0，

（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，

知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c． ············· 4分

OC=MC-MO=1，OB

∴C(0，-1)，B． ··························· 5分

1∴c=-1，a=．

∴y=x2-1． ······························ 6分

3说明：只要求出c=-1，a=

，无最后一步不扣分． 3

（3） S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD，又S△ABC与AB均为定值， ········· 7分． ∴当△ABD边AB上的高最大时，S△ABD最大，此时点D为 M与y轴的交点，如图（1） ····································· 8分

∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=

111

AB·OC+AB·OD=AB·CD=2． ·· 9分 222

（4）方法1：

如图（2）， △ABC为等腰三角形

，

∠ABC=30 =

M A

图（2）

∴△ABC∽△

PAB等价于∠PAB=30 ，PB=AB=PA=6． ······ 10分

·cos30 -AO= 设P(x，y)且x>

0，则x=PA

y=PA·sin30 =3．····························· 11分

又 P的坐标满足y=x2-1，

， ∴在抛物线y=x2-

1上，存在点P3

使△ABC∽△PAB．

由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．

12分

． ················· 或(-∴存在点P

，它的坐标为

说明：只要求出

，无最后一步不扣分．下面的方法相同．，(-方法2：

如图（3），当△ABC∽△PAB时，∠PAB=∠BAC=30 ，又由（1）知∠MAB=30 ， ∴点P在直线AM上．

设直线AM的解析式为y=kx+b，

⎧⎪k=

将A(M(01)，

代入，解得⎨

⎪b=1.⎩

∴直线AM

的解析式为y=

+1． ····················· 10分

⎧y=x+1，

⎪⎪解方程组⎨得P11分

． ····················· ⎪y=1x2-1⎪3⎩

=∴∠PBx=60 ．又 tan∠PBx=

∴∠P=30 ，∴△ABC∽△PAB．

，使△ABC∽△PAB．

∴在抛物线y=x2-

1上，存在点P3由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．

12分． ················· 或(-∴存在点P

，它的坐标为

方法3：

如图（3）， △

ABC为等腰三角形，且

=P(x，y)，则 BC

△ABC∽△PAB等价

于PB=AB=

，

PA==6． ····························· 10分

M A

图（3）

当x>

0时，得

解得P11分． ······························

又

P的坐标满足y=x2-1，

，使△ABC∽△PAB．

∴在抛物线y=x2-

1上，存在点P3由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．

12分． ················· 或(-∴存在点P

，它的坐标为

15．

九年级数学圆的有关性质教案

【课标要求】

的知识进行有关的推理论证及计算。

【知识要点】

1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆。 2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

3、垂径定理及其推论：

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、圆心角、弧、弦心距之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 5、有关圆周角的定理：

（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

0000

A．100 B.110 C.120 D.135 析解：∵AB是的⊙O的直径

∴ ACB度数是180

∵BC=CD=DA

=CD =DA ∴BC

∵∠BCD=

(1800+600)=1200 2

故：填C

例2．（2006贵港市）如图，在 O中，弦AD平行于弦BC，若∠AOC=80 ，则∠DAB=____度．

析解：∵∠B=

∠AOC，∠AOC=80 2

∴∠B=40

∵AD∥BC

∴∠DAB=∠B =40

故填：40

例3：已知：AB和CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm,AB=8cm,CD=6cm,求AB、CD间的距离是7㎝或1㎝。

析解:由于圆内的的两条弦均小于圆的直径,因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种:一是位于圆心的同侧;二是位于圆心的异侧,如图:

例4：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． B

．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

析解：这是一道作图与解答相结合的中考题，着重考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力。

解（1）正确作出图形，并做答．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3′ （2）解：过O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，

∵OC⊥AB ， ∴BD＝

AB＝×16＝8cm． 22

由题意可知，CD＝4cm．„„„„„„„„„„„„4′

设半径为x cm，则OD＝（x－4）cm．在Rt△BOD 中，由勾股定理得： 222222

OD＋BD＝OB， ∴( x－4)＋8＝x．„„„„„„„„„„„„5′ ∴x＝10．

即这个圆形截面的半径为10cm．„„„„„„„„„„„„„„„„6′

例5（2005常州）（本小题满分6分）

理由是：

解：画图正确 4分

①

②③

方法一：如图①，画TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点。

依据是垂径定理。 5分

方法二：如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F画直线L交HT于点D，则点D就是HT的中点。

由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT

所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD 6分方法三：如图③，（原理同方法二） 6分注：其它解法，按以上标准相应给分

例6. (2005宜昌).如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点F.

（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?

（2）按角的大小分类, 请你判断△ABC属于哪一类三角形， O

并说明理由。解：（1）（方法1）连接DO.„„„1分 ∵OD是△ABC的中位线， ∴DO∥CA .∵∠ODB＝∠C， ∴OD＝BO„„2分

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠OBD＝∠ACB，„3分 ∴AB＝AC„4分

（方法2）连接AD，„1分 ∵AB是⊙O的直径，∴AO⊥BC，„3分 ∵BD＝CD，∴AB＝AC.„„„4分

（方法3）连接DO.„„„1分∵OD是△ABC的中位线，∴OD=OB=OD=

（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

∴∠B＜∠ACB＝90°.∠C＜∠ACB＝90°.∴∠B、∠C为锐角. .„6分 ∵AC和⊙O交于点F，连接BF，

又∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO 即∠ABC=

AB 3分∴AB=AC 4分 2

AC 2分 2

∠AOC 2

如果∠ABC的两边都不经过圆心，

(1)

如图(2)、（3）,那么结论会怎样?

解：如果∠ABC的两边都不经过圆心,

结论∠ABC=

∠AOC仍然成立 ( 2分) 2

(1)对图2的情况

连接BO并延长交圆O于点D ( 3分) 由图1知: ∠ABD=

∠AOD 21

∠CBD=∠COD ( 5分)

∴∠ABD+∠CBD=∠AOD+∠COD

221

即∠ABC=∠AOC ( 8分)

(2) 对图3的情况仿图2的情况可证 ( 10分)

例8. （2005资阳）如图6，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.

(1) 求证：AH.AB=AC；

(2) 若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE.AF=AC；

(3) 若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP.AQ=AC是否成立(不必证明).

解．(1) 连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ········· 1分

而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC . ··············· 2分 ∴

图 6

ACAH2

，即AH.AB=AC . ················ 3分

ABAC

(3) 结论AP.AQ=AC成立 . ··················· 7分

【历届试题精选】一、选择题

1. （2005安徽）如图, ⊙O的半径OA=6, 以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点, 则BC= ( )

A. 63 B. 62 C. 33 D. 3

2．（2005佛山）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若AC︰BC＝4︰3，AB＝10cm，OD⊥BC于点D，则BD的长为( ).

3、（2005河南）用一把带有刻度的直尺，①可以画出两条平行的直线a与b

cm 2

B.3cm C.5cm D.6cm

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4．（2006泰安）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．

Ｄ．

5、（2005福州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B＝50°，则∠A等于（） A、80° B、60° C、 50° D、40°

6．（2005泉州）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠OBC的度数为（）

A．20°； B．40°； C．50°； D．70°.

7.（2005资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为

b(a>b)，则此圆的半径为

a+b

a-b

a+ba-b

或 22

D. a+b或a-b

8、（2005茂名）如图，梯形ABCD内接于◎○，AB//CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则

∠DAO的度数是

0000

A、90， B、80， C、70， D、60；

9、（2005茂名）下列三个命题：

①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等；其中是真命题的是

A、①② ， B、②③ ， C、①③ ，D、①②③； 10．（2006陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径

，AC=2，则cosB的值是【】 2

3255 B． C． D． 2332

A．

第4题图

11．如图， △ABC 内接于 ⊙O ， ∠C = 45º, AB =4 ，则⊙O的半径为 A . 2 B . 4 C . 2 D . 5

12．（2006云南）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D , 交⊙O于点C，且CD = 2，那么AB的长为（） A.4 B.6 C.8 D.10

13．（2006武汉）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）. (A) 30° (B)45° (C) 50° (D)60°

14．（2006四川泸州）如图3，C是⊙O上一点，若圆周角∠ACB=40°，则圆心角 ∠AOB的度数是（）

(A)50° (B)60° (C)80° (D)90°

图3

15．（2005大连）如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC＝40°，则∠ABC的度数是（） A、10° B、20° C、40° D、80° B

16．（2006湖州）如图，在⊙O 中,AB是弦，OC⊥AB，垂足为C，若AB=16，OC=6，则⊙O的

半径OA等于（） A、16 B、12 C、10 D、8

17．（2005云南玉溪）观察图3－图6及相应推理，其中正确的是（）

D O

（图3）

（图4）

（图5）

（图6）

∵∠AOB＝∠A'OB' ∴

AB= A'B'

＝BC ∵AD

∴AB＝CD.

的度数为40°， ∵MN垂直平分AD， ∵AB

∴∠AOB＝80°.

＝ME . ∴AM

AB 'B'

18．(2006福州)如图2, AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是．．．

A.CM=DM B.⌒ = ⌒ C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC

AC AD

19、（2006遂宁市）如图，已知AB是⊙O的直径， ⌒ = ⌒ = ⌒

BC CD

∠BOC=40，那么∠AOE =

_ E

0 0

A、40 B、 60

C、60 D、120

_ D

_ C

_ O

_ B

20．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，则∠CPB等于（）Ａ．30

_ A

Ｂ．45

Ｃ．60

Ｄ．90

21、（2005济南）如图，把一个量角器放置在∠BAC

BAC的度数是( )。

0000

A、30 B、60 C、15 D、20

Ｂ．3dm Ｃ．2dm或3dm

（11题图）

二、填空题：

1、（2005河北）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有

2．（2005泉州）如图，⊙O为△ABC的外接圆，直径AB=10，弦AC= .

3．（2006

点时，同伴乙已经助攻冲到B点。有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门，仅从射门角度考虑，应选择种射门方式。

4．（2006山西）在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连接ED并延长到点F.使DF＝DE，连接FC，若∠B＝70°，则∠F＝度

5．（2006年福建省泉州）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB是直径，∠A=20°，则∠B= 度.

弦BC=8，则

(第5题图)

与点A、C重合)，则α的变化范围是。

8．（2006鸡西）右图是一单位拟建的

10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB=3.7米，BC=6米，则 AD的中点到BC的距离是

9．（2006漳州）如图，已知⊙O中，MN是直径，AB是弦，MN⊥BC，垂足为C，由这些条件可推出结论（不添加辅助线，只写出1个结论）．

，B，C是⊙O上的三点，AB=2，∠ACB=30，那么10．（2006鄂尔多斯）如图10，A

⊙O的半径等于

．

图10

第9题

11．（2006年福建三明）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，E为垂足，AB=8，则AE=______

12．（2006山西临汾）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠ABC=50，则∠D的度数为________．

F B

地面

图8 2．（2005广东佛山）已知∆ABC内接于⊙O.

(1) 当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角.

(2) 在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD.

请画出符合(1)、(2)题意的两个图形后再作答.

A B

4（2005四川内江）如图⊙O半径为2，弦BD＝23，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。

求：四边形ABCD的面积。

B 5．（2006漳州）如图，已知AB是

OAC于D，连结BC．（1）求证：OD=

BC； 2

（2）若∠BAC=40，求 ABC的度数．

C（第5题）

⌒ 于D. 6．（2006江西）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC

（1）请写出四个不同类型的正确结论；．．．．（2）若BC = 8，ED = 2，求⊙O的半径.

7．（2006新疆）如图⊙O，的半径长为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心到弦AB的距离．

（2）考生注意：本小题为超量给分题，超量分2分如果弦AB的两端点在圆周上滑动（AB弦长不变），那么弦AB的中点形成什么样的图形？

8. ( 2006年福建三明)已知:如图,AD是△ABC的外接圆直径,∠C=62,BD=4,求AD的长(精确到0.01)

9.(2005宜昌)小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：

①反向延长射线OM；

②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点Ａ、B，交射线OM的反向延长线于点C； ③连接CB；

④以O为顶点，OA为一边作∠AOP＝∠OCB．

（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．

（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当

∠MON＝60°、OF＝10时，求AE的长．

EBA

NFM

P （第9题）

图(2) 图(1)

11.（2005枣庄）如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，AB=CD．

(1)求证：△AEC≌△DEB；

（1）当点P运动到与点C关于直径AB对称时，求CQ的长；

（第12题图）

（2）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值，并求出此时CQ的长．

（备用图）

13．（2006漳州）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作OD⊥AC于D，连结BC．

C（第13题）

（1）求证：OD=

BC； 2

（2）若∠BAC=40，求∠ABC的度数．

AB所对的圆心角为120 ，已知圆的半径为2cm，14．（2006张掖）（12分）如图，在 M中，

并建立如图所示的直角坐标系．

（1）求圆心M的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

15、（2006年芜湖市）如图，在平面直角坐标系中，以点M（0

M交x轴

于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结AM并延长交⊙M于P点，连结PC交x轴于E。（1）求出CP所在直线的解析式；（1）连结AC，求ACP的面积。

答案：一、选择题： 1．A 2．

3.D 4：B 5．D 6：C 7：C 8：D 9、A， 10.B 11.A 12．C 13．C 14．C 15．B 16．C 17．B 18.C 19.B 20.C 21.C 22：D

二、填空题： 1：26 2：6 3：第二 4.40 5．70 6．4 7．0~100 8．4．7米 9．如AC BC； 10．2 11.4 12：40

三、解答题：

1.解：如图，AD垂直地面于D并交圆弧于C，BE垂直地面于E. 根据题设，知BE=2，AC＝3，CD＝0.5(单位：米). ------------------2

分 G F

作BG⊥AC于G，地面则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝

E---------------------------------------4分图8

由于AB＝3，

所以在直角三角形ABG中，∠BAG＝60°. -------------------------------5分根据对称性，知∠BAF＝120°. ----------------------------------------------------6分

所以，秋千所荡过的圆弧长是

120

⨯2π⨯3=2π≈6.3(米). 360

(1) 当点O在AB上时，∠ACB是直角. -----------------------------------------5分

(2) 当CD与AB垂直相交于D时，△ABC∽△CBD∽△ACD. ------9分 C

A B 3.

O D

4.解：连结OA、OB，OA交BD于F。

A为弧BD的中点⇒OF⊥BD,BF=FD=3⎫

⎬

OB=2⎭⇒OF=1⇒AF=1

⇒S∆ABD=BD⋅AF=

AE=CE⇒S∆ADE=S∆CDE，S∆ABE=S∆CBE

⇒S四边形ABCD=2S∆ABD=2

5（1）（6分）

证法一： AB是⊙O的直径 ∴OA=OB ······················· （2分）又 OD⊥AC

∴AD=CD ······················ （4分） ∴OD=

BC ······················ （6分） 2

证法二： AB是⊙O的直径 ∴∠C=90，OA=

AB ················ （2分） 2

OD⊥AC 即∠ADO=90

∴∠C=∠ADO

又 ∠A=∠A ····················· （3分） ∴△ADO∽△ACB ··················· （4分）

ODOA1

== ···················· （5分） BCAB2

∴OD=BC ······················ （6分）

∴（2）（6分）

解法一： AB是⊙O的直径，∠A=40

∴∠C=90 ······················ （3分） ∴的度数为：2(90+40)=260 ·········· （6分）解法二： AB是⊙O的直径，∠A=40

6.（2006江西）（1）不同类型的正确结论有：

⌒ = ⌒ ① BE = CE；② BDCD ；③ ∠BED = 90°；④ ∠BOD =∠A；⑤ AC∥OD；

⑥ AC⊥BC；⑦ OE2+BE2=OB2；⑧ S△ABC = BC·OE；⑨ △BOD是等腰三角形；⑩

△BOE ∽ △BAC；等等

说明：1. 每写对一条给1分，但最多只给4分；

2. 结论与辅助线有关且正确的，也相应给分. （2）解：∵ OD⊥BC， ∴ BE=CE=

BC=4 „„„„„„„„„„„5′ 2

设⊙O的半径为R，则OE = OD – DE = R – 2. „„„„„„„„6′ 在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2+BE2=OB2，

即 (R-2)2+42=R2. „„„„„„„„„„„„„„„„„„7′

解得 R = 5.

在Rt△AOC中，OC=

==或OC=8．944)．„„„„„„„„„„„„6分（2）（2分）形成一个以O

为圆心，

（答“以O为圆心，OC长为半径的圆”亦可，如果只答“是一个圆”得1分） 8.

9. 解：（1）（方法一）∵∠AOF＝∠OCB，„1分又∵∠BOA＝2∠OCB， „ 2分

∴∠AOF＝∠BOF„3分∴OP为∠BOA的角平分线..„„„4分

∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AO， ∵∠MON＝60°，∴∠AOF＝1

∠MON＝30°， ∴AF＝

OF＝5，由勾股定理得：AO＝53. „5分 ∵AO＝BO，∴△AOB是等腰三角形，∵OP平分∠AOB，∴PO⊥AB，„„„6分在Rt△AOF中，S1⊿AOF＝

2AO×AF＝1

FO×AE，即：5×5＝10×AE， ∴AE＝

10＝

.„„„7分 10．（1）B1(-30，0)，B3(0，30)，B5(30，0)； ················ （2）设抛物线的表达式为y=a(x-30)(x+30)， ·············分分

3 4

把B3(0，30)代入得y=a(0-30)(0+30)=30．

． ····························· 6分 30

(x-30)(x+30)． ··········· 7分 ∵所求抛物线的表达式为：y=-30

∴a=-

（3）∵B4点的横坐标为15， ∴B4的纵坐标y4=-

145(15-30)(15+30)=． ············· 8分 302

∵A3B3=50，拱高为30，

4585

=(m)． ···················· 9分 22

(m)． ·················· 由对称性知：A2B2=A4B4=10分 2

∴立柱A4B4=20+

． 11．解：(1)∵AB=CD， ∴ AB＝CD

- ∴ AB - AD=CDAD．

=CA ． ∴BD=CA. „„„„„3分 ∴BD

在△AEC与△DEB中，∠ACE=∠DBE，∠AEC=∠DEB，

∴△AEC≌△DEB „„„„„„„„„„„„„„5分 (2)点B与点C关于直线OE对称. „„„„„„„„7分理由如下：

由(1)得BE＝CE， ∴点E在直线BC的中垂线上. 连结BO，CO．

∵BO＝CO， ∴点O在线段BC的中垂线上. ∴直线EO是线段BC的中垂线.

∴点B与点C关于直线OE对称． „„„„10分 12．（本小题满分12分）解：（1）当点P运动到与点C关于直径AB对称时，如图所示，此时CP⊥AB于D，

又 AB为 O的直径， ∴∠ACB=90︒．

=5，B∶C=C∶4A，3 AB

∴BC=4，AC=3．

CD，又 AC BC=AB

∴CD=

1224

，PC=．„„„„„„„4分 55

在Rt△ACB和Rt△PCQ中， ∠ACB=∠PCQ=90︒，

（第12题图）

B∠ ∠CA=tAC∽B ∴R△

∴

C，P R△t

P．C Q························ 6分

ACBCBC PC432

． ················ 8分 =，∴CQ==PC=

PCCQAC35

BC PC4

=PC， AC3

（2）因为点P在弧AB上运动过程中，有CQ=

所以PC最大时，CQ取到最大值． ····················· 10分 ∴当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大，最大为

． ········ 12分 313．（12分）

（1）（6分）

证法一： AB是⊙O的直径 ∴OA=OB （

Ｄ又 OD⊥AC

Ｂ（4Ｃ ∴AD=CD 分）

（第13题图） 1

∴OD=BC ······················ （6分）

证法二： AB是⊙O的直径 ∴∠C=90，OA=

AB ················ （2分） 2

OD⊥AC 即∠ADO=90

∴∠C=∠ADO 又 ∠A=∠A

∴△ADO∽△ACB ······················· （4分）

ODOA1

== ···················· （5分） BCAB2

∴OD=BC ······················ （6分）

∴（2）（6分）

解法一： AB是⊙O的直径，∠A=40

∴∠CMB=60 ，∠OBM=30 ． ······················· 2分

1)． ························ 3分 ∴OM=MB=1，∴M(0，

（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，

知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c． ············· 4分

OC=MC-MO=1，OB

∴C(0，-1)，B． ··························· 5分

1∴c=-1，a=．

∴y=x2-1． ······························ 6分

3说明：只要求出c=-1，a=

，无最后一步不扣分． 3

∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=

111

AB·OC+AB·OD=AB·CD=2． ·· 9分 222

（4）方法1：

如图（2）， △ABC为等腰三角形

，

∠ABC=30 =

M A

图（2）

∴△ABC∽△

PAB等价于∠PAB=30 ，PB=AB=PA=6． ······ 10分

·cos30 -AO= 设P(x，y)且x>

0，则x=PA

y=PA·sin30 =3．····························· 11分

又 P的坐标满足y=x2-1，

， ∴在抛物线y=x2-

1上，存在点P3

使△ABC∽△PAB．

由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．

12分

． ················· 或(-∴存在点P

，它的坐标为

说明：只要求出

，无最后一步不扣分．下面的方法相同．，(-方法2：

如图（3），当△ABC∽△PAB时，∠PAB=∠BAC=30 ，又由（1）知∠MAB=30 ， ∴点P在直线AM上．

设直线AM的解析式为y=kx+b，

⎧⎪k=

将A(M(01)，

代入，解得⎨

⎪b=1.⎩

∴直线AM

的解析式为y=

+1． ····················· 10分

⎧y=x+1，

⎪⎪解方程组⎨得P11分

． ····················· ⎪y=1x2-1⎪3⎩

=∴∠PBx=60 ．又 tan∠PBx=

∴∠P=30 ，∴△ABC∽△PAB．

，使△ABC∽△PAB．

∴在抛物线y=x2-

1上，存在点P3由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．

12分． ················· 或(-∴存在点P

，它的坐标为

方法3：

如图（3）， △

ABC为等腰三角形，且

=P(x，y)，则 BC

△ABC∽△PAB等价

于PB=AB=

，

PA==6． ····························· 10分

M A

图（3）

当x>

0时，得

解得P11分． ······························

又

P的坐标满足y=x2-1，

，使△ABC∽△PAB．

∴在抛物线y=x2-

1上，存在点P3由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．

12分． ················· 或(-∴存在点P

，它的坐标为

15．

九年级数学圆的有关性质教案

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