关于分块矩阵的对角schur 补
汤凤香1,2，何淦瞳2，方秀男1，李培培2
（1. 佳木斯大学 数学系，黑龙江 佳木斯 154007；
2. 贵州大学 理学院，贵州 贵阳 550025）
摘 要 本文利用矩阵分块的思想，主要证明了I-块严格对角占优阵的对角schur 补仍然是I-块严格对角占优阵，同时利用连续性证明了I-BDD 的对角schur 补还是I-BDD 。 关键字 对角schur 补，I-块严格对角占优阵，块对角占优阵 中文分类号 文献标识码
0 引言1
近年来，很多研究者在研究矩阵的schur 补问题并且取得了一定的成果，如在[2，5]中证明了半正定矩阵、M-阵、H-阵的schur 补仍是半正定矩阵、M-阵、H-阵；并且它们的某些性质已经被应用到数值分析中的Gauss-Seidel 迭代法的收敛问题上如。文献[1]对分块矩阵作了详细的研究，[1]证明了块严格对角占优阵的schur 补仍然是块严格对角占优阵。[5]证明了严格对角占优阵的对角schur 补仍然是严格对角占优阵。鉴于[1]和[5]中介绍的关于矩阵分块和对角schur 补的性质，本文主要证明了I-块严格对角占优阵的对角schur 补仍然是I-块严格对角占优阵，同时利用连续性证明了I-BDD 的对角schur 补还是I-BDD 。
1 给出一些相关定义
⎛A 11 A 21
考虑n ⨯n 复矩阵A ，它有如下的分块： A=
⎝A s 1
A 12A 22 A s 2
s
A 1s ⎫
⎪A 2S
⎪ ⎪⎪A ss ⎭
(1)
其中A ll 是A 的一个n l ⨯n l 的非奇异主子阵，l =1,2, ,s, ∑l =1n l =n ，简记A =(A lm 设S 表示集合{1,2, , s };M k 表示k 阶M-矩阵复矩阵；C s
n ⨯n
)s ⨯s
[3]
n ⨯n
； I表示单位阵；表示所有n ⨯n C
表示C n ⨯n 中所有形如（1）的s ⨯s 块矩阵；假设
A =(A lm )s ⨯s ∈C s ，设N(A)=(A lm
n ⨯n
)
s ⨯s
定义为块矩阵A 的范数矩阵，其中∙是某个
consistent 矩阵范数。 定义1.1
-1
[1]
（A lm ）∈C s 设A =s ⨯s
s
n ⨯n
且A ll 非奇异l =1，2， ，s ，如果
(2)，则称A 是I-块对角占优（简称I -BDD s ）；如果对
A ll
-1
≥
∑
m =1, m ≠l
A lm , ∀l ∈S ,
（2）式严格成立，则称A 是I-块严格对角占优（简称I -BSDD s ）。 ∀l ∈S ，
注：为了方便I -BSDD s 可以简记为I -BSDD ，其它符号同上。 作者简介： 汤凤香，女，1978年生，贵州大学在读硕士，佳木斯大学教师，研究方向：特殊矩阵及应用
何淦瞳，男，副教授，贵州大学数学系研究生导师。
定义1.2
[1]
设A =(A lm )s ⨯s ∈C s
n ⨯n
有如下的分块：
⎛A k +1, k +1A 1k ⎫
⎪
和A 22= ⎪
A A kk ⎪⎭⎝s , k +1
A k +1, s ⎫
⎪ ⎪ A ss ⎪⎭
⎛A 11
A =
⎝A 21
⎛A 11
A 12⎫
（3） 其中 A 11= ⎪， A 22⎭ A
⎝k 1
分别是k ⨯k 的非奇异块矩阵和(s -k ) ⨯(s -k ) 块矩阵，1≤k
（A 11）A 12. 变（1）的分块。定义A 关于A 11的schur 补为：A A 11=A 22-A 21
-1
定义1.3
[1]
（A lm ）∈C s 设A =s ⨯s
s ⨯s
n ⨯n
且A ll 非奇异， l =1，2， ，s ，如果块矩阵A 的比较
-1
-1⎧A ，若l =m ⎪ll
=⎨
⎪⎩-A lm ，若l ≠m
-1
矩阵μI (A ) =(w lm ) ∈R 定义1.4
[5]
都是M-阵，则称A 是I-块H-阵，其中w lm
设A ∈M
n ⨯n
（A 11）A 12] I ，如（1）、(3)那样分块，则 A/ A 11=A 22-[A 21⎛⎛A 1, k +1⎫
-1 ⎪
A A A ()()k +1, k 11 k+1,1 ⎪
A ⎪
k , k +1⎭⎝
- O ⎝
⎛A k +1, k +1 = A ⎝s , k +1
A k +1, s ⎫
⎪ ⎪A ss ⎪⎭
⎫
⎪
O ⎪
⎪⎪⎪ ⎪A ⎛1s ⎫⎪-1 ⎪
(A s1 A sk )(A 11) ⎪⎪
⎪ A ⎪⎪⎝ks ⎭⎭
叫做矩阵A 关于A 11的对角schur 补。记作A A 11 .
2 块对角占优阵的对角schur 补
引理2.1
[1]
设A =(A lm )s ⨯s ∈I -GBSDD s ，则[μI (A ) ]
-1
≥N (A ) ≥0，其中A
-1-1
与（1）
中A 有相同的分块。（注：I -BSDD s 一定是I -GBSDD s 见[1]）
引理2.2
[4]
设A ∈C n ⨯n ，如果A
⎛A 1, j t
-1 A (11)
A ⎝k , j t
-1
≤
11-A
引理2.3引理2.4
[1]
[1]
A j t j t
-1
(A
j t ,1
A j t , k
)
⎫⎪
⎪
引理2.5
[3]
设A ∈C n ⨯n 是一个严格对角占优阵，则μ是一个M-阵。 （A ）
定理2.1 设A =(A lm )s ⨯s ∈I -BSDD s ，且如（3）那样分块，则A
A 11∈I -BSD D s -k
证明 A ∈I -BSD D s ∴A 11∈I -BSD D k ，根据引理2.5知μI (A 11)∈M k ，根据引理2.3知(A 11) 存在，∴ A
-1
A 11存在，设A
-1
）A 11=（A j t j
l
(s -k ) ⨯(s -k )
与A 22有相同的分块，
对j t =k +t , t =1, 2, , s -k 有 A j
s -k
-1
t j t
-
∑
l =1,l ≠t
A j t j
l
⎡⎢
=⎢A j t j t -A j t ,1 A j t , k
⎢⎣
()
⎛A 1, j t -1 A (11)
A ⎝k , j t ⎫⎤⎪⎥⎪⎥⎪⎥⎭⎦
-1
-1
s -k
-
∑
l =1l ≠t
A j t j l
⎡⎢-1≥⎢I -A j t j t A j t ,1 A j t , k
⎢⎣
()
⎛A 1, j t -1 A (
11)
A ⎝k , j t ⎫⎤⎪⎥⎪⎥⎪⎥⎭⎦
-1
-1
s -k
A j t j t
-1
-1
-
∑
l =1l ≠t
A j t j l
⎡⎢-1≥⎢1-A j t j t A j t ,1 A j t , k
⎢⎢⎣
()
⎛A 1, j t
-1 (A 11)
A ⎝k , j t ⎫⎪⎪⎪⎭
⎤⎥-1⎥⨯A j t j t ⎥⎥⎦
-1
s -k
-∑A j t j l
l =1
l ≠t
≥A j t j t
-1
-1
s -k
-∑A j t j l -A j t j t
l =1l ≠t
-1
-1
⨯A j t j t
-1
⨯
(
A j t ,1 A j t , k
)
⎛A 1, j
t
-1
⨯N ⎡(
A 11)⎤⨯
⎢⎥⎣⎦
A k , j
t ⎝⎫
⎪⎪ ⎪⎪⎭
⎫⎪⎪⎪⎪⎭
≥A j
-1
t j t
-1
s -k
-∑A j t j l -
l =1l ≠t
(
A j t ,1 A j t , k
)
⎛A 1, j
t
-1
⨯⎡μI (A 11)⎤⨯ ⎣⎦
A k , j
t ⎝
⎛-1
A j t j t 1
=det det μI (
A 11)
⎝
-1
s -k
-
∑
l =1l ≠t
A j t j l
g 1
⎫⎪det B 1⎪=
det μA ⎪I (11)⎪μI (A 11)⎭h 1
⎛-1
A j t j t
令B 1=
⎝
-1
s -k
-∑A j t j l
l =1l ≠t
g 1
⎫⎪其中g 1=-A 1j t , -A k ⎪ ⎪h 1=-A j t , -A j t
μI (A 11)⎪
⎭h 1
((
j t ,
k ))
T
第二个不等式由引理2.2、引理2.4可知； A ∈I -BSDD ∴A ∈I -GBSDD ∴最后一个不等式由引理2.1可知。 A 是I -BSDD s ，B 1是严格对角占优阵且是Z-矩阵∴B 1是M-矩阵。∴det B 1>0, det μI (A 11) >0∴det B 1det μI (A 11)>0 -1
∴A j t j t
-1
s -k
[3]
，
-
∑
r=1,r≠l
A j t j
>0
l
∴A
A 11∈I -BSD D s -k
定理2.2 设A =(A lm )s ⨯s ∈I -BDD s ，如（3），且设A 11非奇异，则A 证明 对于∀ε>0均有 ⎡⎣(ε+1)A ll ⎤⎦根据定义有⎡⎣(ε+1)A ll ⎤⎦
-1
-1
-1
-1
A 11∈I -BD D s -k 。
≥A ll
s
-1
-1
∀l ∈S ， A ∈I -BDD s
>A ll
-1
-1
≥
∑
m =1, m ≠l
A lm , 设A （ε）=A+D(ε) ，
其中D(ε)=ε⋅diag (A 11, A 22, , A ss ) ，则A (ε) 是I -BSDD s . 在定理2.1中用A (ε) 替换A ，
∴A (ε)
A 11(ε) ∈I-BSDD s ，根据连续性当ε→0时有A
A 11∈I -BD D s -k 。
参考文献
[1] Cheng-yi Zhang, Yao-tang Li, Feng Chen ,On Schur complement of block diagonally dominant
matrices ,Linear Algebra and its Applications 414 (2006) 533–546.
[2] Jianzhou Liu, Yungqing Huang, Fuzhen Zhang, The Schur complements of generalized doubly
diagonally dominantmatrices, Linear Algebra Appl. 378 (2004) 231–244.
[3] R.A. Horn, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1991. [4] R.A. Horn, Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1985, pp. 300–301. [5] Jianzhou Liu, Yungqing Huang, Some properties on Schur complements of H -matrix and diagonally
dominant matrices, Linear Algebra Appl. 389 (2004) 365–380.
On Diagonally Schur Complement of Block Matrices
Tang Feng-xiang
1,2
,He Gan-tong,Fang Xiu-nan,Li Pei-pei
212
(1. Department of Mathematics,Jiamusi University, Heilongjiang,154007;
2.Department of Mathematics,Guizhou University, Guiyang,550025,china)
Abstract This paper proved that diagonally schur complement of I-block strictly diagonally dominant matrices was still I-block strictly diagonally dominant matrices ,and proved that the diagonally schur complements of I-BDD was still I-BDD by a continuity argument.
Key words diagonally schur complement ，I-block strictly diagonally dominat matrices ，block diagonally domiant matrices
关于分块矩阵的对角schur 补
汤凤香1,2，何淦瞳2，方秀男1，李培培2
（1. 佳木斯大学 数学系，黑龙江 佳木斯 154007；
2. 贵州大学 理学院，贵州 贵阳 550025）
摘 要 本文利用矩阵分块的思想，主要证明了I-块严格对角占优阵的对角schur 补仍然是I-块严格对角占优阵，同时利用连续性证明了I-BDD 的对角schur 补还是I-BDD 。 关键字 对角schur 补，I-块严格对角占优阵，块对角占优阵 中文分类号 文献标识码
0 引言1
近年来，很多研究者在研究矩阵的schur 补问题并且取得了一定的成果，如在[2，5]中证明了半正定矩阵、M-阵、H-阵的schur 补仍是半正定矩阵、M-阵、H-阵；并且它们的某些性质已经被应用到数值分析中的Gauss-Seidel 迭代法的收敛问题上如。文献[1]对分块矩阵作了详细的研究，[1]证明了块严格对角占优阵的schur 补仍然是块严格对角占优阵。[5]证明了严格对角占优阵的对角schur 补仍然是严格对角占优阵。鉴于[1]和[5]中介绍的关于矩阵分块和对角schur 补的性质，本文主要证明了I-块严格对角占优阵的对角schur 补仍然是I-块严格对角占优阵，同时利用连续性证明了I-BDD 的对角schur 补还是I-BDD 。
1 给出一些相关定义
⎛A 11 A 21
考虑n ⨯n 复矩阵A ，它有如下的分块： A=
⎝A s 1
A 12A 22 A s 2
s
A 1s ⎫
⎪A 2S
⎪ ⎪⎪A ss ⎭
(1)
其中A ll 是A 的一个n l ⨯n l 的非奇异主子阵，l =1,2, ,s, ∑l =1n l =n ，简记A =(A lm 设S 表示集合{1,2, , s };M k 表示k 阶M-矩阵复矩阵；C s
n ⨯n
)s ⨯s
[3]
n ⨯n
； I表示单位阵；表示所有n ⨯n C
表示C n ⨯n 中所有形如（1）的s ⨯s 块矩阵；假设
A =(A lm )s ⨯s ∈C s ，设N(A)=(A lm
n ⨯n
)
s ⨯s
定义为块矩阵A 的范数矩阵，其中∙是某个
consistent 矩阵范数。 定义1.1
-1
[1]
（A lm ）∈C s 设A =s ⨯s
s
n ⨯n
且A ll 非奇异l =1，2， ，s ，如果
(2)，则称A 是I-块对角占优（简称I -BDD s ）；如果对
A ll
-1
≥
∑
m =1, m ≠l
A lm , ∀l ∈S ,
（2）式严格成立，则称A 是I-块严格对角占优（简称I -BSDD s ）。 ∀l ∈S ，
注：为了方便I -BSDD s 可以简记为I -BSDD ，其它符号同上。 作者简介： 汤凤香，女，1978年生，贵州大学在读硕士，佳木斯大学教师，研究方向：特殊矩阵及应用
何淦瞳，男，副教授，贵州大学数学系研究生导师。
定义1.2
[1]
设A =(A lm )s ⨯s ∈C s
n ⨯n
有如下的分块：
⎛A k +1, k +1A 1k ⎫
⎪
和A 22= ⎪
A A kk ⎪⎭⎝s , k +1
A k +1, s ⎫
⎪ ⎪ A ss ⎪⎭
⎛A 11
A =
⎝A 21
⎛A 11
A 12⎫
（3） 其中 A 11= ⎪， A 22⎭ A
⎝k 1
分别是k ⨯k 的非奇异块矩阵和(s -k ) ⨯(s -k ) 块矩阵，1≤k
（A 11）A 12. 变（1）的分块。定义A 关于A 11的schur 补为：A A 11=A 22-A 21
-1
定义1.3
[1]
（A lm ）∈C s 设A =s ⨯s
s ⨯s
n ⨯n
且A ll 非奇异， l =1，2， ，s ，如果块矩阵A 的比较
-1
-1⎧A ，若l =m ⎪ll
=⎨
⎪⎩-A lm ，若l ≠m
-1
矩阵μI (A ) =(w lm ) ∈R 定义1.4
[5]
都是M-阵，则称A 是I-块H-阵，其中w lm
设A ∈M
n ⨯n
（A 11）A 12] I ，如（1）、(3)那样分块，则 A/ A 11=A 22-[A 21⎛⎛A 1, k +1⎫
-1 ⎪
A A A ()()k +1, k 11 k+1,1 ⎪
A ⎪
k , k +1⎭⎝
- O ⎝
⎛A k +1, k +1 = A ⎝s , k +1
A k +1, s ⎫
⎪ ⎪A ss ⎪⎭
⎫
⎪
O ⎪
⎪⎪⎪ ⎪A ⎛1s ⎫⎪-1 ⎪
(A s1 A sk )(A 11) ⎪⎪
⎪ A ⎪⎪⎝ks ⎭⎭
叫做矩阵A 关于A 11的对角schur 补。记作A A 11 .
2 块对角占优阵的对角schur 补
引理2.1
[1]
设A =(A lm )s ⨯s ∈I -GBSDD s ，则[μI (A ) ]
-1
≥N (A ) ≥0，其中A
-1-1
与（1）
中A 有相同的分块。（注：I -BSDD s 一定是I -GBSDD s 见[1]）
引理2.2
[4]
设A ∈C n ⨯n ，如果A
⎛A 1, j t
-1 A (11)
A ⎝k , j t
-1
≤
11-A
引理2.3引理2.4
[1]
[1]
A j t j t
-1
(A
j t ,1
A j t , k
)
⎫⎪
⎪
引理2.5
[3]
设A ∈C n ⨯n 是一个严格对角占优阵，则μ是一个M-阵。 （A ）
定理2.1 设A =(A lm )s ⨯s ∈I -BSDD s ，且如（3）那样分块，则A
A 11∈I -BSD D s -k
证明 A ∈I -BSD D s ∴A 11∈I -BSD D k ，根据引理2.5知μI (A 11)∈M k ，根据引理2.3知(A 11) 存在，∴ A
-1
A 11存在，设A
-1
）A 11=（A j t j
l
(s -k ) ⨯(s -k )
与A 22有相同的分块，
对j t =k +t , t =1, 2, , s -k 有 A j
s -k
-1
t j t
-
∑
l =1,l ≠t
A j t j
l
⎡⎢
=⎢A j t j t -A j t ,1 A j t , k
⎢⎣
()
⎛A 1, j t -1 A (11)
A ⎝k , j t ⎫⎤⎪⎥⎪⎥⎪⎥⎭⎦
-1
-1
s -k
-
∑
l =1l ≠t
A j t j l
⎡⎢-1≥⎢I -A j t j t A j t ,1 A j t , k
⎢⎣
()
⎛A 1, j t -1 A (
11)
A ⎝k , j t ⎫⎤⎪⎥⎪⎥⎪⎥⎭⎦
-1
-1
s -k
A j t j t
-1
-1
-
∑
l =1l ≠t
A j t j l
⎡⎢-1≥⎢1-A j t j t A j t ,1 A j t , k
⎢⎢⎣
()
⎛A 1, j t
-1 (A 11)
A ⎝k , j t ⎫⎪⎪⎪⎭
⎤⎥-1⎥⨯A j t j t ⎥⎥⎦
-1
s -k
-∑A j t j l
l =1
l ≠t
≥A j t j t
-1
-1
s -k
-∑A j t j l -A j t j t
l =1l ≠t
-1
-1
⨯A j t j t
-1
⨯
(
A j t ,1 A j t , k
)
⎛A 1, j
t
-1
⨯N ⎡(
A 11)⎤⨯
⎢⎥⎣⎦
A k , j
t ⎝⎫
⎪⎪ ⎪⎪⎭
⎫⎪⎪⎪⎪⎭
≥A j
-1
t j t
-1
s -k
-∑A j t j l -
l =1l ≠t
(
A j t ,1 A j t , k
)
⎛A 1, j
t
-1
⨯⎡μI (A 11)⎤⨯ ⎣⎦
A k , j
t ⎝
⎛-1
A j t j t 1
=det det μI (
A 11)
⎝
-1
s -k
-
∑
l =1l ≠t
A j t j l
g 1
⎫⎪det B 1⎪=
det μA ⎪I (11)⎪μI (A 11)⎭h 1
⎛-1
A j t j t
令B 1=
⎝
-1
s -k
-∑A j t j l
l =1l ≠t
g 1
⎫⎪其中g 1=-A 1j t , -A k ⎪ ⎪h 1=-A j t , -A j t
μI (A 11)⎪
⎭h 1
((
j t ,
k ))
T
第二个不等式由引理2.2、引理2.4可知； A ∈I -BSDD ∴A ∈I -GBSDD ∴最后一个不等式由引理2.1可知。 A 是I -BSDD s ，B 1是严格对角占优阵且是Z-矩阵∴B 1是M-矩阵。∴det B 1>0, det μI (A 11) >0∴det B 1det μI (A 11)>0 -1
∴A j t j t
-1
s -k
[3]
，
-
∑
r=1,r≠l
A j t j
>0
l
∴A
A 11∈I -BSD D s -k
定理2.2 设A =(A lm )s ⨯s ∈I -BDD s ，如（3），且设A 11非奇异，则A 证明 对于∀ε>0均有 ⎡⎣(ε+1)A ll ⎤⎦根据定义有⎡⎣(ε+1)A ll ⎤⎦
-1
-1
-1
-1
A 11∈I -BD D s -k 。
≥A ll
s
-1
-1
∀l ∈S ， A ∈I -BDD s
>A ll
-1
-1
≥
∑
m =1, m ≠l
A lm , 设A （ε）=A+D(ε) ，
其中D(ε)=ε⋅diag (A 11, A 22, , A ss ) ，则A (ε) 是I -BSDD s . 在定理2.1中用A (ε) 替换A ，
∴A (ε)
A 11(ε) ∈I-BSDD s ，根据连续性当ε→0时有A
A 11∈I -BD D s -k 。
参考文献
[1] Cheng-yi Zhang, Yao-tang Li, Feng Chen ,On Schur complement of block diagonally dominant
matrices ,Linear Algebra and its Applications 414 (2006) 533–546.
[2] Jianzhou Liu, Yungqing Huang, Fuzhen Zhang, The Schur complements of generalized doubly
diagonally dominantmatrices, Linear Algebra Appl. 378 (2004) 231–244.
[3] R.A. Horn, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1991. [4] R.A. Horn, Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1985, pp. 300–301. [5] Jianzhou Liu, Yungqing Huang, Some properties on Schur complements of H -matrix and diagonally
dominant matrices, Linear Algebra Appl. 389 (2004) 365–380.
On Diagonally Schur Complement of Block Matrices
Tang Feng-xiang
1,2
,He Gan-tong,Fang Xiu-nan,Li Pei-pei
212
(1. Department of Mathematics,Jiamusi University, Heilongjiang,154007;
2.Department of Mathematics,Guizhou University, Guiyang,550025,china)
Abstract This paper proved that diagonally schur complement of I-block strictly diagonally dominant matrices was still I-block strictly diagonally dominant matrices ,and proved that the diagonally schur complements of I-BDD was still I-BDD by a continuity argument.
Key words diagonally schur complement ，I-block strictly diagonally dominat matrices ，block diagonally domiant matrices