梯形的性质与判定
一、知识梳理
1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
2．特殊梯形的定义：
（1）等腰梯形：两腰相等的梯形． （2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．
3．等腰梯形的性质：
（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；
（2）从边看：等腰梯形两腰相等；
（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等．
4．等腰梯形的判定：
（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
5. 梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
6. 梯形中位线的性质：梯形的中位线于两底边，并且等于.
二、易错点高效突破
易错点1：等腰梯形中识别全等三角形、等腰三角形的对数
例题1 如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则图中的全等三角形共有 对，有 对等腰三角形.
易错点2：等腰梯形和直角梯形的判定
例题2 下列说法中正确的是（ ）
A. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
B. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形
C. 有一组邻角相等的梯形是等腰梯形
D. 有两组角分别相等的四边形是等腰梯形
例题3 四边形的四个内角的度数比是2：3：3：4，则这个四边形是（ ）
A. 等腰梯形 B. 直角梯形 C. 平行四边形 D. 不能确定
三、常见的重点与典型题
1. 考查等腰梯形的性质及常见辅助线的作法
例题1 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC，延长AB 到E ，使BE=DC，求证：AC=CE.
【辅助线作法一：平移对角线】
例题2 已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，DE ∥AC ，AD=3㎝，BC=7㎝，求BD 的长.
活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，O 是垂足，CE ⊥AB 于点E ，试说明：2CE=AB+DC.
【辅助线作法二：作腰的平行线，构造平行四边形】
例题3 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=8，BC=11，求CD.
【辅助线作法三：连接底边上的一个顶点与腰的中点并延长与另一底的延长线相交构造全等三角形】
例题4 如图，但E 是梯形ABCD 的腰AD 的中点，且AB+CD=BC，试说明BE 平分∠ABC.
活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB+CD=BC，M 是AD 的中点， 求证：BM ⊥CM.
【辅助线作法四：作高】
例题5 如图，有两棵树，一棵树高8米，另一棵树高2米，
两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树
梢，至少飞了 米.
活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，∠D=120°，对角线CA 平分∠BCD ，且梯形的周长为20，则AC= ，梯形ABCD 的面积为 .
2. 直角梯形中辅助线的作法
【作法一：将上底旋转90°----延长两腰】
例题6 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°, ∠C=45°,BE ⊥CD 于点E ，AD=1，CD=22, 求BE 的长.
【作法二：作高线】
例题7 （2009，北京19）如图，在梯形ABCD 中，∠B =90°，∠C =45°，AD =1，BC =4，
E 为A B 的中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求E F 的长. AD ∥BC ，
A
E
B F
3. 中位线
例题8 （2010中考复习）顺次连接等腰梯形两底的中点及两对角线的中点，所组成的四边形是（ ）
A. 棱形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等腰梯形
活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，EF 是梯形的中位线，G 是BC 上任意一点，如果S ∆GEF =22cm 2，求梯形ABCD 的面积.
4. 考查等腰梯形的判定条件
例题9 在梯形ABCD 中，AD//BC, E为BC 中点，EF ⊥A B，EG ⊥CD ，EF=EG.
求证：梯形ABCD 为等腰梯形.
活学活用1：在梯形ABCD 中，AD//BC，∠ACB=∠DBC. 求证:梯形ABCD 是等腰梯形.
活学活用2：在锐角△ABC 中, AD⊥BC 于D ，E 、F 、G 分别是AC 、AB 、BC 的中点, 求证:四边形DEFG 是等腰梯形.
5. 证两线段的和等于第三条线段的长度（等面积法）
例题10 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，BG ⊥CD 于点G. 若点P 在BC 上，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证:PE+PF=BG.
四、中考在线
1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10㎝，AC 与BD 相交于G ，
且∠AGD=60°，设E 为CG 的中点，F 是AB 的中点，则EF 的长为 ㎝.
2. 如图，已知直角梯形ABCD 中，底角∠B=60°，对角线AC 平分∠BAD ，上底为1㎝，求梯形的面积.
3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形的面积为49㎝². 求梯形的高.
4. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=8㎝，BD=6㎝，求梯形的高.
5. （2005，淄博）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，AC 、BD 相交于点E ，若AC ⊥BD ，BD=BC,求证：CE=
12(AD+BC).
梯形的性质与判定
一、知识梳理
1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
2．特殊梯形的定义：
（1）等腰梯形：两腰相等的梯形． （2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．
3．等腰梯形的性质：
（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；
（2）从边看：等腰梯形两腰相等；
（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等．
4．等腰梯形的判定：
（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
5. 梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
6. 梯形中位线的性质：梯形的中位线于两底边，并且等于.
二、易错点高效突破
易错点1：等腰梯形中识别全等三角形、等腰三角形的对数
例题1 如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则图中的全等三角形共有 对，有 对等腰三角形.
易错点2：等腰梯形和直角梯形的判定
例题2 下列说法中正确的是（ ）
A. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
B. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形
C. 有一组邻角相等的梯形是等腰梯形
D. 有两组角分别相等的四边形是等腰梯形
例题3 四边形的四个内角的度数比是2：3：3：4，则这个四边形是（ ）
A. 等腰梯形 B. 直角梯形 C. 平行四边形 D. 不能确定
三、常见的重点与典型题
1. 考查等腰梯形的性质及常见辅助线的作法
例题1 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC，延长AB 到E ，使BE=DC，求证：AC=CE.
【辅助线作法一：平移对角线】
例题2 已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，DE ∥AC ，AD=3㎝，BC=7㎝，求BD 的长.
活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，O 是垂足，CE ⊥AB 于点E ，试说明：2CE=AB+DC.
【辅助线作法二：作腰的平行线，构造平行四边形】
例题3 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=8，BC=11，求CD.
【辅助线作法三：连接底边上的一个顶点与腰的中点并延长与另一底的延长线相交构造全等三角形】
例题4 如图，但E 是梯形ABCD 的腰AD 的中点，且AB+CD=BC，试说明BE 平分∠ABC.
活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB+CD=BC，M 是AD 的中点， 求证：BM ⊥CM.
【辅助线作法四：作高】
例题5 如图，有两棵树，一棵树高8米，另一棵树高2米，
两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树
梢，至少飞了 米.
活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，∠D=120°，对角线CA 平分∠BCD ，且梯形的周长为20，则AC= ，梯形ABCD 的面积为 .
2. 直角梯形中辅助线的作法
【作法一：将上底旋转90°----延长两腰】
例题6 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°, ∠C=45°,BE ⊥CD 于点E ，AD=1，CD=22, 求BE 的长.
【作法二：作高线】
例题7 （2009，北京19）如图，在梯形ABCD 中，∠B =90°，∠C =45°，AD =1，BC =4，
E 为A B 的中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求E F 的长. AD ∥BC ，
A
E
B F
3. 中位线
例题8 （2010中考复习）顺次连接等腰梯形两底的中点及两对角线的中点，所组成的四边形是（ ）
A. 棱形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等腰梯形
活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，EF 是梯形的中位线，G 是BC 上任意一点，如果S ∆GEF =22cm 2，求梯形ABCD 的面积.
4. 考查等腰梯形的判定条件
例题9 在梯形ABCD 中，AD//BC, E为BC 中点，EF ⊥A B，EG ⊥CD ，EF=EG.
求证：梯形ABCD 为等腰梯形.
活学活用1：在梯形ABCD 中，AD//BC，∠ACB=∠DBC. 求证:梯形ABCD 是等腰梯形.
活学活用2：在锐角△ABC 中, AD⊥BC 于D ，E 、F 、G 分别是AC 、AB 、BC 的中点, 求证:四边形DEFG 是等腰梯形.
5. 证两线段的和等于第三条线段的长度（等面积法）
例题10 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，BG ⊥CD 于点G. 若点P 在BC 上，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证:PE+PF=BG.
四、中考在线
1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10㎝，AC 与BD 相交于G ，
且∠AGD=60°，设E 为CG 的中点，F 是AB 的中点，则EF 的长为 ㎝.
2. 如图，已知直角梯形ABCD 中，底角∠B=60°，对角线AC 平分∠BAD ，上底为1㎝，求梯形的面积.
3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形的面积为49㎝². 求梯形的高.
4. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=8㎝，BD=6㎝，求梯形的高.
5. （2005，淄博）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，AC 、BD 相交于点E ，若AC ⊥BD ，BD=BC,求证：CE=
12(AD+BC).